Numerische Berechnung der elektronischen ... - SAM - ETH Zürich
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<strong>Numerische</strong> <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong><br />
<strong>elektronischen</strong> Subbandstruktur in<br />
Quantum-Wells bei <strong>der</strong> Simulation von<br />
Laserdioