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Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich

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<strong>Numerische</strong> <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong><br />

<strong>elektronischen</strong> Subbandstruktur in<br />

Quantum-Wells bei <strong>der</strong> Simulation von<br />

Laserdioden<br />

Diplomarbeit<br />

(einschließlich Belegarbeit)<br />

Kersten Schmidt<br />

Gaststudent an <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich<br />

Student <strong>der</strong> Technischen Physik <strong>der</strong> TU Ilmenau<br />

Betreuer:<br />

Prof. Jürgen Schäfer, Dr. Vladimir Polyakov (TU Ilmenau)<br />

Michael Pfeiffer, Andreas Witzig (<strong>ETH</strong> Zürich)<br />

Ilmenau, 28.Dezember 2001


Inhaltsverzeichnis<br />

Einleitung 5<br />

1 Der Halbleiterlaser 7<br />

1.1 Eigenschaften <strong>der</strong> Laserstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

1.2 Anwendungen von Halbleiterlasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

1.3 Funktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />

1.4 Laserstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />

1.4.1 Halbleitermaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />

1.4.2 p-n-Laserdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />

1.4.3 Doppel-Heterostruktur-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />

1.4.4 Quantum-Well-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />

1.5 Simulationswerkzeug LASER-DESSIS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />

2 Der Festkörper 19<br />

2.1 Ladungsträger im Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />

2.1.1 Ladungsdichten im homogenen Halbleiter . . . . . . . . . . . 22<br />

2.1.2 Ladungsdichten im Quantengraben . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />

3 Die Bandstruktur im homogenen Halbleiter 27<br />

3.1 Störungstheoretischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />

3.2 Matrixformulierung <strong>der</strong> Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . 27<br />

3.3 LÖWDIN’s Methode <strong>der</strong> Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />

3.4 k·p -Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />

3.5 k·p -Hamiltonian mit Spin-Bahn-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . 31<br />

3.6 Das Kane’sche Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />

3.7 Das Luttinger-Kohn-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />

3.8 Materialparameter für die k·p -Methode . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />

4 Die Bandstruktur in QW-Strukturen 43<br />

4.1 Envelopenfunktionsformalismus (EFA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />

4.1.1 Die Idee des Envelopenfunktionsformalismus . . . . . . . . . 44<br />

4.1.2 Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />

4.2 Behandlung von äußeren elektrischen Potentialen . . . . . . . . . . . 46<br />

4.3 Pikus-Bir-Hamiltonian mit Verspannung . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />

4.4 4-Band-Hamiltonian ohne SO-Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />

4.4.1 Blockdiagonalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />

4.4.2 Axiale Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />

4.5 6-Band-Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />

4.6 Das Leitungsband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />

4.7 Simple Valenzbandmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />

4.8 Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />

4.9 Anwendungsbereich des EFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />

3


4 INHALTSVERZEICHNIS<br />

5 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Bandstruktur im QW 61<br />

5.1 Der Lösungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />

5.1.1 Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />

5.1.2 Verschwinden <strong>der</strong> Wellenfunktion im Unendlichen . . . . . . 64<br />

5.1.3 Die Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />

5.1.4 Ermittlung <strong>der</strong> Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />

5.2 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . 66<br />

5.3 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Zweibandschrödingergleichung . . . . . . . . . . . . 69<br />

5.3.1 Die Kopplung <strong>der</strong> HH- und LH-Bän<strong>der</strong> . . . . . . . . . . . . 70<br />

5.3.2 HH- und LH-Bän<strong>der</strong> in axialer Näherung . . . . . . . . . . . 73<br />

5.3.3 Koppelung <strong>der</strong> LH- und SO-Bän<strong>der</strong> bei k ρ = 0 . . . . . . . . 73<br />

5.4 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Dreibandschrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . 75<br />

6 Ergebnisse <strong>der</strong> Bandstrukturberechnungen 79<br />

6.1 Die Bandstrukturmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />

6.1.1 Löcher: Vernachlässigung des SO-Bandes . . . . . . . . . . . 79<br />

6.1.2 Löcher: Vernachlässigung <strong>der</strong> HH-LH-Kopplung . . . . . . . . 81<br />

6.1.3 Löcher: Verwendung effektiver Bulkmassen . . . . . . . . . . 82<br />

6.1.4 Elektronen: parabolische und nichtparabolische <strong>Berechnung</strong> . 83<br />

6.1.5 Elektronen: Verwendung effektiver Bulkmassen . . . . . . . . 85<br />

6.2 Die Verspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />

6.3 Einfluß von Materialparametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />

7 Optoelektronik 105<br />

7.1 Die optische Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />

7.1.1 Das optische Impulsmatrixelement . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />

7.1.2 Die Linienverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />

8 Vorhersagen für die opto<strong>elektronischen</strong> Eigenschaften 113<br />

8.1 Optische Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />

8.2 Simulation eines Quantum-Well-Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />

9 Zusammenfassung und Ausblick 119<br />

Anhang 121<br />

A. Zur Bandstrukturberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />

B. Die Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />

Literatur 125<br />

Danksagung 133


Einleitung<br />

Die in den letzten Jahren breitgestreute Anwendung von optischen Bauelementen<br />

und Halbleiterlasern wurde durch intensive Forschungen, Entwicklungen und fortgeschrittene<br />

Prozesstechnologien mit verschiedenem Bauelemente- und Systemaufbau<br />

und unterschiedlichen Materialien möglich. Verwendung finden sie in <strong>der</strong> Unterhaltungselektronik,<br />

im Druck- und Kopierbereich, in <strong>der</strong> Datenübertragung und<br />

-speicherung, in <strong>der</strong> Medizin- und <strong>der</strong> Waffentechnik, in Messapparaturen und in<br />

<strong>der</strong> Produktion.<br />

Die Optoelektronikindustrie nutzt zur Vorhersage <strong>der</strong> Eigenschaften optischer<br />

Bauelemente und Systeme mit grösser werdendem Interesse Simulationswerkzeuge,<br />

die auf physikalischen Modellen beruhen. Verschiedene Programme können quantitativ<br />

die Frequenz, die räumliche Verteilung und die Intensität <strong>der</strong> Lichtmoden, die<br />

zum Betrieb nötigen Ströme und die örtliche Erwärmung vorhersagen. Die Bandbreite<br />

<strong>der</strong> oft in <strong>der</strong> Forschung entwickelten Simulatoren geht von einfachen Ratengleichungsmodellen<br />

bis zu einer voll gekoppelten Lösung von Poisson-, Drift-<br />

Diffusion-, Wärmetransport-, Quantentransport- und den Maxwellschen Gleichungen,<br />

wie das im Institut für Integrierte Systeme <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich erarbeitete Simulationswerkzeug<br />

LASER- DESSIS.<br />

Für Laserdioden eignen sich hervorragend die direkten III-V-Halbleiter, wie zum<br />

Beispiel GaAs, AlAs, InAs und InP und ihre Legierungen. Durch Einschränkung<br />

des optisch-aktiven Bereiches durch eine dünne Schicht eines an<strong>der</strong>en Materials innerhalb<br />

des Substrates konnte <strong>der</strong> Schwellstrom, <strong>der</strong> zum ”<br />

Lasen“ notwendig ist,<br />

verkleinert werden. Eine Verkleinerung <strong>der</strong> Schichtdicke auf wenige Nanometer bis<br />

einzelne Monolagen sperrt die Ladungsträger so stark ein, daß ihre Energien quantisiert<br />

sind. Wegen ihrer besseren Betriebseigenschaften werden diese sogenannten<br />

Quantum-Well-Laser heutzutage verwendet.<br />

Um die <strong>elektronischen</strong> und optischen Eigenschaften von Quantum-Wells (QW)<br />

beschreiben zu können, ist das Wissen über ihre elektronische Bandstruktur wichtig.<br />

Gängiges Verfahren zur <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Bandstruktur ist <strong>der</strong> Envelopenfunktionsformalismus<br />

(EFA). Er wendet die k·p -Methode des homogenen Halbleiters auf QW-<br />

Strukturen an. Komplexe Modelle berücksichtigen die Beeinflussung <strong>der</strong> Zustände<br />

mehrerer Bän<strong>der</strong>. Einfache Modelle vernachlässigen diese Bandkoppelung.<br />

In dieser Arbeit wird untersucht, welchen Einfluß die Verwendung des Quantum-<br />

Well-Bandstrukturmodelles auf die simulierten opto<strong>elektronischen</strong> Verstärkung hat.<br />

Dazu wurden die Energien und Wellenfunktionen <strong>der</strong> Elektronen und Löcher im<br />

Quantengraben analytisch gelöst. Die Algorithmen wurden in einem Programmpaket<br />

in MATLAB r○ umgesetzt.<br />

Im 1. Kapitel wird <strong>der</strong> Halbleiterlaser, die Eigenschaften seiner Strahlung, seine<br />

Anwendung, die Wirkungsweise, die verwendeten Materialien, unterschiedliche<br />

Laserstrukturen und seine Simulation behandelt.<br />

Die Beschreibung von kristallinen Festkörpern und ihren Ladungsträgern schließt<br />

sich an (Kapitel 2).<br />

Die Bandstruktur im homogenen Halbleiter wird durch einen störungstheoretischen<br />

Ansatz <strong>der</strong> Schrödingergleichung – die k·p -Methode – berechnet, die in<br />

5


6 INHALTSVERZEICHNIS<br />

Kapitel 3 behandelt wird.<br />

Diese wird im 4. Kapitel mit dem Envelopenfunktionsformalismus auf Quantum-<br />

Well-Strukturen erweitert. Die komplexen und einfachen Bandstrukturmodelle und<br />

ein Modell zur <strong>Berechnung</strong> von Gitterverspannungen werden vorgestellt.<br />

Die verwendete analytische Lösungsmethode wird im 5. Kapitel allgemein und<br />

für verschieden komplexe Modelle einschließlich des verspannten 6×6-Hamiltonian<br />

beschrieben.<br />

In Kapitel 6 werden die Bandstrukturen für verschiedene Modelle, mit und<br />

ohne Verspannung sowie bei Variation <strong>der</strong> Materialparameter für unterschiedliche<br />

Quantum-Wells berechnet und verglichen.<br />

Die Ermittlung <strong>der</strong> lokalen optischen Verstärkung wird in Kapitel 7 vorgestellt<br />

und für verschiedene Bandstrukturmodelle in Kapitel 8 gegenübergestellt. Das Kapitel<br />

zeigt im weiteren die Ergebnisse einer Laserdiodensimulation unter Verwendung<br />

einer mit dem 4×4-Hamiltonian berechneten Bandstruktur.<br />

Das 9. Kapitel gibt eine Zusammenfassung <strong>der</strong> Arbeit und einen Ausblick.


Kapitel 1<br />

Der Halbleiterlaser<br />

1.1 Eigenschaften <strong>der</strong> Laserstrahlung<br />

Halbleiterlaserdioden fanden in den letzten Jahren vielfältige Anwendung als günstige<br />

Lichtquelle und wegen ihrer beson<strong>der</strong>en Eigenschaften:<br />

1. sehr hohe Bestrahlungsstärke (GW/cm 2 ) ist möglich,<br />

2. Monochromasie,<br />

3. große zeitliche und räumliche Kohärenz, die Interferenz von Strahlen möglich<br />

machen,<br />

4. hohe Frequenz- und Amplitudenstabilität,<br />

5. kurze Laserimpulse von unter 10 fs Dauer.<br />

Der Begriff Laser ist die Abkürzung für ”<br />

Light Amplification by Stimulated<br />

Emission of Radiation“ (Lichtverstärkung durch stimulierte Strahlungsemission),<br />

wird jedoch nicht nur für die optischen Verstärker von sichtbarem Licht, son<strong>der</strong>n<br />

auch von Infrarot- und ultravioletter Strahlung benutzt.<br />

Halbleiterlaser, die ersten wurden 1962 gebaut [2], sind aufgrund ihrer kleinen<br />

Abmessungen (1 − 1000µm), ihrem hohen Wirkungsgrad (bis 50 % [2]) – <strong>der</strong> elektrische<br />

Strom wird direkt in Laserlicht umgewandelt – und den günstigen Produktionskosten<br />

heute vor den Gaslasern die am meisten eingesetzten Laser.<br />

1.2 Anwendungen von Halbleiterlasern<br />

Laserdioden in Compact-Disc-Geräten, Laserpointern, Laserdruckern und Barcodelesern<br />

sind in den letzten Jahren eine alltägliche Technik geworden.<br />

Laserdioden, Photodetektoren, optische Verstärker (engl. semiconductor optical<br />

amplifier (SOA)) und Modulatoren ermöglichen eine neue Entwicklung in <strong>der</strong><br />

Übertragung von Daten und Kommunikation – durch das Einspeisen, Auslesen<br />

und Verstärken von Signalen in Glasfaserkabel. Durch Frequenzmodulation wird<br />

die Bandbreite einer Glasfaser auf über 40 Gbit/s erhöht.<br />

Fokussiertes Laserlicht ist eine ideale Quelle für kontaktloses Messen in Umweltund<br />

an<strong>der</strong>en materialsensitiven Sensoren, <strong>der</strong> Längen- (z.B. interferometrisch) und<br />

Geschwindigkeitsmessung (z.B. Dopplereffekt).<br />

In den Produktionsabläufen werden vermehrt Halbleiterlaser zur thermischen<br />

Bearbeitung, zum Reinigen von Wafern, für die Prozessoptimierung (Lichtschranken<br />

und Musterkennung) u.a. eingesetzt.<br />

7


8 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />

Bedeutende Nutzer von Lasern, auch Halbleiterlasern, sind die Krankenhäuser<br />

geworden. Präzisere Operationen und neue Untersuchungen sind durch sie möglich<br />

geworden. Dagegen schweben durch die Entwicklung von lasergesteuerten Angriffsund<br />

Verteidigungswaffen den Militärs präzise, ”<br />

saubere“ Kriege vor.<br />

Abbildung 1.1 zeigt eine Übersicht über Bereiche, in denen optoelektronische<br />

Halbleiterbauelemente, also<br />

• Laserdioden,<br />

• LEDs (light emitting diodes),<br />

• optische Verstärker (semiconductor optical amplifier (SOA)),<br />

• optische Modulatoren und<br />

• Photodetektoren,<br />

eingesetzt werden.<br />

Abbildung 1.1: Anwendungen von Halbleiterlasern [3].<br />

1.3 Funktionsprinzip<br />

Die Beson<strong>der</strong>heit <strong>der</strong> Strahlung des Lasers beruht auf <strong>der</strong> stimulierten Emission<br />

identischer Photonen, die sich in Wellenlänge und Phase nicht unterscheiden. Jedes<br />

erzeugte Photon erhält die Energie, die beim Übergang eines angeregten Elektrons<br />

in einen niedrigeren Energiezustand frei wird. Die Elektronen können sich nur in


1.3. FUNKTIONSPRINZIP 9<br />

Abbildung 1.2: (a) Bei T = 0 K befinden sich alle Elektronen im Valenzband. (b)<br />

Bei höheren Temperaturen liegen auch Elektronen oberhalb des<br />

Ferminiveaus im Leitungsband.<br />

bestimmten Energiezuständen befinden. Für Halbleiter sind vor allem die Zustände<br />

in dem untersten Leitungsband und den obersten Valenzbän<strong>der</strong>n von Bedeutung,<br />

die eine fundamentale Bandlücke (band gap) E g , in <strong>der</strong> keine Eigenzustände liegen,<br />

trennt.<br />

Die Elektronen unterliegen <strong>der</strong> Fermistatistik, d.h. nach dem Prinzip von Pauli<br />

dürfen sich keine zwei Elektronen im selben Zustand, <strong>der</strong> durch die Quantenzahlen<br />

festgelegt ist, befinden. Nahe des absoluten Temperaturnullpunktes befinden sich<br />

alle Elektronen in möglichst nie<strong>der</strong>energetischen Eigenzuständen (siehe Abbildung<br />

1.2(a)). Die Energie des energiereichsten Elektrons nennt man Fermienergie. Bei<br />

höherer Temperatur können sich Elektronen oberhalb <strong>der</strong> Fermienergie befinden.<br />

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit gibt die Fermifunktion f(E) mit <strong>der</strong> Energie E<br />

an (siehe Gleichung (1.1), [4]). In ihr ist k B die Boltzmannkonstante. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung<br />

ist temperaturabhängig, bei T → 0 K geht f(E) in die<br />

Stufenfunktion über. Bei Halbleitern liegt das Ferminiveau inmitten <strong>der</strong> Bandlücke,<br />

so daß <strong>der</strong> Anteil <strong>der</strong> Elektronen im Leitungsbänd sehr klein ist (siehe Abbildung<br />

1.2(b)).<br />

f(E) =<br />

1<br />

1 + exp E−E F<br />

k B T<br />

(1.1)<br />

Die unbesetzten Zustände im Valenzband werden Löcher genannt, die sich wie<br />

Teilchen durch den Festkörper bewegen und eine eigene effektive Masse haben. Die<br />

Häufigkeit, in einem Zustand ein Loch anzutreffen, ist 1 − f(E).<br />

Durch optisches Pumpen o<strong>der</strong> Injektion von Ladungsträgern können Elektronen<br />

ins Leitungsband und Löcher ins Valenzband gepumpt werden. Diese angeregten<br />

Zustände können mit <strong>der</strong> Einführung von zwei Ferminiveaus, E F c für die Elektronen<br />

und E F v < E F c für die Löcher, beschrieben werden. In Abbildung 1.3 ist dies im<br />

Elektron- Löcher-Modell illustriert.<br />

Aus diesen angeregten Zuständen fallen sie nach ca. 10 −13 s in einen unbesetz-


10 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />

Abbildung 1.3: Elektronen und Löcher wurden in angeregte Zustände gepumpt.<br />

Spontan o<strong>der</strong> durch ein Photon können angeregte Elektron-Loch-<br />

Paare unter Erzeugung eines Photons rekombinieren.<br />

ten Zustand des Valenzbandes. Bei <strong>der</strong> spontanen Emission geschieht dies zeitlich<br />

zufällig, also stochastisch. Die dabei ausgesendeten elektromagnetischen Wellen haben<br />

zufällige Ausbreitungs- und Polarisationsrichtungen; die spontane Emission liefert<br />

keine kohärente Strahlung.<br />

Durch das elektromagnetische Feld eines Photons mit E = ¯hω kann ein angeregtes<br />

Elektron mit <strong>der</strong> Energie E 1 zu einem Übergang in einen unbesetzten Zustand<br />

<strong>der</strong> Energie E 2 = E 1 − ¯hω im Valenzband ”<br />

stimuliert“ werden, wobei ein neues<br />

(zweites) Photon mit E = ¯hω, mit gleicher Richtung, Polarisation und Phase erzeugt<br />

wird; man spricht von <strong>der</strong> stimulierten Emission. Die stimuliert emittierte<br />

Strahlung ist kohärent.<br />

Ebenso kann durch ein Photon mit E = ¯hω ein Elektron aus dem Valenzband mit<br />

E 2 ins Leitungsband in einen Zustand mit E 1 = E 2 + ¯hω gelangen. Dieser Prozeß<br />

wird als Absorption bezeichnet. Die Differenz von stimulierter Emission und Absorption<br />

ist die Verstärkung (engl. Gain) mit dem Verstärkungskoeffizienten g(¯hω)<br />

(siehe Abschnitt 7.1).<br />

Abbildung 1.4: (a) Spontane Emission. (b) Absorption. (c) Stimulierte Emission.<br />

Die Emission, spontane o<strong>der</strong> stimulierte, ist in dieser Beschreibung die Vernichtung<br />

eines Elektron-Loch-Paares mit <strong>der</strong> Erzeugung eines Photons. Bei Absorption<br />

eines Lichtteilchens wird im Leitungsband ein Elektron und im Valenzband ein Loch


1.3. FUNKTIONSPRINZIP 11<br />

erzeugt.<br />

Im aktiven Laser gehen durch die Spiegel o<strong>der</strong> durch Streuung ins Substrat Photonen<br />

”<br />

verloren“. Eine notwendige Bedingung für die Laseraktivität ist deshalb, daß<br />

genügend neue Photonen in <strong>der</strong> aktiven Zone erzeugt werden, also die Rekombination<br />

<strong>der</strong> Absorption überwiegt. Für einen Übergang E 1 → E 2 ist die Rekombination<br />

durch das Produkt aus <strong>der</strong> Besetzungswahrscheinlichkeit <strong>der</strong> Elektronen im Leitungsband<br />

f C (E 1 ) und <strong>der</strong> Wahrscheinlichkeit <strong>der</strong> Nichtbesetzung (1 − f V (E 2 )) <strong>der</strong><br />

Elektronen im Valenzband, d.h. aus <strong>der</strong> Besetzungswahrscheinlichkeit <strong>der</strong> Löcher,<br />

bestimmt; die Absorption dagegen durch f V (E 2 ) (1 − f C (E 1 )). Die Bedingung <strong>der</strong><br />

Laseraktivität ist also<br />

( ) ( )<br />

f C (E 1 ) 1 − f V (E 2 ) − f V (E 2 ) 1 − f C (E 1 ) > 0 (1.2)<br />

Setzt man die Definition <strong>der</strong> Fermifunktion (1.1) in (1.2) ein, erhält man<br />

E FC − E FV > E 1 − E 2 = ¯hω (1.3)<br />

Da die Temperatur in (1.3) nicht enthalten ist, gilt die Bedingung für alle Temperaturen.<br />

Abbildung 1.5: Nur direkte Übergänge tragen zur Laseraktivität bei.<br />

Bedingung für einen Übergang E 1 → E 2 ist die Erhaltung des Gesamtimpulses.<br />

Es muß also für die Wellenvektoren des Elektrons (bzw. Loches) im Valenzband ⃗ k V ,<br />

des Elektrons im Leitungsband ⃗ k C und des Photons ⃗ k P<br />

¯h ⃗ k V + ¯h ⃗ k P = ¯h ⃗ k C<br />

gelten. Da <strong>der</strong> Impuls <strong>der</strong> Elektronen viel größer als <strong>der</strong> <strong>der</strong> Photonen ist, muß <strong>der</strong><br />

Übergang E 1 → E 2 vertikal, d.h. unter konstantem Wellenvektor, stattfinden (siehe<br />

Abbildung 1.5).<br />

⃗ kV = ⃗ k C (1.4)<br />

Diese For<strong>der</strong>ung des direkten Übergangs wird k-selection-rule [5] genannt.<br />

Bei indirekten Halbleitern haben die Minima von Leitungs- und Valenzband verschiedene<br />

k-Vektoren. Für einen solchen indirekten Übergang ist ein Gitterphonon<br />

nötig, das den fehlenden Impuls aufnimmt. Indirekte Übergänge sind zwar möglich,<br />

jedoch viel schwächer als direkte. Dies ist auch ein Grund, warum für kristallines<br />

Silizium keine Laseraktivität beobachtet wurde.


12 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />

1.4 Laserstrukturen<br />

1.4.1 Halbleitermaterialien<br />

Das erste Halbleitermaterial mit Lasereigenschaften war GaAs - und zwar im nahen<br />

Infrarotbereich. Heute gibt es Erfahrungen für eine Vielzahl von Materialien, vor<br />

allem für III-V-Halbleiter (siehe Tabelle 1.1), jedoch existieren weiterhin enorme<br />

Anstrengungen in <strong>der</strong> Forschung an Halbleitermaterialien.<br />

Die wichtigsten Materialsysteme sind Al x Ga 1−x As (siehe z.B. [6, 7, 8, 9, 10,<br />

11]) sowie Ga x In 1−x As y P 1−y (siehe z.B. [12, 13, 14]), die Licht <strong>der</strong> Wellenlängen<br />

im sichtbaren und nahen Infrarotbereich emittieren. Sie haben die Zinkblende-<br />

Gitterstruktur (kubisch), sind direkte Halbleiter, und die Extrempunkte liegen im<br />

Zentrum <strong>der</strong> Brillouinzone, dem Γ-Punkt (siehe Kapitel 2). Die in dieser Arbeit untersuchten<br />

Bandstrukturmodelle beziehungsweise ihre Hamiltonianmatrizen (siehe<br />

z.B. (3.57)) sind für Bandstrukturberechnungen dieser Systeme geeignet.<br />

Tabelle 1.1:<br />

Al Ga In<br />

N AlN GaN InN<br />

P AlP GaP InP<br />

As AlAs GaAs InAs<br />

Sb AlSb GaSb InSb<br />

Wegen ihrer opto<strong>elektronischen</strong> Eigenschaften sind von den III-V-<br />

Halbleitern die binären, ternären und quaternären Verbindungen mit<br />

Al, Ga und In interessant. Von diesen kommen die Phosphide, Arsenide<br />

und Antimonide im (kubisches) Zinkblendegitter vor. GaN<br />

existiert im Wurtzit- und im Zinkblendegitter.<br />

Wegen ihrer breiten Bandlücke und somit einer Emission von blauem und violettem<br />

Licht sind GaN, AlN, InN und ihre entsprechenden ternären und quaternären<br />

Verbindungen interessant (siehe z.B. [15, 16, 17, 18]). Sie haben fast ausschließlich<br />

eine Wurtzitgitterstruktur und sind nicht Gegenstand dieser Arbeit.<br />

1.4.2 p-n-Laserdiode<br />

In Abbildung 1.6 ist <strong>der</strong> schematische Aufbau einer p-n-Laserdiode dargestellt. Sie<br />

ist nichts an<strong>der</strong>es als eine p-n-Diode kombiniert mit einem optischen Resonator.<br />

Die Diode wird in Durchlaßrichtung betrieben, Ladungsträger werden injiziert und<br />

rekombinieren am p-n-Übergang in <strong>der</strong> aktiven Zone.<br />

Die beiden planparallelen Seitenflächen – meist Spaltkanten entlang von Kristallebenen<br />

– bilden einen Fabry-Perot-Resonanzraum. Die an<strong>der</strong>en Seitenflächen<br />

werden rauh belassen, damit Laseroszillationen in an<strong>der</strong>e als die ”<br />

Hauptrichtung“<br />

unterdrückt werden.<br />

Überschreitet die Ladungsträgerdichte am p-n-Übergang einen gewissen Wert,<br />

wird das erzeugte Licht verstärkt, die stimulierte Emission dominiert und die Lichtleistung<br />

steigt stark mit dem Injektionsstrom – das ”<br />

Lasen“ ist gestartet (siehe<br />

Abbildung 1.7). Der Strom an <strong>der</strong> Laserschwelle wird als Schwellstrom (threshold)<br />

I th bezeichnet. Unterhalb <strong>der</strong> Laserschwelle überwiegt die spontane Emission großer<br />

spektraler Breite ähnlich einer Licht-emittierenden Diode (LED).<br />

Der Schwellstrom steigt stark bei steigen<strong>der</strong> Temperatur und liegt bei Raumtemperatur<br />

sehr hoch, für GaAs bei etwa 50 − 100 kA/cm 2 [2, 5]. Ein kontinuierlicher<br />

Betrieb ist bei Raumtemperatur daher nicht möglich.


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7 :<br />

6 9<br />

87<br />

!"#! ¢<br />

% &' $<br />

1.4. LASERSTRUKTUREN 13<br />

Abbildung 1.6: Schematischer Aufbau einer p-n-Laserdiode mit Fabry-Perot-<br />

Resonator. Die aktive Zone ist schraffiert gezeichnet [5].<br />

4 56<br />

(%)*+,-+.0/213 ((%3 *+<br />

¢¡ £ ¤¦¥¨§©¢ ¥¢<br />

Abbildung 1.7: Unterhalb des Schwellstromes dominiert die spontane Emission<br />

die Lichtleistung. Durch die stimulierte Emission, die ab I th<br />

überwiegt, steigt die Lichtausbeute sehr stark mit wachsendem<br />

Injektionsstrom.<br />

1.4.3 Doppel-Heterostruktur-Laser<br />

Durch Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy (MBE)) und Chemische<br />

Gasphasenabscheidung (chemical vapor deposition (CVD)) können verschiedene Materialien<br />

aufeinan<strong>der</strong> gewachsen werden. Solche Strukturen werden als Heterostrukturen<br />

bezeichnet. Laserdioden mit einfacher o<strong>der</strong> doppelter Heterostruktur mit Breiten<br />

kleiner als 1 µm haben erheblich kleinere Schwellströme von ∼ 1 kA/cm 2 [2]<br />

(siehe Abbildung 1.8), da sie durch einen Wechsel des Brechungsindexes das Licht<br />

auf einen kleinen Bereich um die aktive Zone beschränken.<br />

1.4.4 Quantum-Well-Laser<br />

Verringert man die Breite von Doppel-Heterostrukturen auf die Größenordnung <strong>der</strong><br />

de-Broglie-Wellenlänge λ = h/p <strong>der</strong> Elektronen, werden diese in einem Potentialtopf<br />

eingesperrt und die Energien, die sie einnehmen können, werden quantisiert<br />

(siehe Abbildung 1.10). In die Wachstumsrichtung und somit die Richtung <strong>der</strong> Einschränkung<br />

wird o.E.d.A. die z-Achse gelegt.<br />

Es entstehen diskrete Energiebän<strong>der</strong> in k z -Richtung. In <strong>der</strong> QW-Ebene bewegen<br />

sich die Ladungsträger frei (Abbildung 1.9), und es ergibt sich für jedes Subband<br />

eine Energiedispersion in k ‖ -Richtung (Abbildung 1.10). In Gleichung (1.5) ist diese


14 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />

Abbildung 1.8: Der Schwellstrom ist gegenüber <strong>der</strong> Temperatur für drei Laserstrukturen<br />

dargestellt [19].<br />

Abbildung 1.9: In <strong>der</strong> Quantum-Well-Ebene können sich die Ladungsträger frei<br />

bewegen. Senkrecht zu ihr sind sie gebunden.<br />

Dispersion in parabolischer Näherung angegeben.<br />

E = E 0 ± ¯h2<br />

2m ∗ k2 ‖ (1.5)<br />

Diese dünnen Heterostrukturen werden als quantum well (QW) und die Laser als<br />

Quantum-Well-Laser bezeichnet. Vorteil <strong>der</strong> QW-Halbleiterlaser ist die weitere Senkung<br />

<strong>der</strong> Schwellstromdichte um einen Faktor von 2 bis 3 gegenüber konventionellen<br />

Doppel-Heterostruktur-Lasern. Die Temperaturabhängigkeit des Schwellstromes ist<br />

wesentlich schwächer. Dies und ihre hohe Zuverlässigkeit und hohe, geschätzte Lebensdauer<br />

von > 10 5 h haben den QW-Laser zur bevorzugten Laserdiode gemacht.<br />

Dingle et al [6] berechnete erstmals die diskreten Zustände in einer 140 Å bzw.<br />

210 Å dicken GaAs-Schicht in einem Al 0,2 Ga 0,8 As-Substrat anhand <strong>der</strong> gemessenen<br />

Übergangsenergien des Absorptionsspektrums. Zur <strong>Berechnung</strong> benutzten sie das<br />

simple ”<br />

particle in a box“-Modell. Mit dem Envelopenfunktionsformalismus (siehe


1.5. SIMULATIONSWERKZEUG LASER-DESSIS 15<br />

Abbildung 1.10: Potential eines Al x Ga 1−x As-Quantum-Wells. Es bilden sich diskrete<br />

Energiezustände <strong>der</strong> Elektronen (CB) und <strong>der</strong> Löcher<br />

(VB). In k ‖ -Richtung entstehen Subbän<strong>der</strong> mit einer Dispersion<br />

E( ⃗ k ‖ ).<br />

4.1) ist es möglich geworden, bei <strong>der</strong> <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Quantum-Well-Zustände die<br />

störungstheoretischen Modelle von Volumenhalbleitern zu verwenden. In den vorgestellten<br />

Modellen werden die Wechselwirkung <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong>, die Spin-Bahn-Kopplung<br />

und Verspannungen durch Gitteranpassung o<strong>der</strong> äussere Kräfte eingeschlossen.<br />

In neuen Messungen wurde stimulierte Emission bei ultradünnen (< 100 Å)<br />

Quantum-Well-Strukturen beobacht. Kolbas et. al. [20] konnten einen 8, 5 Å-(3 Monolagen)-dicken<br />

AlGaAs-GaAs-QW und einen 6, 6 Å-(2 Monolagen)-dicken GaAs-<br />

InAs-QW zum ”<br />

Lasen“ bringen und damit sogar bei diesen dünnen Strukturen eine<br />

genügend große Besetzungsinversion experimentell nachweisen.<br />

1.5 Simulationswerkzeug LASER-DESSIS<br />

Die Optoelektronikgruppe des Instituts für Integrierte Systeme <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich<br />

(Schweiz) entwickelt innerhalb ihrer Forschung mit u.a.<br />

• kantenemittierenden Laserdioden (engl. edge-emitting laser diodes),<br />

• vertikalen oberflächenemittierenden Dioden (engl. vertical-cavity surface-emitting<br />

diodes),<br />

• Photodetektoren,<br />

• abstimmbaren Lasern (engl. tunable lasers),<br />

• gekoppelter Elektronik-Optik-Thermik-Simulation<br />

das Simulationswerkzeug LASER-DESSIS zur ein- bis völlig dreidimensionalen Modellierung<br />

von opto<strong>elektronischen</strong> Bauelementen und zur numerischen Lösung von<br />

physikalischen Modellen zur Vorhersage ihrer Eigenschaften, wie Strom-Spannungs-<br />

Kennlinie, Lichtintensität, Lichtpolarisation, Schwellstrom u.a. Dieses baut auf dem<br />

Halbleiter-Bauelemente-Simulator DESSIS [21] <strong>der</strong> Partnerfirma ISE AG, Zürich<br />

auf.


16 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />

Abbildung 1.11: Bauelemente, wie Laserdioden, können dreidimensional modelliert<br />

und für die <strong>Berechnung</strong> diskretisiert werden.<br />

Der Simulator modelliert die Stromtransportphänomene im Bauelement. Die<br />

Transportphänomene schließen elektrische, magnetische, elektromagnetische, thermische,<br />

mechanische und optische Effekte ein. Diese Methodik wird Technology<br />

Computer Aided Design (TCAD) genannt und wird im Entwurfsprozeß von Bauelementen<br />

eingesetzt. DESSIS beinhaltet eine Vielzahl von physikalischen Modellen,<br />

die für jede Rechnung hinzugenommen o<strong>der</strong> vernachlässigt werden können. Für die<br />

Transportprozesse kann zwischen einem einfachen Drift- Diffusions-Modell, einem<br />

thermodynamischen, einem hydrodynamischen Modell und <strong>der</strong> Monte-Carlo- Simulation<br />

gewählt werden.<br />

Berechnet werden die Gleichungen selbstkonsistent durch Ermittlung <strong>der</strong> quasistationären<br />

Zustände mit Iterationen nach Newton. Dazu wird das Bauelement in<br />

Elemente diskretisiert. Diese Elemente sind für die 1D-Modellierung Punkte auf einem<br />

Liniengitter, für die 2D-Modellierung Kanten auf einem Flächengitter und für<br />

3D-Modellierung Tetrae<strong>der</strong> und Qua<strong>der</strong> auf einem Volumengitter (siehe Abbildung<br />

1.11). Für jeden Punkt des Injektionsstromes I lassen sich die Simulationsgrößen,<br />

wie optische Intensität, Ladungsdichte und Temperatur, örtlich darstellen (siehe<br />

Abbildung 1.12).<br />

LASER-DESSIS als optoelektronisches Simulationswerkzeug vereint Gleichungen<br />

<strong>der</strong> Elektronik, <strong>der</strong> Optik und ihrer Wechselwirkung [23] (siehe Abbildung 1.12).<br />

Durch die Poissongleichung<br />

∇ · (ε ∇φ) = e(p − n + N + D − N − A ) (1.6)<br />

erhält man den Verlauf des elektrischen Potentials φ aus den freien Ladungen p und<br />

n und den Dichten <strong>der</strong> Dotieratome N + D und N − A<br />

. Die Kontinuitätsgleichungen für<br />

die Elektronen- und Löcherströme sind<br />

(<br />

∇ · ⃗j n = −e R − G + ∂n )<br />

∂t<br />

(<br />

∇ · ⃗j p = −e R − G + ∂p )<br />

∂t<br />

(1.7)<br />

(1.8)


1.5. SIMULATIONSWERKZEUG LASER-DESSIS 17<br />

Z<br />

Y<br />

X<br />

Abbildung 1.12: Die physikalischen Modelle im LASER-DESSIS [22]. Die Größen,<br />

hier die optische Intensität, werden örtlich berechnet.<br />

Die Ladungsträgerdichten werden sowohl im Volumenhalbleiter (engl. bulk) als<br />

auch in Heterostrukturen in Effektivmassennäherung berechnet.<br />

In Energiebalancemodellen werden Wärmeströme hinzugenommen. Mit den thermodynamischen<br />

Gleichungen wird dies für die Gittertemperatur getan, in hydrodynamischen<br />

Gleichungen für die Gitter-, die Elektronen- und die Löchertemperatur.<br />

In Quantum-Well-Strukturen werden Ladungsträger in eine Richtung eingeschränkt.<br />

Die freien Ladungsträger oberhalb des Potentialgrabens werden mit n 3D<br />

und p 3D , die gebundenen mit n 2D und p 2D gekennzeichnet. Die Wechselwirkung dieser<br />

Ladungsträger wird durch die Einfangrate C und die Einfangzeit τ im folgenden<br />

Gleichungssystem behandelt.<br />

)<br />

∇ · ⃗j n 3D = −e<br />

(R − G + C + ∂n3D<br />

∂t<br />

)<br />

∇ · ⃗j p 3D = −e<br />

(R − G + C + ∂p3D<br />

∂t<br />

)<br />

∇ · ⃗j n 2D = −e<br />

(R − G − C + ∂n2D<br />

∂t<br />

)<br />

∇ · ⃗j p 2D = −e<br />

(R − G − C + ∂p2D<br />

∂t<br />

C =<br />

(1 − e η2D −η 3D) ( )<br />

1 − n2D n<br />

3D<br />

N 2D τ<br />

(1.9)<br />

(1.10)<br />

(1.11)<br />

(1.12)<br />

(1.13)<br />

Hier sind η 2D = (eΦ 2D − E C )/k B T und η 3D = (eΦ 3D − E C )/k B T Größen, die<br />

die Quasifermienergien enthalten, N 2D ist die Kapazität des Quantengrabens, d.h.<br />

die maximale Anzahl von Ladungsträgern. R und G enthalten alle strahlenden und<br />

nichtstrahlenden Rekombinations- und Generationsprozesse.<br />

∫<br />

N 2D = D 2D (E)dE (1.14)<br />

Für die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Photonen kann von den Maxwellgleichungen mit<br />

einem Separationsansatz die im Simulator benutzte Helmholtzgleichung <strong>der</strong> Mode


18 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />

k<br />

(<br />

∇ 2 + ε r<br />

ω 2 k<br />

c 2 − γ2 )<br />

Ψ k = 0 (1.15)<br />

mit <strong>der</strong> Übertragungskonstante γ hergeleitet werden. Die Wellenlänge <strong>der</strong> Hauptmode<br />

k = 0 und <strong>der</strong> Nebenmoden wird durch<br />

ω p =<br />

πc √<br />

εr l p (1.16)<br />

mit <strong>der</strong> Länge des Hohlleiters (engl. cavity) l und <strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong> Wellenlängen p,<br />

die in den Hohlleiter paßt, bestimmt. Dabei wird die Wellenlänge genommen, die<br />

am meisten verstärkt wird. Diese liegt beim Maximum <strong>der</strong> G(¯hω)-Kurve, wobei<br />

G(¯hω) die gesamte optische Verstärkung im Bauelement ist.<br />

Durch eine Ratengleichung wird die zeitliche Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Photonenanzahl S k<br />

pro Mode beschrieben.<br />

∂<br />

∂t S k = (G k − L k )S k + R sp<br />

k<br />

(1.17)<br />

∫<br />

G k = g(¯hω)|Ψ k | 2 d 3 r (1.18)<br />

Hier sind G k die Verstärkung <strong>der</strong> Mode k, L k <strong>der</strong> effektive Verlust, z.B. durch<br />

die Strahlung aus den teilverspiegelten Flächen, und g(¯hω) die lokale, stimulierte<br />

Verstärkung. Für einen Quantum-Well als optisch-aktive Zone im Laser ist g(¯hω)<br />

die Verstärkung zwischen den quantisierten Zuständen <strong>der</strong> Elektronen und Löcher.<br />

Die Beschreibung <strong>der</strong> quantisierten Zustände beeinflußt direkt die Verstärkung<br />

<strong>der</strong> Photonen g(¯hω), die spontane Emission R sp<br />

k<br />

und die Ladungsdichten im Quantum-Well<br />

n 2D und p 2D . Dieser Zusammenhang wird genauer in Kapitel 7 beschrieben.<br />

Innerhalb dieser Arbeit konnten mit LASER-DESSIS Simulationen mit Verwendung<br />

<strong>der</strong> durch die k·p -Methode ermittelten nichtparabolischen Quantum-Well-<br />

Bandstruktur durchgeführt werden (siehe Abschnitt 8.2).


Kapitel 2<br />

Der Festkörper<br />

Um die <strong>elektronischen</strong> Eigenschaften <strong>der</strong> opto<strong>elektronischen</strong> Halbleitermaterialien<br />

zu erfahren, muß ihre Struktur betrachtet werden.<br />

Die in <strong>der</strong> Mikro- und Optoelektronik verwendeten Festkörper liegen meist in<br />

einkristalliner Form vor. Die Atome führen Bewegungen kleiner Auslenkung um ihre<br />

Gitterplätze aus. Diese Positionen kehren periodisch wie<strong>der</strong>, d.h. sie haben eine<br />

Translationssymmetrie. Kristalle können auch durch Drehungen und Spiegelungen<br />

um vorgegebene Gitterpunkte o<strong>der</strong> Achsen, durch Koordinateninversion und Gleitspiegelungen<br />

auf sich selbst abgebildet werden. All diese Symmetrieoperationen werden<br />

in <strong>der</strong> Raumgruppe Ĝ des Kristalls zusammengefaßt. Die Raumgruppe enthält<br />

einfache Rotationssymmetrielemente ˆR (mit <strong>der</strong> Drehung um 0 ◦ ) und kombinierte<br />

Rotations-Translations-Elemente { ˆR| ˆT }.<br />

Abbildung 2.1: Zwei kubische Elementarzellen des Zinkblendekristallgitters am<br />

Beispiel von GaAs. Die Kantenlänge eines Würfels ist die Gitterkonstante,<br />

die für GaAs a 0 = 5, 65 Å beträgt (siehe Tabelle 4.2).<br />

In einer Elementarzelle befinden sich jeweils vier Gallium- und<br />

Aluminium-Atome.<br />

III-V-Halbleiter bestehen aus Atomen <strong>der</strong> 3. und <strong>der</strong> 5. Hauptgruppe, die je mit<br />

vier an<strong>der</strong>en Atomen binden (Koordinationszahl 4). Sie kommen in <strong>der</strong> kubischen<br />

Zinkblendestruktur (siehe Abbildung 2.1) o<strong>der</strong> <strong>der</strong> hexagonalen Wurtzitstruktur<br />

vor. Das Zinkblendegitter ist dem Diamantgitter, in dem Silizium und Germanium<br />

19


20 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER<br />

kristallisieren, ähnlich. Die Ähnlichkeit mit dem Diamant beruht auf <strong>der</strong> gleichen<br />

Gesamtzahl von Valenzelektronen, denn das Element <strong>der</strong> 3. Hauptgruppe steuert 3<br />

Valenzelektronen, das <strong>der</strong> 5. Hauptgruppe 5 Valenzelektronen bei, was insgesamt<br />

<strong>der</strong> Valenzelektronenzahl 4 beim Kohlenstoff entspricht. Der Zinkblendekristall besitzt<br />

die Punktgruppe ¯43m (T d in <strong>der</strong> Schönflies’ Symbolik). Die Punktgruppe des<br />

Diamantgitters besitzt eine zusätzliche Inversionssymmetrie.<br />

Die Halbleiter haben eine Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband, die<br />

kleiner als bei Isolatoren ist. So können sich im thermischen Gleichgewicht Elektronen<br />

im Leitungsband befinden. Verlässt ein Elektron sein Gitteratom, fehlt ein<br />

Valenzelektron in einer kovalenten Bindung. Übernimmt ein Valenzelektron eines<br />

an<strong>der</strong>en Atoms seinen Platz, fehlt dort ein Valenzelektron. Diese Fehlstellen werden<br />

als Löcher bezeichnet, die sich in umgekehrter Richtung <strong>der</strong> lückenfüllenden<br />

Elektronen bewegen.<br />

Der Festkörper hat festgelegte Eigenzustände mit Eigenfunktionen. Die Eigenfunktion<br />

jedes Zustandes kann näherungsweise als Produkt <strong>der</strong> Einteilcheneigenfunktionen<br />

betrachtet werden. Die Energie des Zustandes erhält man als Summe<br />

<strong>der</strong> Einteilcheneigenenergien. Man betrachtet die einzelnen Elektronen und Löcher<br />

in Wechselwirkung, d.h. im Potential, des restlichen Festkörpers. Die Translationssymmetrie<br />

des Gitters, also auch dessen Potential,<br />

ˆT V (⃗r) = V (⃗r + ⃗ R) (2.1)<br />

das die Ladungsträger spüren, führt dazu, daß die Elektronen- und Löcherwellenfunktionen<br />

ebenso translationssymmetrisch sind,<br />

ˆT Ψ ⃗k (⃗r) = Ψ ⃗k (⃗r + ⃗ R) = e i⃗ k· ⃗R Ψ ⃗k (⃗r) (2.2)<br />

wobei ⃗ R ein Gittervektor, also eine ganzzahlige Linearkombination <strong>der</strong> (nicht komplanaren)<br />

Basisvektoren ⃗a i , ist. Mit ˆT ist <strong>der</strong> Translationsoperator bezeichnet.<br />

⃗R = n 1 ⃗a 1 + n 2 ⃗a 2 + n 3 ⃗a 3 (2.3)<br />

Da e i⃗ k· ⃗R genauso wie ˆT transformiert (2.2), können die irreduzierbaren Darstellungen<br />

<strong>der</strong> Translationsgruppe ˆT mit ⃗ k bezeichnet werden. Funktionen, die (2.2)<br />

erfüllen, werden Blochfunktionen genannt. Die Gruppe ˆT eines Kristalls <strong>der</strong> Ausdehnung<br />

N 1 ⃗a 1 × N 2 ⃗a 2 × N 3 ⃗a 3 , wobei N 1 , N 2 und N 3 sehr große ganze Zahlen sind,<br />

hat N 1 · N 2 · N 3 Darstellungen.<br />

Es existiert ein k-Raum mit reziprokem Gitter, dessen Gittervektoren ⃗ K<br />

e i ⃗ K· ⃗R = 1 ∀ ⃗ R (2.4)<br />

erfüllen. So definieren ⃗ k und ⃗ k + ⃗ K dieselbe Darstellung. Um die Darstellungen eindeutig<br />

zu benennen, muß man sich auf die Einheitszelle des reziproken Gitters – die<br />

Brillouinzone – beschränken (siehe Abbildung 2.2). Ab nun werden nur die ⃗ k innerhalb<br />

<strong>der</strong> Brillouinzone betrachtet. Ihre Gitterkonstante (Strecke ΓX in Abbildung<br />

2.2) beträgt<br />

k max = 2π<br />

a 0<br />

(2.5)<br />

Wendet man eine Rotation aus <strong>der</strong> Punktgruppe ˆR auf die Wellenfunktion Ψ ⃗k (⃗r)<br />

mit dem Wellenvektor ⃗ k an, wird diese in eine neue Funktion Ψ ⃗k ′(⃗r) mit dem Wellenvektor<br />

⃗ k ′ transformiert. Damit ⃗ k · ⃗R invariant bleibt, erhält man ⃗ k ′ (und ⃗ k · ⃗R ′ ),<br />

indem man dieselbe Rotation ˆR auf ⃗ k im reziproken Raum und auf ⃗ R im Ortsraum<br />

wirken läßt.


21<br />

Abbildung 2.2: Die Brillouinzone – also die Wigner-Seitz-Zelle im reziproken<br />

Gitter – ist für Zinkblendekristalle ein Dodekae<strong>der</strong> [4]. Die Verzerrungen<br />

an <strong>der</strong> Brillouinzonengrenze sind nicht eingezeichnet.<br />

Die Punkte höchster Symmetrie Γ (das Zonenzentrum), X, L, K<br />

und U sowie die Linien hoher Symmetrie ∆, Λ und Σ sind markiert.<br />

In GaAs haben die Elektronenzustände im Zonenzentrum<br />

minimale Energie sowie die Löcherzustände maximale Energie –<br />

man spricht von einem direkten Halbleiter.<br />

Abbildung 2.3: Die Bandstruktur von GaAs an hochsymmetrischen Punkten und<br />

Linien <strong>der</strong> Brillouinzone, bestimmt durch eine Pseudopotentialrechnung<br />

[24]. Für die Optoelektronik ist <strong>der</strong> Bereich um den<br />

Γ-Punkt des ersten Elektronenbandes (Γ 6 um Energie 0 eV ), den<br />

am Zonenzentrum entarteten Bän<strong>der</strong>n <strong>der</strong> leichten und schweren<br />

Löcher (Γ 8 ) und des Spinorbitalbandes (Γ 7 ) interessant.


22 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER<br />

Die Einführung <strong>der</strong> ⃗ k-Vektoren als irreduzierbare Darstellungen ermöglicht eine<br />

Beschränkung auf die Basisvektoren Ψ ⃗k (⃗r), die Blochfunktionen sind [25].<br />

Der Hamiltonian eines freien Elektrons im Kristall ist<br />

− ¯h2<br />

2m 0<br />

∇ 2 + V (⃗r) (2.6)<br />

mit dem Kristallpotential V (⃗r), das die Symmetrie des Gitters besitzt (2.1). Die<br />

Blochfunktionen Ψ ⃗k (⃗r) sind die Eigenvektoren <strong>der</strong> Eigenzustände mit einer Energie<br />

E( ⃗ k), die sich kontinuierlich in <strong>der</strong> Brillouinzone än<strong>der</strong>t. E( ⃗ k) ist in <strong>der</strong> Regel für<br />

jeden Wellenvektor ⃗ k mehrdeutig, was durch E n ( ⃗ k) gekennzeichnet wird. E n ( ⃗ k)<br />

wird als Band und E( ⃗ k) aller Bän<strong>der</strong> als Bandstruktur bezeichnet. Abbildung 2.3<br />

zeigt die Bandstruktur für GaAs an den hochsymmetrischen Punkten und Linien<br />

<strong>der</strong> Brillouinzone (siehe Abbildung 2.2).<br />

Für die Emission von Licht ist <strong>der</strong> Bereich um den Γ-Punkt des ersten Elektronenbandes<br />

(Γ 6 ), <strong>der</strong> am Zonenzentrum entarteten Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> leichten und schweren<br />

Löcher (Γ 8 ) und des Spinorbitalbandes (Γ 7 ) interessant.<br />

Oft wird die Bandstruktur in <strong>der</strong> Nähe des Zonenzentrums mit Parabeln genähert,<br />

die für Elektronenbän<strong>der</strong> nach oben und für Löcherbän<strong>der</strong> nach unten geöffnet sind.<br />

E n ( ⃗ k) = E n0 ±<br />

¯h2<br />

2m ∗ n<br />

k 2 (2.7)<br />

Mit <strong>der</strong> als Effektivmassenansatz bezeichneten Näherung kann man die Kristallelektronen<br />

in den verschiedenen Bän<strong>der</strong>n genau wie Elektronen im Vakuum, jedoch<br />

mit einer neuen, effektiven Masse m ∗ , beschreiben. In Abschnitt 3.8 finden sich effektive<br />

Massen für Al x Ga 1−x As und In x Ga 1−x As für das unterste Leitungsband<br />

und die obersten Valenzbän<strong>der</strong>.<br />

2.1 Ladungsträger im Festkörper<br />

Sowohl für die Poissongleichung und die Kontinuitätsgleichungen <strong>der</strong> Ladungsträger,<br />

wie auch für die Wechselwirkung von Photon und Elektron-Loch-Paar sind<br />

die Ladungsdichten n und p entscheidende Größen. Berechnet werden sie durch<br />

Summation <strong>der</strong> Fermifunktion f über alle Zustände <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> i bzw. j in <strong>der</strong><br />

Brillouinzone. Wegen <strong>der</strong> großen Anzahl <strong>der</strong> Zustände ist eine Integration über den<br />

k-Raum vorzuziehen.<br />

2.1.1 Ladungsdichten im homogenen Halbleiter<br />

Für homogenes Material mit dem Volumen V = L 3 und dem Abstand <strong>der</strong> Zustände<br />

dk = ! ∆k = L 2π<br />

sind die Ladungsdichten [4]<br />

n = 2 V<br />

p = 2 V<br />

∑ ∑<br />

f C (E i ( ⃗ k)) = 1 ∑<br />

4π 3 i ⃗ k i<br />

∑<br />

)<br />

j<br />

∑<br />

⃗ k<br />

(<br />

1 − f V (E j ( ⃗ k))<br />

∫<br />

= 1<br />

4π 3 ∑<br />

f C (E i ( ⃗ k))d 3 k (2.8)<br />

j<br />

∫ (<br />

1 − f V (E j ( ⃗ k)))<br />

d 3 k (2.9)<br />

f C (E) und f V (E) sind die Fermifunktionen mit den Quasifermienergien E F c für<br />

das Leitungsband und E F v für das Valenzband. Im Gleichgewichtsfall ist E F c =<br />

E F v = E F .


2.1. LADUNGSTRÄGER IM FESTKÖRPER 23<br />

f C (E i ( ⃗ k)) =<br />

f V (E j ( ⃗ k)) =<br />

1 − f V (E j ( ⃗ k)) =<br />

1<br />

1 + exp E i( ⃗ k)−E F c<br />

k B T<br />

1<br />

1 + exp E j( ⃗ k)−E F v<br />

k B T<br />

exp Ej(⃗ k)−E F v<br />

k B T<br />

1 + exp E j( ⃗ k)−E F v<br />

k B T<br />

=<br />

1<br />

1 + exp E F v−E j ( ⃗ k)<br />

k B T<br />

(2.10)<br />

(2.11)<br />

(2.12)<br />

Bei den betrachteten Halbleitern befindet sich ein vernachlässigbar kleiner Teil in<br />

höheren Bän<strong>der</strong>n als dem 1. Leitungsband. So kann man sich auf i = 1 beschränken.<br />

Ebenso reicht eine Betrachtung <strong>der</strong> drei obersten Valenzbän<strong>der</strong>.<br />

Integriert man anstatt über den k-Raum über die Energie, kommt im Integranden<br />

die Zustandsdichte D(E) hinzu. In <strong>der</strong> Zustandsdichte <strong>der</strong> Löcher befinden sich<br />

alle Valenzbän<strong>der</strong>.<br />

n =<br />

p =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

D C (E)f C (E)dE (2.13)<br />

( )<br />

D V (E) 1 − f V (E) dE (2.14)<br />

Die Zustandsdichte ist die Anzahl <strong>der</strong> Zustände im Energieintervall (E, E +dE).<br />

Sie ist proportional dem von den Kugelschalen E und E + dE eingeschlossenen<br />

Volumen. Sie ist definiert durch<br />

1 ∑<br />

4π 3 d 3 k = 1 ∑<br />

π 2 k 2 dk = D(E)dE (2.15)<br />

i/j<br />

Auflösen nach D(E) ergibt<br />

D(E) = 1 ∑<br />

π 2 k 2 ·<br />

dk<br />

∣dE<br />

∣ = 1 ∑ k 2<br />

π 2 ∣ dE ∣<br />

i/j<br />

i/j<br />

i/j<br />

dk<br />

(2.16)<br />

Man beachte die Energieabhängigkeit von k = k(E i/j ) in den Gleichungen (2.15)<br />

und (2.16). Die Korrektur durch die Betragszeichen ist notwendig, da bei negativem<br />

dE/dk das Volumen zwischen den Kugelschalen E und E + dE negativ wäre.<br />

Für den homogenen Halbleiter sind mit (2.7) mit <strong>der</strong> Bandkante des Leitungsbandes<br />

E C und den Bandkanten <strong>der</strong> Valenzbän<strong>der</strong> E j0<br />

D C (E) =<br />

D V (E) =<br />

( )<br />

1 2m<br />

∗<br />

3 2 √<br />

E −<br />

2π 2 ¯h 2 EC (2.17)<br />

1 ∑<br />

2π 2<br />

Damit ergibt sich für die Ladungsdichten<br />

j<br />

( 2m<br />

∗<br />

j<br />

¯h 2 ) 3 2 √<br />

Ej0 − E (2.18)<br />

n =<br />

(<br />

kB T m ∗<br />

2<br />

2π¯h 2<br />

p =<br />

( )<br />

kB T<br />

2 ∑<br />

2<br />

2π¯h 2<br />

) 3 ( )<br />

2 EF c − E C<br />

F1/2<br />

k B T<br />

j<br />

m ∗ j<br />

3<br />

2 F 1/2<br />

(<br />

Ej0 − E F v<br />

k B T<br />

)<br />

(2.19)<br />

(2.20)


24 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER<br />

Abbildung 2.4: Zustandsdichte eines Leitungsbandes im homogenen Medium.<br />

mit dem Fermiintegral <strong>der</strong> Ordnung 1/2, das analytisch nicht lösbar ist und durch<br />

Näherungsformeln bestimmt wird [4, 26].<br />

2.1.2 Ladungsdichten im Quantengraben<br />

Für einen Quanten-Well besteht <strong>der</strong> Wellenvektor ⃗ k nur aus zwei Komponenten.<br />

Die Einschränkung sei in z-Richtung. Der Betrag von ⃗ k im Quantengraben | ⃗ k| =<br />

√<br />

k 2 x + k 2 y wird mit k ρ bezeichnet, <strong>der</strong> Winkel in <strong>der</strong> (k x , k y )-Ebene mit φ. Die<br />

Indizes i und j bezeichnen nun die Subbän<strong>der</strong>. Die Ladungsdichten sind deshalb<br />

n(z) = 2 V<br />

=<br />

p(z) = 2 V<br />

=<br />

∑<br />

|φ i (z)| ∑ 2 f C (E i ( ⃗ k))<br />

⃗ k<br />

i<br />

k<br />

1 ∑<br />

∫ max ∫2π<br />

2π 2 |φ i (z)| 2 f C (E i (<br />

L ⃗ k))dφ dk ρ (2.21)<br />

z<br />

i<br />

∑<br />

|φ j (z)| ∑ (1 2 − f V (E j ( ⃗ )<br />

k))<br />

⃗ k<br />

j<br />

k<br />

1 ∑<br />

∫ max ∫<br />

2π 2 |φ j (z)| 2<br />

L z<br />

j<br />

0<br />

0<br />

0<br />

2π<br />

0<br />

(<br />

1 − f V (E j ( ⃗ )<br />

k))<br />

dφ dk ρ (2.22)<br />

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |φ n (z)| 2 des Subbandes n ist das Betragsquadrat<br />

<strong>der</strong> Wellenfunktionen. Bei den von z unabhängigen Gesamtladungsdichten<br />

n und p verschwinden die Terme <strong>der</strong> Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Dies entspricht<br />

wegen <strong>der</strong> Normierung <strong>der</strong> Wellenfunktionen durch (2.23) <strong>der</strong> Integration<br />

von n(z)dz bzw. p(z)dz.<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

|φ n (z)| 2 = 1 (2.23)<br />

Mit den Formeln (2.21) und (2.22) können die Quasiferminiveaus aus den Ladungsdichten<br />

o<strong>der</strong> umgekehrt berechnet werden. Im Lasersimulator sind die Ladungsdichten<br />

im QW durch die Kontinuitätsgleichungen und die Gleichungen <strong>der</strong><br />

Wechselwirkung <strong>der</strong> 3D- und 2D-Ladungsträger (1.9) bis (1.13) bekannt, und die<br />

Quasiferminiveaus sind zu bestimmen.<br />

Mit dem Wechsel des k-Koordinatensystems zu Energiekoordinaten wird mit<br />

1 ∑<br />

2π 2 d 2 k = 1 ∑<br />

kdk = D(E)dE (2.24)<br />

L z πL z<br />

i/j<br />

i/j


2.1. LADUNGSTRÄGER IM FESTKÖRPER 25<br />

die Zustandsdichte definiert und wird zu<br />

D(E) = 1 ∑<br />

k ·<br />

dk<br />

πL z<br />

∣dE<br />

∣ = 1 ∑ k<br />

πL z<br />

∣ dE ∣<br />

i/j<br />

i/j<br />

dk<br />

(2.25)<br />

Die Betragszeichen werden eingeführt, um die Nichtnegativität des Energievolumens<br />

und somit <strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong> Zustände zu gewährleisten.<br />

Die Subbandstruktur ist nichtparabolisch und kann Extrempunkte in <strong>der</strong> Nähe<br />

von k ρ = 0 haben. An diesen Punkten hat die Zustandsdichte wegen dE<br />

dk = 0<br />

Singularitäten.<br />

Es gibt zwei Vereinfachungen, mit denen man die Zustandsdichten auf eine<br />

ähnlich simple Form wie (2.17) und (2.18) bringen kann. Die eine ist ein Effektivmassenfit,<br />

das zweite die Einführung eines Nichtparabolizitätsfaktors α nach Kane<br />

[27].<br />

Der Effektivmassenfit<br />

Im Effektivmassenfit werden an die Subbandstrukturen Parabeln gelegt<br />

E n ( ⃗ k) = E n0 ±<br />

¯h2<br />

2m ∗ n<br />

k 2 ρ (2.26)<br />

und die Zustandsdichte wird mit den Nullpunktsenergien <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />

E i0 und <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> E j0<br />

D C (E) =<br />

D V (E) =<br />

1 ∑<br />

m ∗ i · H(E − E i0 ) (2.27)<br />

π¯hL z<br />

i<br />

1 ∑<br />

m ∗ j · H(E j0 − E) (2.28)<br />

π¯hL z<br />

i<br />

Hier ist H(x) die Heaviside-Stufenfunktion, die die Eigenschaft H(x) = 1 für<br />

x ≥ 0 und H(x) = 0 für x < 0 hat.<br />

Die Ladungsdichte kann in <strong>der</strong> parabolischen Näherung mit dem Fermiintegral<br />

<strong>der</strong> Ordnung 0 ausgedrückt werden.<br />

n(z) =<br />

=<br />

p(z) =<br />

=<br />

( )<br />

kB T ∑<br />

π¯h 2 L z i<br />

( )<br />

kB T ∑<br />

π¯h 2 L z i<br />

(<br />

kB T<br />

) ∑<br />

π¯h 2 L z i<br />

( )<br />

kB T ∑<br />

π¯h 2 L z j<br />

( )<br />

|φ i (z)| 2 m ∗ EF c − E i0<br />

i F 0<br />

k B T<br />

(<br />

|φ i (z)| 2 m ∗ i ln 1 + exp E )<br />

F c − E i0<br />

k B T<br />

( )<br />

|φ j (z)| 2 m ∗ Ej0 − E F v<br />

j F 0<br />

k B T<br />

(<br />

|φ j (z)| 2 m ∗ j ln 1 + exp E )<br />

j0 − E F v<br />

k B T<br />

(2.29)<br />

(2.30)<br />

Ein Beispiel für eine Löchersubbandstruktur ist Abbildung 2.5.<br />

Definitionsgemäß legt man in <strong>der</strong> Effektivmassennäherung die Parabeln an die<br />

Subbän<strong>der</strong> im Γ-Punkt, wie in Abbildung 2.6(a) dargestellt ist. Die tatsächliche<br />

Subbandstruktur weicht jedoch meist stark von <strong>der</strong> Parabel ab, so daß ein Fit <strong>der</strong><br />

Parabel um einen größeren Bereich um den Γ-Punkt, wie in Abbildung 2.6(b) die<br />

ungenäherte Zustandsdichte besser approximiert.


26 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER<br />

Abbildung 2.5: Zustandsdichte von parabolischen Subbän<strong>der</strong>n (Löcher).<br />

Abbildung 2.6: (a) Parabolischer Fit am Zonenzentrum Γ mit m ∗ = 0, 18 m 0 ,<br />

(b) über einen größeren Bereich (m ∗ = 0, 67 m 0 ). Die Krümmung<br />

<strong>der</strong> Kurven und damit die effektiven Massen unterscheiden sich<br />

stark. Der Nullpunkt <strong>der</strong> Energieskala ist die Valenzbandkante<br />

des Substrates.<br />

Kane’sche Näherung [27]<br />

Die Kane’sche Näherung ist<br />

(<br />

(E n ( ⃗ k) − E n0 ) 1 + α<br />

(E n ( ⃗ ) )<br />

k) − E n0 = ± ¯h2<br />

2m ∗ kρ 2 (2.31)<br />

n<br />

Mit ihr werden die Zustandsdichten zu<br />

D C (E) =<br />

D V (E) =<br />

1 ∑ (<br />

m ∗ i · 1 + α )<br />

π¯hL z 2 (E F c − E i0 ) H(E F c − E i0 ) (2.32)<br />

i<br />

1 ∑ (<br />

m ∗ j · 1 + α )<br />

π¯hL z 2 (E j0 − E F v ) H(E j0 − E) (2.33)<br />

j


Kapitel 3<br />

Die Bandstruktur im<br />

homogenen Halbleiter<br />

3.1 Störungstheoretischer Ansatz<br />

Zur Behandlung des quantenmechanischen Eigenwertproblems, <strong>der</strong> Schrödingergleichung<br />

ĤΨ = EΨ (3.1)<br />

wird als eine wichtige Methode ein störungstheoretischer Ansatz verwendet [4]. In<br />

seiner herkömmlichen Form hat <strong>der</strong> Operator Ĥ die Form Ĥ = Ĥ0 + ˆV , wobei die<br />

Eigenwerte und Eigenzustände <strong>der</strong> ungestörten Schrödingergleichung<br />

Ĥ 0 Φ n = ɛ n Φ n (3.2)<br />

bekannt sind. Gegenüber Ĥ0 ist die Störung ˆV klein. Die Störungstheorie ist eine<br />

Entwicklung <strong>der</strong> Eigenwerte und Eigenzustände von Ĥ nach den bekannten<br />

genäherten Eigenwerten und Eigenzuständen von Ĥ0 in Potenzen des Störungsparameters<br />

λ. Häufig werden nur die erste und zweite Ordnung betrachtet.<br />

Die Eigenfunktion Ψ n und ihre Eigenenergie E sind bis zur ersten bzw. zweiten<br />

Ordnung <strong>der</strong> Störung:<br />

Ψ n = Φ n + ∑ m≠n<br />

E n = ɛ n + V nn + ∑ m≠n<br />

V mn<br />

Φ<br />

E n (0) − E m<br />

(0) m (3.3)<br />

|V mn | 2<br />

E (0)<br />

n − E (0)<br />

m<br />

(3.4)<br />

mit<br />

∫<br />

V mn =<br />

Φ ∗ m ˆV Φ n d 3 r. (3.5)<br />

3.2 Matrixformulierung <strong>der</strong> Schrödingergleichung<br />

Das Problem (3.1) kann auch direkt gelöst werden, indem die Eigenfunktionen von<br />

Ĥ durch eine Linearkombination <strong>der</strong> Eigenfunktionen Φ n (n = 1, 2, .., N) von Ĥ0<br />

dargestellt werden.<br />

27


28 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />

Ψ =<br />

N∑<br />

c n Φ n (3.6)<br />

n=1<br />

Setzt man (3.6) in (3.1) ein und wendet das innere Produkt mit Φ m an, ergibt<br />

sich für einen orthonormierten Satz von Funktionen {Φ n }<br />

mit den Matrixelementen<br />

N∑<br />

(H mn − Eδ mn ) c n = 0 (3.7)<br />

n=1<br />

∫<br />

H mn = Φ ∗ mĤΦ n (3.8)<br />

Die Eigenwertgleichung (3.7) kann gelöst werden, indem man<br />

setzt.<br />

det (H mn − Eδ mn ) = 0 (3.9)<br />

3.3 LÖWDIN’s Methode <strong>der</strong> Störungstheorie<br />

LÖWDIN’s Methode <strong>der</strong> Störungstheorie [1]<br />

Die Eigenzustände n werden in zwei Klassen (A) und (B) unterteilt, wobei vor<br />

allem die Zustände <strong>der</strong> Klasse (A) interessieren, und <strong>der</strong> Einfluß <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong><br />

Klasse (B) als Störung auf die Zustände <strong>der</strong> Klasse (A) behandelt wird. Das Eigenwertproblem<br />

(3.7) kann nun geschrieben werden als<br />

und man erhält mit<br />

(E − H mm ) c m = ∑ nɛA<br />

n≠m<br />

H mn c n + ∑ αɛB<br />

α≠m<br />

H mα c α (3.10)<br />

h mn =<br />

c m = ∑ nɛA<br />

n≠m<br />

H mn<br />

E − H mn<br />

h mn c n + ∑ αɛB<br />

α≠m<br />

h mα c α (3.11)<br />

Die linke Summe ist über die Zustände <strong>der</strong> Klasse A, die rechte Summe über die<br />

Zustände <strong>der</strong> Klasse B. Man ersetzt nun die Zustände <strong>der</strong> Klasse B, indem man in<br />

<strong>der</strong> rechten Summe die Koeffizienten c durch (3.11) iterativ ersetzt. Dieses Vorgehen<br />

führt zu folgendem Ausdruck:<br />

c m = ∑ nɛA<br />

n≠m<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝ h mn + ∑ h mα h αn +<br />

αɛB<br />

α≠m<br />

Führt man die Matrixelemente<br />

U A mn = H mn +<br />

∑ αɛB<br />

α≠m,n<br />

H mα H αn<br />

E − H αα<br />

+<br />

∑<br />

α,βɛB<br />

α,β≠m, α≠β<br />

∑<br />

α,βɛB<br />

α,β≠m,n, α≠β<br />

⎞<br />

h mα h αβ h βn + · · · ⎟<br />

⎠ c n (3.12)<br />

H mα H αβ H βn<br />

(E − H αα )(E − H ββ ) + · · · (3.13)


3.3. LÖWDIN’S M<strong>ETH</strong>ODE DER STÖRUNGSTHEORIE 29<br />

ein, erhält man<br />

c m = ∑ nɛA<br />

n≠m<br />

U A mn − H mn δ mn<br />

E − H mn<br />

c n (3.14)<br />

Es lässt sich zeigen [1]: Ein Eigenwertproblem (3.7) hinsichtlich eines Systems<br />

aus zwei Klassen (A) und (B) kann auf die Klasse (A) reduziert werden, wenn die<br />

Matrixelemente H mn durch die Elemente U A mn ersetzt werden, in denen <strong>der</strong> Einfluß<br />

<strong>der</strong> Klasse (B) durch die Iterationsvorschrift (3.12) berücksichtigt wurde.<br />

Das Theorem hat diese beiden grundlegenden Gleichungen zur Folge:<br />

A∑ ( )<br />

U<br />

A<br />

mn − Eδ mn cn = 0 m ɛ A (3.15)<br />

nɛA<br />

c α =<br />

A∑<br />

nɛA<br />

U A αn<br />

E − H αα<br />

c n α ɛ B (3.16)<br />

Man beachte, daß <strong>der</strong> Term −H αn δ αn in (3.16) wegen α ≠ m ∀ nɛA, αɛB verschwindet.<br />

Wurden die Koeffizienten c n <strong>der</strong> Klasse (A) ermittelt, erhält man mit (3.16) die<br />

Koeffizienten c n <strong>der</strong> Klasse (B). Die normierte Wellenfunktion ist damit<br />

∑<br />

Ψ = ∑ n a nΦ n<br />

n |a n| 2 (3.17)<br />

Die notwendige Bedingung für die Konvergenz <strong>der</strong> Iteration (3.12) ist<br />

∣ H mn ∣∣∣<br />

∣<br />

≪ 1 m, n ɛ B (3.18)<br />

E − H mm<br />

Besteht die Klasse A nur aus einem Zustand n und die Klasse B aus den restlichen,<br />

ist <strong>der</strong> genäherte Eigenwert dieses Zustandes<br />

E = U A nn = H nn + ∑ α≠n<br />

H nα H αn<br />

E − H αα<br />

+<br />

∑<br />

α,β≠n<br />

α≠β<br />

H nα H αβ H βn<br />

(E − H αα )(E − H ββ ) + · · · (3.19)<br />

Nun seien Zustände <strong>der</strong> Klasse A entartet, d.h. daß die Diagonalelemente H kk<br />

dieser Zustände k exakt o<strong>der</strong> beinahe gleich sind, also<br />

H kk ≃ E A (3.20)<br />

für die erste o<strong>der</strong> für höhere Ordnungen. Die normale Herangehensweise zur Behandlung<br />

<strong>der</strong> entarteten Zustände ist, die Matrix H nn durch lineare Transformationen<br />

<strong>der</strong> genäherten Wellenfunktionen Φ n bezüglich <strong>der</strong> entarteten Zustände zu<br />

diagonalisieren, so daß die gewöhnliche Störungsgleichung anwendbar ist.<br />

Löwdin’s Methode behandelt die entarteten Zustände jedoch auf einfachere Weise.<br />

Man stellt erst die Gleichung (3.13) auf und behandelt die Entartung in dem<br />

System (3.15). Die Koeffizienten c n <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong> Klasse A erhält man aus dem<br />

linearen System (3.15) sowie die Koeffizienten <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong> Klasse B aus (3.16).<br />

Wegen (3.20) ist E ≈ E A und U A mn wird in zweiter Ordnung<br />

U A mn = H mn +<br />

∑ αɛB<br />

α≠m,n<br />

H mα H αn<br />

E A − H αα<br />

(3.21)


30 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />

3.4 k·p -Methode<br />

Zur Untersuchung <strong>der</strong> <strong>elektronischen</strong> und opto<strong>elektronischen</strong> Eigenschaften eines<br />

Halbleiters, ist die Kenntnis seiner Bandstruktur nötig. Die untersuchten Ma terialien<br />

GaAs, AlGas und Al x Ga 1−x As kommen in einem Zinkblendegitter vor und<br />

sind direkte Halbleiter (siehe Kapitel 2). D.h. die Extrempunkte <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> liegen<br />

im Brillouinzonenzentrum Γ, also bei k 0 = 0, wie man durch Untersuchung <strong>der</strong> Symmetrieeigenschaften<br />

nachweist. Da dadurch die Elektronen nahe des Minimums des<br />

Leitungsbandes und die Löcher in <strong>der</strong> Nähe des Valenzbandmaximums konzentriert<br />

sind, ist die Kenntnis <strong>der</strong> Bandstruktur in <strong>der</strong> Nähe des Brillouinzonenzentrums<br />

ausreichend.<br />

Im Kristall wird ein Ladungsträger durch eine gitterperiodisch modulierte ebene<br />

Welle repräsentiert, d.h. seine Wellenfunktion läßt sich als Produkt einer gitterperiodischen<br />

Blochfunktion u n ⃗ k<br />

(⃗r) und e i⃗ k·⃗r darstellen :<br />

Ψ n ⃗ k<br />

(⃗r) = e i⃗ k·⃗r u n ⃗ k<br />

(⃗r) (3.22)<br />

Ist u = const, wird Ψ = c · e i⃗k·⃗r und das Elektron verhält sich wie ein freies<br />

Teilchen und wird durch eine ebene Welle repräsentiert.<br />

So ist die Schrödingergleichung<br />

( )<br />

ˆp<br />

2<br />

Ĥ 0 (ˆp)Ψ n ⃗ k<br />

(⃗r) = + V (⃗r) Ψ<br />

2m n ⃗ k<br />

(⃗r) = E n ( ⃗ k)Ψ n ⃗ k<br />

(⃗r) (3.23)<br />

0<br />

Mit ˆp = ¯h i<br />

∇ wird aus (3.23) und (3.22)<br />

e i⃗ k·⃗r<br />

(− ¯h2<br />

)<br />

(− ¯h2 ∇ 2 + V (⃗r) e i⃗k·⃗r u<br />

2m n ⃗ k<br />

(⃗r)<br />

0<br />

)<br />

= E n ( ⃗ k) · e i⃗k·⃗r u n ⃗ k<br />

(⃗r)<br />

u n ⃗ k<br />

(⃗r) = E n ( ⃗ k)e i⃗k·⃗r u n ⃗ k<br />

(⃗r) (3.24)<br />

(∇ 2 + 2i<br />

2m ⃗ k∇ − k 2 ) + V (⃗r)<br />

0<br />

(<br />

)<br />

ˆp 2<br />

+ ¯h⃗ kˆp<br />

+ ¯h2 k 2<br />

+ V (⃗r)<br />

2m 0 m 0 2m 0<br />

u n ⃗ k<br />

(⃗r) = E n ( ⃗ k)u n ⃗ k<br />

(⃗r)<br />

Die k·p -Methode ist eine Variante <strong>der</strong> Störungstheorie, bei <strong>der</strong> die Zustände<br />

bei k > 0 um k 0 entwickelt werden. Dabei werden für kleine k die beiden Terme<br />

Ĥ 1 = ¯h2 k 2<br />

2m 0<br />

,<br />

als Störung von (3.23) bei k 0 = 0 betrachtet. Bei k 0 ist<br />

Ĥ 2 = ¯h⃗ kˆp<br />

m 0<br />

(3.25)<br />

( )<br />

ˆp<br />

2<br />

+ V (⃗r) u<br />

2m n ⃗ k0<br />

(⃗r) = E n ( ⃗ k 0 )u n ⃗ k0<br />

(⃗r) (3.26)<br />

0<br />

Dabei bildet nur Ĥ2 Interbandmatrixelemente wie in (3.5).<br />

Der k·p -Hamiltonian nahe des Zonenzentrums ist somit<br />

Ĥ k· = Ĥ0 + ¯h2 k 2<br />

2m 0<br />

+ ¯h⃗ kˆp<br />

m 0<br />

(3.27)<br />

Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Ladungsträger sind in dem störungstheoretischen Ansatz<br />

eine Linearkombination <strong>der</strong> orthonormierten Blochfunktionen u n (n=1,2,..,N)<br />

(3.3).


3.5. K·P -HAMILTONIAN MIT SPIN-BAHN-WECHSELWIRKUNG 31<br />

Ψ n ⃗ k<br />

(⃗r) =<br />

N∑<br />

n=1<br />

In Matrixformulierung (siehe (3.7)) erhält man<br />

⎧<br />

∑ ⎨(E ⎩ m ( ⃗ k 0 ) + ¯h2 k 2 )<br />

− E δ mn + ¯h⃗ kp mn<br />

+ ¯h2 ∑<br />

2m 0 m 0 m 2 0<br />

n<br />

mit den Momentummatrixelementen<br />

⃗p mn = ⃗p m ⃗ k0 ,n ⃗ k 0<br />

= 1 V<br />

(<br />

c n e i⃗ k·⃗r ) u n ⃗ k<br />

(r) (3.28)<br />

∫<br />

⎫<br />

∑ p α ⎬<br />

nn<br />

k α k ′pβ n ′ n<br />

β<br />

E n (k 0 ) − E n ′(k 0 ) ⎭ c m = 0<br />

α,β n ′ ≠n<br />

(3.29)<br />

Ψ ∗ m ⃗ k 0<br />

ˆp Ψ n ⃗ k0<br />

d 3 r (3.30)<br />

α und β laufen in (3.29) und (3.31) über die drei Raumrichtungen des p-Vektors<br />

x,y und z.<br />

Die Entwicklung <strong>der</strong> Eigenenergie bis zur 2.Ordnung <strong>der</strong> Störung (siehe (3.4))<br />

ist<br />

E n ( ⃗ k) = E n (k 0 ) + ¯h⃗ kp mn<br />

m 0<br />

∑<br />

α=x,y,z<br />

p α nn +<br />

∑<br />

α,β=x,y,z<br />

wobei die eingeführten richtungsabhängigen effektiven Massen durch<br />

1<br />

= 1 ∑<br />

m αβ m 2 0<br />

n ′ ≠n<br />

p α nn ′pβ n ′ n + pβ nn ′pα n ′ n<br />

E n (k 0 ) − E n ′(k 0 )<br />

¯h 2<br />

2m αβ<br />

k α k β (3.31)<br />

+ 1 m 2 δ αβ (3.32)<br />

0<br />

gegeben sind.<br />

In den untersuchten direkten Halbleitermaterialen liegt sowohl das Maximum<br />

jedes Valenzbandes, als auch das Minimum jedes Leitungsbandes am Γ-Punkt. So<br />

sind die ersten Ableitungen ∂E n /∂k α = p α nn bei k 0 = 0 Null, und es verschwinden<br />

alle Terme p nn . Durch Symmetriebetrachtungen in <strong>der</strong> Brillouinzone und Auswahlregeln<br />

wird die Anzahl <strong>der</strong> nicht zu Null verschwindenen Konstanten p α und 1/m αβ<br />

ermittelt.<br />

Es gibt dafür zwei wesentliche Ansätze, das Kane’sche Modell (siehe Abschnitt<br />

3.6) und das Luttinger-Kohn-Modell (siehe Abschnitt 3.7).<br />

3.5 k·p -Hamiltonian mit Spin-Bahn-Wechselwirkung<br />

Wird die Wechselwirkung von Spin- und Bahndrehimpuls berücksichtigt, kommt zu<br />

dem Hamiltonian in (3.23) ein Term für die Spin-Bahn-Wechselwirkung hinzu :<br />

mit<br />

Ĥ = Ĥ0 +<br />

¯h<br />

4m 2 0 c2 =<br />

σ ·∇V × ˆp (3.33)<br />

Ĥ 0 =<br />

ˆp2<br />

2m 0<br />

+ V (⃗r) (3.34)<br />

Dabei ist σ = die Pauli-Spin-Matrix mit den Komponenten<br />

[ ] [ ] [<br />

= 0 1 = 0 −i = 1 0<br />

σ x =<br />

σ<br />

1 0 y =<br />

σ<br />

i 0 z =<br />

0 −1<br />

]<br />

(3.35)


32 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />

mit den Spins<br />

[<br />

1<br />

↑=<br />

0<br />

]<br />

[<br />

0<br />

↓=<br />

1<br />

]<br />

(3.36)<br />

Aus <strong>der</strong> Schrödingergleichung für die Blochfunktionen mit dem Hamiltonian<br />

(3.33) erhält man für die gitterperiodischen Funktionen u n ⃗ k<br />

(⃗r) ähnlich zu (3.24)<br />

Ĥu n ⃗ k<br />

(⃗r) =<br />

{ ˆp<br />

2<br />

2m 0<br />

+ V (⃗r) + ¯h2 k 2<br />

2m 0<br />

+ ¯h m 0<br />

⃗ k · ˆp +<br />

¯h<br />

4m 2 0 c2 =<br />

σ ·∇V × ˆp +<br />

}<br />

¯h =<br />

σ ·∇V × ⃗ k<br />

4m 2 0 c2<br />

×u n ⃗ k<br />

(⃗r) = E n ( ⃗ k)u n ⃗ k<br />

(⃗r) (3.37)<br />

Da ¯h ⃗ k ≪ ˆp in <strong>der</strong> Nähe des Brillouinzonenzentrums, ist <strong>der</strong> vierte Term klein<br />

verglichen mit dem dritten Term.<br />

Abbildung 3.1: Im Kane’schen Modell <strong>der</strong> 4 Bän<strong>der</strong> HH, LH, SO und CB werden<br />

nur diese im Hamiltonian H berücksichtigt.<br />

3.6 Das Kane’sche Modell<br />

Das Kane’sche Modell nimmt einen Teil <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> in die Störungsrechnung hinein.<br />

Die an<strong>der</strong>en werden nicht berücksichtigt (siehe Abbildung 3.1). Die Eigenfunktionen<br />

bei k werden als Linearkombinationen <strong>der</strong> Nullpunktseigenfunktionen dargestellt :<br />

u n ⃗ k<br />

(r) = ∑ m<br />

c m u m0 (⃗r) (3.38)<br />

Nimmt man die Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> schweren (HH) und <strong>der</strong> leichten Löcher (LH), das<br />

Spin-Orbit-Split-off-Band (SO) und das unterste Leitungsband (CB) in das Kane’sche<br />

Modell, wählt man als System von Eigenfunktionen |S ↑>, |S ↓>, |X ↑>,<br />

|Y ↑>, |Z ↑>,|X ↓>,|Y ↓> und |Z ↓> und erhält eine 8×8-Hamiltonmatrix, die


3.7. DAS LUTTINGER-KOHN-MODELL 33<br />

durch eine unitäre Transformation blockdiagonal wird mit zwei identischen 4×4-<br />

Matrizen<br />

Ĥ K =<br />

3.7 Das Luttinger-Kohn-Modell<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎤<br />

E g 0 kP 0<br />

0 − 2 3 ∆ √ 2<br />

3 ∆ 0<br />

√ ⎥<br />

kP 2<br />

3 ∆ − 1 3 ∆ 0 ⎦ (3.39)<br />

0 0 0 0<br />

Das Luttinger-Kohn-Modell beruht auf <strong>der</strong> Löwdinschen Methode (siehe 3.3). In<br />

seiner Originalform werden die Bän<strong>der</strong> HH, LH und SO - jeweils spinentartet - in<br />

die Klasse A und alle Leitungsbän<strong>der</strong> und die tieferliegenden Valenzbän<strong>der</strong> in die<br />

Klasse B (siehe Abbildung 3.2) genommen.<br />

u ⃗k =<br />

A∑<br />

c n ( ⃗ k)u n0 (⃗r) +<br />

n<br />

B∑<br />

c α ( ⃗ k)u α0 (⃗r) (3.40)<br />

α<br />

Abbildung 3.2: Das Luttinger-Kohn-Modell mit den Bän<strong>der</strong>n HH, LH und SO in<br />

<strong>der</strong> Klasse A und den restlichen in <strong>der</strong> Klasse B.<br />

Die Zonenzentrum-Blochfunktionen u n0 für die Bän<strong>der</strong> HH, LH und SO <strong>der</strong><br />

Klasse A sind<br />

〉<br />

∣<br />

u 10 (⃗r) = ∣u h ↑<br />

= ∣ 3<br />

2 , + 2〉 3 = − √2 1<br />

|(X + iY ) ↑〉 ,<br />

〉<br />

∣<br />

u 20 (⃗r) = ∣u l ↑<br />

= ∣ √<br />

3<br />

2 , + 2〉 1 = − √6 1 2<br />

|(X + iY ) ↓〉 +<br />

3<br />

|Z ↑〉 ,<br />

〉<br />

∣<br />

u 30 (⃗r) = ∣u l ↓<br />

= ∣ √<br />

3<br />

2 , − 2〉 1 = √6 1 2<br />

|(X + iY ) ↑〉 +<br />

3<br />

|Z ↓〉 ,<br />

〉<br />

∣<br />

u 40 (⃗r) = ∣u h ↓<br />

= ∣ 3<br />

2 , − (3.41)<br />

2〉 3 = √2 1<br />

|(X − iY ) ↓〉 ,<br />

〉<br />

∣<br />

u 50 (⃗r) = ∣u s ↑<br />

= ∣ 1<br />

2 , + 〉 1<br />

2 = √3 1<br />

|(X + iY ) ↓〉 + √ 1<br />

3<br />

|Z ↑〉 ,<br />

〉<br />

∣<br />

u 60 (⃗r) = ∣u s ↓<br />

= ∣ 1<br />

2 , − 〉 1<br />

2 = √3 1<br />

|(X − iY ) ↑〉 − √ 1<br />

3<br />

|Z ↓〉


34 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />

In <strong>der</strong> Basis |J, m J 〉 ist J <strong>der</strong> Gesamtdrehimpuls und m J seine Projektion auf<br />

die z-Achse.<br />

Für den ungenäherten Hamiltonian Ĥ <strong>der</strong> Eigenwertgleichung<br />

Ĥu n ⃗ k<br />

(⃗r) = E n ( ⃗ k)u n ⃗ k<br />

(⃗r) (3.42)<br />

wird (3.37) mit Spin-Bahn-Wechselwirkung angenommen :<br />

mit<br />

Ĥ = Ĥ0 + ¯h2 k 2<br />

+ ¯h<br />

2m 0 4m 2 ∇V × ˆp· =σ<br />

0 c2 +Ĥ′ (3.43)<br />

Ĥ 0 =<br />

p 2<br />

+ V (⃗r)<br />

2m 0<br />

(3.44)<br />

Ĥ ′ = ¯h ⃗ k · ˆΠ<br />

m 0<br />

(3.45)<br />

Nach Löwdin’s Methode wird die Eigenwertgleichung<br />

ˆΠ = ˆp + ¯h<br />

4m 0 c 2 =<br />

σ ×∇V (3.46)<br />

gelöst. Man erhält<br />

A∑<br />

(Umn A − Eδ mn )c m ( ⃗ k) = 0 (3.47)<br />

n<br />

Umn A =<br />

[E m (0) + ¯h2 k 2 ]<br />

δ mn + ¯h2 k 2<br />

2m 0 m 2 0<br />

B∑<br />

∑<br />

n ′ ≠m,n α,β<br />

k α k β p α mn ′pβ n ′ n<br />

E 0 − E n ′<br />

(3.48)<br />

Man kann D mn = U A mn in einen Term ohne k und einen mit k trennen :<br />

mit<br />

D mn = E m (0)δ mn + ∑ α,β<br />

[<br />

Dmn αβ = ¯h2 k 2<br />

δ mn δ αβ + 1 ∑<br />

B<br />

2m 0 m 0<br />

n ′<br />

D αβ<br />

mnk α k β (3.49)<br />

p α mn ′pβ n ′ n + pβ mn ′pα n ′ n<br />

E 0 − E n ′<br />

]<br />

(3.50)<br />

Explizites Ausrechnen für kubische Halbleiter ergibt drei unabhängige Konstanten<br />

[28]<br />

N = ¯h2<br />

2m 0<br />

+ ¯h2<br />

m 2 0<br />

M = ¯h2 + ¯h2<br />

2m 0 m 2 0<br />

B∑<br />

L = ¯h2<br />

m 2 0<br />

n<br />

B∑<br />

n<br />

B∑<br />

n<br />

p x 1np x n1<br />

E 0 − E n<br />

(3.51)<br />

p y 1n py n1<br />

E 0 − E n<br />

(3.52)<br />

p x 1np y n2 + py 1n px n2<br />

E 0 − E n<br />

(3.53)<br />

und definiert die sogenannten Luttingerparameter γ 1 , γ 2 und γ 3 [29] als


3.7. DAS LUTTINGER-KOHN-MODELL 35<br />

γ 1 = − 2m 0<br />

¯h 2<br />

γ 2 = − 2m 0<br />

¯h 2<br />

γ 3 = − 2m 0<br />

¯h 2<br />

N + 2M<br />

3<br />

N − M<br />

6<br />

L<br />

6<br />

(3.54)<br />

(3.55)<br />

(3.56)<br />

So erhält man mit den Basisfunktionen (3.41) den 6×6-Luttinger-Kohn- Hamiltonian<br />

:<br />

⎡<br />

Ĥ LK = −<br />

⎢<br />

⎣<br />

mit<br />

P + Q −S R 0 − √ 2<br />

2 S √ ⎤<br />

2R<br />

−S ∗ P − Q 0 R − √ √<br />

2Q 6<br />

2 S<br />

R ∗ √<br />

0 P − Q S 6<br />

√ 2 S∗ 2Q<br />

0 R ∗ S ∗ P + Q − √ 2R ∗ − √ 2<br />

2 S∗<br />

2 S∗ − √ 2Q ∗ √ 6<br />

2 S −√ ⎥<br />

2R P + ∆ 0 ⎦<br />

√ √<br />

2R<br />

∗ 6<br />

√<br />

2 S∗ 2Q<br />

∗<br />

− √ 2<br />

2 S 0 P + ∆<br />

− √ 2<br />

(3.57)<br />

P = ¯h2 γ 1<br />

2m 0<br />

(k 2 x + k 2 y + k 2 z)<br />

Q = ¯h2 γ 2<br />

2m 0<br />

(k 2 x + k 2 y − 2k 2 z)<br />

R = ¯h2<br />

2m 0<br />

√<br />

3<br />

[<br />

−γ2 (k 2 x − k 2 y) + i2γ 3 k x k y<br />

]<br />

S = ¯h2 γ 3<br />

2m 0<br />

√<br />

3(kx − ik y )k z<br />

(3.58)<br />

wobei ∗ die komplexe Konjugation bezeichnet.<br />

Die Luttingerparameter sind materialabhängig und werden experimentell o<strong>der</strong><br />

durch ab-initio-Bandstrukturberechnungen bestimmt.<br />

Abbildung 3.3: Die durch 6×6-k·p-Hamiltonian berechnete Bandstruktur von<br />

GaAs in drei Richtungen <strong>der</strong> Brillouinzone.<br />

.


36 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />

In <strong>der</strong> Punktgruppe des Zinkblendegitter ¯43m bzw. T d [25, 30] fehlt eine Inversionsymmetrie<br />

<strong>der</strong> Diamantpunktgruppe. Dies führt zu einer Spinaufspaltung an den<br />

Punkten Γ 6 , Γ 7 und Γ 8 [31] und einer Aufhebung <strong>der</strong> zweifachen Spinentartung in<br />

<strong>der</strong> ganzen Brillouinzone [32]. Mit <strong>der</strong> Einführung von zu k proportionalen Antisymmetrietermen<br />

C k in ĤLK können diese Effekte berücksichtigt werden. Die C k<br />

sind jedoch klein und werden üblicherweise vernachlässigt [32, 33, 34].<br />

In Abbildung 3.3 ist die Bandstruktur von GaAs, die mit Anwendung von (3.57)<br />

berechnet wurde. Das Luttinger-Kohn-Modell kann man vereinfachen zu einem 4×4-<br />

Hamiltonian unter Vernachlässigung des SO-Bandes (siehe Abschnitt 4.4)) o<strong>der</strong><br />

erweitern zu einem 8×8-Hamiltonian unter Einbeziehung des ersten Leitungsbandes<br />

[35, 34, 31, 36, 37, 38, 39, 40].<br />

Abbildung 3.4: Durch Pseudopotentialmethode bestimmte Volumenbandstruktur<br />

von AlAs und InAs [24], aus <strong>der</strong> die Luttingerparameter, die effektive<br />

Elektronenmasse und die Bandgap-Energie gewonnen werden<br />

können. Die Bandstruktur von GaAs zeigt Abbildung 2.3<br />

.<br />

3.8 Materialparameter für die k·p -Methode<br />

Die k·p -Methode ist keine ab-initio-Methode, d.h. für sie sind Parameter, wie die<br />

Luttingerparameter γ 1 , γ 2 , γ 3 und die Spinbahnabspaltung ∆ für die <strong>Berechnung</strong><br />

<strong>der</strong> Löcherbän<strong>der</strong> sowie die effektive Masse <strong>der</strong> Elektronen m e und die Bandgap-<br />

Energie im Zonenzentrum E g für die Elektronenbän<strong>der</strong> erfor<strong>der</strong>lich.<br />

Es gibt viele verschiedene Luttingerparametersätze, die aus theoretischen o<strong>der</strong><br />

experimentellen Ergebnissen resultieren. Die gängigsten theoretischen <strong>Berechnung</strong>en<br />

beruhen auf Pseudopotentialmodellen und Fünfniveau-14-Band-k·p-Modellen<br />

[41]. In Spektroskopiemessungen an GaAs-Quantumwellstrukturen werden die Übergangs<br />

energien bestimmt und die Luttingerparameter so bestimmt, daß die Energien<br />

mit denen <strong>der</strong> k·p-Rechnung übereinstimmen [42, 10]. Weitere Experimente zur Bestimmung<br />

<strong>der</strong> Luttingerparameter, wie die Zyklotronresonanzmessung [43], werden<br />

in Veröffentlichungen von Vurgaftman et. al. [44] und Pfeffer und Zawadzki [45]<br />

zitiert.<br />

Einige Luttingerparametersätze für GaAs und AlAs sind in Tabelle 3.1 bzw.<br />

3.2 zusammengetragen. Am meisten benutzt werden bisher für GaAs die Werte<br />

γ 1 = 6, 85, γ 2 = 2, 10 und γ 3 = 2, 90 von Hess et. al. [7] und für AlAs γ 1 = 3, 45,


3.8. MATERIALPARAMETER FÜR DIE K·P -M<strong>ETH</strong>ODE 37<br />

γ 2 = 0, 68 und γ 3 = 1, 29 (siehe Chuang [46]). Um die Vergleiche zu ermöglichen,<br />

werden für die <strong>Berechnung</strong>en diese Parameter verwendet.<br />

Dagegen wurden 2001 von Vurgaftman et. al. [44] neue Werte für die Luttingerparameter<br />

empfohlen (siehe Tabellen 3.1 und 3.2).<br />

Für InAs können die Luttinger-Parameter nicht mit hoher Genauigkeit angegeben<br />

werden. Theoretische Werte kommen aus 14-Band-k·p-Rechnungen z.B. durch<br />

Lawaetz et al [41]. Diese und die empfohlenen Werte von Chuang [46] und Vurgaftman2001<br />

et al [44] finden sich in Tabelle 3.3.<br />

GaAs γ 1 γ 2 γ 3 Ermittlung<br />

Wood und Zunger [47] 5, 895 1, 652 2, 420 Pseudopotentialrechnung<br />

Molenkamp et. al. [10] 6, 79 1, 924 2,681 Übergangsenergien von<br />

AlGaAs-GaAs-QW<br />

Miller et. al. [42] 6, 8 1, 9 Übergangsenergien von<br />

Al x Ga 1−x As-GaAs-QW<br />

Hess et. al. [7] 6, 85 2, 10 2, 90 Magnetische Reflexion<br />

Skolnick et. al. [43] 6, 98 2, 25 2, 88 Zyklotronresonanzmessungen<br />

Lawaetz [41] 7, 65 2, 41 3, 28 14-Band-k·p-Modell<br />

Pfeffer und Zawadzki [45] 7, 80 2, 46 3, 30 14-Band-k·p-Modell<br />

Vurgaftman et. al. [44] 6, 98 2, 06 2, 93 Mittelwert von berechneten und<br />

gemessenen Löchermassen<br />

Tabelle 3.1: Luttingerparameter für GaAs, ermittelt durch verschiedene theoretische<br />

und experimentielle Methoden.<br />

Für Al x Ga 1−x As werden die Luttingerparameter durch eine Interpolation bestimmt:<br />

γ AlxGa1−xAs<br />

i<br />

= x · γ AlAs<br />

i<br />

+ (1 − x) · γ GaAs<br />

i (3.59)<br />

AlAs γ 1 γ 2 γ 3 Ermittlung<br />

Chuang [46] 3, 45 0, 68 1, 29<br />

Wood und Zunger [47] 3, 60 0, 70 1, 34 Pseudopotentialrechnung<br />

Molenkamp et. al. [10] 3, 790 1, 230 1,395 Übergangsenergien von<br />

AlGaAs-GaAs-QW<br />

Lawaetz [41] 4, 04 0, 78 1, 57 14-Band-k·p-Modell<br />

Vurgaftman et. al. [44] 3, 76 0, 82 1, 42 Mittelwert von berechneten und<br />

gemessenen Löchermassen<br />

Tabelle 3.2: Luttingerparameter für AlAs.<br />

InAs γ 1 γ 2 γ 3 Ermittlung<br />

Chuang [46] 20, 4 8, 3 9, 1<br />

Lawaetz [41] 19, 67 8, 37 9, 29 14-Band-k·p-Modell<br />

Vurgaftman et. al. [44] 20, 0 8, 5 9, 2 Mittelwert von berechneten und<br />

gemessenen Löchermassen<br />

Tabelle 3.3: Luttingerparameter für InAs.


38 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />

m 0<br />

m ∗ hh<br />

m 0<br />

m ∗ lh<br />

[100] γ 1 − 2γ 2 γ 1 + 2γ 2<br />

[110]<br />

1<br />

2 (2γ 1 − γ 2 − 3γ 3 )<br />

1<br />

2 (2γ 1 + γ 2 + 3γ 3 )<br />

[111] γ 1 − 2γ 3 γ 1 + 2γ 3<br />

Tabelle 3.4: Effektive Löchermassen am Γ-Punkt in verschiedene Kristallrichtungen.<br />

Die Luttingerparameter stellen für die Bandstrukturberechnung mit <strong>der</strong> k·p -<br />

Methode vernünftige Größen dar, jedoch haben sie keine direkte physikalische Bedeutung.<br />

Aber sie stehen in Zusammenhang mit den effektiven Löchermassen in<br />

verschiedene Kristallrichtungen (Tabelle 3.4). So können z.B. aus dem Experiment<br />

bestimmte effektive Massen und die Luttingerparameter ineinan<strong>der</strong> umgerechnet<br />

werden.<br />

Die akzeptierten Werte <strong>der</strong> Spinbahnabspaltung sind ∆ GaAs = 0, 34 eV , ∆ AlAs =<br />

0, 28 eV und ∆ InAs = 0, 38 eV [48, 46, 44], die durch Elektroreflektion an Schottky-<br />

Barrieren gemessen wurden. Vurgaftman et al empfiehlt neu ∆ InAs = 0, 39 eV .<br />

Die Spinabspaltung wird für Al x Ga 1−x As und für In x Ga 1−x As aus denen ∆<br />

von GaAs und AlAs bzw. InAs durch lineare Interpolation wie in (3.59) bestimmt.<br />

Für GaAs wird die Bandlücke am Zonenzentrum (Γ-Punkt) bei einer Temperatur<br />

von 300 K meist mit Eg<br />

GaAs = 1, 424 eV angegeben [48]. Die Bandlücke ist stark<br />

temperaturabhängig. Man setzt die empirische Varschni-Formel [44] an:<br />

E g (T ) = E g (T = 0) − αT 2<br />

T + β<br />

(3.60)<br />

Für GaAs werden von Levinshtein und Rumyantsev [49] und Vurgaftman et.<br />

al. [44] ähnliche Werte von E g (T = 0) = 1, 519 eV , α GaAs = 0, 5405 meV/K und<br />

β GaAs = 204 K angegeben.<br />

Da bei AlAs und für Al x Ga 1−x As (mit x > 0, 45) sich kein Minimum des Leitungsbandes<br />

am Γ-Punkt befindet, ist eine Unterscheidung zwischen <strong>der</strong> eigentlichen<br />

Bandlücke (2, 168 eV ) und <strong>der</strong> am Zonenzentrum wichtig. Da die letztere für die<br />

k·p-<strong>Berechnung</strong> entscheidend ist, wird sie in dieser Arbeit ebenso als E g bezeichnet.<br />

Sowohl Chuang [46] als auch Vurgaftman et. al. [44] geben die Bandlücke bei Raumtemperatur<br />

mit Eg<br />

AlAs = 3, 03 eV und bei 0 K mit Eg<br />

AlAs (T = 0) = 3, 13 eV an. Die<br />

Temperaturabhängigkeit beschreiben α AlAs = 0, 885 meV/K und β AlAs = 530 K<br />

[44]. Die Bandlücke von InAs besitzt eine höhere Temperaturabhängigkeit. Die Werte<br />

von Lawaetz et al [41], Chuang [46] und Vurgaftman et al [44] stimmen nahezu<br />

überein. Bei Raumtemperatur ist Eg<br />

InAs = 0, 354 eV und bei 0 K ist Eg InAs (T =<br />

0) = 0, 417 eV . Die Faktoren <strong>der</strong> Varschni-Formel sind α InAs = 0, 276 meV/K und<br />

β InAs = 93 K [44].<br />

Die Bandlücke für Legierungen von GaAs und AlAs bzw. InAs wird oft durch<br />

lineare Interpolation zwischen den GaAs- und AlAs- bzw. InAs-Bandlücken ermittelt.<br />

Genauer setzt man E g an, wenn man die Bandlücken nicht linear, son<strong>der</strong>n mit<br />

einem Polynom dritten (bzw. zweiten) Grades interpoliert [44]:<br />

E Al xGa 1−x As<br />

g = (1 − x)Eg<br />

GaAs + xEg<br />

AlAs + x(1 − x)(0, 127 + 1, 310x)eV<br />

(3.61)<br />

E In xGa 1−x As<br />

g = (1 − x)Eg<br />

GaAs + xEg InAs + x(1 − x) · 0, 477eV (3.62)<br />

Obwohl ab-inito-Bandstrukturmethoden effektive Elektronenmassen für GaAs<br />

von teils weit über 0, 07 m 0 erhalten [50, 47], ist <strong>der</strong> akzeptierte Wert m GaAs<br />

e =


3.8. MATERIALPARAMETER FÜR DIE K·P -M<strong>ETH</strong>ODE 39<br />

0, 067 m 0 [7, 42, 46, 11, 44], <strong>der</strong> in dieser Arbeit verwendet wird. Jedoch empfehlen<br />

Vurgaftman et. al. [44] für Raumtemperatur den durch Photolumineszenzmessungen<br />

bestätigten Wert von 0, 0635 m 0 .<br />

Für AlAs wird durch Messungen, theoretischen <strong>Berechnung</strong>en [47] und Extrapolationen<br />

von AlGaAs eine effektive Elektronenmasse [44] m AlAs<br />

e = 0, 150 m 0 erhalten.<br />

Für InAs wird meist m InAs<br />

e = 0, 023 m 0 verwendet ([41, 46]). Für niedrige<br />

Temperaturen wurden höhere effektive Elektronenmassen gemessen [11, 44].<br />

Parameter GaAs AlAs InAs Al x Ga 1−x As In x Ga 1−x As<br />

γ 1 6,85 3,45 20,4 6,85 - 3,40x 6,85+13,55x<br />

γ 2 2,10 0,68 8,3 2,10 - 1,42x 2,10 + 6,2x<br />

γ 3 2,90 1,29 9,1 2,90 - 1,61x 2,90 +6,2x<br />

∆ (eV) 0,34 0,28 0,38 0,34 - 0,06x 0,34+0,04x<br />

E g (eV) 1,424 3,03 0,354 1,424 + 1,606x 1,424-1,07x<br />

m e /m 0 0,067 0,150 0,023 0,067 + 0.083x 0,067-0,044x<br />

Tabelle 3.5: Die gängigen Materialparameter mit linearer Interpolation für Legierungen<br />

bei T = 300 K.<br />

Als Weiterentwicklung <strong>der</strong> gewöhnlich benutzten, linearen Interpolation <strong>der</strong> effektiven<br />

Massen von für Legierungen AB kann die Formel 3.63 von Nelson [51]<br />

verwendet werden. Sie beruht auf <strong>der</strong> Proportionalität <strong>der</strong> effektiven Masse zur<br />

Bandlücke E g<br />

m AB = m B + [ m A − m<br />

EAB<br />

B] g<br />

Eg<br />

A<br />

Setzt man (3.61) und (3.62) in (3.63) ein, erhält man<br />

− E B g<br />

− E B g<br />

(3.63)<br />

m Al xGa 1−x As = m GaAs + [ m AlAs − m GaAs] (−0, 816x 2 + 0, 737x + 1, 079)x (3.64)<br />

m InxGa1−xAs = m GaAs + [ m InAs − m GaAs] (0, 446x + 0, 554)x (3.65)<br />

Diese Formel ist direkt auf die effektive Elektronenmasse anwendbar (Tabelle 3.6).<br />

Parameter GaAs AlAs InAs Al x Ga 1−x As<br />

γ 1 6,98 3,76 20,0 −0, 60x 3 + 4, 24x 2 − 6, 86x + 6, 98<br />

γ 2 2,06 0,82 8,5 −0, 47x 3 + 2, 12x 2 − 2, 89x + 2, 06<br />

γ 3 2,93 1,42 9,2 −0, 36x 3 + 2, 15x 2 − 3, 3x + 2, 93<br />

∆ (eV) 0,34 0,28 0,39 0,34 - 0,06x<br />

E g (eV) 1,424 3,03 0,354 −1, 31x 3 + 1, 437x 2 + 1, 479x + 1, 424<br />

m e /m 0 0,0635 0,150 0,023 −0, 071x 3 + 0, 064x 2 + 0, 093x + 0, 0635<br />

Parameter<br />

In x Ga 1−x As<br />

γ 1 52, 11x 4 − 65, 55x 3 + 24, 27x 2 + 2, 19x + 6, 98<br />

γ 2 26, 05x 4 − 32, 78x 3 + 12, 11x 2 + 1, 06x + 2, 06<br />

γ 3 25, 99x 4 − 32, 75x 3 + 12, 03x 2 + x + 2, 93<br />

∆ (eV) 0,34 + 0,05x<br />

E g (eV) −0, 477x 2 − 0, 593x + 1, 424<br />

m e /m 0 −0, 018x 2 − 0, 0225x + 0, 0635<br />

Tabelle 3.6: Neue Materialparameter mit Interpolationen höherer Ordnung für Legierungen<br />

bei T = 300 K.


= =<br />

?<br />


3.8. MATERIALPARAMETER FÜR DIE K·P -M<strong>ETH</strong>ODE 41<br />

Ordnung (Tabelle 3.6) durchgeführt.<br />

Die k·p -Methode ist für an<strong>der</strong>e Materialien mit kubischem Gitter, wie InP, GaP,<br />

AlP und ihre Legierungen geeignet. Materialparameter finden sich zum Beispiel in<br />

[41, 50, 46, 45, 49, 44].


42 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER


Kapitel 4<br />

Die Bandstruktur in<br />

Quantum-Well-Strukturen<br />

(QW)<br />

In Quantum-Well-Hetero-Strukturen wird ein Halbleitermaterial, z.B. GaAs, mit<br />

kleinerer Bandlücke als das Substrat, z.B. Al 0,2 Ga 0,8 As, als dünne Schicht zwischen<br />

das Substrat gewachsen; (siehe Abbildungen 1.9 und 1.10). Ohne Einschänkung <strong>der</strong><br />

Allgemeinheit sei die Aufwachsrichtung und damit eingeschränkte Richtung die z-<br />

Achse und die (x, y)-Ebene die Ebene, in <strong>der</strong> sich die Ladungsträger frei bewegen<br />

können. Durch die unterschiedliche Bandlücken springt die Bandkante <strong>der</strong> Löcher<br />

und <strong>der</strong> Elektronen.<br />

<strong>Berechnung</strong>smethoden für solche Systeme müssen<br />

(a) die freie Beweglichkeit <strong>der</strong> Ladungsträger in <strong>der</strong> (x, y)-Ebene und die Beschränktheit<br />

in <strong>der</strong> z-Richtung beschreiben können,<br />

(b) die Bandkantendiskontinuitäten berücksichtigen,<br />

(c) die Materialkonstanten jedes Bereiches benutzen,<br />

(d) die Wellenfunktionen in allen Bereichen <strong>der</strong> Heterostruktur, auch an den Potentialsprüngen,<br />

definieren und<br />

(e) die Subbän<strong>der</strong> gekoppelt betrachten.<br />

4.1 Envelopenfunktionsformalismus (EFA)<br />

Die k·p -Methode des Volumenhalbleiters (siehe 3.4-3.7) läßt sich durch den Envelopenfunktionsformalismus<br />

(englisch envelope-function approximation) auf Heterostrukturen<br />

anwenden [52, 53, 54], erfüllt alle Bedingungen (a) bis (e) und ist die<br />

am meisten verwendete Methode.<br />

Die EFA ist so alt wie die k·p -Methode selbst [28, 55]; mit ihr wurden die<br />

<strong>elektronischen</strong> Bewegungseigenschaften bei schwach verän<strong>der</strong>lichen Potentialen, wie<br />

magnetischen und elektrischen Fel<strong>der</strong>n, wie auch flache Störstellenprobleme und<br />

Verspannungen beschrieben.<br />

Mit dem Beginn <strong>der</strong> Halbleiter-QWs wurde die Effektivmassenapproximation<br />

auf diese Strukturen angewendet, zuerst von Dingle et al [6] in dem ”<br />

particle in a<br />

box“-Modell. Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Ladungsträger sind dabei, als ideal angenommen,<br />

auf den QW beschränkt.<br />

43


44 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />

Die EFA kann für III-V-Halbleiter-Quantengräben <strong>der</strong> QW-Breiten von ca. 8 nm<br />

bis 20 nm angewendet werden. Dies wird in Abschnitt 4.9 detailiert diskutiert.<br />

4.1.1 Die Idee des Envelopenfunktionsformalismus<br />

Bastard [52, 53, 56] führte den heute noch am meisten benutzten Ansatz ein, <strong>der</strong><br />

auf folgenden Hauptannahmen beruht:<br />

(i) In jedem Bereich wird die Wellenfunktion nach den periodischen Teilen <strong>der</strong><br />

Blochfunktionen, den Blochfaktoren, am Zonenzentrum k 0 = 0 entwickelt<br />

Ψ(⃗r) = ∑ n<br />

F n (⃗r)u n0 (⃗r) (4.1)<br />

Der Envelopenfunktionsformalismus vernachlässigt durch die Phänomene auf<br />

<strong>der</strong> atomen Skala und benutzt einen effektiven Hamiltonian, <strong>der</strong> auf die sich<br />

schwach än<strong>der</strong>nde Hüllfunktion F n (⃗r) wirkt.<br />

(ii) Die gitterangepaßten Schichten haben den selben Blochfaktor<br />

u A n0(⃗r) = u B n0(⃗r) ! = u n0 (⃗r) (4.2)<br />

(iii) Mit <strong>der</strong> Annahme <strong>der</strong> freien Bewegung <strong>der</strong> Ladungsträger in <strong>der</strong> QW-Ebene<br />

können ebene Wellen in dieser Ebene absepariert werden<br />

F n (⃗r) = e (kxx+kyy)i φ n (z) (4.3)<br />

φ n (z) ist die z-Komponente <strong>der</strong> Hüllfunktion, die auch als Einhüllende bezeichnet<br />

wird.<br />

(iv) Der Hamiltonian des Volumenhalbleiters wirkt auf den Spaltenvektor <strong>der</strong><br />

Hüllfunktionen, wobei<br />

k z → −i ∂ ∂z<br />

(4.4)<br />

ersetzt wird.<br />

(v) Das störende QW-Potential (siehe Abbildung 5.1)<br />

⎧<br />

⎨ V 0 = ∆E c/v : z < 0<br />

V (z) = V 1 = 0 : 0 ≤ z ≤ L<br />

⎩<br />

V 2 = ∆E c/v : L < z<br />

(4.5)<br />

o<strong>der</strong> an<strong>der</strong>e störende Potentiale, wie ein äußeres elektrisches Feld o<strong>der</strong> Verspannungen<br />

(siehe 4.3), werden zum Hamiltonian addiert.<br />

Ĥ(k x , k y , −i ∂ ∂z ) → Ĥ(k x, k y , −i ∂ ) + V (z) (4.6)<br />

∂z<br />

(vi) Die entsprechenden Materialparameter je<strong>der</strong> Schicht, u.a. die Luttingerparameter,<br />

werden im Hamiltonian verwendet.<br />

(vii) An den Grenzflächen gelten für die Wellenfunktion bestimmte Grenzbedingungen<br />

(engl. boundary conditions).


4.1. ENVELOPENFUNKTIONSFORMALISMUS (EFA) 45<br />

Durch die Ersetzung (4.4) wird die k·p -Hamiltonianmatrix (z.B. (3.57), (3.39))<br />

im Ortsraum in einen kinetischen Energieoperator gewandelt. Dadurch wird die korrespondierende<br />

Schrödingergleichung zu einem gekoppelten Differentialgleichungssystem<br />

(bzw. zu einer Differentialgleichung für die Betrachtung eines Bandes).<br />

(Ĥ N×N (k x , k y , −i ∂ ∂z ) ) ⎡ ⎢ ⎣<br />

φ 1 (z)<br />

.<br />

.<br />

φ N (z)<br />

⎤<br />

⎡<br />

⎥<br />

⎦ = E n ( ⃗ ⎢<br />

k) ⎣<br />

φ 1 (z)<br />

.<br />

.<br />

φ N (z)<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦ (4.7)<br />

4.1.2 Grenzbedingungen<br />

Die einhüllenden Funktionen φ n (z) und <strong>der</strong> Wahrscheinlichkeitsstrom J (z) müssen<br />

an den Grenzflächen <strong>der</strong> Bereiche j stetig sein [57, 52, 56, 58].<br />

φ j (z) = φ j+1 (z)<br />

J j (z) = J j+1 (z) (4.8)<br />

Man führt die Matrizen a, b und c durch Zerlegung des Hamiltonian in Anteile<br />

<strong>der</strong> Ordnung 2, 1 und 0 von ∂/∂z ein:<br />

Ĥ N×N = a ∂2<br />

∂z 2 + b ∂ ∂z + c (4.9)<br />

Die Operatoren a∂ 2 /∂z 2 und b ∂ ∂z<br />

werden im Quantum-Well nicht hermitisch, da<br />

die Matrizen a(z) und b(z) von z abhängen. Eine Möglichkeit a∂ 2 /∂z 2 durch einen<br />

hermitischen Operator zu ersetzen ist<br />

a ∂2<br />

∂z 2 → ∂ ∂z a ∂ ∂z<br />

(4.10)<br />

Durch diese Symmetrisierung können die Bedingungen (4.8) so geschrieben werden<br />

[59, 36]:<br />

φ j (z) = φ j+1 (z) (4.11)<br />

a j ∂ ∂z φj (z) + 1 2 bj φ j (z) = a j+1 ∂ ∂z φj+1 (z) + 1 2 bj+1 φ j+1 (z) (4.12)<br />

In <strong>der</strong> Literatur [60] findet man anstatt (4.12) auch die Bedingung<br />

a j ∂ ∂z φj (z) + b j φ j (z) = a j+1 ∂ ∂z φj+1 (z) + b j+1 φ j+1 (z) (4.13)<br />

Der Faktor 1/2 tritt hier nicht auf, wenn b ∂ ∂z<br />

nicht symmetrisiert wurde.<br />

Durch die Bedingungen (4.12) und (4.13) wird die Ableitung von φ(z) an den<br />

Grenzflächen nicht stetig sein und somit φ(z) einen Knick haben, <strong>der</strong> in einer echten<br />

Wellenfunktion nicht auftreten darf.<br />

Burt [61, 62, 63] veröffentlichte die sogenannte exakte Formulierung des Enveloppenfunktionsformalismus.<br />

Er konnte zeigen, daß es an den Grenzen einen weichen“ ”<br />

Knick <strong>der</strong> Einhüllenden φ n (z) gibt, wenn die exakten F n (⃗r) an den Grenzflächen<br />

stetig sind. Die Wahl <strong>der</strong> Grenzbedingungen verursacht Abweichungen in den Eigenenergien,<br />

die bei kleinen Störpotentialen gering sind [63, 59].


46 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />

4.2 Behandlung von äußeren elektrischen Potentialen<br />

Äussere elektrische Potentiale durch anliegende Spannungen, Dotierungen und Ladungsträgerdichten<br />

können zu diesem Hamiltonian bzw. zum Kastenpotential addiert<br />

werden. Eine fortgeschrittene Behandlung betrachtet die Subbandstruktur und<br />

die Poissongleichung selbstkonsistent.<br />

Diese Untersuchungen sind nicht Ziel dieser Arbeit und würden über ihren Umfang<br />

hinausgehen. Ohne die selbstkonsistente Betrachtung von Subbandstruktur<br />

und Poissongleichung kann die Subbandstruktur im selbstkonsistenten Lasersimulator<br />

als Vorberechnung (preprocessoring) implementiert werden.<br />

Wie Abbildung 4.1 zeigt, sind im lasenden Zustand oberhalb des Schwellstromes<br />

die Potentiale flach, und die Annahme von flachen Bän<strong>der</strong>n in <strong>der</strong> k·p-<strong>Berechnung</strong><br />

ist sinnvoll.<br />

Abbildung 4.1: Im lasenden Zustand sind Valenz- und Leitungsbandkante flach.<br />

4.3 Pikus-Bir-Hamiltonian mit Verspannung<br />

Äussere Verspannungen o<strong>der</strong> Verspannungen in Heterostrukturen durch verschiedene<br />

Gitterkonstanten <strong>der</strong> aufgewachsenen Materialien verän<strong>der</strong>n die Bandstruktur<br />

<strong>der</strong> Elektronen und Löcher. Durch die Verspannungseffekte ist somit die Wellenlänge<br />

<strong>der</strong> Halbleiterlaser verän<strong>der</strong>bar, wodurch ihre Anwendung eine einfache und in den<br />

letzten Jahren gut erforschte Methode ist, um gewünschte Wellenlängen zu erhalten.<br />

Zusammen mit <strong>der</strong> Beherrschung <strong>der</strong> Quantum-Wellbreite und <strong>der</strong> Barrierenhöhe<br />

wird sie als band structure engineering [64, 65, 66, 67] bezeichnet.<br />

Bleibt die Auslenkung <strong>der</strong> Deformation (englisch strain) klein, ist die rücktreibende<br />

Kraft (englisch stress) proportional <strong>der</strong> Auslenkung. Dieses Prinzip ist als<br />

Hookesches Gesetz (4.14) o<strong>der</strong> Gesetz <strong>der</strong> Elastizität bekannt. Dabei ist C das materialabhängige<br />

Elastizitätsmodul bzw. Young-Modul.<br />

Eine allgemeinere Form des Hookeschen Gesetzes ist<br />

σ = Cε (4.14)


4.3. PIKUS-BIR-HAMILTONIAN MIT VERSPANNUNG 47<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

σ xx<br />

σ yy<br />

σ zz<br />

σ xy<br />

σ yz<br />

σ zx<br />

⎤<br />

⎡<br />

=<br />

⎥ ⎢<br />

⎦ ⎣<br />

⎤<br />

C 11 C 12 C 12 0 0 0<br />

C 12 C 11 C 12 0 0 0<br />

C 12 C 12 C 11 0 0 0<br />

0 0 0 C 44 0 0<br />

⎥<br />

0 0 0 0 C 44 0 ⎦<br />

0 0 0 0 0 C 44<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

ε xx<br />

ε yy<br />

ε zz<br />

ε xy<br />

ε yz<br />

ε zx<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

(4.15)<br />

Hier sind C 11 , C 12 und C 44 Steifheitskonstanten. Diese werden in Einheiten von<br />

10 11 dyn/cm 2 (= 10GP a) angegeben.<br />

Durch die Deformation werden die Gittervektoren im realen und im reziproken<br />

Raum verän<strong>der</strong>t.<br />

⃗r ′ = (1+ = ε) · ⃗r (4.16)<br />

⃗ k ′ = (1− = ε) · ⃗k (4.17)<br />

In den neuen, gestrichenen Koordinaten kommt zu dem Hamiltonian (3.23)<br />

durch die Verspannung ein Term hinzu, <strong>der</strong> als Störung des undeformierten Kristalls<br />

betrachtet wird.<br />

(Ĥ0 + H ε<br />

)<br />

Ψ n ⃗ k ′(⃗r ′ ) = E n ( ⃗ k ′ )Ψ n ⃗ k ′(⃗r ′ ) (4.18)<br />

wobei<br />

ˆp 2<br />

Ĥ 0 = + V (⃗r) (4.19)<br />

2m 0<br />

∑<br />

H ε =<br />

ˆD αβ ε αβ = ∑ (− 1 )<br />

p α p β + V αβ ε αβ (4.20)<br />

m 0<br />

α,β=x,y,z<br />

α,β<br />

∂V<br />

V αβ = lim<br />

(4.21)<br />

ε αβ →0 ∂ε αβ<br />

Synchron zu (3.22) wird die Wellenfunktion in ein Produkt einer gitterperiodischen<br />

Blockfunktion u n ⃗ k ′(⃗r ′ ) und e i⃗ k ′·⃗r ′<br />

zerlegt. Mit<br />

u s n ⃗ k (⃗r) = u n ⃗ k ′ (⃗r ′ ) (4.22)<br />

Ψ n ⃗ k ′(⃗r ′ ) = e i⃗ k ′·⃗r ′ u n ⃗ k ′(⃗r ′ )<br />

= e i⃗k·⃗r u s n ⃗ (⃗r) (4.23)<br />

k<br />

wird äquivalent aus <strong>der</strong> Eigenwertgleichung (3.24) für das unverspannte Gitter die<br />

für das verspannte<br />

(<br />

)<br />

Ĥ 0 + ¯h⃗ kˆp<br />

+ ¯h2 k 2<br />

+ H ε + H εk u s<br />

m 0 2m n ⃗(⃗r) = E k<br />

n( ⃗ k)u s n ⃗ (⃗r) (4.24)<br />

k 0<br />

mit<br />

H εk = −2 ¯h m 0<br />

∑<br />

α,β=x,y,z<br />

k α ε αβ p β (4.25)<br />

Eine in ihrer Gestalt dem in 3.7 vorgestellten Luttinger-Kohn-Hamiltonian ähnliche<br />

Matrix, <strong>der</strong> sogenannte Pikus-Bir-Hamiltonian [68, 69, 55, 70], wird zur Beschreibung<br />

<strong>der</strong> 6 gekoppelten Löcherbän<strong>der</strong> HH, LH und SO im verspannten Gitter<br />

verwendet.


48 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />

⎡<br />

Ĥ S = −<br />

⎢<br />

⎣<br />

mit<br />

P + Q −S R 0 − √ 2<br />

2 S √ ⎤ 2R<br />

−S ∗ P − Q 0 R − √ √<br />

2Q 6<br />

2 S<br />

√<br />

√ R ∗ 3<br />

0 P − Q S<br />

2 S∗ 2Q<br />

0 R ∗ S ∗ P + Q − √ 2R ∗ − √ 2<br />

2 S∗<br />

2 S∗ − √ 2Q ∗ √<br />

6<br />

2 S −√ ⎥<br />

2R P + ∆ 0 ⎦<br />

√ √<br />

2R<br />

∗ 6<br />

√<br />

2 S∗ 2Q<br />

∗<br />

− √ 2<br />

2 S 0 P + ∆<br />

− √ 2<br />

(4.26)<br />

P = P k + P ε , Q = Q k + Q ε<br />

R = R k + R ε , S = S k + S ε<br />

P ε = −a v (ε xx + ε yy + ε zz )<br />

Q ε = − b 2 (ε xx + ε yy − 2ε zz )<br />

R ε = √ 3<br />

2 b(ε xx − ε yy ) − idε xy<br />

S ε = −d(ε zx − iε yz )<br />

(4.27)<br />

wobei P k , Q k , R k , S k die in (3.58) definierten Größen und a v , b und d die Pikus-<br />

Bir-Deformationspotentiale (siehe Tabelle 4.1) sind.<br />

Parameter GaAs InAs AlAs Al x Ga 1−x As In x Ga 1−x As<br />

C 11 (10 11 dyn/cm 2 ) 12,21 12,50 8,329 12,21 + 0,29x 12,21-3,881x<br />

C 12 (10 11 dyn/cm 2 ) 5,66 5,34 4,526 5,66 - 0,32x 5,66 - 1,134x<br />

C 44 (10 11 dyn/cm 2 ) 6,00 5,42 3,959 6,00 - 0,58x 6,00 - 2,041x<br />

a c (eV) -7,17 -5,64 -5,08 -7,17 + 1,53x -7,17 + 2,09x<br />

a v (eV) -1,16 -2,47 -1,00 -1,16 - 1,31x -1,16 +0,16x<br />

a = a c + a v (eV) -8,33 -8,11 -6,08 -8,33 + 0,22x -8,33+2,25x<br />

b (eV) -2,0 -2,3 -1,8 -2,0 - 0,3x -2,0+0,2x<br />

d (eV) -4,8 -3,4 -3,6 -4,8 + 1,4x -4,8+1,2x<br />

Tabelle 4.1: Deformationsparameter bei T = 300K [44], man beachte, daß Vurgaftman<br />

die Steifheitskonstanten C 11 , C 12 und C 44 in GP a, jedoch<br />

um eine Größenordnung zu hoch angibt. Weitere Quellen sind<br />

[48, 71, 49, 46], im Unterschied zu den an<strong>der</strong>en Referenzen führt<br />

Chuang a v positiv ein.<br />

Die folgenden Betrachtungen werden auf biaxiale Deformationen beschränkt.<br />

Zwei <strong>der</strong> wichtigsten Fälle von Verspannungen sind biaxial:<br />

1. eine dünne (QW)-Schicht, aufgewachsen auf ein Substrat an<strong>der</strong>er Gitterkonstante<br />

(siehe Abbildung 4.2) und<br />

2. ein Volumenhalbleiter o<strong>der</strong> eine Heterostruktur unter äußerem uniaxialen<br />

Druck entlang <strong>der</strong> z-Achse.<br />

Im Fall <strong>der</strong> biaxialen Verspannung fallen die Scherspannungen weg und die Normalspannungen<br />

senkrecht zur Aufwachsrichtung sind gleich :


4.3. PIKUS-BIR-HAMILTONIAN MIT VERSPANNUNG 49<br />

¡ ¢ £ ¤ £ ¥ ¦ § ¦ ¨<br />

<br />

© © <br />

Abbildung 4.2: Verspannung hervorgerufen durch eine Gitteranpassung beim<br />

Aufwachsen einer dünnen (QW)-Schicht auf ein Substrat. (a) Die<br />

Gitterkonstanten des Substrates a 0 und <strong>der</strong> QW-Schicht a stimmen<br />

überein, <strong>der</strong> QW bleibt unverspannt. (b) Das Substrat besitzt<br />

eine höhere Gitterkonstante, <strong>der</strong> QW wird in <strong>der</strong> xy-Ebene senkrecht<br />

zur Aufwachsrichtung gedehnt. Dies ist <strong>der</strong> Fall beim Aufwachsen<br />

einer GaAs-Schicht auf ein Al x Ga 1−x As-Substrat. (c)<br />

Die Gitterkonstante des Substrates ist kleiner, die QW-Schicht<br />

wird zusammengepreßt.<br />

ε xx = ε yy ≠ ε zz (4.28)<br />

ε xy = ε yz = ε zx = 0<br />

Deshalb verschwinden die Nichtdiagonalelemente R ε und S ε in (4.27).<br />

R ε = S ε = 0 (4.29)<br />

⎤<br />

Ohne die Scherkomponenten <strong>der</strong> Verspannung ist das Hookesche Gesetz<br />

⎡<br />

σ xx<br />

⎤ ⎡<br />

C 11 C 12 C 12<br />

⎡<br />

ε xx<br />

⎤<br />

σ zz C 12 C 12 C 11 ε zz<br />

⎣ σ yy<br />

⎦ = ⎣ C 12 C 11 C 12<br />

⎦ ⎣ ε yy<br />

⎦ (4.30)<br />

wie sich leicht durch Einsetzen von (4.28) in (4.15) zeigt.<br />

Bei <strong>der</strong> Gitteranpassung wird die QW-Schicht so verspannt, daß ihre Gitterkonstante<br />

in <strong>der</strong> QW-Ebene a gleich <strong>der</strong> des Substrates a 0 wird. Deshalb wird wegen<br />

ε xx a = ε yy a = a 0 − a (4.31)<br />

ε xx = ε yy = a 0 − a<br />

a<br />

(4.32)


50 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />

Man beachte, daß in <strong>der</strong> Literatur [72, 73, 74] auch <strong>der</strong> unkorrekte Nenner a 0<br />

steht.<br />

Damit die Spannung σ xx in z-Richtung verschwindet, muß<br />

und somit<br />

Setzt man ε = ε xx = ε yy erhält man nun<br />

0 = σ xx = C 12 (ε xx + ε yy ) + C 11 ε zz (4.33)<br />

ε zz = − 2C 11<br />

C 12<br />

ε xx (4.34)<br />

)<br />

P ε = −2a v<br />

(1 − C 12<br />

C 11<br />

ε<br />

( )<br />

Q ε = −b 1 + 2 C12<br />

C 11<br />

ε<br />

(4.35)<br />

P ε führt zu einer konstanten Verschiebung aller Bän<strong>der</strong> und wird als hydrostatische<br />

Komponente <strong>der</strong> Verspannung δE hy bezeichnet. Dagegen bewirkt Q ε eine<br />

Aufspaltung zwischen dem Band <strong>der</strong> leichten und <strong>der</strong> schweren Löcher und wird<br />

mit ζ abgekürzt. Das Doppelte von ζ wird als Scherspannung δE sh bezeichnet. Mit<br />

dieser Umbenennung kann man wie<strong>der</strong> P , Q, R und S anstatt P k , Q k , R k und S k<br />

schreiben.<br />

Der Pikus-Bir-Hamiltonian wird damit zu<br />

⎡<br />

P + Q + ζ −S R 0 − √ 2<br />

2 S √ ⎤ 2R<br />

−S ∗ P − Q − ζ 0 R − √ √<br />

2Q 6<br />

2 S<br />

√<br />

√ Ĥ S = −<br />

R ∗ 3<br />

0 P − Q − ζ S<br />

2 S∗ 2Q<br />

0 R<br />

⎢<br />

∗ S ∗ P + Q + ζ − √ 2R ∗ − √ 2<br />

−δE hy<br />

2 S∗<br />

⎣ − √ 2<br />

2 S∗ − √ 2Q ∗ √<br />

6<br />

2 S −√ ⎥<br />

2R P + ∆ 0 ⎦<br />

√ √<br />

2R<br />

∗<br />

6<br />

√<br />

2 S∗ 2Q<br />

∗<br />

− √ 2<br />

2 S 0 P + ∆ (4.36)<br />

Mit <strong>der</strong> gemachten Annahme, daß die Barrierenschicht viel dicker als die QW-<br />

Schicht ist, wird nur die QW-Schicht verspannt und im Substrat ist ζ = 0 und<br />

δE hy = 0. Dies ist <strong>der</strong> Spezialfall für T = 0 in (4.37).<br />

Für Al x Ga 1−x As − GaAs-Heterostrukturen wird wegen <strong>der</strong> höheren Gitterkonstante<br />

(siehe Tabelle 4.2) von Al x Ga 1−x As gegenüber GaAs die QW-Schicht immer<br />

gedehnt (siehe Abbildungen 4.2 und 4.3). Dagegen werden In x Ga 1−x As − InP -<br />

Heterostrukturen für x > 0, 532 gedehnt und für x < 0, 532 zusammengepreßt.<br />

Für die äußere uniaxiale Spannung T entlang <strong>der</strong> z-Achse folgt für den Volumenhalbleiter<br />

wegen σ zz = T und σ xx = σ yy = 0<br />

−C 11<br />

ε xx = ε yy =<br />

C11 2 + C 11C 12 − 2C12<br />

2 T<br />

C 11 + C 12<br />

ε zz =<br />

C11 2 + C 11C 12 − 2C12<br />

2 T (4.37)<br />

Wird eine Heterostruktur entlang <strong>der</strong> Aufwachsrichtung z uniaxial gespannt,<br />

än<strong>der</strong>n sich die angepaßten Gitterkonstanten <strong>der</strong> QW-Schicht und des Substrates<br />

zusammen. Da die Gitterkonstante des Substrates nur durch die äußere Spannung<br />

verän<strong>der</strong>t wird, gilt für das Substrat weiterhin (4.37). Für die QW- Schicht ist nun


4.3. PIKUS-BIR-HAMILTONIAN MIT VERSPANNUNG 51<br />

Material<br />

Gitterkonstante a 0 in Å<br />

GaAs 5, 65325<br />

AlAs 5, 6611<br />

Al x Ga 1−x As 5,65325 + 0,00785x<br />

InAs 6, 0583<br />

InP 5, 8697<br />

GaP 5, 4505<br />

AlP 5, 4672<br />

Tabelle 4.2: Gitterkonstanten einiger Halbleiter bei T = 300K [44] (siehe auch<br />

[49, 46]).<br />

mit<br />

ε xx = ε yy = a 0(c x T + 1) − a<br />

a<br />

ε zz = − 2C 11 a 0 − a<br />

+ c z T (4.38)<br />

C 12 a<br />

c x = c y =<br />

c z =<br />

−C 12<br />

C11 2 + C 11C 12 − 2C12<br />

2<br />

C 11 + C 12<br />

C11 2 + C 11C 12 − 2C12<br />

2<br />

Durch Verspannung von Barriere und Quantum-Well sind auch in <strong>der</strong> Barriere<br />

die hydrostatische und die Scherspannung zu berücksichtigen.<br />

14 x 10−4 Legierungsanteil Aluminium x<br />

12<br />

ohne äußere Spannung T<br />

T = 98,3 MPa<br />

Verspannung in <strong>der</strong> QW−Ebene ε xx<br />

=ε yy<br />

10<br />

8<br />

6<br />

4<br />

2<br />

0<br />

Dehnung<br />

−2<br />

Kompression<br />

−4<br />

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />

Abbildung 4.3: Verspannung für Al x Ga 1−x As − GaAs-QW-Strukturen in <strong>der</strong><br />

QW-Ebene ohne und mit äußerer uniaxialer Spannung in<br />

Abhängigkeit vom Aluminiumanteil x.


52 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />

350<br />

300<br />

Spannung T in MPa, damit ε xx<br />

=ε yy<br />

=0<br />

250<br />

200<br />

150<br />

100<br />

Kompression<br />

50<br />

Dehnung<br />

0<br />

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />

Legierungsanteil Aluminium x<br />

Abbildung 4.4: Äußere uniaxiale Spannung T , die nötig ist, um Verspannung in<br />

<strong>der</strong> QW-Ebene aufzuheben.<br />

Wie man die Lösungen des Eigenwertproblems ĤSu n ⃗ k<br />

(⃗r) = E n ⃗ k<br />

(⃗r) findet, wird<br />

in Abschnitt 4.5 diskutiert. Einfacher ist das Problem unter Vernachlässigung des<br />

SO-Bandes, das im folgenden Abschnitt 4.4 beschrieben wird.<br />

Für Heterostrukturen wird aus dem Eigenwertproblem ein Differentialgleichungssystem,<br />

dessen Lösung für beide Probleme sowie <strong>der</strong> Schrödingergleichung <strong>der</strong> Elektronen<br />

in Kapitel 5 behandelt wird.<br />

4.4 4-Band-Hamiltonian mit Vernachlässigung des<br />

SO-Bandes<br />

Bei den meisten kubischen Halbleitern liegt das Spin-Orbit-Split-Off-Band relativ<br />

weit unterhalb <strong>der</strong> am Γ-Punkt vierfach entarteten Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> schweren und<br />

leichten Löcher. So ist für GaAs ∆ = 0, 34 eV . Zum Vergleich ist die Tiefe des<br />

Löcherquantentopfes ∆E C des Al 0,1 Ga 0,9 As − GaAs-Quantum-Wells 0, 083 eV und<br />

des Al 0,3 Ga 0,7 As − GaAs-Quantum-Wells 0, 249 eV ; die Subbandenergien liegen<br />

in dieser Grössenordnung. Somit ist eine Rechnung mit Vernachlässigung des SO-<br />

Bandes begründbar.<br />

Die die Wechselwirkung <strong>der</strong> schweren und leichten Löcher beschreibende 4×4-<br />

Luttinger-Kohn-Hamiltonianmatrix [28] ist:<br />

⎡<br />

H 4×4 = −<br />

⎢<br />

⎣<br />

P + Q + ζ −S R 0<br />

−S ∗ P − Q − ζ 0 R<br />

R ∗ 0 P − Q − ζ S<br />

0 R ∗ S ∗ P + Q + ζ<br />

⎤<br />

− δE hy (4.39)<br />

⎥<br />

⎦<br />

in <strong>der</strong> Basis |u 1 〉 . . . |u 1 〉 (siehe 3.41).<br />

Dabei haben P , Q, R und S die Bedeutung, wie in (4.27) beschrieben.


4.4. 4-BAND-HAMILTONIAN OHNE SO-BAND 53<br />

4.4.1 Blockdiagonalform<br />

Durch eine unitäre Transformation nach Broido und Sham [75]<br />

H ′ = UHU ∗<br />

Ψ ′ = UΨ<br />

(4.40)<br />

in ein neues Basissystem <strong>der</strong> Zonenzentrum-Blochfunktionen kann man die Hamiltonianmatrix<br />

in Blockdiagonalform bringen (die Transformation <strong>der</strong> Hamiltonianmatrix<br />

verspannter Halbleiter, siehe Abschnitt 4.3, wird in [76] beschrieben) ; dies<br />

durch eine geeignete Wahl <strong>der</strong> Winkel θ und η in<br />

⎡<br />

U =<br />

⎢<br />

⎣<br />

√<br />

2<br />

2 e−iθ 0 0 − √ 2<br />

2 eiθ<br />

0<br />

0<br />

⎤<br />

√<br />

2<br />

2 e−iη − √ 2<br />

2 eiη 0<br />

√ √<br />

2<br />

2<br />

2 e−iη 2 e−iη 0<br />

√<br />

⎥<br />

2 ⎦<br />

2 eiθ<br />

√<br />

2<br />

2 e−iθ 0 0<br />

Die Matrizen H 4×4 und H ′ 4×4 sind äquivalent, und die beiden Gleichungen<br />

(4.41)<br />

HΨ = EΨ (4.42)<br />

H ′ Ψ ′ = EΨ ′ (4.43)<br />

haben dieselben Eigenwerte. Die transformierte Matrix H ′ 4×4 ist<br />

⎡<br />

H 4×4 ′ = − ⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

= −<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎤<br />

H U 0<br />

⎥<br />

⎦ (4.44)<br />

0 H L<br />

⎤<br />

P + Q + ζ ˜R 0 0<br />

˜R ∗ P − Q − ζ 0 0<br />

− δE hy<br />

0 0 P − Q − ζ ˜R<br />

⎥<br />

⎦<br />

0 0 ˜R∗ P + Q + ζ<br />

mit<br />

( ¯h<br />

2<br />

) √3 √<br />

˜R = |R| − i|S| =<br />

γ2 2 2m (k2 x − ky) 2 2 + 4γ3 2k2 xky 2 − i2 √ ( ¯h<br />

2<br />

)<br />

3 γ 3 k ρ k z<br />

0 2m 0<br />

(4.45)<br />

Die Zweifachentartung <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> leichten und <strong>der</strong> schweren Löcher bei<br />

Vernachlässigung <strong>der</strong> zu k linearen Terme wird nun sichtbar.<br />

Wie in einigen Veröffentlichungen falsch beschrieben, ist die axiale Approximation<br />

(siehe 4.4.2) keine Voraussetzung für die Blockdiagonalisierung des 4 × 4-<br />

Luttinger-Kohn-Hamiltonians.<br />

Mit <strong>der</strong> Diagonalisierung in die beiden Blöcke H U und H L verringert sich <strong>der</strong><br />

Rechenaufwand <strong>der</strong> Eigenwertbestimmung ohne einen Verlust an Genauigkeit. Gerade<br />

für Heterostrukturen, für die <strong>der</strong> Hamiltonian ein Differentialoperator ist und


54 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />

die Eigenwertbestimmung zur Lösung eines Differentialgleichungssystems wird, verringert<br />

man mit <strong>der</strong> Blockdiagonalisierung die Größe des Problems erheblich.<br />

Am Γ-Punkt, also bei k ρ = 0, verschwindet ˜R. Da auch wegen (4.29) in den<br />

Nichtdiagonalelementen keine Verspannung vorkommt, entkoppeln die Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong><br />

leichten und schweren Löcher, und es bleiben:<br />

⎡<br />

P + Q + ζ 0<br />

−H U/L = − ⎢<br />

⎣<br />

0 P − Q − ζ<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦ (4.46)<br />

⎡<br />

⎤ ⎡ ⎤<br />

= ¯h2<br />

γ 1 − 2γ 2 0<br />

⎢<br />

⎥<br />

∂ 2<br />

2m 0<br />

⎣<br />

⎦<br />

0 γ 1 − 2γ 2<br />

∂z 2 − ζ 0<br />

⎢ ⎥<br />

⎣ ⎦<br />

0 −ζ<br />

− δE hy<br />

Abbildung 4.5: Die Isoenergielinien des ersten Löcherbandes eines Al 0,3 Ga 0,7 As-<br />

GaAs-Quantum-Wells <strong>der</strong> Dicke 10nm verdeutlichen <strong>der</strong>en Anisotropie<br />

in <strong>der</strong> (k x , k y )-Ebene.<br />

4.4.2 Axiale Approximation<br />

In <strong>der</strong> axialen Näherung wird die Anisotropie <strong>der</strong> Subbandstruktur in <strong>der</strong> (k x ,k y )-<br />

Ebene (siehe Abbildung 4.5) vernachlässigt. Dies folgt aus <strong>der</strong> Überlegung, daß die<br />

Luttingerparameter γ 2 und γ 3 ähnliche Werte haben (siehe Tabelle 3.5). Ersetzt<br />

man in R bzw. unter <strong>der</strong> Wurzel in ˜R<br />

verschwinden die k x k y -Terme,<br />

γ 2 = γ 3<br />

!<br />

= γ 2 + γ 3<br />

2<br />

(4.47)


4.4. 4-BAND-HAMILTONIAN OHNE SO-BAND 55<br />

R = ¯h2 √ γ 2 + γ 3 3 kρ 2 (4.48)<br />

2m 0 2<br />

( ¯h<br />

2<br />

) ( )<br />

√3 γ2 + γ 3<br />

˜R =<br />

kρ 2 − i2 √ ( ¯h<br />

2<br />

)<br />

3 γ 3 k ρ k z (4.49)<br />

2m 0 2<br />

2m 0<br />

k 2 ρ = k 2 x + k 2 y (4.50)<br />

<strong>der</strong> Hamiltonian ist radialsymmetrisch in <strong>der</strong> (k x ,k y )-Ebene und nur doch <strong>der</strong> Abstand<br />

vom Γ-Punkt k ρ und nicht mehr die Richtung ist entscheidend (siehe Abbildung<br />

4.6a. ).<br />

Die Subbandstruktur in Richtung χ <strong>der</strong> (k x ,k y )-Ebene stimmt mit <strong>der</strong> <strong>der</strong> axialen<br />

Approximation überein (siehe Abbildung 4.6(b) ). Für χ ergibt sich<br />

⎛√<br />

χ = arctan ⎝<br />

5γ 2 + 7γ 3 − 4 √ ⎞<br />

(γ 2 + γ 3 )(γ 2 + 3γ 3 )<br />

⎠ (4.51)<br />

3γ 2 + γ 3<br />

In <strong>der</strong> Tabelle 4.3 sind für einige Al x Ga 1−x As-Materialien die Winkel angegeben.<br />

Die Herleitung von (4.51) findet sich in Anhang 9.<br />

GaAs Al 0,1 Ga 0,9 As Al 0,2 Ga 0,8 As Al 0,3 Ga 0,7 As AlAs<br />

χ 21, 35 o 21, 31 o 21, 26 o 21, 20 o 20, 27 o<br />

Tabelle 4.3: Der Winkel χ für einige Materialien.<br />

(a)<br />

(b)<br />

Abbildung 4.6: (a) Die Isoenergielinien des erste Löcherbandes eines<br />

Al 0,3 Ga 0,7 As-GaAs-Quantum-Wells <strong>der</strong> Dicke 10nm in axialer<br />

Approximation. (b) Isoenergielinien des anisotropen Subbandes<br />

mit strichgepunkteten Symmetrielinien im Vergleich mit denen<br />

<strong>der</strong> axialen Approximation. Die Kurven haben im Winkel χ<br />

einen Schnittpunkt. Die beiden Basisrichtungen < 10 >–k x und<br />

< 01 >–k y sind markiert.<br />

Wie in den Abbildungen 4.6 und 4.7 erkennbar, ist die axiale Approximation eine<br />

Mittelung über die Richtungen in <strong>der</strong> (k x , k y )-Ebene. Der eingesparte Rechenaufwand<br />

ist groß. Um die anisotropie Subbandstruktur zu erhalten, bedarf es Rechnungen<br />

in etwa 10 bis 50 ”<br />

Stützrichtungen“ φ, so daß mit <strong>der</strong> axialen Näherung, in <strong>der</strong><br />

es nur noch eine Richtung gibt, die <strong>Berechnung</strong> 10 bis 50mal schneller ausgeführt<br />

werden kann.


56 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />

In <strong>der</strong> Nähe von 1 bis 2% <strong>der</strong> Brillouinzonengrenze k max unterscheiden sich die<br />

Energien in < 10 >- und < 11 >-Richtung nicht wesentlich (siehe Abbildung 4.7).<br />

0<br />

mit AA<br />

ohne AA<br />

−0.01<br />

−0.02<br />

E in eV<br />

−0.03<br />

−0.04<br />

−0.05<br />

−0.06<br />

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05<br />

k ρ<br />

in k max<br />

Abbildung 4.7: Die oberen beiden Valenzbän<strong>der</strong> <strong>der</strong> Subbandstruktur eines<br />

Al 0,3 Ga 0,7 As-GaAs-Quantum-Wells <strong>der</strong> Dicke 10nm in die beiden<br />

Richtungen < 10 > und < 11 > (durchgezogene Linie) und<br />

mit axialer Approximation (gestrichelte Linie).<br />

4.5 6-Band-Hamiltonian<br />

Der 6-Band-Hamiltonian für biaxiale Verspannung durch Gitteranpassung und uniaxiale<br />

Verspannung in z-Richtung ist in (4.36) angegeben. Durch eine Transformation<br />

in ein neues Basissystem kann er in eine nahezu blockdiagonale Form [70] und<br />

durch eine an<strong>der</strong>e Transformation in eine blockdiagonale Form gebracht werden<br />

[77].<br />

⎡ ⎤<br />

H U 0<br />

H 6×6 = − ⎢ ⎥<br />

⎣ ⎦ (4.52)<br />

0 H L<br />

⎡<br />

√ √<br />

P + Q + ζ ˜R<br />

2|R| + i 2<br />

2<br />

⎢ |S|<br />

⎤<br />

√<br />

H U = ⎣ ˜R ∗<br />

√<br />

P − Q − ζ 2(Q + ζ) + i 6<br />

√ 2 |S|<br />

√<br />

2|R| − i<br />

2<br />

2 |S| √ √<br />

2(Q + ζ) − i<br />

6<br />

2<br />

⎡<br />

√ |S| P + ∆ √<br />

P + ∆ 2(Q + ζ) + i 6<br />

2<br />

⎢<br />

|S| √ √<br />

2|R| + i<br />

2<br />

2 |S|<br />

⎤<br />

√ √<br />

H L = ⎣ 2(Q + ζ) − i 6<br />

2 |S| P − Q − ζ ˜R<br />

√ √<br />

2|R| − i<br />

2<br />

2 |S| ˜R∗ P + Q + ζ<br />

⎥<br />

⎦ + δE hy<br />

⎥<br />

⎦ + δE hy<br />

Die 3×3-Hamiltonian H U und H L wirken auf die Wellenfunktionen von HH, LH<br />

und SO bzw. SO, LH und HH in dieser Reihenfolge.


4.6. DAS LEITUNGSBAND 57<br />

Bei k ρ = 0 entkoppelt das Band <strong>der</strong> schweren Löcher, das Band <strong>der</strong> leichten<br />

Löcher und das SO-Band bleiben gekoppelt. Die beiden Blöcke H U und H L werden<br />

identisch zu<br />

H U/L =<br />

⎡<br />

⎤<br />

P + Q + ζ 0 0<br />

√ 0 P − Q − ζ 2(Q + ζ)<br />

+ δE<br />

⎢<br />

⎥ hy (4.53)<br />

⎣<br />

√ ⎦<br />

0 2(Q + ζ) P + ∆<br />

⎡<br />

⎤ ⎡<br />

⎤<br />

γ 1 − 2γ 2 0 0<br />

= − ¯h2<br />

0 γ 1 + 2γ 2 −2 √ ζ 0 0<br />

2γ ∂ 2<br />

2<br />

2m 0 ⎢<br />

⎣<br />

0 −2 √ ⎥ ∂z<br />

⎦<br />

2 + 0 −ζ + √ 2ζ<br />

+ δE<br />

⎢<br />

⎣<br />

2γ 2 γ 1 0 + √ ⎥ hy<br />

⎦<br />

2ζ ∆<br />

Bei symmetrischen Potentialen sind die Eigenzustände, die man mit H U und<br />

H L erhält identisch, und man kann sich auf H U beschränken.<br />

Die Anisotropie <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong> kann mit <strong>der</strong> axialen Approximation vernachlässigt<br />

werden (siehe 4.4.2, [78]). Nach Meinung des Autors dieser Arbeit bringt die<br />

sogenannte semiaxiale Approximation von Rodríguez et al [79, 80] keinen Vorteil<br />

gegenüber <strong>der</strong> Rechnung ohne irgendeine axiale Approximation.<br />

4.6 Das Leitungsband<br />

In den meisten III-V-Halbleitern kann das Leitungsband durch ein parabolisches<br />

Einbandmodell beschrieben werden [78].<br />

( ¯h<br />

2<br />

)<br />

) (k 2<br />

2m ∗ ρ − ∂2<br />

(z) ∂z 2 + V (z) + δE hy φ c (z) = Eφ c (z) (4.54)<br />

Die Elektronenwellenfunktionen sind das Produkt aus <strong>der</strong> Hüllfunktion e ikρρ φ c (z)<br />

und einer <strong>der</strong> Blockfaktoren u 70 (⃗r) und u 80 (⃗r) (siehe Gleichungen (4.1) und (4.3)).<br />

〉<br />

∣<br />

u 70 (⃗r) = ∣u c ↑<br />

= ∣ 1<br />

2 , + 2〉 1 = |S ↑〉 ,<br />

〉<br />

∣<br />

u 80 (⃗r) = ∣u c ↓<br />

= ∣ 1<br />

2 , − 〉 (4.55)<br />

1<br />

2 = |S ↓〉 ,<br />

Der Leitungsbandanteil <strong>der</strong> hydrostatischen Verspannung ist gegeben durch<br />

(<br />

δE hy = a c (ε xx + ε yy + ε zz ) = 2a c 1 − C )<br />

12<br />

ε (4.56)<br />

C 11<br />

m ∗ (z) verdeutlicht hierbei den Wechsel <strong>der</strong> effektiven Elektronenmassen (des homogenen<br />

Materials) an den Grenzflächen. Werte für m ∗ finden sich in den Tabellen<br />

3.5 und 3.6.<br />

Von einem Zweiband-CB-LH-Modell kann bei Annahme konstanter Differenz <strong>der</strong><br />

beiden Bän<strong>der</strong> ein nichtparabolisches Modell mit energie- und richtungsabhängigen<br />

effektiven Elektronenmassen approximiert werden [26].<br />

mit<br />

(<br />

¯h 2<br />

¯h 2 ∂ 2<br />

)<br />

2m ∗ ρ(E, z) k2 ρ −<br />

2m ∗ z(E, z) ∂z 2 + V (z) + δE hy(z) φ c (z) = Eφ c (z) (4.57)


58 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />

(<br />

m ∗ ρ(E, z) = m ∗ (z) 1 + E − V (z) − E )<br />

g + 3ζ<br />

E g + δE g<br />

(<br />

m ∗ z(E, z) = m ∗ (z) 1 + E − V (z) − E )<br />

g<br />

E g + δE g<br />

(4.58)<br />

(4.59)<br />

Weitere Ansätze zur Behandlung <strong>der</strong> Leitungssubbän<strong>der</strong> sind ein Dreiband-<br />

Modell mit CB, LH und SO [81] und die Untersuchung von k 3 - und k 4 -Termen<br />

[82, 83, 84]. Eine komplexe Betrachtung <strong>der</strong> Kopplung des untersten Leitungsbandes<br />

mit den drei obersten Valenzbän<strong>der</strong>n ist in 8-Band-k·p-Modellen [35, 34, 31, 36,<br />

37, 38, 39, 40] möglich.<br />

4.7 Simple Valenzbandmodelle<br />

Zum Vergleich mit den gekoppelten Modellen zur <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Subbandstruktur<br />

<strong>der</strong> Löcher werden die ungekoppelten Gleichungen untersucht. Dies ist für die<br />

schweren Löcher<br />

( ¯h<br />

2<br />

(<br />

)<br />

)<br />

− 2(γ 1 + γ 2 )kρ 2 − (γ 1 − 2γ 2 ) ∂2<br />

2m 0 ∂z 2 + V (z) + ζ(z) + δE hy (z) φ h (z) = Eφ h (z)<br />

für die leichten Löcher<br />

(4.60)<br />

( ¯h<br />

2<br />

(<br />

)<br />

)<br />

− 2(γ 1 − γ 2 )kρ 2 − (γ 1 + 2γ 2 ) ∂2<br />

2m 0 ∂z 2 + V (z) − ζ(z) + δE hy (z) φ h (z) = Eφ h (z)<br />

und für das Spinorbitalband<br />

(4.61)<br />

(¯h 2 ( )<br />

)<br />

γ 1<br />

− kρ 2 − ∂2<br />

2m 0 ∂z 2 + V (z) + ∆ + δE hy (z) φ h (z) = Eφ h (z) (4.62)<br />

Die ungekoppelt berechneten Energiebän<strong>der</strong> sind parabolisch. Die effektiven<br />

Massen bleiben wie im Volumenhalbleiter 1/(γ 1 − 2γ 2 ) für die schweren Löcher,<br />

1/(γ 1 + 2γ 2 ) für die leichten Löcher und 1/(γ 1 ) für die SO-Subbän<strong>der</strong>.<br />

4.8 Lösungsmethoden<br />

Die im Enveloppenfunktionsformalismus stückweise in <strong>der</strong> Barriere und im Quantengraben<br />

aufgestellten Differentialgleichungen und Diferentialgleichungssysteme lassen<br />

sich in verschiedenen Verfahren lösen.<br />

Andreani et al [85] stellten eine exakte, analytische Lösung für das Vierband-<br />

Envelopenfunktionsproblem für ein einfaches Kastenpotential vor. Die Schrödingergleichung<br />

wurde zuerst in jedem Material, dem <strong>der</strong> Barriere und dem des Quantengrabens,<br />

gelöst. Durch die Grenzbedingungen für die Linearkombinationen dieser<br />

vier Volumenwellenfunktionen (hin- und rücklaufende Wellen) an je<strong>der</strong> Grenzfläche<br />

wurden die Vorfaktoren und die Eigenenergien gefunden.<br />

Im Quantum-Well sind es acht Vorfaktoren und in den Barrieren je vier (wegen<br />

Verschwinden <strong>der</strong> Wellenfunktion im Unendlichen). Diese Lösungen ergeben sich<br />

aus D(E, k ‖ ) = 0, wobei D eine 16×16-Determinante ist. Durch eine Blockdiagonalisierung<br />

kann diese auf eine 8×8-Determinante reduziert werden.


4.9. ANWENDUNGSBEREICH DES EFA 59<br />

Chuang [72] entwickelte ein ähnliches, analytisches Verfahren, jedoch mit signifikanten<br />

Vereinfachungen. Er ermittelte die Bulkeigenenergien und -wellenfunktionen<br />

gleich mit dem blockdiagonalisierten Hamiltonian. Als Eigenfunktionen wählte er<br />

ebenso eine Linearkombination aus den hin- und rücklaufenden Bulkwellenfunktionen,<br />

jedoch nur aus den zwei desselben 2×2-Blockes. Dadurch blieben 8 freie<br />

Parameter. Chuang betrachtete die sich aus den Grenzbedingungen ergebenden<br />

Verbreitungs- o<strong>der</strong> Übertragungsmatrizen (propagation, transition o<strong>der</strong> transfer matrizes)<br />

an einem Übergang und dem durch <strong>der</strong>en Multiplikation resultierende Gesamtübertragungsmatrix.<br />

Diese sind 4×4-Matrizen. Die Eigenenergien ergeben sich<br />

aus <strong>der</strong> Nullstelle einer 2×2-Determinante. Dieses analytische Verfahren ist bei<br />

gleicher Wahl <strong>der</strong> Ansatzfunktionen äquivalent zu <strong>der</strong> Transfer-Matrix-Methode<br />

[86, 76, 87, 88, 89, 90, 91, 59, 92].<br />

Die Finite Differenzen-Methode (FDM) [93, 94, 77, 78, 26] unterteilt den Quantengraben<br />

und einen Bereich in <strong>der</strong> Barriere in äquidistante Stücke mit N Stützstellen.<br />

In diesen werden aus allen Differenzialquotienten in Ĥ die Differenzenquotienten<br />

ermittelt. Es entsteht eine N × N- Matrix, <strong>der</strong>en Eigenwerte zu bestimmen<br />

sind. Da abrupte Übergänge, wie die Bandkantendiskontinuität in QW-Strukturen,<br />

in <strong>der</strong> FDM durch steile Schrägen approximiert werden, wird eine Vielzahl von<br />

Stützpunkten benötigt, und die FDM-Matrizen werden sehr groß. Vorteil <strong>der</strong> FDM<br />

ist ihre leichte Anwendung für schiefe Potentiale, z.B. durch ein elektrostatisches<br />

Potential o<strong>der</strong> Störstellen.<br />

Die Finite Elemente-Methode (FEM) kann beides, die Envelopenfunktionen an<br />

abrupten Übergängen exakt“ zur Stetigkeit bringen und beliebige Potentiale berechnen.<br />

Zudem müssen die Stützpunkte nicht äquidistant sein. Anstatt <strong>der</strong> tatsäch-<br />

”<br />

lichen Ableitung benutzt sie sogenannte schwache Ableitungen und kommt mit wesentlich<br />

weniger Stützpunkten als die Finite Differenzen-Methode aus [38].<br />

Weitere angewendete Verfahren sind<br />

• die Variationsmethode [75, 95, 96, 97], bei <strong>der</strong> die Subbandenergie in einem<br />

Ansatz von Wellenfunktionen minimiert wird,<br />

• das Schießverfahren [97] und<br />

• die Quadraturmethode (Integration im Impulsraum) [98].<br />

In dieser Arbeit wird die Methode von Chuang benutzt. Sie wird im nächsten<br />

Kapitel für den Flachbandfall näher vorgestellt.<br />

Anzumerken ist, daß diese Methode wie die FDM und die FEM beliebige Potentiale<br />

durch eine Diskretisierung behandeln kann. An den Stützstellen werden<br />

synchron zu den Materialgrenzen die Übertragungsmatrizen aufgestellt und zur Gesamtübertragungsmatrix<br />

multipliziert.<br />

4.9 Anwendungsbereich des Envelopenfunktionsformalismus<br />

Für Doppelheterostrukturen mit einer Breite wesentlich größer als 20 nm gilt die Annahme<br />

des Envelopenfunktionsformalismus, daß die Ladungsträger nur eine Energiedispersion<br />

innerhalb <strong>der</strong> Ebene parallel zur Aufwachsrichtung haben, nicht mehr.<br />

Die Quanteneffekte treten nicht mehr auf und man kann die Bandstrukturalgorithmen<br />

für homogenes Material, wie die Pseudopotential- o<strong>der</strong> die k·p -Methode<br />

anwenden. Es gibt einen Übergangsbereich zwischen dem Modell des homogenen<br />

Halbleiters und dem EFA.<br />

Verkleinert man die Breite des Quantum-Wells auf weniger als ca. 8 nm, verringert<br />

sich die Genauigkeit <strong>der</strong> durch den EFA berechneten die Quanteneffekte.


60 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />

Genauere Ergebnisse erhält mit empirischen Tight-Binding Ansätzen [99, 100]. Diese<br />

komplexeren Ansätze betrachten den Einfluß <strong>der</strong> nächsten Nachbarn auf ein<br />

Atom durch eine empirische Parametrisierung. Der Bereich <strong>der</strong> EFA mit hoher<br />

Genauigkeit kann durch Vergleich mit Tight Binding-Ergebnissen abgeschätzt werden.<br />

In Abbildung 4.8 sind die mit einem Tight Binding-Ansatz [100] und mit dem<br />

EFA berechneten effektiven Massen am Γ-Punkt für AlAs-GaAs-Quantum-Wells<br />

<strong>der</strong> Breiten 3, 4 nm bis 11 nm dargestellt (bei T=0 K). Die effektive Masse von<br />

GaAs im Volumenhalbleiter ist 0, 067 m0. Durch die höhere Quantisierung – kleinere<br />

QW-Breite – nehmen die effektiven Massen im Quantengraben zu. Je kleiner<br />

die Quantum-Well-Breite desto größer werden die Abweichungen und desto kleiner<br />

wird die Genauigkeit des EFA.<br />

Der vorgestellte Envelopenfunktionsformalismus hat seine höchste Genauigkeit<br />

für III-V-Halbleiterquantengräben mit Breiten von ca. 8 nm bis 20 nm.<br />

0.1<br />

Tight−Binding−<strong>Berechnung</strong> von Städele und Hess (2000)<br />

gekoppelte k·p−<strong>Berechnung</strong><br />

effektive Masse m*/m 0<br />

am Γ−Punkt<br />

0.095<br />

0.09<br />

0.085<br />

0.08<br />

0.075<br />

0.07<br />

3 4 5 6 7 8 9 10 11<br />

Quantum−Well−Breite L in nm<br />

Abbildung 4.8: Die mit einem Tight Binding-Ansatz [100] und mit dem EFA<br />

berechneten effektiven Massen am Γ-Punkt für AlAs-GaAs-<br />

Quantum-Wells verschiedener Breite bei T=0 K.


Kapitel 5<br />

Die analytische <strong>Berechnung</strong><br />

<strong>der</strong> Eigenzustände im<br />

Quantum-Well<br />

Im Quantum-Well wird aus <strong>der</strong> Matrix H ein Differentialoperator Ĥ und aus dem<br />

Eigenwertproblem ein Differentialgleichungssystem. Chuang [72] stellte einen Algorithmus<br />

vor, <strong>der</strong> die Energieeigenwerte und die Eigenvektoren, die Einhüllenden <strong>der</strong><br />

Wellenfunktionen (EWF), im Quantum-Well mittels Transfermatrizen findet.<br />

In Abschnitt 5.1 wird zuerst die Methode allgemein vorgestellt. Für völlig entkoppelte<br />

Bän<strong>der</strong> wird die Einbandschrödingergleichung gelöst (siehe 5.2). Durch<br />

Blockdiagonalisierung des 4×4-Hamiltonians <strong>der</strong> schweren und leichten Löcher (Abschnitt<br />

5.3.1) und am Zonenzentrum für den blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian<br />

(Abschnitt 5.3.3) erhält man Zweibandschrödingergleichungen. Die Anwendung auf<br />

die Dreibandschrödingergleichung des blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian wird<br />

in Abschnitt 5.4 beschrieben.<br />

Das Verfahren ist auch für die großen“ Differentialgleichungssysteme ohne die<br />

”<br />

signifikante Vereinfachung <strong>der</strong> Blockdiagonalisierung, wie die vollgekoppelten Ĥ4×4,<br />

Ĥ 6×6 o<strong>der</strong> Ĥ8×8, anwendbar.<br />

5.1 Der Lösungsalgorithmus<br />

Im homogenen Material mit anliegendem Potential V erhält man durch<br />

H( ⃗ k) + (V − E)I N×N = 0 (5.1)<br />

die N Eigenenergien E n ( ⃗ k) und die N Eigenvektoren ⃗ F n ( ⃗ k) mit je N Komponenten<br />

F in ( ⃗ k). Diese können mit Division durch √∑ i |F ni| 2 normiert werden.<br />

Die zugehörigen Wellenfunktionen im homogenen Material sind<br />

Ψ n (⃗r) = ⃗ F n ( ⃗ k) e i⃗ k⃗r =<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

F 1n ( ⃗ k)<br />

.<br />

.<br />

F Nn ( ⃗ k)<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦ e i(kρρ+kzz) (5.2)<br />

mit den Hüllfunktionen F ⃗ n ( ⃗ k).<br />

Zur kompakteren Schreibweise wurden kρ 2<br />

eingeführt.<br />

= kx 2 + ky 2 und k ρ ρ = k x x + k y y<br />

61


62 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />

Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> zweidimensionalen Elektronen bzw. Löcher sind in<br />

jedem <strong>der</strong> Materialbereiche j eine Linearkombination dieser Bulkwellenfunktionen<br />

(einer hin- und einer herlaufenden Welle)<br />

Ψ j (⃗r) = ∑ n<br />

= ∑ n<br />

(<br />

A j n ⃗ F j n( ⃗ k) e ik ρρ+ik z (z−d j ) + B j n ⃗ F j−<br />

n ( ⃗ k) e ik ρρ−ik z (z−d j ) )<br />

(<br />

A j ⃗ n Fn( j ⃗ k) e ik z(z−d j ) + Bn j F ⃗ n<br />

j− ( ⃗ ) k) e −ik z(z−d j )<br />

e ik ρρ<br />

(5.3)<br />

Das Minus in ⃗ F j−<br />

N ersetzt kj z durch −k j z.<br />

Der Index j ist 0 für die linke Seite <strong>der</strong> Barriere, 1 für den Quantum-Well und 2<br />

für die rechte Seite <strong>der</strong> Barriere. d j sind die Referenzpositionen für die stückweise<br />

Definition <strong>der</strong> Wellenfunktionen. Der Abstand <strong>der</strong> Referenzpositionen sei l j = d j −<br />

d j−1 . Man wählt d 3 = d 2 , um mit l 3 = 0 eine Vereinfachung zu erhalten (siehe<br />

Abbildung 5.1). Durch das Setzen von d j (außer das letzte j) auf die Grenze zum<br />

Bereich j + 1, wird an dieser Grenze (z − d j ) = 0 und e ik z(z−d j ) = 1.<br />

Abbildung 5.1: Sowohl die Elektronen- als auch die Löcherzustände werden mit<br />

dem nach oben geöffneten Potentialkasten betrachtet. Die Energiekoordinatenachsen<br />

illustrieren dies. Die Bereiche werden mit<br />

dem Index j numeriert. Es werden die Referenzpositionen d j für<br />

die Wellenfunktionen in <strong>der</strong> dargestellten Weise eingeführt.<br />

Die Bewegung <strong>der</strong> Elektronen und Löcher in <strong>der</strong> Quanten-Well-Ebene kann als<br />

frei betrachtet werden und läßt sich separieren.<br />

Die Wellenfunktion in z-Richtung ist<br />

Ψ j (⃗r) = Ψ j (z) e ik ρρ<br />

(5.4)<br />

Ψ j (z) = ∑ n<br />

(A j n ⃗ F j n( ⃗ k) e ikjn z<br />

(z−dj) + Bn j F ⃗ n<br />

j− ( ⃗ ) k) e −ikjn z (z−d j)<br />

(5.5)<br />

kz j wird durch Auflösen von E n ( ⃗ k) = E(k ρ , kz<br />

jn ) nach kz<br />

jn ermittelt wurde. Da<br />

in kz jn die Dispersion des homogenen Materials steckt, ist es energieabhängig (→<br />

kz<br />

jn (E)).<br />

Die Grenzbedingungen (4.11) und (4.12) müssen erfüllt werden, d.h. es müssen<br />

an den Bereichsgrenzen (5.6) und (5.7)<br />

Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.6)<br />

a j ∂ ∂z Ψj (z) + 1 2 bj Ψ j (z) = a j+1 ∂ ∂z Ψj+1 (z) + 1 2 bj+1 Ψ j+1 (z) (5.7)


5.1. DER LÖSUNGSALGORITHMUS 63<br />

mit den Matrixelementen a mn · k 2 z und b mn · k z gelten (siehe (4.9)).<br />

5.1.1 Grenzbedingungen<br />

Setzt man (5.5) in die Grenzbedingungen ein, erhält man<br />

N∑<br />

n<br />

N∑<br />

n<br />

(<br />

A j ⃗ n Fn( j ⃗ k) + Bn j F ⃗ n j− ( ⃗ )<br />

k)<br />

(<br />

A j+1<br />

n<br />

⃗F n<br />

(j+1) ( ⃗ k) e ik(j+1)n z l j+1<br />

+ Bn<br />

j+1<br />

= (5.8)<br />

⃗F n<br />

(j+1)− ( ⃗ )<br />

k) e −ik(j+1)n z l j+1<br />

[<br />

N∑ ∑ N (<br />

ia j mnkz<br />

jn A j ⃗ n Fn( j ⃗ k) − Bn j F ⃗ n j− ( ⃗ )<br />

k) + 1 2<br />

m<br />

n<br />

[<br />

N∑ ∑ N<br />

m<br />

n<br />

(<br />

ia j+1<br />

mn k z<br />

(j+1)n A j+1<br />

n<br />

1<br />

2<br />

N∑<br />

n<br />

(<br />

b j+1<br />

mn A j+1<br />

n<br />

N∑<br />

n<br />

b j mn<br />

⃗F n<br />

(j+1) ( ⃗ k) e ik(j+1)n z l j+1<br />

− Bn<br />

j+1<br />

⃗F n<br />

(j+1) ( ⃗ k) e ik(j+1)n z l j+1<br />

+ Bn<br />

j+1<br />

(<br />

A j n ⃗ F j n( ⃗ k) + B j n ⃗ F j−<br />

n ( ⃗ k)) ] =<br />

⃗F n<br />

(j+1)− ( ⃗ )<br />

k) e −ik(j+1)n z l j+1<br />

⃗F n<br />

(j+1)− ( ⃗ ) ]<br />

k) e −ik(j+1)n z l j+1<br />

(5.9)<br />

+<br />

Man beachte, daß n = 1, .., N mit N die Anzahl <strong>der</strong> zu koppelnden Bän<strong>der</strong> und ⃗ F<br />

ein Vektor mit N Komponenten ist. Aus den Linearfaktoren A j n und B j n wird ein<br />

Vektor ⃗ Φ j mit 2N Elementen gebildet<br />

⎡<br />

⃗Φ j =<br />

⎢<br />

⎣<br />

A j 1<br />

.<br />

A j N<br />

B j 1<br />

.<br />

B j N<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

(5.10)<br />

Mit den 2N × 2N-Matrizen<br />

⎡<br />

P j =<br />

⎢<br />

⎣<br />

e −ikj1 z l j<br />

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0<br />

0<br />

. .. . .. . .<br />

. ..<br />

e −ikjN z l j<br />

. .. . .<br />

.<br />

.<br />

.. e ikj1 z l j<br />

. ..<br />

.<br />

.<br />

.<br />

.<br />

. .. . .. 0<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

(5.11)<br />

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 e ikjN z<br />

l j<br />

und


64 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />

⎡<br />

M j =<br />

⎢<br />

⎣<br />

N∑<br />

m<br />

N∑<br />

m<br />

N∑<br />

m<br />

N∑<br />

m<br />

F j 11 (⃗ k) . . . F j 1N (⃗ k)<br />

.<br />

.<br />

.. . F j N1 (⃗ k) . . . F j NN (⃗ k)<br />

)<br />

F j m1 (⃗ N∑ (<br />

k) . . . ia j m1 kjN z + 1 2 bj m1<br />

(<br />

ia j m1 kj1 z + 1 2 bj m1<br />

.<br />

.<br />

(<br />

ia j mN kj1 z + 1 2 bj mN<br />

)<br />

F j m1 (⃗ k) . . .<br />

m<br />

. ..<br />

.<br />

.<br />

N∑<br />

m<br />

)<br />

F j mN (⃗ k)<br />

(<br />

)<br />

ia j mN kjN z + 1 2 bj mN<br />

F j mN (⃗ k)<br />

F j−<br />

11 (⃗ k) . . . F j−<br />

1N (⃗ k)<br />

.<br />

.<br />

.<br />

..<br />

.<br />

.<br />

F j−<br />

N1 (⃗ k) . . . F j−<br />

NN (⃗ k)<br />

(<br />

)<br />

−ia j m1 kj1 z + 1 2 bj m1 F j−<br />

m1 (⃗ N∑ (<br />

k) . . . −ia j m1 kjN z + 1 2 bj m1<br />

.<br />

(<br />

−ia j mN kj1 z + 1 2 bj mN<br />

)<br />

F j−<br />

m1 (⃗ k) . . .<br />

m<br />

. .. . .<br />

N∑<br />

m<br />

)<br />

F j−<br />

mN (⃗ k)<br />

(<br />

)<br />

−ia j mN kjN z + 1 2 bj mN<br />

F j−<br />

mN (⃗ k)<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

(5.12)<br />

können die Bedingungen (5.8) und (5.9) umgeschrieben werden in<br />

M jΦ ⃗ j = M j+1 P j+1Φ ⃗ j+1<br />

(5.13)<br />

Durch Multiplizieren mit <strong>der</strong> Inversen von M j erhält man die Übertragungsmatrizen<br />

⃗Φ j = M −1<br />

j M j+1 P j+1<br />

⃗ Φ j+1 = T j+1<br />

⃗ Φ<br />

j+1<br />

(5.14)<br />

5.1.2 Verschwinden <strong>der</strong> Wellenfunktion im Unendlichen<br />

Bei z → ±∞ müssen alle Komponenten <strong>der</strong> Wellenfunktion Ψ 0 (z) bzw. Ψ 2 (z)<br />

verschwinden. Bei positivem Imaginärteil von kz<br />

0n müssen wegen<br />

lim<br />

z→−∞ eik zz =<br />

lim<br />

z→−∞ ei(k r+k i i)z =<br />

lim<br />

z→−∞ e−k iz · e ikrz = ±∞ (5.15)<br />

die A 0 n = 0 sein, da diese Terme bei z → ∞ nicht exponentiell abklingen. Die<br />

Bne 0 −ik0n z z -Terme verschwinden dagegen bei z → −∞. Synchron müssen Bn 2 = 0<br />

sein für ein Abklingen von Ψ 2 (z) bei z → +∞ gegen Null.<br />

⎡ ⎤<br />

⎡<br />

0<br />

A 2 ⎤<br />

1<br />

.<br />

.<br />

⃗Φ 0 =<br />

0<br />

B1<br />

0 ⃗Φ 2 =<br />

A 2 N 0 (5.16)<br />

⎢ . ⎥<br />

⎢ . ⎥<br />

⎣ . ⎦<br />

⎣ . ⎦<br />

0<br />

Falls man ein k 0n<br />

z<br />

k 0n<br />

z<br />

B 0 N<br />

mit negativem Imaginärteil erhält, wird das Inverse −kz<br />

0n anstatt<br />

genommen. Somit hat man sich festgelegt, daß alle Terme mit den Linearfaktoren<br />

A 0 n bei z → ∞ exponentiell zunehmen und alle Terme mit den Linearfaktoren<br />

B 0 n bei z → ∞ exponentiell abnehmen. Dies erspart eine unnötige Fallunterscheidung.


5.1. DER LÖSUNGSALGORITHMUS 65<br />

5.1.3 Die Übertragungsfunktion<br />

Gesucht wird die Gesamtübertragungsmatrix<br />

U = T 1 · T 2<br />

= (M0 −1 M 1P 1 )(M1 −1 M 2P 2 ) (5.17)<br />

[ ]<br />

Ua U<br />

=<br />

b<br />

U c U d<br />

mit den N × N-Matrizen U a , U b , U c und U d , die (5.16) erfüllt und für die sie somit<br />

die Eigenwerte liefert.<br />

[ ] [ ] [ ]<br />

0<br />

⃗Φ 0 Ua U<br />

= B ⃗ 0<br />

=<br />

b ⃗A 2<br />

= U Φ<br />

U c U d 0<br />

⃗ 2 (5.18)<br />

Diese Bedingung ist nur erfüllt, wenn<br />

und somit<br />

[<br />

0<br />

]<br />

= Ua<br />

[ ⃗A 2 ] (5.19)<br />

t = det U a = 0 (5.20)<br />

wird. Die energieabhängige Funktion t(E) wird als Übertragungsfunktion bezeichnet.<br />

U a und somit det U a sind in <strong>der</strong> Regel komplex. Es wäre zwar möglich, unabhängig<br />

für den realen und den imaginären Teil von t(E) nach Nulldurchgängen, also Vorzeichenwechseln,<br />

zu suchen. Dies ist jedoch numerisch nicht umsetzbar, weil sich <strong>der</strong><br />

Imaginär- und <strong>der</strong> Realteil oft in <strong>der</strong> Größenordnung drastisch unterscheiden und<br />

Zahlen nahe <strong>der</strong> Rechengenauigkeit des Computers schnell das Vorzeichen wechseln.<br />

Deshalb ist es vernünftiger, nach den Nullstellen von |t(E)| zu suchen. Dies ist paradoxerweise<br />

numerisch auch nicht möglich. Der Computer kann E nicht so genau<br />

auflösen, daß |t(E)| = 0 wird; es gibt jedoch ein deutliches Minimum des Betrages<br />

mit einem Wert nahe bei Null. Die Erfahrung zeigt, daß alle Minima von |t(E)| für<br />

E innerhalb des Quanten-Well-Potentials Eigenwerte sind. Ein Beispiel für |t(E)|<br />

zeigt Abbildung 5.2 auf Seite 69 für den Einbandfall.<br />

5.1.4 Ermittlung <strong>der</strong> Wellenfunktionen<br />

Man erhält für die Eigenenergie, für die (5.20) erfüllt ist, die Linearfaktoren A 2 n<br />

durch Lösen des linearen Gleichungssystems (5.19). Diese sind bis auf eine Konstante<br />

bestimmt. Die Faktoren A 1 n, B 1 n und B 0 n findet man durch Multiplikation mit T 3<br />

bzw. U c .<br />

[ ⃗A 1<br />

⃗B 1 ]<br />

= T 3<br />

[ ⃗A 2<br />

0<br />

⃗B 0 = U c<br />

⃗ A<br />

2<br />

]<br />

(5.21)<br />

(5.22)<br />

Normiert wird die Wellenfunktion durch die For<strong>der</strong>ung<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

Ψ ∗ (z)Ψ(z)dz = 1 (5.23)<br />

also durch Teilen aller Linearfaktoren A j n und B j n durch die Wurzel des Integrals.


66 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />

Da die Bedingung det U a = 0 jedoch nicht völlig erreicht werden kann, wird<br />

U a auch keine exakte singuläre Matrix sein. Da <strong>der</strong> Vektor <strong>der</strong> Linearvektoren ⃗ A 2<br />

bis auf eine Konstante festgelegt ist, kann einer <strong>der</strong> Linearfaktoren gewählt und die<br />

an<strong>der</strong>en so ermittelt werden, daß <strong>der</strong> gemachte Fehler so klein wie möglich ist. Setzt<br />

man o.E.d.A. A 2 1 = 1, ist das überbestimmte Gleichungssystem<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

0<br />

.<br />

.<br />

.<br />

.<br />

0<br />

⎤<br />

⎡<br />

⎥<br />

⎦ = U a ⎢<br />

⎣<br />

1<br />

A 2 2<br />

.<br />

A 2 N<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

(5.24)<br />

zu lösen. Hierfür eignet sich z.B. die Gauß’sche Methode <strong>der</strong> kleinsten Fehlerquadrate.<br />

5.2 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung<br />

Die Einbandschrödingergleichung im Quantum-Well wird gelöst zur Ermittlung <strong>der</strong><br />

Eigenzustände<br />

(a) am Γ-Punkt durch die Entkoppelung <strong>der</strong> HH- und LH- Bän<strong>der</strong> für den 4×4-<br />

Hamiltonian (4.46),<br />

(b) am Γ-Punkt durch die Entkoppelung des HH-Bandes für den 6×6-Hamiltonian<br />

(4.53),<br />

(c) für das Leitungsband (4.54) o<strong>der</strong> (4.57) und<br />

(d) für die ungekoppelten Löcherbandstrukturmodelle (4.60) bis (4.62)<br />

Es wird dieser allgemeine Fall betrachtet, <strong>der</strong> all diese Gleichungen vereint:<br />

(<br />

¯h 2<br />

¯h 2 ∂ 2<br />

)<br />

2m ∗ ρ(E, z) k2 ρ −<br />

2m ∗ z(E, z) ∂z 2 + V (z) ± ζ(z) + δE hy(z) φ(z) = Eφ(z) (5.25)<br />

Die Richtungs- und Energieabhängigkeit <strong>der</strong> effektiven Masse tritt nur bei (4.57)<br />

auf. Die Aufspaltung ζ(z) durch die Scherspannung gibt es nur bei den Gleichungen<br />

für die HH- und LH-Bän<strong>der</strong>. Für die unverspannte Betrachtung ist ζ(z) =<br />

δE hy (z) = 0. Für (a) und (b) vereinfachen sich die Einbandschrödingergleichungen<br />

durch den Wegfall des kρ- 2 Termes. Sowohl richtungs- und energieabhängige Masse,<br />

Verspannungen, als auch kρ-Term 2 können in einer Methode behandelt werden.<br />

Das Potential des Quantum-Wells im Flachbandfall sei<br />

⎧<br />

⎨ V 0 = ∆E C/V : z < 0<br />

V (z) = V 1 = 0 : 0 ≤ z ≤ L<br />

(5.26)<br />

⎩<br />

V 2 = ∆E C/V : L < z<br />

Dies kann man für Elektronen und Löcher ansetzen, wenn man für beide positive<br />

effektive Massen nimmt und die Energiekoordinate für die Löcher umdreht (siehe<br />

auch Abbildung 5.1). Bei <strong>der</strong> <strong>Berechnung</strong> wird <strong>der</strong> Nullpunkt <strong>der</strong> Energie auf das<br />

Potential des unverspannten (!) Quantum-Wells gesetzt. Aus dem Rechnungskoordinatensystem<br />

kann man Energien Ē in tatsächliche Energien E durch<br />

E(CB) = Ē(CB) + ∆E C (5.27)<br />

E(V B) = ∆E V − Ē(V B) (5.28)


5.2. BERECHNUNG DER EINBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 67<br />

umrechnen.<br />

Gleichung (5.25) kann in eine einfachere Form gebracht werden, indem man die<br />

Verspannungsterme und die k 2 ρ-Terme im Potential integriert. Man erhält ein neues<br />

Potential<br />

⎧<br />

V ⎪⎨ 0 = ∆E C/V ± ζ B + δEhy B (z) + ¯h 2<br />

2m B ρ (Ē,z)k2 ρ : z < 0<br />

V h (z, Ē, k ρ) = V 1 = ±ζ W + δEhy W (z) + ¯h 2<br />

2m<br />

⎪⎩<br />

W ρ (Ē,z)k2 ρ : 0 ≤ z ≤ L<br />

V 2 = ∆E C/V ± ζ B + δEhy B (z) + ¯h 2<br />

2m B ρ (Ē,z)k2 ρ : L < z<br />

(5.29)<br />

mit den effektiven Massen parallel zum Quantengraben in <strong>der</strong> Barriere m B ρ (Ē, z)<br />

und innerhalb des Quantum-Wells m W ρ (Ē, z). Das Substrat wird verspannt durch<br />

äussere Spannung T , so daß für die reine gitterangepaßte Verspannung ζ B und<br />

δEhy B (z) Null sind. Der Term ±ζW + δEhy W (z) resultiert aus <strong>der</strong> Anpassung des<br />

Gitters im Quantum-Well infolge unterschiedlicher Gitterkonstanten (siehe 4.3).<br />

Die neue Form <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung ist<br />

(−¯h2<br />

2<br />

∂<br />

∂z<br />

)<br />

1 ∂<br />

m ∗ z(z) ∂z + V h(z, Ē, k ρ) Ψ n (z) = Ēn(k ρ ) Ψ n (z) (5.30)<br />

Die Eigenenergie im homogenen Material des Bereiches j ist mit k z anstatt −i ∂ ∂z<br />

Ē =<br />

¯h2<br />

2m ∗ z<br />

(k j z) 2 + V j (Ē, k ρ) (5.31)<br />

Der ”<br />

Eigenvektor“ ist 1. So ist <strong>der</strong> Ansatz für die Wellenfunktionen analog zu (5.5)<br />

mit<br />

Ψ j (z) = A j e ikj(z−dj) + B j e −ikj(z−dj) (5.32)<br />

√<br />

k z(Ē) j = 2m j )<br />

z<br />

(Ē − V j<br />

¯h 2 (Ē, k ρ)<br />

(5.33)<br />

und <strong>der</strong> effektiven Bulkmasse m j z im Bereich j.<br />

Da in <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung im Bulk (5.31) nur k 2 z-, jedoch keine<br />

k z -Terme vorkommen, ist a j = ¯h 2 /2m j z und b j = 0. So sind die Grenzbedingungen<br />

(5.6) und (5.7) mit Kürzen von ¯h 2 /2<br />

1<br />

m j z<br />

Ψ j (d j ) = Ψ j+1 (d j ) (5.34)<br />

d<br />

dz Ψ 1 d<br />

j(d j ) =<br />

m j+1<br />

z dz Ψ j+1(d j ) (5.35)<br />

und ausgeschrieben wie in (5.8) und (5.9) mit Kürzen von i<br />

k j z<br />

m j z<br />

A j + B j = A j+1 e ikj+1 z l j<br />

+ B j+1 e −ikj+1<br />

(A j − B j) = kj+1 z<br />

m j+1<br />

z<br />

z l j<br />

(5.36)<br />

)<br />

(A j+1 e ikj+1 z l j<br />

− B j+1 e −ikj+1 z l j<br />

Diese Gleichungen lassen sich in Matrizenform (5.39) schreiben<br />

(5.37)<br />

(5.38)<br />

M j<br />

⃗ Φ j = M j+1 P j+1<br />

⃗ Φ<br />

j+1<br />

(5.39)


68 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />

mit<br />

und<br />

P j =<br />

[<br />

M j =<br />

e −ikj z l j<br />

0<br />

0 e ikj z l j<br />

[<br />

1 1<br />

k j z<br />

m j z<br />

− kj z<br />

m j z<br />

Die Inverse von M j lässt sich einfach ausdrücken<br />

⎡<br />

M −1<br />

j = 1 ⎣ 1<br />

2<br />

m j z<br />

k j z<br />

1 − mj z<br />

k j z<br />

Die Übertragungsmatrix T j+1 vom Bereich j + 1 zu j ist<br />

]<br />

]<br />

⎤<br />

(5.40)<br />

(5.41)<br />

⎦ (5.42)<br />

T j+1 = M −1<br />

j M j+1 P j+1 (5.43)<br />

⎡ (<br />

)<br />

) ⎤<br />

= 1 1 + mj z k j+1<br />

e −ikj+1<br />

⎣ kz<br />

j m j+1<br />

z l j+1<br />

(1 − mj z k j+1<br />

e ikj+1<br />

z<br />

kz<br />

j m j+1 z l j+1<br />

(<br />

)<br />

z ) ⎦(5.44)<br />

2 1 − mj z k j+1<br />

e −ikj+1<br />

kz<br />

j m j+1<br />

z l j+1<br />

(1 + mj z k j+1<br />

e ikj+1<br />

z<br />

kz<br />

j m j+1 z l j+1<br />

z<br />

Die Übertragung vom Bereich j = 2 zum Bereich j = 0 wird durch das Produkt<br />

erreicht.<br />

( ) ( )<br />

A<br />

0<br />

A<br />

2<br />

B 0 = T 1 · T 2<br />

B 2 = 1 ( ) ( )<br />

Ua U b A<br />

2<br />

2 U c U d B 2 (5.45)<br />

Die Bedingung (5.16), daß die Wellenfunktion im Unendlichen 0 wird, hat zur<br />

Folge, daß A 0 = 0 und B 2 = 0 sein müssen. Das ist erfüllt, wenn U a = 0 wird<br />

(5.46). Diese Bedingung wird jedoch nur für diskrete Energien erfüllt.<br />

U a = 1 4<br />

= 1 4<br />

[ (<br />

1 + m0 z<br />

k 0 z<br />

[(<br />

1<br />

1 − m0 z<br />

4 kz<br />

[ 0 (<br />

1 + m0 z<br />

k 0 z<br />

kz<br />

1<br />

m 1 z<br />

kz<br />

1<br />

m 1 z<br />

kz<br />

1<br />

m 1 z<br />

)<br />

e −ik1 z L ][ (<br />

1 + m1 z<br />

k 1 z<br />

)<br />

e ik1 z L ] [(<br />

1 − m1 z<br />

)(<br />

1 + m1 z<br />

k 1 z<br />

kz<br />

2<br />

m 2 z<br />

k 1 z<br />

kz<br />

2<br />

m 2 z<br />

kz<br />

2<br />

m 2 z<br />

) ] +<br />

)]<br />

)<br />

e −ik1 z L +<br />

(<br />

1 − m0 z<br />

k 0 z<br />

kz<br />

1<br />

m 1 z<br />

)(<br />

1 − m1 z<br />

k 1 z<br />

kz<br />

2<br />

m 2 z<br />

)<br />

e ik1 z L ]<br />

= 0 (5.46)<br />

Mit <strong>der</strong> Annahme, daß die Bereiche j = 0 und j = 2 dasselbe Material haben<br />

und t(Ē) = 4U a ist, führt zu k 2 z = k 0 z und m 2 z = m 0 z und<br />

t(Ē) =<br />

(<br />

1 + m0 z<br />

k 0 z<br />

kz<br />

1<br />

m 1 z<br />

)(<br />

1 + m1 z<br />

k 1 z<br />

kz<br />

0<br />

m 0 z<br />

) (<br />

e −ik1 z L + 1 − m0 z<br />

kz<br />

0<br />

kz<br />

1<br />

m 1 z<br />

)(<br />

1 − m1 z<br />

k 1 z<br />

kz<br />

0<br />

m 0 z<br />

)<br />

e ik1 z L = 0<br />

(5.47)<br />

Die Nullstellen von t(Ē) werden ermittelt, indem die Orte <strong>der</strong> Singularitäten von<br />

log(|t(Ē)|) gesucht werden. log(|t(Ē)|) ist in <strong>der</strong> Abbildung 5.2 auf Seite *** (obere<br />

Kurve) für die schweren Löcher bei k ρ = 0 in einem 10nm breiten, unverspannten<br />

GaAs−Al 0,1 Ga 0,9 As- Quantum-Well dargestellt. Es ist m 0 z = m 0 ρ = m Al0,1Ga 0,9As =<br />

0, 3885m 0 , m 1 z = m 1 ρ = m GaAs = 0, 3774m 0 , V 0 = 0, 0562 eV und V 1 = 0. Man


5.3. BERECHNUNG DER ZWEIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 69<br />

Abbildung 5.2: (a) Die obere Kurve ist die Übertragungsfunktion (5.47) für<br />

die schweren Löcher bei k ρ = 0 in einem 10nm breiten, unverspannten<br />

GaAs − Al 0,1 Ga 0,9 As-Quantum-Well. Die Singularitäten<br />

sind die Eigenenergien. (b) Die untere Kurve ist die<br />

optimierte Übertragungsfunktion (5.48) für dieselbe Einbandschrödingergleichung.<br />

Zu den Eigenenergien ĒHH1 = 0, 0061 eV ,<br />

Ē HH2 = 0, 0238 eV und ĒHH3 = 0, 0493 eV kommt eine Singularität<br />

hinzu, die keine Lösung <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung<br />

ist.<br />

erkennt drei Singularitäten bei Ē HH1 = 0, 0061 eV (E HH1 = 0, 0501 eV ), Ē HH2 =<br />

0, 0238 eV (E HH2 = 0, 0324 eV ) und ĒHH3 = 0, 0493 eV (E HH3 = 0, 0069 eV ). Nur<br />

in dem Intervall V 1 = 0 < Ē < ∆Ēv = V 0 können Nullstellen vorkommen.<br />

Die Gleichung (5.47) kann man in eine einfachere umformen (5.48). Dabei tritt<br />

jedoch bei Ē = 0 eine Singularität auf, die keine Lösung ist (siehe untere Kurve im<br />

Diagramm 5.2).<br />

˜t(Ē) = eik1L − m0 zk 1 z + k 0 zm 1 z<br />

m 0 zk 1 z − k 0 zm 1 z<br />

= 0 (5.48)<br />

Zur Ermittlung <strong>der</strong> Wellenfunktion werden die A j und B j benötigt. O.E.d.A.<br />

wird A 2 = 1 gesetzt. Für das flache Potential (5.26) und gleiche Materialien für<br />

j = 0 und j = 2 ist U c = 1 , wie man leicht nachrechnen kann. Somit ist B 0 = 1. A 1<br />

und B 1 folgen durch Multiplikation mit T 3 . Zusammengefaßt sind die unnormierten<br />

Linearfaktoren<br />

⎡ ⎤<br />

[ ] 0 ⃗Φ 0 =<br />

1<br />

⃗Φ 1 = 1 2<br />

⎣ 1 + m1 z k0 z<br />

k 1 z m0 z<br />

1 − m1 z k0 z<br />

k 1 z m0 z<br />

[ ]<br />

⎦ Φ ⃗ 1 2 =<br />

0<br />

(5.49)<br />

Normiert werden sie durch Division durch die Wurzel des Integrals (5.23), also<br />

durch<br />

√ 2i<br />

kz<br />

0<br />

(<br />

+ i<br />

( ) (<br />

)<br />

2kz<br />

1 2 m1 zkz<br />

0<br />

kzm 1 0 + 1 − m1 zkz<br />

0<br />

z kzm 1 0 e −ik1 z L − 1 + m1 zkz<br />

)e 0<br />

z<br />

kzm ik1 1 0 z L<br />

z<br />

(5.50)<br />

5.3 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Zweibandschrödingergleichung<br />

Im Quantum-Well gibt es zwei Anwendungen für die Zweibandschrödingergleichung:<br />

1. die gekoppelte <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> leichten und schweren Löcher mit<br />

dem blockdiagonalisierten 4×4-Hamiltonian (4.44) und


70 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />

2. am Γ-Punkt die Kalkulation <strong>der</strong> gekoppelten LH- und SO-Bän<strong>der</strong> mit dem<br />

blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian (4.52).<br />

5.3.1 Die Kopplung <strong>der</strong> HH- und LH-Bän<strong>der</strong><br />

Der blockdiagonaliserte Hamiltonian ist (4.44)<br />

⎡<br />

2×2 = P ± Q ± ζ<br />

⎢<br />

⎣<br />

˜R ∗<br />

H U|L<br />

˜R<br />

P ∓ Q ∓ ζ<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦ + δE hy (5.51)<br />

In das Potential des Quantum-Wells im Flachbandfall (5.26) wird die hydrostatische<br />

Verspannung hineingenommen und es ist<br />

⎧<br />

⎨ V 0 = ∆E C/V + δEhy B (z) : z < 0<br />

V h (z) = V 1 = δEhy W ⎩<br />

(z) : 0 ≤ z ≤ L (5.52)<br />

V 2 = ∆E C/V δEhy B (z) : L < z<br />

Die zu lösende Schrödingergleichung ist (im <strong>Berechnung</strong>skoordinatensystem)<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

P ± Q ± ζ + V h (z)<br />

˜R ∗<br />

˜R<br />

P ∓ Q ∓ ζ + V h (z)<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦ Ψ n(z) = Ēn(kx, ky) Ψ n (z) (5.53)<br />

Für symmetrische Quantum-Wells sind die Ergebnisse von H U und H L gleich.<br />

Die Untersuchungen werden deshalb ab nun auf H U beschränkt.<br />

Die beiden Eigenenergien im homogenen Material sind<br />

√<br />

Ē HH/LH − V h = P ∓ (Q + ζ) 2 + ˜R ˜R ∗ (5.54)<br />

[<br />

= A(kρ 2 + kz) 2 ± B 2 (kρ 2 + kz) 2 2 + C 2 (kxk 2 y 2 + kyk 2 z 2 + kzk 2 x)<br />

2<br />

Dabei sind<br />

+Bζ(k 2 ρ − 2k 2 z) + ζ 2] 1/2<br />

A = ¯h2 γ 1<br />

2m 0<br />

(¯h 2 )<br />

γ 2<br />

B = 2<br />

2m 0<br />

( ¯h<br />

2<br />

)2<br />

C 2 = 12 (γ3 2 − γ<br />

2m<br />

2)<br />

2<br />

0<br />

(5.55)<br />

Daraus ergibt sich für k z<br />

{<br />

)<br />

k z(Ē) 2 = 1<br />

A 2 − B 2 A(Ē − V h) −<br />

(A 2 − B 2 − C2<br />

kρ 2 − Bζ<br />

2<br />

[B 2 (Ē − V h) 2 + AC 2 kρ(Ē 2 − V h) − C<br />

(A 2 2 − B 2 − C2<br />

±<br />

4<br />

] } 1/2<br />

−Bζ[2A(Ē − V h) − (3A 2 − 3B 2 − C 2 )kρ] 2 + A 2 ζ 2<br />

)<br />

k 4 ρ + C 2 (A 2 − B 2 )k 2 xk 2 y<br />

(5.56)


5.3. BERECHNUNG DER ZWEIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 71<br />

Das Plus in ”<br />

±“ ist für die schweren Löcher, das Minus für die leichten, wie man<br />

durch Setzen von k ρ = 0 im Vergleich mit den entkoppelten k z am Zonenzentrum<br />

überprüfen kann. Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> schweren und <strong>der</strong> leichten Löcher für<br />

H U sind:<br />

Ψ HH (⃗r) =<br />

Ψ LH (⃗r) =<br />

[ ]<br />

F1HH<br />

e<br />

F i⃗k⃗r =<br />

2HH<br />

[ ]<br />

F1LH<br />

e<br />

F i⃗k⃗r =<br />

2LH<br />

[ ]<br />

P − (Q + ζ) − Ē<br />

− ˜R ∗ e i⃗ k⃗r<br />

[<br />

]<br />

˜R ∗<br />

e i⃗ k⃗r<br />

Ē − P − (Q + ζ)<br />

(5.57)<br />

(5.58)<br />

So ist <strong>der</strong> Ansatz für die Wellenfunktionen analog zu (5.5)<br />

Ψ j (z) = A j HH<br />

+ B j HH<br />

[<br />

F<br />

j<br />

1HH<br />

F j 2HH<br />

[<br />

F<br />

j−<br />

1HH<br />

F j−<br />

2HH<br />

]<br />

]<br />

e ikj,HH z (z−d j) + A j LH<br />

e −ikj,HH z (z−d j ) + B j LH<br />

[<br />

F<br />

j<br />

1LH<br />

F j 2LH<br />

[<br />

F<br />

j−<br />

1LH<br />

F j−<br />

2LH<br />

]<br />

e ikj,LH z (z−d j)<br />

]<br />

e −ikj,LH z (z−d j )<br />

(5.59)<br />

Das Minus in F j−<br />

1/2 HH/LH ersetzt kj z durch −kz.<br />

j<br />

Die kz- 2 und k z -Terme in (5.51) sind<br />

mit<br />

a =<br />

[<br />

u 0<br />

0 w<br />

]<br />

b =<br />

[<br />

0 v<br />

−v 0<br />

]<br />

(5.60)<br />

u = ¯h2<br />

2m (γ 1 − 2γ 2 )<br />

So müssen an den Bereichsgrenzen<br />

v = √ 3 ¯h2<br />

2m γ 3k ρ<br />

w = ¯h2<br />

2m (γ 1 + 2γ 2 ) (5.61)<br />

⎡<br />

⎣ uj ∂ ∂z<br />

−v j<br />

v j<br />

w j ∂ ∂z<br />

Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.62)<br />

⎤<br />

⎡<br />

⎤<br />

⎦ Ψ j (z) = ⎣ uj+1 ∂ ∂z<br />

v j+1<br />

⎦ Ψ j+1 (z) (5.63)<br />

−v j+1<br />

w j+1 ∂ ∂z<br />

gelten. Die Grenzbedingungen können in Matrizen geschrieben werden<br />

⎡ ⎤<br />

⎡<br />

A j,HH<br />

A (j+1),HH ⎤<br />

M j<br />

⎢ A j,LH<br />

⎥<br />

⎣ B j,HH ⎦ = M j+1P j+1<br />

⎢ A (j+1),LH<br />

⎥<br />

⎣ B (j+1),HH ⎦ (5.64)<br />

B j,LH<br />

B (j+1),LH<br />

mit<br />

und<br />

⎡<br />

P j =<br />

⎢<br />

⎣<br />

e −ikj,HH z l j<br />

0 0 0<br />

0 e −ikj,LH z l j<br />

0 0<br />

0 0 e ikj,HH z l j<br />

0<br />

0 0 0 e ikj,LH<br />

z l j ⎥<br />

⎦<br />

⎤<br />

(5.65)


72 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />

⎡<br />

M j =<br />

⎢<br />

⎣<br />

F j 1HH<br />

F j 2HH<br />

F j 1LH<br />

F j 2LH<br />

(iu j k j,HH<br />

z F j 1HH + vj F j 2HH ) (iuj k j,LH<br />

z F j 1LH + vj F j 2LH )<br />

(−v j F j 1HH + iwj k j,HH<br />

z F j 2HH ) (−vj F j 1LH + iwj k j,LH<br />

z F j 2LH )<br />

F j−<br />

1HH<br />

F j−<br />

2HH<br />

(−iu j kz<br />

j,HH F j−<br />

1HH + vj F j−<br />

2HH )<br />

(−v j F j−<br />

1HH − iwj kz<br />

j,HH F j−<br />

2HH )<br />

F j−<br />

1LH<br />

F j−<br />

2LH<br />

(−iuj kz<br />

j,LH F j−<br />

1LH + vj F −j<br />

2LH )<br />

(−vj F j−<br />

1LH − iwj kz<br />

j,LH<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

2LH )<br />

F −j<br />

(5.66)<br />

Die Gesamtübertragungsmatrix U, die<br />

⎡ ⎤<br />

0<br />

0<br />

⎢ B<br />

⎣<br />

HH<br />

0 = U<br />

⎥<br />

⎦<br />

B 0 LH<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

A 2 HH<br />

A 2 LH<br />

0<br />

0<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

(5.67)<br />

erfüllt, kann nicht mehr so einfach hingeschrieben werden.<br />

U = (M0 −1 1P 1 )(M1 −1 2P 2 )<br />

=<br />

[ ]<br />

Ua U b<br />

U c U d<br />

Ē wird die Über-<br />

U a , U b , U c und U d sind 2×2-Matrizen. Bei den Eigenenergien<br />

tragungsfunktion<br />

(5.68)<br />

Für die Linearfaktoren A 2 HH und A2 LH gilt<br />

U a<br />

[ A<br />

2<br />

HH<br />

A 2 LH<br />

]<br />

=<br />

t(Ē) = det U a = 0 (5.69)<br />

U 21 U 22 A 2 LH<br />

[<br />

U11 U 12<br />

] [ A<br />

2<br />

HH<br />

]<br />

=<br />

[ 0<br />

0<br />

]<br />

(5.70)<br />

Da U a bei den numerisch ermittelten Energieeigenwerten keine exakt singuläre<br />

Matrix wird, wird A 2 HH = 1 und A2 LH auf den Mittelwert <strong>der</strong> beiden Lösungen des<br />

überbestimmten Gleichungssystems gesetzt.<br />

(<br />

A 2 HH = 1 A2 LH = −1 U11<br />

+ U )<br />

21<br />

(5.71)<br />

2 U 12 U 22<br />

Je genauer die Lösungen von (5.69) bestimmt wurden, desto genauer sind A 2 HH<br />

und A 2 LH . Die an<strong>der</strong>en Linearfaktoren werden durch Multiplikation mit T 3 bzw.<br />

U c bestimmt. Schlußendlich werden die Wellenfunktionen durch Integration über z<br />

normiert.


5.3. BERECHNUNG DER ZWEIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 73<br />

5.3.2 HH- und LH-Bän<strong>der</strong> in axialer Näherung<br />

Einen radialsymmetrischen Hamiltonian erhält man mit <strong>der</strong> axialen Approximation<br />

(siehe Abschnitt 4.4.2). ˜R än<strong>der</strong>t sich zu (4.49). Dadurch werden die beiden<br />

Eigenenergien im homogenen Material<br />

√<br />

Ē HH/LH − V h = P ∓ (Q + ζ) 2 + ˜R ˜R ∗ (5.72)<br />

√<br />

= A(kρ 2 + kz) 2 ± B 2 kz 4 + 2D 2 kρk 2 z 2 + C 2 kρ 4 + Bζ(kρ 2 − 2kz) 2 + ζ 2<br />

Es sind hier<br />

Für k z ergibt sich<br />

A = ¯h2 γ 1<br />

C 2 = 1 ¯h 2 (<br />

)<br />

7γ2 2 + 6γ 2 γ 3 + 3γ3<br />

2 2m 0 4 2m 0<br />

(¯h 2 )<br />

γ<br />

( ) (5.73)<br />

2<br />

B = 2<br />

D 2 = 2 ¯h2 3γ3 2 − γ2<br />

2 2m 0 2m 0<br />

{<br />

k z(Ē) 2 = 1<br />

A 2 − B 2 A(Ē − V h) − ( A 2 − D 2) [<br />

kρ 2 − Bζ ± B 2 (Ē − V h) 2<br />

+2A(D 2 − B 2 )kρ(Ē 2 − V h) − ( D 4 − C 2 B 2 + A 2 (B 2 + C 2 − 2D 2 ) ) kρ<br />

4<br />

}<br />

−Bζ[2A(Ē − V h) − (3A 2 − B 2 − 2D 2 )kρ] 2 + A 2 ζ 2] 1/2<br />

(5.74)<br />

5.3.3 Koppelung <strong>der</strong> LH- und SO-Bän<strong>der</strong> bei k ρ = 0<br />

Betrachtet man den blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian <strong>der</strong> HH-, LH- und SO-<br />

Bän<strong>der</strong> (4.52), entkoppelt das Band <strong>der</strong> schweren Löcher am Zonenzentrum von<br />

den LH- und SO-Bän<strong>der</strong>n, wie Gleichung (4.53) zeigt. Die LH- und SO-Bän<strong>der</strong><br />

bleiben gekoppelt und werden in einer Zweibandschrödingergleichung gelöst, dessen<br />

Hamiltonianmatrix folgende ist:<br />

H U/L =<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎤<br />

√<br />

P − Q − ζ 2(Q + ζ)<br />

√<br />

⎥<br />

⎦ + δE hy (5.75)<br />

2(Q + ζ) P + ∆<br />

Das anliegende Potential sei (5.52). So sind die Eigenenergien im homogenen<br />

Material<br />

E − V h = P − Q 2 + ∆ − ζ<br />

2<br />

mit<br />

= (A + B)k 2 z + ∆ − ζ<br />

2<br />

± 1 √<br />

(<br />

9 Q + ζ<br />

2<br />

√<br />

± 1 2<br />

) 2 ( )<br />

+ 2∆Q + ∆ ∆ + 2ζ<br />

36B 2 k 4 z − 4B<br />

(5.76)<br />

( )<br />

9ζ + ∆ kz 2 + 9ζ 2 + 2ζ∆ + ∆ 2<br />

Mögliche Eigenfunktionen sind<br />

A = ¯h2 γ 1<br />

2m 0<br />

B = ¯h2 γ 2<br />

2m 0<br />

(5.77)


74 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />

Ψ LH (⃗r) =<br />

Ψ SO (⃗r) =<br />

[<br />

F1LH<br />

]<br />

e<br />

F i⃗k⃗r =<br />

2LH<br />

[ ]<br />

F1SO<br />

e<br />

F i⃗k⃗r =<br />

2SO<br />

[ √ ]<br />

2(Q + ζ)<br />

e i⃗ k⃗r<br />

Ē − P + Q + ζ<br />

[ ] Ē<br />

√ − P − ∆<br />

e i⃗ k⃗r<br />

2(Q + ζ)<br />

(5.78)<br />

(5.79)<br />

mit den Wellenvektoren in z-Richtung<br />

{<br />

k z(Ē) 2 = 1<br />

(A + B)(Ē (A + 4B)(A − 2B)<br />

− V h) − (A + 2B) ∆ 2 + (A − 8B)ζ 2<br />

± 1 [<br />

36B 2 (Ē 2<br />

− V h) 2 − 4B(10B∆ + 9Aζ + A∆)(Ē − V h)9A 2 ζ 2<br />

] } 1/2<br />

+(A + 2B) 2 ∆ 2 + 2A(A + 10B)∆ζ<br />

(5.80)<br />

Das Plus in ”<br />

±“ ist für die leichten Löcher, das Minus für das Spinorbitalband.<br />

Die Wellenfunktionen werden analog zu (5.5) mit<br />

Ψ j (z) = A j LH<br />

+ B j LH<br />

[<br />

F<br />

j<br />

1LH<br />

F j 2LH<br />

[<br />

F<br />

j−<br />

1LH<br />

F j−<br />

2LH<br />

]<br />

]<br />

e ikj,LH z (z−d j ) + A j SO<br />

e −ikj,LH z (z−d j) + B j SO<br />

[<br />

F<br />

j<br />

1SO<br />

F j 2SO<br />

[<br />

F<br />

j−<br />

1SO<br />

F j−<br />

2SO<br />

]<br />

e ikj,SO z (z−d j )<br />

]<br />

e −ikj,SO z (z−d j) (5.81)<br />

angesetzt. Das Minus in F j−<br />

1/2 LH/SO ersetzt kj z durch −k j z.<br />

Die k 2 z- und k z -Terme in (5.75) sind<br />

mit<br />

[ ]<br />

u v<br />

a =<br />

v w<br />

b =<br />

[<br />

0 0<br />

0 0<br />

]<br />

(5.82)<br />

u = ¯h2<br />

2m (γ 1 + 2γ 2 )<br />

Die Grenzbedingungen sind<br />

v = −2 √ 2 ¯h2<br />

2m γ 2<br />

w = ¯h2<br />

2m γ 1 (5.83)<br />

Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.84)<br />

[ u<br />

j<br />

v j ]<br />

[<br />

∂<br />

u<br />

j+1<br />

v j+1 ]<br />

∂<br />

v j w j ∂z Ψj (z) =<br />

v j+1 w j+1 ∂z Ψj+1 (z) (5.85)<br />

In <strong>der</strong> Matrixschreibweise <strong>der</strong> Grenzbedingungen (5.13) ist P j (5.65) und M j ist<br />

⎡<br />

M j =<br />

⎢<br />

⎣<br />

F j 1LH<br />

F j 2LH<br />

F j 1SO<br />

F j 2SO<br />

ik j,LH<br />

z (u j F j 1LH + vj F j 2LH ) ikj,SO z (u j F j 1SO + vj F j 2SO )<br />

ik j,LH<br />

z (v j F j 1LH + wj F j 2LH ) ikj,SO<br />

z<br />

(v j F j 1SO + wj k j,SO<br />

z F j 2SO )


5.4. BERECHNUNG DER DREIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 75<br />

F j−<br />

1LH<br />

F j−<br />

2LH<br />

−ikz<br />

j,LH (u j F j−<br />

1LH + vj F j−<br />

2LH )<br />

−ikz<br />

j,LH (v j F j−<br />

1LH + wj F j−<br />

2LH )<br />

F j−<br />

1SO<br />

F j−<br />

2SO<br />

−ikj,SO z (u j F j−<br />

1SO + vj F −j<br />

2SO )<br />

−ikj,SO z (v j F j−<br />

1SO + wj F −j<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

2SO )<br />

(5.86)<br />

Die Gesamtübertragungsmatrix, die Eigenenergien und die Wellenfunktionen<br />

werden nun wie in Abschnitt 5.3.1 ermittelt.<br />

5.4 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Dreibandschrödingergleichung<br />

Die Dreibandschrödingergleichung im Quantum-Well erhält man durch Blockdiagonalisierung<br />

des Luttinger-Kohn-6×6-Hamiltonian (siehe 4.5). Sie beschreibt die<br />

Zustände <strong>der</strong> schweren, leichten und Spinorbitallöcher im reziproken Raum.<br />

H U =<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

√ √<br />

P + Q + ζ<br />

˜R<br />

2|R| + i 2<br />

2 |S|<br />

⎤<br />

√<br />

˜R †<br />

√<br />

P − Q − ζ 2(Q + ζ) + i 6<br />

√ 2 |S| ⎥<br />

⎦ + δE hy<br />

√<br />

2|R| − i<br />

2<br />

2 |S| √ √<br />

2(Q + ζ) − i<br />

6<br />

2 |S| P + ∆ (5.87)<br />

Es sind<br />

}<br />

˜R<br />

˜R † = |R| ∓ i|S| =<br />

√<br />

2|R| ± i<br />

√<br />

2<br />

( ¯h<br />

2<br />

) √3 √<br />

γ2 2 2m (k2 x − ky) 2 2 + 4γ3 2k2 xky 2 ∓ i2 √ ( ¯h<br />

2<br />

)<br />

3 γ 3 k ρ k z<br />

0 2m 0<br />

2 |S| = ( ¯h<br />

2<br />

2m 0<br />

) √6 √<br />

γ2 2(k2 x − ky) 2 2 + 4γ3 2k2 xky 2 ± i √ ( ¯h<br />

2<br />

6<br />

√<br />

2(Q + ζ) ± i<br />

√<br />

6<br />

2 |S| = ( ¯h<br />

2<br />

2m 0<br />

) √2γ2<br />

(k 2 ρ − 2k 2 z) + √ 2ζ ± i3 √ 2<br />

2m 0<br />

)<br />

γ 3 k ρ k z<br />

( ¯h<br />

2<br />

2m 0<br />

)<br />

γ 3 k ρ k z<br />

(5.88)<br />

Die hydrostatische Komponente <strong>der</strong> Verspannung wird im Potential V h (z) integriert<br />

und die Eigenenergien Ē(⃗ k) = E + V h + P im homogenen Material sind die<br />

Lösungen dieser Gleichung<br />

(<br />

E 3 − ∆E 2 − 3<br />

(<br />

− 3<br />

Q 2 + |R| 2 + |S| 2) E + 2Q 3 + ∆Q 2<br />

2|R| 2 − |S| 2) Q +<br />

(<br />

|R| 2 + |S| 2) ∆ − 3 √ 2|R||S| 2 = 0 (5.89)<br />

Die Lösungen sind genau wie die Auflösung nach k z nicht mehr überschaubar.<br />

Für k z ergibt sich folgende Gleichung<br />

ak 6 z + b(Ē − V h, k ρ )k 4 z + c(k ρ , k x k y )k 3 z (5.90)<br />

+ d(Ē − V h, k ρ , k x k y )k 2 z + e(k ρ , k x k y )kz + f(Ē − V h, k ρ , k x k y ) = 0<br />

Die Parameter a . . . f sind im Anhang 9 aufgelistet. Die k 3 z- und k z -Terme verursachen<br />

eine vernachlässigbare Nichtparabolizität. Nach Streichen dieser Terme


76 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />

entsteht eine bikubische Gleichung, die drei Lösungen für k 2 z besitzt. Diese können<br />

numerisch für eine konkrete Stützstelle (Ē, k x, k y ) bestimmt werden.<br />

Die Wellenfunktionen im homogenen Medium sind<br />

Ψ HH (⃗r) =<br />

Ψ LH (⃗r) =<br />

Ψ SO (⃗r) =<br />

⎡<br />

⎣ F 1HH<br />

F 2HH<br />

F 3HH<br />

⎡<br />

⎣ F 1LH<br />

F 2LH<br />

F 3LH<br />

⎡<br />

⎣ F 1SO<br />

F 2SO<br />

F 3SO<br />

⎤<br />

⎦ e i⃗ k⃗r =<br />

⎤<br />

⎦ e i⃗ k⃗r =<br />

⎤<br />

⎦ e i⃗ k⃗r =<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

˜R(|R| + i 1 2 |S|)<br />

(Ē − Vh − P − (Q + ζ))(|R| + i 1 2 |S| )<br />

√<br />

2 ˜R<br />

(<br />

)<br />

2<br />

P + Q + ζ − (Ē − V h)<br />

(Ē − Vh − P + Q + ζ)(<br />

Q + ζ + i √ )<br />

3<br />

2 |S|<br />

˜R<br />

(Q † + ζ + i √ )<br />

3<br />

2 |S|<br />

⎢<br />

⎣ √<br />

2 ˜R<br />

(<br />

)<br />

2<br />

P − (Q + ζ) − (Ē − V h)<br />

⎡ (Ē − Vh − P − ∆)(<br />

Q + ζ − i √ ) ⎤<br />

3<br />

(<br />

2 |S| )<br />

⎢ P + ∆ − (Ē ⎣<br />

− V h)<br />

)(|R| − i 1 2<br />

√ |S| ⎥<br />

)(<br />

2<br />

(|R| − i 1 2 |S| Q + ζ − i √ )<br />

3<br />

2 |S|<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦ ei⃗ k⃗r<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦ ei⃗ k⃗r<br />

⎦ ei⃗ k⃗r<br />

(5.91)<br />

Die Wellenfunktionen im Quantum-Well werden als Linearkombinationen <strong>der</strong><br />

Bulk-Wellenfunktionen analog zu (5.5) angesetzt<br />

⎡<br />

Ψ j (z) = A j ⎣<br />

HH<br />

F j 1HH<br />

F j 2HH<br />

⎤<br />

⎦ e ikj,HH z (z−d j ) + A j LH<br />

⎡<br />

⎣<br />

F j 1LH<br />

F j 2LH<br />

⎤<br />

⎦ e ikj,LH z (z−d j )<br />

⎡<br />

+ A j ⎣<br />

SO<br />

⎡<br />

+ B j ⎣<br />

LH<br />

F j 3HH<br />

F j 1SO<br />

F j 2SO<br />

F j 3SO<br />

F j−<br />

1LH<br />

F j−<br />

2LH<br />

F j−<br />

3LH<br />

⎤<br />

⎦ e ikj,SO z (z−d j ) + B j HH<br />

⎤<br />

⎦ e −ikj,LH z<br />

⎡<br />

⎣<br />

(z−d j ) + B j ⎣<br />

SO<br />

F j 3LH<br />

F j−<br />

1HH<br />

F j−<br />

2HH<br />

F j−<br />

⎡<br />

3HH<br />

F j−<br />

1SO<br />

F j−<br />

2SO<br />

F j−<br />

3SO<br />

⎤<br />

⎦ e −ikj,HH z (z−d j ) (5.92)<br />

⎤<br />

⎦ e −ikj,SO z (z−d j )<br />

(5.93)<br />

mit<br />

Die k 2 z- und k z -Terme in (5.87) sind<br />

a =<br />

⎡<br />

⎣ u 0 0<br />

0 w x<br />

0 x y<br />

⎤<br />

⎡<br />

⎦ b = ⎣<br />

√<br />

0 −2v<br />

√ 2v<br />

2v 0 6v<br />

− √ 2v − √ 6v 0<br />

⎤<br />

⎦ (5.94)<br />

u = ¯h2<br />

2m (γ 1 − 2γ 2 )<br />

x = −2 √ 2 ¯h2<br />

2m γ 2<br />

v = √ 3 ¯h2<br />

2m γ 3k ρ<br />

y = ¯h2<br />

2m γ 1<br />

An den Bereichsgrenzen des Quantum-Wells müssen<br />

w = ¯h2<br />

2m (γ 1 + 2γ 2 )<br />

(5.95)<br />

Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.96)


5.4. BERECHNUNG DER DREIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 77<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣<br />

u j ∂ ∂z<br />

−v j √<br />

2<br />

2 vj<br />

v j w j ∂ ∂z<br />

x j ∂ ∂z + √ 6<br />

2 vj<br />

− √ 2<br />

2 vj x j ∂ ∂z − √ 6<br />

2 vj y j ∂ ∂z<br />

u j+1 ∂ ∂z<br />

−v j+1 √<br />

2<br />

2 vj+1<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦ Ψj (z) =<br />

v j+1 w j+1 ∂ ∂z<br />

x j+1 ∂ ∂z + √ 6<br />

2 vj+1<br />

− √ 2<br />

2 vj+1 x j+1 ∂ ∂z − √ 6<br />

2 vj+1 y j+1 ∂ ∂z<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦ Ψj+1 (z) (5.97)<br />

gelten. Die Bedingungen werden in <strong>der</strong> Matrixform (5.13) geschrieben. P j wird<br />

synchron zu (5.65) gebildet und die erste Spalte von M j ist<br />

⎡<br />

M j =<br />

⎢<br />

⎣<br />

F j 1HH<br />

F j 2HH<br />

F j 3HH<br />

(<br />

ikz j,HH u j F j 1HH − v j F j 2HH − √ 2<br />

) (<br />

v j (F j 1HH + √ 6<br />

2 F j 3HH<br />

− √ 2<br />

2 vj (F j 1HH + √ 3F j 2HH<br />

+ ikz<br />

j,HH<br />

)<br />

+ ik j,HH<br />

z<br />

2 F j 3HH<br />

)<br />

)<br />

w j F j 2HH + xj F j 3HH<br />

(<br />

x j F j 2HH + yj F j 3HH<br />

)<br />

⎤<br />

. . .<br />

⎥<br />

⎦<br />

(5.98)<br />

In gewohnter Weise werden die Übertragungsmatrizen in Abhängigkeit von Ē<br />

gebildet. Für die Eigenenergien ist det U a = 0 (nahezu) erfüllt und somit<br />

⎡ ⎤ ⎡<br />

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />

A 2 HH U 11 U 12 U 13 A 2 HH 0<br />

U a ⎢ A 2 LH ⎥<br />

⎣ ⎦ = ⎢ U 21 U 22 U 23 ⎥ ⎢ A 2 LH ⎥<br />

⎣<br />

⎦ ⎣ ⎦ = ⎢ 0 ⎥ (5.99)<br />

⎣ ⎦<br />

U 31 U 32 U 33 0<br />

A 2 SO<br />

A 2 SO<br />

Die numerische Ungenauigkeit wird durch die Gauß’sche Methode <strong>der</strong> kleinsten<br />

Fehlerquadrate ausgeglichen. Setzen von A 2 HH = 1 führt zu<br />

⎡<br />

⎤<br />

⎡ ⎤<br />

[ A<br />

2<br />

] U 12 U 13 [<br />

LH<br />

A<br />

2<br />

] −U 11<br />

LH<br />

U = ⎢ U 22 U 23 ⎥ = ⎢ −U 21 ⎥ (5.100)<br />

A 2 ⎣<br />

⎦<br />

SO<br />

A 2 ⎣ ⎦<br />

SO<br />

U 32 U 33<br />

Durch eine QR-Zerlegung von U folgt<br />

⎡<br />

⎤<br />

⎡<br />

R 12 R 13 [ A<br />

2<br />

]<br />

LH<br />

⎢ 0 R 23 ⎥ = ⎢<br />

⎣<br />

⎦ A 2 ⎣<br />

SO<br />

0 0<br />

und<br />

A 2 SO = R (<br />

13 U12<br />

− U )<br />

11<br />

R 12 R 23 R 12<br />

−U 11<br />

−U 21<br />

−U 31<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎦<br />

−U 31<br />

(5.101)<br />

A 2 LH = − U 21<br />

R 23<br />

(5.102)


78 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />

Die Linearfaktoren <strong>der</strong> Bereiche j = 0 und j = 1 werden durch Multiplikation<br />

mit T 3 bzw. U c ermittelt. Die Wellenfunktionen erhält man durch die Normierung<br />

(5.23).<br />

Da die leichten Löcher und das Spinorbitalband bei k ρ = 0 nicht entkoppeln, muß<br />

man die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong> betrachten, um sie zuordnen zu können.<br />

Besitzt die Wellenfunktion bei k ρ = 0 nur die zweite Komponente, d.h. die an<strong>der</strong>en<br />

beiden verschwinden, ist dies ein Subband <strong>der</strong> leichten Löcher. Äquivalent haben<br />

schwere Löchersubbän<strong>der</strong> am Zonenzentrum nur die erste und SO-Subbän<strong>der</strong> nur<br />

die dritte Komponente.


Kapitel 6<br />

Ergebnisse <strong>der</strong><br />

Bandstrukturberechnungen<br />

6.1 Die Bandstrukturmodelle<br />

An vier Strukturen wurde <strong>der</strong> Einfluß des <strong>Berechnung</strong>smodelles untersucht. Die<br />

QW-Strukturen sind<br />

(A) ein Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Well mit 68 Å (24 Monolagen),<br />

(B) ein Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Well mit 113 Å (40 Monolagen),<br />

(C) ein Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Well mit 68 Å (24 Monolagen),<br />

(D) ein Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Well mit 113 Å (40 Monolagen)<br />

Die beiden Materialsysteme (A,B) und (C,D) unterscheiden sich markant. GaAs<br />

und Al 0,2 Ga 0,8 As besitzen ähnliche Bandlücken, Gitterkonstanten (leichte Zugverspannung)<br />

und Luttingerparameter. Dagegen hat In 0,2 Ga 0,8 As eine erheblich kleinere<br />

Bandlücke als Al 0,2 Ga 0,8 As, eine größere Gitterkonstante (starke Zugverspannung)<br />

und höhere Luttingerparameter. Mit den Quantum-Well-Breiten wurde eine<br />

relativ kleine und eine relativ große gewählt.<br />

Im Folgenden werden die Ergebnisse für die Löchersubbän<strong>der</strong> und die Elektronensubbän<strong>der</strong><br />

vorgestellt. Vom weitgehensten Modell wird schrittweise jedes<br />

Modell anhand <strong>der</strong> Subbanddispersionen, <strong>der</strong> Zustandsdichten und <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten<br />

mit dem nächst komplexeren verglichen.<br />

Für Valenzbän<strong>der</strong> konnten mit den in <strong>der</strong> Arbeit vorgestellten Lösungsalgorithmen<br />

die Eigenenergien (und Wellenfunktionen) <strong>der</strong> Einbandschrödinger- und <strong>der</strong><br />

Zweibandschrödingergleichung berechnet werden. Zum Vergleich mit dem Modell<br />

mit drei gekoppelten Valenzbän<strong>der</strong>n konnte ein Programm von Dipl.-Ing. Andrei<br />

Herasimovich (BSPA Minsk, Weißrußland) genutzt werden, das die Finiten Differenzen-Methode<br />

anwendet. Zu beachten ist, daß alle Modelle dieselbe Nullpunktsenergie<br />

für die schweren Löcher liefern. Für die leichten Löcher erhalten die Einbandund<br />

die Zweibandschrödingergleichung die gleiche Energie am Γ-Punkt. Die Bän<strong>der</strong><br />

wurden in axialer Approximation berechnet.<br />

Für das Leitungsband wurden das parabolische und das nichtparabolische Modell<br />

miteinan<strong>der</strong> verglichen.<br />

6.1.1 Löcher: Vernachlässigung des SO-Bandes<br />

In den Abbildungen 6.1, 6.4, 6.7 und 6.10 sind für die Materialsysteme (A)-(D) die<br />

Dispersionskurven dargestellt, die mit dem 6×6-Hamiltonian (grüne Kurven), dem<br />

79


80 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

0.1<br />

0.09<br />

ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

0.08<br />

0.07<br />

E in eV<br />

0.06<br />

0.05<br />

0.04<br />

0.03<br />

0.02<br />

0.01<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.1: Energiedispersion <strong>der</strong> Löcher eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–<br />

Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å.<br />

1.8<br />

2 x 1021<br />

Ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

1.6<br />

1.4<br />

1.2<br />

1<br />

0.8<br />

0.6<br />

0.4<br />

0.2<br />

0<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1<br />

E in eV<br />

Abbildung 6.2: Löcherzustandsdichte eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells<br />

<strong>der</strong> Breite 68 Å.<br />

4×4-Hamiltonian (blaue Kurven) und dem ungekoppelten Modell (rote Kurven) mit<br />

Berücksichtigung <strong>der</strong> Verspannung berechnet wurden.<br />

In den Abbildungen 6.2, 6.5, 6.8 und 6.11 sind die Zustandsdichten <strong>der</strong> Materialsysteme<br />

(A) bis (D) dargestellt. In den Abbildungen 6.3, 6.6, 6.9 und 6.12 sieht<br />

man die Löcherdichten bei Raumtemperatur.<br />

Die Nullpunktsenergie <strong>der</strong> leichten Löcher bei Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Materialsystemen<br />

erhält man bei Vernachlässigung des SO-Bandes mit 0,5 meV bis 10 meV<br />

zu gering. Die durch die beiden Lösungsmethoden – analytische Lösung und Finite<br />

Differenzen- Methode – erhaltenen Nullpunktsenergien <strong>der</strong> schweren Löcher liegen<br />

innerhalb <strong>der</strong> Rechengenauigkeit. Die Form <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> sind ähnlich, die Abweichungen<br />

<strong>der</strong> Energien nehmen bei den unteren Subbän<strong>der</strong>n zu.<br />

Bei Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Materialsystemen werden die Energien am Zo-


6.1. DIE BANDSTRUKTURMODELLE 81<br />

10 20 Ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

E Fv<br />

in eV<br />

Löcherladungsdichte p in cm −3<br />

10 19<br />

10 18<br />

10 17<br />

10 16<br />

−0.2 −0.1 0 0.1<br />

Abbildung 6.3: Löcherdichten eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells <strong>der</strong><br />

Breite 68 Åbei 300 K.<br />

0.12<br />

ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

0.1<br />

0.08<br />

E in eV<br />

0.06<br />

0.04<br />

0.02<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.4: Energiedispersion <strong>der</strong> Löcher eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–<br />

Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 113 Å.<br />

nenzentrum bei Vernachlässigung des SO-Bandes mit 1 meV bis 16 meV zu gering<br />

berechnet. Die Form <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> sind weniger ähnlich, als das bei (A) und (B) war.<br />

6.1.2 Löcher: Vernachlässigung <strong>der</strong> HH-LH-Kopplung<br />

Die Ergebnisse <strong>der</strong> Bandstrukturberechnungen mit Kopplung <strong>der</strong> schweren und<br />

leichten Löcher (blaue Kurven) und ohne diese Kopplung (rote Kurven) (siehe Abbildungen<br />

6.1, 6.4, 6.7 und 6.10) wird im folgenden diskutiert.<br />

Die Nullpunktsenergien stimmen überein, da <strong>der</strong> 4×4-Hamiltonian am Γ-Punkt<br />

entkoppelt. Die Parabeln <strong>der</strong> ungekoppelten Modelle weichen so stark von den Kurven<br />

des gekoppelten Modelles ab, daß Zustandsdichte und Ladungsträgerdichten<br />

(siehe Abbildungen 6.2, 6.5, 6.8 und 6.11 sowie 6.3, 6.6, 6.9 und 6.12) – vor al-


82 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

1.8<br />

2 x 1021<br />

Ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

1.6<br />

1.4<br />

1.2<br />

1<br />

0.8<br />

0.6<br />

0.4<br />

0.2<br />

0<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1<br />

E in eV<br />

Abbildung 6.5: Löcherzustandsdichte eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells<br />

<strong>der</strong> Breite 113 Å.<br />

10 20 Ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

E Fv<br />

in eV<br />

Löcherladungsdichte p in cm −3<br />

10 19<br />

10 18<br />

10 17<br />

10 16<br />

−0.2 −0.1 0 0.1<br />

Abbildung 6.6: Löcherdichten eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells <strong>der</strong><br />

Breite 113 Åbei 300 K.<br />

lem bei den Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells – stark kleiner erhalten werden.<br />

Die HH-LH-Kopplung sollte deshalb für beide Materialsysteme nicht vernachlässigt<br />

werden.<br />

Dies stimmt ebenso für unverspannt berechnete Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />

Quantengräben. Bei Verspannung än<strong>der</strong>t sich die Form <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong>. Nur in den<br />

oberen 5 meV stimmen die Modelle überein. Eine <strong>Berechnung</strong> mit Kopplung ist<br />

angebracht.<br />

6.1.3 Löcher: Verwendung effektiver Bulkmassen<br />

Für alle Materialsysteme liegen die effektiven Massen <strong>der</strong> ungekoppelt berechneten<br />

Löchersubbän<strong>der</strong> sehr nah bei den effektiven Massen des homogenen QW-Materials.


6.1. DIE BANDSTRUKTURMODELLE 83<br />

0.2<br />

ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

E in eV<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

0.06<br />

0.04<br />

0.02<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.7: Energiedispersion <strong>der</strong> Löcher eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />

Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å.<br />

3.5<br />

4 x 1021<br />

Ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

3<br />

2.5<br />

2<br />

1.5<br />

1<br />

0.5<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2<br />

E in eV<br />

Abbildung 6.8: Löcherzustandsdichte eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />

Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å.<br />

Die Abweichungen betragen bis zu 3 % bei den Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells<br />

und bis zu 12 % bei den Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga0, 8As–Quantum-Wells.<br />

6.1.4 Elektronen: parabolische und nichtparabolische <strong>Berechnung</strong><br />

Für die <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Subbandenergien wurden zwei Modelle getestet. Das parabolische<br />

Modell nimmt das Leitungsband als ungekoppelt an. Das nichtparabolische<br />

Modell erhält man aus einem 2×2-Kane-Hamiltonian mit Kopplung mit dem Band<br />

<strong>der</strong> leichten Löcher (siehe Abschnitt 4.6). Für die Materialsysteme (A) bis (D) sind<br />

die Leitungssubbandstrukturen in den Abbildungen 6.13 bis 6.15 dargestellt.


84 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

Ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

Löcherladungsdichte p in cm −3<br />

10 21<br />

10 20<br />

10 19<br />

10 18<br />

10 17<br />

E Fv<br />

in eV<br />

10 16<br />

−0.2 −0.1 0 0.1<br />

Abbildung 6.9: Löcherdichten eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Wells<br />

<strong>der</strong> Breite 68 åbei 300 K.<br />

0.2<br />

ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

E in eV<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

0.06<br />

0.04<br />

0.02<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.10: Energiedispersion <strong>der</strong> Löcher eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–<br />

Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 113 Å.<br />

Die Nullpunktsenergien des ersten Elektronensubbandes liegen bei parabolischer<br />

<strong>Berechnung</strong> 0,7 meV bei (A) und 0,4 meV bei (B) höher als bei nichtparabolischer<br />

<strong>Berechnung</strong> (mit und ohne Berücksichtigung <strong>der</strong> Verspannung). Das zweite Subband<br />

liegt dagegen 7,5 meV bei (A) und 2,5 meV bei (B) tiefer (mit Verspannung 7,2<br />

meV bei (A)). Der Abstand beim dritten Subband bei (B) beträgt schon 10,1 meV.<br />

Im unverspannten Fall sind die Unterschiede <strong>der</strong> Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga0, 8As-<br />

Quantum-Well-Energien, die durch die beiden Modelle erhalten wurden, ähnlich.<br />

Für (C) sind sie 1,6 meV und 17,0 meV, für (D) 0,8 meV, 4,1 meV und 26,3<br />

meV. Rechnet man mit Verspannung, unterscheiden sich die Modelle stärker. Das<br />

1. Elektronensubband wird in ungekoppelter Betrachtung 22,2 meV bei (C) und<br />

32,6 meV bei (D) zu gering berechnet. Die Abstände <strong>der</strong> CB2 sind deutlich höher.<br />

Die Lage <strong>der</strong> Energien bestimmt die Wellenlänge des bei <strong>der</strong> Rekombination


6.1. DIE BANDSTRUKTURMODELLE 85<br />

4.5<br />

5 x 1021<br />

Ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

4<br />

3.5<br />

3<br />

2.5<br />

2<br />

1.5<br />

1<br />

0.5<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2<br />

E in eV<br />

Abbildung 6.11: Löcherzustandsdichte eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-<br />

Wells <strong>der</strong> Breite 113 Å.<br />

Ungekoppelt<br />

4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />

6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />

Löcherladungsdichte p in cm −3<br />

10 21<br />

10 20<br />

10 19<br />

10 18<br />

10 17<br />

E Fv<br />

in eV<br />

10 16<br />

−0.2 −0.1 0 0.1<br />

Abbildung 6.12: Löcherdichten eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells <strong>der</strong><br />

Breite 113 Åbei 300 K.<br />

mit einem Loch erzeugten Photons. Der Unterschied von weniger als 1 meV bei (A)<br />

und (B) bewirkt einen Fehler in <strong>der</strong> Wellenlänge, <strong>der</strong> kleiner als 0,4 nm ist. Die<br />

Wellenlängen <strong>der</strong> in <strong>der</strong> Rekombination mit CB1 <strong>der</strong> unverspannten Al 0,2 Ga 0,8 As-<br />

In 0,2 Ga0, 8As-Quantum-Wells erhaltenen Photonen werden bis zu 1,2 nm zu hoch<br />

berechnet. Berücksichtigt man die Verspannung, beträgt <strong>der</strong> Unterschied 17 bis 22<br />

nm.<br />

6.1.5 Elektronen: Verwendung effektiver Bulkmassen<br />

Im Gegensatz zu den Löchern unterscheiden sich die effektiven Massen <strong>der</strong> Elektronen<br />

im Quantum-Well bei ungekoppelter <strong>Berechnung</strong> von den effektiven Massen des<br />

homogenen QW-Materials um mehr als 1 % (siehe Tabelle 6.1). Bei parabolischer


86 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

1.74<br />

1.72<br />

1.7<br />

1.68<br />

E in eV<br />

1.66<br />

1.64<br />

1.62<br />

1.6<br />

1.58<br />

(a)<br />

1.56<br />

Nichtparabolisch<br />

Parabolisch<br />

1.54<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />

1.74<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

1.72<br />

1.7<br />

1.68<br />

E in eV<br />

1.66<br />

1.64<br />

1.62<br />

1.6<br />

1.58<br />

(b)<br />

1.56<br />

Nichtparabolisch<br />

Parabolisch<br />

1.54<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.13: Energiedispersion eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells<br />

<strong>der</strong> Breite a) 68 Å (b) 113 Å.<br />

Rechnung betragen die Unterschiede 1,4 % bis 12 % für die Al 0,2 Ga 0,8 As-GaAs-<br />

Quantum-Wells und 2 % bis 39 % für die Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga0, 8As-Quantum-<br />

Wells. Bei nichtparabolischer Rechnung werden die effektiven Massen 15 % bis 25 %<br />

größer als die effektiven Massen im homogenen QW-Material für die Al 0,2 Ga 0,8 As-<br />

GaAs-Quantum-Wells und 28 % bis 70 % größer für die Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga0, 8As-<br />

Quantum-Wells.<br />

6.2 Die Verspannung<br />

Wie än<strong>der</strong>t sich die Bandstruktur bei Berücksichtigung von Verspannung durch Gitteranpassung?<br />

Dies wurde an Al x Ga 1−x As-GaAs- und an Al x Ga 1−x As-In x Ga 1−x As-<br />

Quantengräben untersucht (Abbildungen 6.16 bis 6.23). Zur <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Eigenenergien<br />

wurde <strong>der</strong> 4×4-Luttinger-Kohn-Hamiltonian (siehe Abschnitt 4.4) angesetzt.<br />

Für Al x Ga 1−x As-GaAs-Quantengräben ist die Än<strong>der</strong>ung durch die Verspannung


6.2. DIE VERSPANNUNG 87<br />

1.7<br />

1.65<br />

E in eV<br />

1.6<br />

1.55<br />

1.5<br />

1.45<br />

(a)<br />

Nichtparabolisch<br />

Parabolisch<br />

1.4<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

1.7<br />

1.65<br />

E in eV<br />

1.6<br />

1.55<br />

1.5<br />

1.45<br />

(b)<br />

Nichtparabolisch<br />

Parabolisch<br />

1.4<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.14: Energiedispersion eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-<br />

Well. (a) 68 Å Breite ohne Verspannung, (b) 68 Å Breite mit<br />

Verspannung.<br />

bei den schweren Löchern kleiner als 1 meV, bei den leichten Löchern kleiner als<br />

2 meV (siehe Abbildung 6.16) und bei den Elektronen kleiner als 5 meV (siehe<br />

Abbildung 6.17). Damit sind die Unterschiede nicht so klein, daßsie vernachlässigt<br />

werden können.<br />

In den Abbildung 6.18, 6.19, 6.20 und 6.21 sind die Zustandsdichten und Ladungsträgerdichten<br />

bei Raumtemperatur dargestellt.<br />

Für Al x Ga 1−x As-In x Ga 1−x As-Quantum-Wells sind die Än<strong>der</strong>ungen von einigen<br />

10 meV für die Löcher und die Elektronen durch die stark unterschiedlichen Gitterkonstanten<br />

erheblich grösser.<br />

In den Abbildung 6.18, 6.19, 6.20 und 6.21 ist <strong>der</strong> Einflu¨ss <strong>der</strong> Verspannung<br />

auf die Zustandsdichten und Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Al x Ga 1−x As-In x Ga 1−x As-<br />

Quantum-Wells bei Raumtemperatur dargestellt.


88 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

1.7<br />

1.65<br />

E in eV<br />

1.6<br />

1.55<br />

1.5<br />

1.45<br />

(a)<br />

Nichtparabolisch<br />

Parabolisch<br />

1.4<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

1.7<br />

1.65<br />

E in eV<br />

1.6<br />

1.55<br />

1.5<br />

1.45<br />

(b)<br />

Nichtparabolisch<br />

Parabolisch<br />

1.4<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.15: Energiedispersion eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-<br />

Well. (a) 113 Å Breite ohne Verspannung, (b) 113 Å Breite mit<br />

Verspannung.<br />

6.3 Einfluß von Materialparametern<br />

In Abschnitt 3.8 wurden für die Materialparameter, die in die k·p-Rechnung eingehen,<br />

für die Materialien von Al x Ga 1−x As und In x Ga 1−x As die gängigen Werte<br />

(siehe Tabelle 3.5) und neue Werte mit Interpolation nach Nelson (siehe Tabelle<br />

3.6) tabelliert. Dies sind die Luttingerparameter γ 1 , γ 2 und γ 3 , die Bandlücke E g ,<br />

die effektive Masse <strong>der</strong> Elektronen m e und die Spinabspaltung ∆.<br />

In den Abbildungen 3.5 und 3.6 sind die Elektronen- und Löchersubbän<strong>der</strong> für<br />

(a) einen Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs– und (b) einen Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-<br />

Well dargestellt. Berechnet wurden sie mit dem 4×4-Hamiltonian. Verspannung<br />

wurde berücksichtigt.<br />

Entscheidende Größen sind die Bandkantendiskontinuitäten ∆E V und ∆E C ,<br />

die sich aus dem Unterschied <strong>der</strong> Bandlücken von Barrieren- und Quantum-Well-<br />

Material ergeben. Für die Bandlücken für GaAs, Al 0,2 Ga 0,8 As und In 0,2 Ga 0,8 As<br />

werden üblicherweise 1,424 eV, 1,7452 eV und 1,21 eV (lineare Interpolation mit


6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 89<br />

Bulk parabolisch nichtparabolisch<br />

Verspannung ohne mit ohne mit<br />

(A) CB1 0,067 0,068 0,078<br />

CB2 0,067 0,074 0,083<br />

(B) CB1 0,067 0,067 0,077<br />

CB2 0,067 0,069 0,080<br />

CB3 0,067 0,075 0,084<br />

(C) CB1 0,0588 0,060 0,062 0,077 0,093<br />

CB2 0,0588 0,064 0,082 0,084 0,098<br />

(D) CB1 0,0588 0,059 0,061 0,075 0,094<br />

CB2 0,0588 0,060 0,065 0,079 0,100<br />

CB3 0,0588 0,063 - 0,085 0,088<br />

Tabelle 6.1: Mittlere effektive Massen <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong> und die effektive<br />

Bulk-Masse für die Materialsysteme (A) bis (D) (in Einheiten von<br />

m 0 ).<br />

AlAs bzw. InAs) verwendet. Die neuen Parameter mit Nelsons Formel interpoliert<br />

sind 1,424 eV, 1,7668 eV und 1,2863 eV. Für den QW (a) ergeben sich mit den<br />

gängigen Werten ∆E V = 0, 1124eV und ∆E C = 0, 2088eV , dagegen mit den neuen<br />

Werten ∆E V = 0, 1200eV und ∆E C = 0, 2228eV . Für den QW (b) sind die üblichen<br />

Werte ∆E V = 0, 1832eV und ∆E C = 0, 3479eV und die neuen Werte ∆E V =<br />

0, 1682eV und ∆E C = 0, 3123eV . Diese Zahlen ergeben sich mit ∆E C = 0, 65∆E g .<br />

Die gängigen und neuen Luttingerparameter und effektiven Elektronenmassen sind<br />

in Tabelle 6.2 angegeben.<br />

Parameter GaAs Al 0,2 Ga 0,8 As In 0,2 Ga 0,8 As<br />

gängig neu gängig neu gängig neu<br />

γ 1 6,85 6,98 6,17 5,773 9,56 7,948<br />

γ 2 2,10 2,06 1,816 1,563 3,34 2,536<br />

γ 3 2,90 2,93 2,578 2,353 4,14 3,391<br />

m e /m 0 0,067 0,0635 0,0836 0,0841 0,0582 0,0583<br />

Tabelle 6.2: Übliche und neue Materialparameter für die verwendeten Materialien.<br />

Die Wahl <strong>der</strong> Materialparameter hat erheblichen Einfluß auf die Ergebnisse <strong>der</strong><br />

Bandstrukturberechnungen im Quantum-Well, wie die betrachteten Beispiele verdeutlichen<br />

(siehe Abbildungen 6.28 und 6.29). Man beachte, daß <strong>der</strong> Nullpunkt <strong>der</strong><br />

Energien das Valenzbandniveau des Substrates ist.<br />

Für den Al 0,2 Ga 0,8 As-GaAs-Quantengraben liegen die Valenzsubbandenergien,<br />

die mit den neuen Parametern berechnet wurden, bis zu 8 meV höher als die mit den<br />

üblichen Materialparametern erhaltenen Energien. Die Leitungssubbän<strong>der</strong> befinden<br />

sich bis zu 21 meV höher. Die Übergangsenergie zwischen dem 1. Elektronen- und<br />

dem 1. Löchersubband wird um 6 meV größer berechnet.<br />

Bei dem untersuchten Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Well sind die Unterschiede<br />

größer. Dies wird bei den Valenzbän<strong>der</strong>n beson<strong>der</strong>s durch die hohe Differenz<br />

<strong>der</strong> angesetzten Luttingerparameter verursacht. Bei den Subbän<strong>der</strong>n <strong>der</strong> schweren<br />

Löcher werden die Energien bei Wahl <strong>der</strong> neuen Parameter um bis zu 19 meV kleiner,<br />

die Energien <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong> <strong>der</strong> leichten Löcher und <strong>der</strong> Elektronen je um zu<br />

bis 15 meV kleiner. Die Übergangsenergie zwischen dem 1. Elektronen- und dem


90 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

0.1<br />

0.09<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

0.08<br />

0.07<br />

E in eV<br />

0.06<br />

0.05<br />

0.04<br />

0.03<br />

0.02<br />

0.01<br />

(a)<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

0.1<br />

0.08<br />

E in eV<br />

0.06<br />

0.04<br />

0.02<br />

(b)<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.16: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Energiedispersionen <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch<br />

Verspannung (a) eines 68 Å-breiten und (b) eines 113 Å-breiten<br />

Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Well.<br />

1. Löchersubband wird mit den neuen Parametern um 86 meV größer berechnet.<br />

Dieses Ergebnis bestätigt die Ansicht von Vurgaftman et al [44], daß bei InGaAs<br />

weitere Untersuchungen <strong>der</strong> Parameter nötig sind.


6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 91<br />

1.74<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

1.72<br />

1.7<br />

1.68<br />

E in eV<br />

1.66<br />

1.64<br />

1.62<br />

1.6<br />

1.58<br />

1.56<br />

(a)<br />

1.74<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

1.72<br />

1.7<br />

1.68<br />

E in eV<br />

1.66<br />

1.64<br />

1.62<br />

1.6<br />

1.58<br />

1.56<br />

(b)<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.17: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Energiedispersionen <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />

durch Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.


92 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

16 x 1020<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

14<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

12<br />

10<br />

8<br />

6<br />

4<br />

2<br />

(a)<br />

0<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1<br />

E in eV<br />

2.5 x 1021<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

2<br />

1.5<br />

1<br />

0.5<br />

(b)<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />

E in eV<br />

Abbildung 6.18: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch Verspannung.<br />

(a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.


6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 93<br />

15 x 1019<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

10<br />

5<br />

(a)<br />

0<br />

1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7 1.72 1.74<br />

E in eV<br />

1.8<br />

2 x 1020<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

1.6<br />

1.4<br />

1.2<br />

1<br />

0.8<br />

0.6<br />

0.4<br />

0.2<br />

(b)<br />

0<br />

1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7 1.72 1.74<br />

E in eV<br />

Abbildung 6.19: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong> durch<br />

Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.


94 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

Löcherladungsdichte p in cm −3<br />

10 18<br />

10 17<br />

10 19 E Fv<br />

in eV<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

(a)<br />

−0.2 −0.1 0 0.1<br />

10 20 E Fv<br />

in eV<br />

Löcherladungsdichte p in cm −3<br />

10 19<br />

10 18<br />

10 17<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

(b)<br />

−0.2 −0.1 0 0.1<br />

Abbildung 6.20: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch<br />

Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.


6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 95<br />

Elektronenladungsdichte p in cm −3<br />

10 18<br />

10 17<br />

E Fc<br />

in eV<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

(a)<br />

1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7<br />

Elektronenladungsdichte p in cm −3<br />

(b)<br />

10 18<br />

10 17<br />

E Fc<br />

in eV<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7<br />

Abbildung 6.21: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />

durch Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.


96 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

0.2<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

E in eV<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

0.06<br />

0.04<br />

0.02<br />

(a)<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

0.2<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

E in eV<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

0.06<br />

0.04<br />

0.02<br />

(b)<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.22: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Energiedispersionen <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch<br />

Verspannung (a) eines 68 Å-breiten und (b) eines 113 Å-breiten<br />

Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Well.


6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 97<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

1.7<br />

1.65<br />

E in eV<br />

1.6<br />

1.55<br />

1.5<br />

(a)<br />

1.45<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

1.7<br />

1.65<br />

E in eV<br />

1.6<br />

1.55<br />

1.5<br />

1.45<br />

(b)<br />

1.4<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.23: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Energiedispersionen <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />

durch Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.


98 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

18 x 1020<br />

16<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

14<br />

12<br />

10<br />

8<br />

6<br />

4<br />

2<br />

(a)<br />

0<br />

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25<br />

E in eV<br />

3 x 1021<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

2.5<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

2<br />

1.5<br />

1<br />

0.5<br />

(b)<br />

0<br />

0 0.05 0.1 0.15 0.2<br />

E in eV<br />

Abbildung 6.24: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch Verspannung.<br />

(a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.


6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 99<br />

15 x 1019<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

10<br />

5<br />

(a)<br />

0<br />

1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7<br />

E in eV<br />

1.8<br />

2 x 1020<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />

1.6<br />

1.4<br />

1.2<br />

1<br />

0.8<br />

0.6<br />

0.4<br />

0.2<br />

(b)<br />

0<br />

1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7<br />

E in eV<br />

Abbildung 6.25: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong> durch<br />

Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.


100 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

10 20 E Fv<br />

in eV<br />

Löcherladungsdichte p in cm −3<br />

10 19<br />

10 18<br />

10 17<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

(a)<br />

−0.2 −0.1 0 0.1<br />

10 20 E Fv<br />

in eV<br />

Löcherladungsdichte p in cm −3<br />

10 19<br />

10 18<br />

10 17<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

(b)<br />

−0.2 −0.1 0 0.1<br />

Abbildung 6.26: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch<br />

Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.


6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 101<br />

Elektronenladungsdichte p in cm −3<br />

10 19<br />

10 18<br />

E Fc<br />

in eV<br />

(a)<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7<br />

Elektronenladungsdichte p in cm −3<br />

10 19<br />

10 18<br />

E Fc<br />

in eV<br />

mit Verspannung<br />

ohne Verspannung<br />

(b)<br />

1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7<br />

Abbildung 6.27: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />

durch Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.


102 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />

0.1<br />

Interpolation nach Nelson, neue Parameter<br />

lineare Interpolation, übliche Parameter<br />

0.08<br />

E in eV<br />

0.06<br />

0.04<br />

0.02<br />

(a)<br />

0<br />

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

0.2<br />

Interpolation nach Nelson, neue Parameter<br />

lineare Interpolation, übliche Parameter<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

E in eV<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

0.06<br />

0.04<br />

0.02<br />

(b)<br />

0<br />

0 0.05 0.1 0.15<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.28: Energiedispersionen <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> für die gängigen<br />

und die neuen Materialparameter eines 68 Å-breiten (a)<br />

Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs– und (b) Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />

Quantum-Well.


6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 103<br />

1.76<br />

1.74<br />

1.72<br />

1.7<br />

E in eV<br />

1.68<br />

1.66<br />

1.64<br />

1.62<br />

1.6<br />

1.58<br />

(a)<br />

1.56<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Interpolation nach Nelson, neue Parameter<br />

lineare Interpolation, übliche Parameter<br />

1.75<br />

1.7<br />

1.65<br />

E in eV<br />

1.6<br />

1.55<br />

1.5<br />

1.45<br />

(b)<br />

Interpolation nach Nelson, neue Parameter<br />

lineare Interpolation, übliche Parameter<br />

1.4<br />

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08<br />

k ρ<br />

in Einheiten von k max<br />

Abbildung 6.29: Energiedispersionen <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong> für die gängigen<br />

und die neuen Materialparameter eines 68 Å-breiten (a)<br />

Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs– und (b) Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />

Quantum-Wells.


104 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN


Kapitel 7<br />

Optoelektronik<br />

7.1 Die optische Verstärkung<br />

Die Verstärkung <strong>der</strong> Photonen <strong>der</strong> Mode k ist gegeben durch das Produkt von<br />

Verstärkungskoeffizient g(¯hω) und Aufenthaltswahrscheinlichkeit <strong>der</strong> Photonen |Ψ k | 2<br />

nach Gleichung (1.18). Der Verstärkungskoeffizient ist das Verhältnis <strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong><br />

pro Volumen und Zeit erzeugten Photonen und <strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong> pro Volumen und<br />

Zeit eingestrahlten Photonen. g(¯hω) wird auch als lokale Verstärkung bezeichnet.<br />

Die Rekombination eines Leitungsbandelektrons <strong>der</strong> Energie E C und eines Valenzbandloches<br />

<strong>der</strong> Energie E V ist proportional dem Produkt <strong>der</strong> Aufenthaltswahrscheinlichkeiten<br />

des besetzten Leitungsbandzustandes und des unbesetzten Valenzbandzustandes<br />

f C (E C )·(1−f V (E V )). Die Absorption eines Photons und Anregung<br />

eines Elektrons von E V nach E C ist proportional dem Produkt <strong>der</strong> Aufenthaltswahrscheinlichkeiten<br />

für den unbesetzten Leitungsbandzustand und den besetzten<br />

Valenzbandzustand (1 − f C (E C )) · f V (E V ). Somit ist die Verstärkung als Differenz<br />

von Rekombination und Absorption proportional zu<br />

f C (E C ) · (1 − f V (E V )) − (1 − f C (E C )) · f V (E V ) = f C (E C ) − f V (E V ) (7.1)<br />

Mit Verwendung von Fermis Goldener Regel kann die lokale Verstärkung im<br />

Quantengraben durch<br />

g(¯hω) = C 0<br />

∑<br />

i,j<br />

∫<br />

k max 2π<br />

0<br />

∫<br />

0<br />

|M i,j | 2( )<br />

f c (E i ) − f v (E j ) δ(E i − E j − ¯hω) dφ dk ρ (7.2)<br />

beschrieben werden. Man beachte die Abhängigkeit <strong>der</strong> Subbandenergien E i (k ρ , φ))<br />

und E j (k ρ , φ)) von Betrag und Winkel des Wellenvektors ⃗ k innerhalb <strong>der</strong> QW-<br />

Ebene. Die Konstante C 0 ist<br />

C 0 =<br />

π e 2<br />

n r cε 0 m 2 0 ω =<br />

h π e2<br />

2n r cε 0 m 2 ·<br />

0<br />

1<br />

¯hω<br />

(7.3)<br />

mit dem Brechungsindex n r . Dieser ist abhängig von <strong>der</strong> optischen Energie ¯hω (siehe<br />

[101, 102] und Anhang J in [46]), <strong>der</strong> Temperatur und <strong>der</strong> Ladungsträgerdichte.<br />

Tabelle 7.1 gibt für einige III-V-Materialien mittlere Werte an.<br />

|M i,j | 2 ist das quadrierte optische Impulsmatrixelement, das im Quantum-Well<br />

von <strong>der</strong> Polarisation <strong>der</strong> Photonen abhängig ist. Es wird im Abschnitt 7.1.1 beschrieben.<br />

105


106 KAPITEL 7. OPTOELEKTRONIK<br />

Material GaAs AlAs InAs InP Al x Ga 1−x As<br />

Brechungsindex n r 3,3 2,86 3,51 3,1 3,3-0,53x+0,09x 2<br />

[49] [49] [102] [102] [49]<br />

Tabelle 7.1: Mittlerer Brechungsindex.<br />

Wechselt man von ⃗ k = (k ρ , φ)-Koordinaten in die Energiekoordinate E <strong>der</strong><br />

Übergangsenergien E( ⃗ k) = E i ( ⃗ k) − E j ( ⃗ k) wird aus (7.2)<br />

∑<br />

∫<br />

g(¯hω) = C 0<br />

i,j<br />

(<br />

)<br />

|M i,j | 2 Dij(E)<br />

r f c (E) − f v (E) δ(E − ¯hω) dE (7.4)<br />

Es ist hier Dij r (E) die Zustandsdichte <strong>der</strong> Übergangsenergien zwischen dem Leitungssubband<br />

i und dem Valenzsubband j, die als reduzierte Zustandsdichte (engl.<br />

joint density) bezeichnet wird.<br />

D r ij(E) = 1<br />

π̷L z<br />

·<br />

k<br />

∣ dE ∣ = 1 ·<br />

π̷L z<br />

dk<br />

∣ dEi<br />

dk<br />

k<br />

− dE j<br />

dk<br />

∣<br />

(7.5)<br />

Wenn E = E i − E j monoton steigend ist, fallen die Betragszeichen weg. Wenn<br />

(und nur wenn) E i monoton steigend und E j monoton fallend sind, ist die reduzierte<br />

Zustandsdichte Dij r (E) das geometrische Mittel <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong><br />

i und j.<br />

1<br />

Dij r (E) = π̷L (<br />

z<br />

k · dEi<br />

dk − dE )<br />

j<br />

= π̷L z<br />

dk k ·<br />

=<br />

1<br />

D i (E i ) + 1<br />

D j (E j )<br />

( ∣ ∣ ∣∣<br />

dE i<br />

dk<br />

∣ ∣∣∣ ∣ + dE j<br />

)<br />

dk ∣<br />

(7.6)<br />

(7.7)<br />

Kurven <strong>der</strong> Verstärkung sind jedoch nur mit den gemessenen vergleichbar, wenn<br />

die δ- Funktion durch eine Linienformfunktion L(¯hω) ersetzt wird (siehe Abschnitt<br />

7.1.2).<br />

7.1.1 Das optische Impulsmatrixelement<br />

Das optische Impulsmatrixelement ist gegeben durch das Produkt aus <strong>der</strong> Polarisationsrichtung<br />

und dem Impulsmatrixelement des Elektron-Loch-Paares.<br />

|M i,j | 2 = |ê · ⃗p cv | 2 (7.8)<br />

Im homogenen Material ist das optische Matrixelement M b nicht polarisiert. Es<br />

wird auf S. 370 in [46] gezeigt, daß<br />

Mb 2 = m2 0<br />

3¯h 2 P 2<br />

M 2 b =<br />

(<br />

m0<br />

m ∗ e<br />

)<br />

m0 E g (E g + ∆)<br />

− 1<br />

6(E g + 2 3 ∆) = m 0<br />

6 E P (7.9)<br />

mit dem Kane’schen Impulsmatrixelement P und dem Energieparameter E P . E P<br />

ist für viele Halbleiter bekannt (siehe Tabelle 7.2). Der mittlere Term in (7.9) ist<br />

eine Näherung, die aus <strong>der</strong> Lösung des 4×4-Kane-Hamiltonian (3.39) im homogenen


7.1. DIE OPTISCHE VERSTÄRKUNG 107<br />

Material extrahiert werden kann. Wie Tabelle 7.2 zeigt, wird das optische Impulsmatrixelement<br />

damit jedoch zu klein berechnet. Meist wird <strong>der</strong> Energieparameter<br />

E P , in mancher Literatur auch selber als P 2 bezeichnet, verwendet. Werte von<br />

E P wurden durch die 14-Band-k·p -Methode [45] und die empirische Pseudopotentialmethode<br />

[50] berechnet, sowie mit Elektronspinresonanzexperimenten gemessen<br />

[103].<br />

E P = 2m2 0<br />

¯h 2 P 2 (7.10)<br />

Material E P (eV) [46] E P (eV) [44]<br />

(<br />

m0<br />

GaAs 25,7 28,8 21,2<br />

AlAs 21,1 21,1 17,7<br />

InAs 22,2 21,5 18,6<br />

InP 20,7 20,7 16,5<br />

m ∗ e<br />

)<br />

Eg (E<br />

− 1<br />

g +∆)<br />

(eV)<br />

(E g + 2 3 ∆)<br />

Tabelle 7.2: Energieparameter E P für wichtige III-V-Halbleiter nach zwei Quellen.<br />

Zum Vergleich wurden die Werte nach dem Ausdruck des Kane’schen<br />

Modells (Gleichung 7.9) angegeben.<br />

Im Quantum-Well unterscheidet man zwei Polarisationen des Lichtes. Bei <strong>der</strong><br />

TE-Polarisation (ê = ˆx) ist das optische Feld in <strong>der</strong> (x, y)-Quantum-Well-Ebene<br />

polarisiert. Bei <strong>der</strong> TM-Polarisation (ê = ẑ) ist es in <strong>der</strong> Wachstumsrichtung, also<br />

senkrecht zur Quantum-Well-Ebene polarisiert.<br />

Ungekoppelte Valenzbän<strong>der</strong><br />

Die Energien <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong> sind isotrop in <strong>der</strong> (k x , k y )-Ebene und die einhüllenden<br />

Funktionen φ(z) sind skalar.<br />

In [46] (S. 371ff) wird gezeigt, daß die optischen Impulsmatrixelemente eines<br />

Elektronenbandes und eines ungekoppelten Löcherbandes mit dieser Gleichung berechnet<br />

werden:<br />

|M i,j | 2 = |ê · ⃗p cv | 2 = P i,j (θ)|O ij | 2 M 2 b (7.11)<br />

Entscheidend für die Rekombination eines Elektron-Loch-Paares im Quantengraben<br />

ist, ob sich ihre einhüllenden Funktionen φ(z) und damit ihre Wellenfunktionen<br />

konstruktiv o<strong>der</strong> destruktiv überlagern. Die Überlagerung <strong>der</strong> einhüllenden<br />

Funktionen wird durch das Überlappintegral beschrieben.<br />

|O i,j | 2 =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

φ ∗ i (z)φ j (z)dz (7.12)<br />

Ein Übergang ist verboten, wenn |O ij | 2 = 0 ist.<br />

Der polarisationsbestimmende Faktor P i,j (θ) ist in Tabelle 7.3 angegeben. Der Faktor<br />

hat seine Ursache in <strong>der</strong> Überlappung <strong>der</strong> Zonenzentrum-Blochfaktoren, die<br />

im Enveloppenfunktionsformalismus absepariert wurden. P i,j ist nicht vom Winkel<br />

φ zwischen k x und k z abhängig, weil durch die Rotationssymmetrie <strong>der</strong> Energiesubbän<strong>der</strong><br />

im ⃗ k-Raum über φ gemittelt werden kann.<br />

θ(k ρ ) bzw. θ(E) ist <strong>der</strong> Winkel zwischen k z und k ρ . Im Quantum-Well haben<br />

die Wellenvektoren <strong>der</strong> Ladungsträger jedoch keine k z -Komponente. Dieser Wi<strong>der</strong>spruch<br />

löst sich auf, wenn man die Dispersion des homogenen QW-Materials<br />

E(k ρ , k z ) auf die (radialsymmetrische) Subbanddispersion E n (k ρ ) projeziert. Dies


108 KAPITEL 7. OPTOELEKTRONIK<br />

TE-Polarisation<br />

TM-Polarisation<br />

3<br />

CB-HH<br />

4 (1 + cos2 3<br />

(θ))<br />

2 sin2 (θ)<br />

5<br />

CB-LH<br />

4 − 3 4 cos2 1<br />

(θ)<br />

2 (1 + 3 cos2 (θ))<br />

CB-HH 9/8 3/4<br />

CB-LH 7/8 5/4<br />

Tabelle 7.3: Der polarisationsbestimmende Faktor P i,j (θ) in den optischen Matrixelementen<br />

und sein von θ-unabhängiger Mittelwert.<br />

entspricht <strong>der</strong> Verwendung des Bulk-k z in <strong>der</strong> Herleitung des Bandstrukturalgorithmus<br />

in Kapitel 5 (siehe insbeson<strong>der</strong>e Gleichung (5.33)).<br />

Mit folgendem Ansatz wird ein Mittelmaß zwischen θ des Elektrons und θ des<br />

Loches gebildet. m e und m h sind die effektiven Massen des Leitungsbandes und des<br />

Valenzbandes im homogen Medium.<br />

)<br />

E = E g + ¯h2 k 2 −<br />

(− ¯h2 k 2<br />

2m e 2m h<br />

= E g + ¯h2<br />

2<br />

(<br />

k 2 ρ + k 2 z<br />

) ( 1<br />

m e<br />

+ 1<br />

m h<br />

)<br />

(7.13)<br />

Man führt die reduzierte effektive Masse m r ein mit 1/m r = 1/m e + 1/m h . Für<br />

GaAs ist m h r = 0, 0569 m 0 für ein Elektron-schweres Loch-Paar und m l r = 0.0385 m 0<br />

für ein Elektron-leichtes Loch-Paar.<br />

Der Winkel θ(E) ergibt sich im realen bzw. im <strong>Berechnung</strong>skoordinatensystem<br />

k2 ρ<br />

sin 2 (θ) =<br />

kρ 2 + kz<br />

2<br />

= ¯h2 kρ<br />

2 ·<br />

(7.14)<br />

2m r E − E g<br />

= ¯h2 kρ<br />

2 ·<br />

2m r Ē i (k ρ ) + Ēj(k ρ )<br />

(7.15)<br />

Dieser Ausdruck ist allgemein gültig. In ihm befinden sich die Informationen <strong>der</strong><br />

QW- und <strong>der</strong> Bulkdispersion. Für die Rekombination des Elektronensubbandes i<br />

und eines HH-Lochsubbandes j benötigt man die QW-Dispersionen E i (k ρ ) und<br />

E j (k ρ ) sowie die Bulkdispersionen E c ( ⃗ k) und E h ( ⃗ k).<br />

Approximiert man die Subbän<strong>der</strong> <strong>der</strong> Elektronen und Löcher mit Parabeln, kann<br />

(7.14) vereinfacht werden. Im Folgenden ist m r ij die reduzierte effektive Masse des<br />

Elektronensubbandes i und des Löchersubbandes j.<br />

)<br />

E(k ρ ) = E i0 + ¯h2 kρ 2 −<br />

(E j0 − ¯h2 kρ<br />

2 = E i0 − E j0 + ¯h2<br />

2m i 2m j 2m r kρ 2 (7.16)<br />

ij<br />

sin 2 (θ) = mr ij<br />

m r<br />

·<br />

Als weitere Vereinfachung wurde<br />

1<br />

1 + E i0−E j0 −E g<br />

E<br />

(7.17)<br />

cos(θ) = E i0 − E j0<br />

(7.18)<br />

E<br />

vorgeschlagen [23]. Man beachte im Vergleich mit den Quellen [46, 23] die Lage und<br />

Orientierung <strong>der</strong> Energieachsen.


7.1. DIE OPTISCHE VERSTÄRKUNG 109<br />

HH- und LH-Band gekoppelt<br />

Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Löchereigenzustände besitzen zwei Komponenten. Diese<br />

seien φ h und φ l . Da die betrachteten Quantum-Wells symmetrisch sind, sind die<br />

Wellenfunktionen des oberen Blockes H U und des unteren Blockes H L in (4.44)<br />

identisch und müssen nicht unterschieden werden.<br />

Für die TE-Polarisation wird [46, 94]<br />

[<br />

|M i,j | 2 = 3 √ 〈φ<br />

c<br />

4 i |φ h 〉 2 1 〈<br />

j + φ<br />

c<br />

3 i |φ l 2 6<br />

j〉<br />

+<br />

3 cos 2φ 〈 φ c i|φ h 〉 〈<br />

j φ<br />

c<br />

i |φ l 〉 ]<br />

j Mb 2 (7.19)<br />

φ ist <strong>der</strong> Winkel zwischen k x und k y , über den in (7.2) integriert wird. Da cos 2φ =<br />

− cos 2(90 o −φ) und für die Bandstruktur E(k ρ , φ) = E(k ρ , 90 o −φ) (siehe Abbildung<br />

4.5), wird <strong>der</strong> cos 2φ-Term in <strong>der</strong> Integration zu Null. Deshalb kann man den Term<br />

im optischen Impulsmatrixelement streichen. Somit wird Gleichung (7.19) zu<br />

|M i,j | 2 = 3 [ ]<br />

〈φ<br />

c<br />

4 i |φ h 〉 2 1 〈<br />

j + φ<br />

c<br />

3 i |φ l 〉 2<br />

j Mb 2 (7.20)<br />

Für die TM-Polarisation wird zu<br />

|M i,j | 2 = 〈 φ c i|φ l j〉 2<br />

M<br />

2<br />

b (7.21)<br />

In den Impulsmatrixelementen wurden für die Produkte <strong>der</strong> Blochfaktoren das<br />

Quadrat des optischen Matrixelementes des homogenen Mediums Mb<br />

2 benutzt und<br />

somit θ-Winkelabhängigkeiten nicht berücksichtigt.<br />

HH-, LH- und SO-Band gekoppelt<br />

Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Löchereigenzustände besitzen nun die drei Komponenten<br />

φ h , φ l und φ s , die für die beiden Blöcke des Hamiltonian (4.52) im symmetrischen<br />

Quantum-Well identisch sind.<br />

Für die TE-Polarisation wird [77]<br />

|M i,j | 2 =<br />

4[ 3 〈φ<br />

c<br />

i |φ h 〉 2 1<br />

j +<br />

3<br />

+<br />

〈<br />

φ<br />

c<br />

i |φ l 2 2 〈<br />

j〉<br />

+ φ<br />

c<br />

3 i |φ s 〉 2<br />

j<br />

(7.22)<br />

√<br />

6<br />

3 cos 2φ (〈 φ c i|φ h 〉 〈<br />

j φ<br />

c<br />

i |φ l 〉 〈<br />

j + 2 φ<br />

c<br />

i |φ h 〉 〈<br />

j φ<br />

c<br />

i |φ s j〉)<br />

+ 2√ 2<br />

3<br />

(7.23)<br />

〈<br />

φ<br />

c<br />

i |φ l 〉 〈<br />

j φ<br />

c<br />

i |φ s 〉 ]<br />

j Mb 2 (7.24)<br />

Die beiden Terme mit cos 2φ können wegen <strong>der</strong> Spiegelsymmetrie um die 〈11〉-Achse<br />

aus |M i,j | 2 genommen werden.<br />

|M i,j | 2 =<br />

4[ 3 〈φ<br />

c<br />

i |φ h 〉 2 1 〈<br />

j + φ<br />

c<br />

3 i |φ l 2 2 〈<br />

j〉<br />

+ φ<br />

c<br />

3 i |φ s 〉 2<br />

j<br />

(7.25)<br />

+ 2√ 2<br />

3<br />

〈<br />

φ<br />

c<br />

i |φ l 〉 〈<br />

j φ<br />

c<br />

i |φ s 〉 ]<br />

j Mb 2 (7.26)<br />

Für die TM-Polarisation wird das optische Impulsmatrixelement zu<br />

[<br />

〈φ<br />

|M i,j | 2 c<br />

= i |φ l 〉 2 3 √ ]<br />

2 〈<br />

j − φ<br />

c<br />

2 i |φ s 〉 2<br />

j Mb 2 (7.27)


110 KAPITEL 7. OPTOELEKTRONIK<br />

7.1.2 Die Linienverbreiterung<br />

Die in 1.3 diskutierten Übergänge zwischen den beiden Energienivaus E 1 und E 2<br />

haben tatsächlich nicht eine streng monochromatische Spektrallinie <strong>der</strong> Frequenz<br />

f 0 = E 1 − E 2<br />

h<br />

(7.28)<br />

son<strong>der</strong>n eine Spektrallinie mit endlicher Linienbreite ∆f. Das Linienprofil wird<br />

durch die Linienformfunktion beschrieben (siehe Abbildung 7.1). Ohne Linienverbreiterung<br />

wäre die Deltafunktion die Linienformfunktion.<br />

δ(f − f 0 ) (7.29)<br />

Man unterscheidet die homogene und die inhomogene Linienverbreiterung. Wirkt<br />

eine Verbreiterung des Linienprofils für alle Atome in gleichem Maße, so nennt man<br />

die Linie homogen verbreitert. Dies ist <strong>der</strong> Fall für die natürliche und die Stoßverbreiterung.<br />

Die heterogene Verbreiterung ist nicht für jedes Atom gleich [2]. Ein<br />

Beispiel ist die Dopplerverbreiterung. Inhomogene Linienverbreitung beschreibt die<br />

Gaußfunktion, homogene die Lorentzfunktion<br />

mit <strong>der</strong> Halbwertsbreite (FHWM)<br />

L(f − f 0 ) = 1 ∆f/2<br />

π (f − f 0 ) 2 + (∆f/2) 2 (7.30)<br />

2<br />

L(0) =<br />

π∆f<br />

∆f = 1<br />

2πτ<br />

und <strong>der</strong> Lebensdauer τ des Elektrons im angeregten Zustand.<br />

(7.31)<br />

Abbildung 7.1: Gaußfunktion g(∆E, ¯hω), cosh-Verbreiterung C(∆E, ¯hω) und<br />

Lorentzfunktion L(∆E, ¯hω) als Linienformfunktionen mit gleicher<br />

Halbwertsbreite Γ [2].<br />

Die übliche Form, um die Linienverbreiterung <strong>der</strong> Halbleiterlaser zu beschreiben,<br />

ist die Lorentzverbreiterung, die mit Γ = ∆f · h auch als als Funktion <strong>der</strong><br />

Energiedifferenz ∆E zweier Zustände ausgedrückt werden kann [104]:


7.1. DIE OPTISCHE VERSTÄRKUNG 111<br />

L(∆E, ¯hω) = 1 π<br />

L(¯hω = ∆E) = 2 ≈ 0, 64 Γ−1<br />

πΓ<br />

Γ/2<br />

(∆E − ¯hω) 2 + (Γ/2) 2 (7.32)<br />

Typische Werte von Γ liegen bei 5 − 20 meV , was einer Halbwertsbreite <strong>der</strong><br />

Frequenz von 1 − 5 · 10 12 Hz und <strong>der</strong> Wellenlänge von 1 − 60 nm entspricht.<br />

Das Modell <strong>der</strong> Lorentzfunktion geht von elastischen Stößen <strong>der</strong> Teilchen in<br />

Nullzeit aus. Die tatsächliche Linienform beschreiben an<strong>der</strong>e Modelle homogener<br />

Linienverbreiterung besser, wie das empirische Modell <strong>der</strong> cosh-Verbreiterung<br />

C(∆E, ¯hω) =<br />

C(¯hω = ∆E) =<br />

( )<br />

1 ∆E − ¯hω<br />

cosh −2<br />

4Γ C 2Γ C<br />

1<br />

≈ 0, 25 Γ −1<br />

C<br />

≈ 0, 88 Γ−1<br />

4Γ C<br />

Γ C = arccosh(4 √ 2)Γ ≈ 3, 5 Γ<br />

(7.33)<br />

und das Landsberg Modell [104] mit energieabhängigem Γ(∆E)<br />

L(∆E, ¯hω) = 1 Γ(∆E)/2<br />

( )<br />

π<br />

2<br />

(∆E − ¯hω) 2 + Γ(∆E)/2<br />

(7.34)<br />

3∑<br />

(<br />

) k<br />

∆E<br />

Γ(∆E) = Γ L a k<br />

E F c − E F v<br />

(7.35)<br />

L(¯hω = ∆E) =<br />

k=0<br />

2<br />

πΓ(∆E)<br />

mit a 0 = 1, a 1 = −2, 229, a 2 = 1, 458, a 3 = −0, 229. Die Halbwertsbreite Γ(∆E)<br />

und <strong>der</strong> Betrag des Maximums von L(∆E, ¯hω) sind abhängig vom Verhältnis aus<br />

Energiedifferenz ∆E und <strong>der</strong> Quasiferminiveau-Separation E F c − E F v .


112 KAPITEL 7. OPTOELEKTRONIK


Kapitel 8<br />

Vorhersagen für die<br />

opto<strong>elektronischen</strong><br />

Eigenschaften<br />

8.1 Optische Verstärkung<br />

Für die zwei quantisierten Strukturen (A) und (C) - siehe Seite 79 - wurde <strong>der</strong> Einfluß<br />

des Bandstruktur- <strong>Berechnung</strong>smodells auf die optische Verstärkung bei Raumtemperatur<br />

untersucht. Die Ladungsträgerdichten wurden mit n = 1, 6 · 10 18 cm −3<br />

und p = 1 · 10 18 cm −3 gewählt. Sie entsprechen Werten oberhalb <strong>der</strong> Laserschwelle<br />

aus LASER-DESSIS-Simulationen.<br />

Untersucht wurden<br />

(A) das einfache Modell mit ungekoppeltem Leitungsband und ungekoppelten Valenzbän<strong>der</strong>n,<br />

(B) das Modell mit gekoppeltem Leitungsband und ungekoppelten Valenzbän<strong>der</strong>n,<br />

(C) das Modell mit gekoppeltem Leitungsband und Kopplung <strong>der</strong> schweren und<br />

leichten Löcher sowie<br />

(D) das Modell mit gekoppeltem Leitungsband und Kopplung von HH-, LH- und<br />

SO-Löchern.<br />

Die Ergebnisse für den Al 0,2 Ga 0,8 As-GaAs-Quantum-Well sind in Abbildung<br />

8.1 dargestellt. Die lokale optische Verstärkung wird bei allen Modellen in <strong>der</strong>selben<br />

Größenordnung berechnet. Je einfacher das Modell, desto höher wird die<br />

optische Verstärkung berechnet. Das Maximum <strong>der</strong> Gainkurve in TE-Richtung beträgt<br />

für das Modell (d) 761 cm −1 , für das Modell (c) 926 cm −1 , für das Modell (b)<br />

1286 cm −1 und für das einfache, ungekoppelte Modell (a) 1577cm −1 (siehe Tabelle<br />

8.1). Die Photonenenergie und damit die Wellenlänge <strong>der</strong> maximal verstärkten TE-<br />

Mode werden auf 0,5 % genau berechnet. In TM-Richtung betragen die maximalen<br />

Verstärkungen 514 cm −1 für (d), 1002 cm −1 für (c), 1317 cm −1 für (b) und 1665<br />

cm −1 für (a). Photonenenergie und Wellenlänge <strong>der</strong> maximal verstärkten TM-Mode<br />

werden auf 2,5 % genau berechnet.<br />

Für die TE-Richtung ist das Modell mit gekoppeltem Leitungsband und Kopplung<br />

<strong>der</strong> schweren und leichten Löcher eine gute Näherung. In TM-Richtung sollte<br />

das Modell aus gekoppeltem Leitungsband und gekoppelten HH-, LH- und SO-<br />

Valenzbän<strong>der</strong>n verwendet werden.<br />

113


114 KAPITEL 8. VORHERSAGEN VON OPTOELEKTR. EIGENSCHAFTEN<br />

Für Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Well sind die Kurven <strong>der</strong> lokalen optischen<br />

Verstärkung in den Abbildungen 8.2 und 8.3 dargestellt. In TE-Richtung<br />

sind die Werte des lokalen Gains für die Modelle (a) bis (c) 50-mal bis 200-mal<br />

so groß wie für das Modell (d). In TM-Richtung wird die optische Verstärkung<br />

für die Modelle (c) und (d) in <strong>der</strong>selben Größenordnung und für die Modelle (a)<br />

und (b) eine Größenordnung höher berechnet. Photonenenergie und Wellenlänge<br />

<strong>der</strong> maximal verstärkten TE- und TM-Mode werden für die Modelle (b) bis (d) auf<br />

1% genau berechnet. Die Wellenlänge <strong>der</strong> maximal verstärkten TE- und TM-Mode<br />

wird bei Verwendung des Modells (a) um 1 % bzw. 12 % größer berechnet als bei<br />

Verwendung des Modells (d).<br />

In <strong>der</strong> TE-Richtung sollte das Modell (d) verwendet werden. In <strong>der</strong> TM-Richtung<br />

kann das Modell (c) als gute Näherung verwendet werden. Rechnungen mit komplexeren<br />

Modellen, wie das einer Kopplung des untersten Leitungsbandes mit den<br />

obersten drei Valenzbän<strong>der</strong>n, können zur Evaluierung des Modells (d) verwendet<br />

werden.<br />

1600<br />

1400<br />

LB und VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />

LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />

Optische Verstärkung g in cm −1<br />

1200<br />

1000<br />

800<br />

600<br />

400<br />

200<br />

0<br />

(a)<br />

−200<br />

1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6<br />

hw in eV<br />

1600<br />

1400<br />

LB und VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />

LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />

Optische Verstärkung g in cm −1<br />

1200<br />

1000<br />

800<br />

600<br />

400<br />

200<br />

0<br />

(b)<br />

−200<br />

1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7<br />

hw in eV<br />

Abbildung 8.1: Die optische Verstärkung eines 68 Å breiten (verspannten)<br />

Al 0,2 Ga 0,8 As-GaAs-Quantum-Wells bei 300 K mit den Ladungsträgerdichten<br />

n = 1, 6 · 10 18 cm −3 und p = 1 · 10 18 cm −3 (a) in<br />

TE-Richtung und (b) in TM-Richtung.


8.2. SIMULATION EINES QUANTUM-WELL-LASERS 115<br />

(a) TE-Richtung ¯hω in eV g in cm −1 λ in nm<br />

LB und VB: ungekoppelt 1.514 1577 818,9<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt 1.510 1286 821,2<br />

LB: gekoppelt, VB: 4×4 ohne SO-Band 1.511 926 820,3<br />

LB: gekoppelt, VB: 6×6 mit SO-Band 1.506 761 823,5<br />

(b) TM-Richtung ¯hω in eV g in cm −1 λ in nm<br />

LB und VB: ungekoppelt 1.520 1665 815,7<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt 1.516 1317 817,6<br />

LB: gekoppelt, VB: 4×4 ohne SO-Band 1.516 1002 817,8<br />

LB: gekoppelt, VB: 6×6 mit SO-Band 1.538 514 806,1<br />

Tabelle 8.1: Photonenenergie maximaler Verstärkung, die lokale optische<br />

Verstärkung und Wellenlänge dieser Lichtwelle eines Al 0,2 Ga 0,8 As–<br />

GaAs–Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å für verschiedene Modelle für<br />

(a) die TE-Richtung und (b) die TM-Richtung.<br />

(a) TE-Richtung ¯hω in eV g in cm −1 λ in nm<br />

LB und VB: ungekoppelt 1.329 1909 932,7<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt 1.301 1217 953,1<br />

LB: gekoppelt, VB: 4×4 ohne SO-Band 1.300 552 953,9<br />

LB: gekoppelt, VB: 6×6 mit SO-Band 1.313 10 944,1<br />

(b) TM-Richtung ¯hω in eV g in cm −1 λ in nm<br />

LB und VB: ungekoppelt 1.472 926 842,3<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt 1.301 559 950,8<br />

LB: gekoppelt, VB: 4×4 ohne SO-Band 1.302 16 952,4<br />

LB: gekoppelt, VB: 6×6 mit SO-Band 1.314 32 943,2<br />

Tabelle 8.2: Photonenenergie maximaler Verstärkung, die lokale optische<br />

Verstärkung und Wellenlänge dieser Lichtwelle eines Al 0,2 Ga 0,8 As–<br />

In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å für verschiedene<br />

Modelle für (a) die TE-Richtung und (b) die TM- Richtung.<br />

8.2 Simulation eines Quantum-Well-Lasers<br />

Innerhalb <strong>der</strong> Arbeit konnte eine Laserdiode (siehe Abbildung 8.4) mit einem komplexen<br />

Bandstrukturmodell, dem 4×4-Luttinger-Kohn-Hamiltonian, simuliert werden.<br />

Dies war möglich durch die Implemenation <strong>der</strong> reduzierten Zustandsdichten<br />

und optischen Matrixelemente in Gleichung 7.4 in LASER-DESSIS. Es wurde bei<br />

konstanter Temperatur gerechnet. Verwendet wurde die cosh-Verbreiterungsfunktion.<br />

Die Reflektivitäten <strong>der</strong> Seitenspiegel waren 0,9 und 0,07. Die aktive Zone war<br />

eine 8,5 nm dicke Schicht In 0,2 Ga 0,8 As in einem gradiert gewachsenen Al x Ga 1−x As-<br />

Substrat, dessen Aluminiumgehalt von x=0,28 auf x=0,2 zum Quanten-Well abnahm.<br />

Eine prägnante Abweichung <strong>der</strong> Ergebnisse (Abbildung 8.5) ist sichtbar. Die<br />

Energie mit <strong>der</strong> größten Verstärkung wird bei <strong>der</strong> Implementation des 4×4-Hamiltonian<br />

um ∼ 150 meV höher vorhergesagt als bei Implementation <strong>der</strong> ungekoppelten<br />

Bandstrukturmodelle. Eine weitere Untersuchung dieser Unterschiede war zeitlich<br />

innerhalb <strong>der</strong> Arbeit nicht mehr möglich.


116 KAPITEL 8. VORHERSAGEN VON OPTOELEKTR. EIGENSCHAFTEN<br />

Optische Verstärkung g in cm −1<br />

2000<br />

1800<br />

1600<br />

1400<br />

1200<br />

1000<br />

800<br />

600<br />

400<br />

200<br />

LB und VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />

LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />

0<br />

(a)<br />

−200<br />

1.2 1.25 1.3 1.35<br />

hw in eV<br />

100<br />

80<br />

LB und VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />

LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />

Optische Verstärkung g in cm −1<br />

60<br />

40<br />

20<br />

0<br />

(b)<br />

−20<br />

1.2 1.25 1.3 1.35<br />

hw in eV<br />

Abbildung 8.2: (a) Die optische Verstärkung eines 68 Å breiten (verspannten)<br />

Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Wells bei 300 K mit den Ladungsträgerdichten<br />

n = 1, 6 · 10 18 cm −3 und p = 1 · 10 18 cm −3 in<br />

TE-Richtung. (b) ist ein Ausschnitt aus (a).


8.2. SIMULATION EINES QUANTUM-WELL-LASERS 117<br />

700<br />

600<br />

LB und VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />

LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />

Optische Verstärkung g in cm −1<br />

500<br />

400<br />

300<br />

200<br />

100<br />

0<br />

(a)<br />

−100<br />

1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4<br />

100<br />

80<br />

LB und VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />

LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />

LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />

hw in eV<br />

Optische Verstärkung g in cm −1<br />

60<br />

40<br />

20<br />

0<br />

(b)<br />

−20<br />

1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4<br />

hw in eV<br />

Abbildung 8.3: (a) Die optische Verstärkung eines 68 Å breiten (verspannten)<br />

Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Wells bei 300 K mit den Ladungsträgerdichten<br />

n = 1, 6 · 10 18 cm −3 und p = 1 · 10 18 cm −3 in<br />

TM-Richtung. (b) ist ein Ausschnitt aus (a).


118 KAPITEL 8. VORHERSAGEN VON OPTOELEKTR. EIGENSCHAFTEN<br />

-4<br />

-3<br />

-2<br />

Y<br />

-1<br />

0<br />

1<br />

0 2 4 6 8<br />

X<br />

Abbildung 8.4: Modell <strong>der</strong> simulierten Laserdiode (Längen sind in µm). Dargestellt<br />

ist die Hälfte eines Seitenschnittes. Simuliert wurde auf dem<br />

Gitter, das in <strong>der</strong> aktiven Zone in <strong>der</strong> Mitte sehr dicht ist.<br />

18<br />

20<br />

16<br />

14<br />

15<br />

12<br />

ModeGain0<br />

10<br />

8<br />

ModeGain0<br />

10<br />

6<br />

5<br />

4<br />

2<br />

0<br />

1.3 1.4 1.5<br />

TransitionEnergy<br />

(a)<br />

1.15 1.2 1.25 1.3<br />

TransitionEnergy<br />

(b)<br />

Abbildung 8.5: Die globale, optische Verstärkung eines 85 Å breiten (verspannten)<br />

Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Well-Lasers bei einer<br />

Leistung von 13,5 mW in Abhängigkeit von <strong>der</strong> Übergangsenergie<br />

(in eV). (a) <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Subbäner mit 4×4-Hamiltonian, (b)<br />

mit ungekoppelter Bandstrukturberechnung.


Kapitel 9<br />

Zusammenfassung und<br />

Ausblick<br />

Die k·p -Methode als störungstheoretischer Ansatz ist eine bekanntes Verfahren<br />

zur Ermittlung <strong>der</strong> Eigenzustände in einem homogenen Halbleiter. In <strong>der</strong> vorliegenden<br />

Arbeit wurde <strong>der</strong> Envelopenfunktionsformalismus, eine Möglichkeit <strong>der</strong> Fortentwicklung<br />

<strong>der</strong> k·p -Methode für die Beschreibung <strong>der</strong> Bandstruktur in Quantengräben,<br />

benutzt.<br />

Zwei Modelle <strong>der</strong> k·p -Methode , das Kane- und das Luttinger-Kohn-Modell,<br />

sowie ihre Grundlagen, <strong>der</strong> allgemeine störungstheoretische Ansatz und die Methode<br />

von Löwdin, wurden vorgestellt. Im Quanten-Well können mit einer Entwicklung<br />

<strong>der</strong> Wellenfunktionen nach den Blochfaktoren im Brillouinzonenzentrum die<br />

Hamiltonmatrizen <strong>der</strong> beiden Modelle verwendet werden. Die Einschränkung <strong>der</strong><br />

Ladungsträger in einer Richtung lässt aus den Matrizen Differentialoperatoren werden,<br />

und das Eigenwertproblem wird mit speziellen Bedingungen an den Stoffgrenzen<br />

zum gekoppelten Differentialgleichungssystem. Diese Methode hat den weiteren<br />

Vorteil, daß die Verspannung des Gitters im Quantum-Well durch unterschiedliche<br />

Gitterkonstanten von Substrat und QW-Material, auf eine einfache Art in den<br />

Störungsansatz hinzugenommen werden kann. Verschieden komplexe Modelle zum<br />

Finden <strong>der</strong> Eigenzustände <strong>der</strong> Valenz- und Leitungssubbän<strong>der</strong> sowie Vereinfachungen<br />

wie die Blockdiagonalform und die Axiale Approximation wurden aufgezeigt.<br />

Beson<strong>der</strong>en Wert wurde auf die eingehenden Materialparameter gelegt.<br />

Die Eigenzustände im Quantum-Well ergeben sich als Lösungen <strong>der</strong> gekoppelten<br />

Differentialgleichungssysteme. Eine analytische Lösungsmethode wurde in allgemeiner<br />

Form und für ungekoppelte und gekoppelte Valenz- und Leitungsbandmodelle<br />

beschrieben.<br />

Für die Materialsysteme Al x Ga 1−x As–GaAs und Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As<br />

wurden Ergebnisse <strong>der</strong> Bandstrukturberechnungen – Eigenenergien und -funktionen–<br />

präsentiert. Für diese Simulationen wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Programmpaket<br />

in MATLAB entwickelt.<br />

Bei den Löchern gibt es bei beiden Systemen starke Unterschiede für die drei betrachteten<br />

Modelle, 6×6-Hamiltonian, 4×4-Hamiltonian und ungekoppelte <strong>Berechnung</strong>.<br />

Die Abweichungen <strong>der</strong> Ergebnisse des ungekoppelten Modells von den komplexeren<br />

sind sowohl bei Al x Ga 1−x As–GaAs als auch bei Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As<br />

groß. Bei 300 K werden die Löcherdichten bis zu 80% kleiner als bei dem komplexesten<br />

Modell berechnet. Im Gegensatz zu Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As ergeben sich<br />

für Al x Ga 1−x As–GaAs für das Modell mit vier gekoppelten Bän<strong>der</strong>n wesentlich<br />

bessere Ergebnisse.<br />

Für die <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Löcherladungsdichten in Al x Ga 1−x As–GaAs–Quantum-<br />

119


120 KAPITEL 9. ZU<strong>SAM</strong>MENFASSUNG UND AUSBLICK<br />

Wells sollte mindestens das 4-Band-Modell verwendet werden. Bei Al x Ga 1−x As–<br />

In x Ga 1−x As–Quantum-Wells sind die Abweichungen bei <strong>Berechnung</strong> mit 4×4- und<br />

6×6-Hamiltonian aufgrund <strong>der</strong> SO-Kopplung recht groß (ca. 20 meV für die Fermienergie).<br />

Daher empfiehlt sich hier eine Betrachtung mit dem 6×6-Modell.<br />

Die Elektronensubbän<strong>der</strong> wurden anhand zweier Modelle verglichen – das ungekoppelte,<br />

parabolische und das gekoppelte, nicht parabolische. Relativ kleine Abweichungen<br />

existieren nur bei tieferen Energien für den Al x Ga 1−x As–GaAs-Quantengraben.<br />

Da für den vorgestellten Algorithmus das nicht parabolische Modell nicht<br />

wesentlich komplexer als das parabolische Modell ist, empfiehlt sich für die Betrachtung<br />

<strong>der</strong> Elektronen das gekoppelte Modell.<br />

Der Einfluß <strong>der</strong> Verspannung ist bei dem Al x Ga 1−x As–GaAs-System relativ<br />

klein, bei dem Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As-System jedoch relativ groß und nicht vernachlässigbar.<br />

Beobachtet wurden markante Än<strong>der</strong>ungen in den Ergebnissen für beide Materialsysteme<br />

bei Verwendung aktuell empfohlener Zahlenwerte für die Materialparameter<br />

wie Luttingerparameter, effektive Elektronenmasse im homogenen Medium<br />

und Bandlücke. Für den Al x Ga 1−x As–GaAs-Quantum-Well sind die Abweichungen<br />

etwas kleiner als für den Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As-Quantum-Well.<br />

Die Subbandstruktur <strong>der</strong> Löcher und Elektronen sowie ihre Wellenfunktionen<br />

wurden zur <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> optischen Verstärkung nach Fermis Goldener Regel<br />

benutzt. Die dabei verwendeten optischen Impulsmatrixelemente wurden für unterschiedlich<br />

komplexe Ansätze <strong>der</strong> Wellenfunktionen aufgestellt. Für die beiden Materialsysteme<br />

Al x Ga 1−x As–GaAs und Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As wurde die lokale<br />

optische Verstärkung in TE- und TM- Richtung für verschieden komplexe Bandstrukturmodelle<br />

verglichen.<br />

Für den Al x Ga 1−x As–GaAs–Quantengraben war die berechnete optische Verstärkung<br />

bei allen Modellen in <strong>der</strong>selben Größenordnung. Im Gegensatz dazu lagen<br />

die Werte für den Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As-Quantengraben bei Verwendung <strong>der</strong><br />

ungekoppelten Modelle um ein bis zwei Größenordnungen höher als bei Verwendung<br />

<strong>der</strong> Kopplung <strong>der</strong> HH- und LH- Bän<strong>der</strong> bzw. HH-, LH- und SO- Bän<strong>der</strong>. Die Wellenlängen<br />

<strong>der</strong> maximal verstärkten Lichtwellen wurden bei den drei komplexeren<br />

Modellen bis auf 12 nm genau berechnet.<br />

Für beide Materialsysteme sollten die Leitungsbän<strong>der</strong> gekoppelt berechnet werden.<br />

Für den Al x Ga 1−x As–GaAs–Quantengraben sollte für die TE-Richtung mindestens<br />

das Modell mit <strong>der</strong> Kopplung <strong>der</strong> HH- und LH-Bän<strong>der</strong> benutzt werden. In<br />

TM-Richtung sollte das komplexe Modell mit Kopplung des SO-Bandes verwendet<br />

werden. Für den Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As-Quantengraben wird in TE-Richtung<br />

das Modell mit SO-Band-Kopplung und in TM-Richtung die gekoppelte <strong>Berechnung</strong><br />

<strong>der</strong> HH- und LH-Bän<strong>der</strong> empfohlen.<br />

In dem Simulator LASER-DESSIS wurden die berechneten Zustandsdichten und<br />

optischen Impulsmatrixelemente zur Bestimmung <strong>der</strong> optischen Verstärkung verwendet.<br />

So war ein erster Vergleich des komplexen k·p-Modells mit dem bestehenden<br />

einfachen k·p-Modell (ungekoppelt) möglich. Die prägnant unterschiedlichen<br />

Ergebnisse bedürfen weiterführen<strong>der</strong> Untersuchungen. So ist eine Verwendung <strong>der</strong><br />

mit dem komplexen k·p-Modell erhaltenen Bandstruktur für die <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong><br />

Ladungsträgerdichten im LASER-DESSIS angebracht. Mit einer Näherung <strong>der</strong> reduzierten<br />

Zustandsdichten durch stückweise Waagerechten kann das Fermiintegral<br />

0. Ordnung weiter verwendet werden.<br />

Desweiteren sind die Einflüsse von Verspannung und Materialparameter auf die<br />

optische Verstärkung zu untersuchen.<br />

Für eine Untersuchung <strong>der</strong> Selbstkonsistenz <strong>der</strong> Bandstruktur mit <strong>der</strong> Poissongleichung<br />

müssen beide in das selbstkonsistente System <strong>der</strong> Modelle von LASER-<br />

DESSIS integriert werden. Dies erfor<strong>der</strong>t weitere Untersuchungen zur Optimierung<br />

<strong>der</strong> Algorithmen.


Anhang<br />

A. Zur Bandstrukturberechnung<br />

A.1. Axiale Approximation: Bei welchem Winkel χ stimmen<br />

die <strong>Berechnung</strong> ohne und mit axialer Approximation überein?<br />

Die <strong>Berechnung</strong> mit und ohne axialer Approximation unterscheidet sich nur im<br />

˜R-Term in (4.45) und (4.49). An den Punkten mit dem Winkel χ stimmen die ˜R<br />

überein, und es muß<br />

( ) 2<br />

γ2(k 2 x 2 − ky) 2 2 + 4γ3k 2 xk 2 y 2 γ2 + γ 3<br />

=<br />

(kx 2 + k 2<br />

2<br />

y) 2 . (9.1)<br />

erfüllt sein.<br />

Mit k y = k x tan χ wird daraus :<br />

γ 2 2(1 − tan 2 χ) 2 k 4 x + 4γ 2 3 tan 2 χk 4 x =<br />

γ 2 2(1 − tan 2 χ) 2 + 4γ 2 3 tan 2 χ =<br />

( ) 2 γ2 + γ 3<br />

(1 + tan 2 χ) 2 kx<br />

4 2<br />

( ) 2 γ2 + γ 3<br />

(1 + tan 2 χ) 2 (9.2)<br />

2<br />

(9.3)<br />

Man erhält die biquadratische Gleichung<br />

Als Lösung ergibt sich :<br />

χ = arctan ⎝<br />

tan 4 χ − 2 5γ 2 + 7γ 3<br />

3γ 2 + γ 3<br />

tan 2 χ + 1 = 0 (9.4)<br />

⎛√<br />

5γ 2 + 7γ 3 − 4 √ ⎞<br />

(γ 2 + γ 3 )(γ 2 + 3γ 3 )<br />

⎠ (9.5)<br />

3γ 2 + γ 3<br />

Die Lösung mit dem Plus-Zeichen ist größer als 45 o und entspricht 1 − χ.<br />

Für Al x Ga 1−x As stellt die Abbildung 9.1 die Abhängigkeit des Winkels χ vom<br />

Aluminiumlegierungsanteil x dar. Für einige x sind sie in Tabelle 4.3 aufgelistet.<br />

Die Winkel liegen alle in dem kleinen Bereich von 20, 27 o bis 21, 35 o .<br />

A.2. Analytische Lösungen des 6×6-Hamiltonians im homogenen<br />

Material<br />

A.2.1. Der Wellenvektor k z<br />

Die Parameter <strong>der</strong> Gleichung zum Ermitteln von k z (5.90) sind<br />

121


122 ANHANG A. ZUR BANDSTRUKTURBERECHNUNG<br />

22<br />

21.8<br />

21.6<br />

21.4<br />

21.2<br />

φ in o<br />

21<br />

20.8<br />

20.6<br />

20.4<br />

20.2<br />

20<br />

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />

x<br />

Abbildung 9.1: Abhängigkeit des Winkels χ vom Aluminiumlegierungsanteil x<br />

a = (γ 1 + 4γ 2 )(γ 1 − 2γ 2 ) 2<br />

[ (<br />

)<br />

b(Ē − V h, k ρ ) = (γ 1 − 2γ 2 ) 3 γ 1 (γ 1 + 2γ 2 ) + 4(γ2 2 − γ3)<br />

2 kρ<br />

2<br />

]<br />

+ (γ 1 + 2γ 2 )(∆ − 3(Ē − V h)) + 12γ 2 ζ<br />

)<br />

c(k ρ , k x k y ) = −72iγ 3 k ρ<br />

(γ3k 2 ρ 2 − γ 2 R<br />

d(Ē − V h, k ρ , k x k y ) =<br />

(<br />

(<br />

3<br />

)<br />

γ1 2 − 4γ2(γ 2 1 + γ 2 ) + 12(γ 1 + 4γ 3 )(γ2 2 − γ3)k 2 xk 2 y<br />

2<br />

[<br />

− 6(γ1 2 + 2γ2 2 − 2γ3)(Ē 2 − V h) + 2(γ1 2 + 2γ2 2 + 6γ3)∆<br />

2<br />

(<br />

) ]<br />

+ 6 γ 1 γ 2 + 2(2γ2 2 − γ3)<br />

2 ζ kρ 2 + 3γ 1 (Ē − V h) 2<br />

)<br />

− 2(γ 1 ∆ + 6γ 3 ζ)(Ē − V h) − 3(γ 1 − 4γ 2 )ζ 2 + 4γ 2 ζ∆<br />

e(k ρ , k x k y ) = −k z (36iγ 3 k ρ )<br />

((γ 2 kρ 2 + ζ)R + R 2)<br />

f(Ē − V h, k ρ , k x k y ) = (γ 1 − 2γ 2 )(γ1 2 + 2γ 1 γ 2 − 2γ2)k 2 ρ 6 −<br />

]<br />

+ (γ1 2 + 2γ2)∆ 2 − 6γ 1 γ 2 ζ kρ 4 +<br />

[<br />

3(γ 2 1 − 2γ 2 2)(Ē − V h)<br />

[<br />

3γ 1 (Ē − V h) 2<br />

]<br />

− 2(γ 1 ∆ − 3γ 2 ζ)(Ē − V h) − 3(γ 1 + 2γ 2 )ζ 2 − 2γ 2 ζ∆<br />

+ 12(γ 1 − 2γ 2 )(γ2 2 − γ3)k 2 ρk 2 xk 2 y<br />

2<br />

(<br />

)<br />

− (Ē − V h − ζ) (Ē − V h) 2 − (∆ − ζ)(Ē − V h) − 2ζ 2 − ζ∆<br />

k 2 ρ


ANHANG A. ZUR BANDSTRUKTURBERECHNUNG 123<br />

R =<br />

√<br />

γ 2 2 (k2 x − k 2 y) 2 + 4γ 2 3 k2 xk 2 y (9.6)


124 ANHANG B. DIE SOFTWARE<br />

B. Die Software<br />

Die vorgestellten Algorithmen wurden in einem Programmpaket in <strong>der</strong> mathematischen<br />

Programmiersprache von MATLAB r○ umgesetzt. Das Kernstück ist die Bandstrukturberechnung,<br />

die für symmetrische QW-Strukturen variabler Breite und Materialwahl<br />

die Eigenenergien und die Wellenfunktionen berechnet. Die Software ist<br />

in unabhängigen Modulen programmiert, was eine Erweiterung auf an<strong>der</strong>e Modelle<br />

(zum Beispiel Koppelung von 6 o<strong>der</strong> 8 Bän<strong>der</strong>n) erleichtert. Die Eingaben <strong>der</strong><br />

Struktur und <strong>der</strong> Materialparameter wurden in einem eigenen Modul umgesetzt.<br />

Mit parabolischen Fits an die Kurven <strong>der</strong> Energiedispersion werden effektive<br />

Massen im Zonenzentrum sowie in <strong>der</strong> Nähe des Zonenzentrums berechnet.<br />

Funktionen rechnen aus <strong>der</strong> Energiedispersion <strong>der</strong> vollen Bandstruktur o<strong>der</strong> des<br />

parabolischen Fits die Ladungsträgerdichten in Quasiferminiveaus und umgekehrt<br />

um. Als weiteres können Überlappintegrale von Leitungs- und Valenzbän<strong>der</strong>n, optische<br />

Matrixelemente und optische Verstärkungen aus <strong>der</strong> Energiedispersion, den<br />

Wellenfunktionen und den Quasiferminiveaus berechnet werden.<br />

W X Y Z [ \ X ]<br />

“ ” • – — ˜ •<br />

¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ § ¨ ¥ § ¦<br />

€ ‚<br />

{ | } ~ z<br />

ƒ „ … † ƒ „ ‡<br />

ˆ ‰ Š<br />

© ! " # $ %<br />

1 2 3 3 4 5 6 7 8<br />

o p q n<br />

k l m<br />

f g h i f g j<br />

‹ Œ Ž ‹ Œ ‘ ’<br />

r s t u v w x y<br />

M N O P Q M R M S P T U V<br />

9 : ; < = > ? ; @ A B C D E F G H F I J K L<br />

c d e b<br />

^ _ ` a<br />

& ' ( ) * + , ( , - . / ) 0<br />

Abbildung 9.2: <strong>Berechnung</strong>sschema <strong>der</strong> Grundfunktionen des Programmpaketes.<br />

In Abbildung 9.2 sind die Grundfunktionen und die Reihenfolge ihrer Benutzung<br />

illustriert. Um z.B. die optische Verstärkung g(¯hω) zu erhalten, werden die<br />

mit getfermiE_ berechneten Quasiferminiveaus, die mit bandstruktur erhaltene<br />

Banddispersionen, die Momentum-Matrix-Elemente M 2 ( ⃗ k) aus momentum_matrix<br />

und <strong>der</strong> Materialparameter E P innerhalb <strong>der</strong> Materialliste K aus material benötigt.


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132 LITERATURVERZEICHNIS


Danksagung<br />

Mein ausdrücklicher Dank gilt Prof. Dr. Jürgen Schäfer. Er ermöglichte die Erarbeitung<br />

meiner Diplomarbeit in seiner Gruppe am Institut für Physik <strong>der</strong> TU Ilmenau<br />

und unterstützte meinen Aufenthalt an <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich, Schweiz.<br />

Für die Unterstützung <strong>der</strong> Durchführung dieser Arbeit am Institut für Integrierte<br />

Systeme <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich möchte ich dem Institutsleiter Prof. Dr. Wolfgang<br />

Fichtner danken.<br />

Mein Dank für die interessanten Diskussionen und Ratschläge über die Bandstruktur<br />

in Quantengräben gilt Dr. Vladimir Polyakov am Institut für Festkörperelektronik<br />

<strong>der</strong> TU Ilmenau. Für die konstruktiven Diskussionen über die Bandstrukturalgorithmen,<br />

über Selbstkonsistenz mit <strong>der</strong> Poissongleichung und die Band Gap<br />

Renormalisation sowie Vergleichsrechnungen mit ihren Finite Differenzen-Programmen<br />

möchte ich mich bei Dipl. Ing. Andrei Herasimovich (BSPA Minsk, Weißrußland)<br />

und bei Wolf-Michael Gnehr, Andreas Winzer (beide Institut für Physik, TU Ilmenau)<br />

und Dr. Valentin Nakov (IMMS Ilmenau) bedanken.<br />

Am Institut für Integrierte Systeme <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich danke ich Dipl.-Phys. Michael<br />

Pfeiffer und Dipl.-Ing. Andreas Witzig für die Wegleitung und einige Diskussionen<br />

über Halbleiterlaser und ihre Simulation. Den Administratoren Christoph<br />

Wicki und Anja Böhm des Instituts gilt mein Dank für die computertechnische<br />

Unterstützung. Den Oberassistenten Dölf Aemmer und Norbert Felber sowie Frau<br />

Haller danke ich für ihre Hilfe, u.a. bei den Behördenanträgen.<br />

Beson<strong>der</strong>er Dank gilt meiner Freundin und meiner Familie für erhebliche Unterstützung<br />

meiner Studien.<br />

133


134<br />

Bestätigung<br />

Ich bestätige, daß ich diese Arbeit selbständig angefertigt habe.<br />

Kersten Schmidt

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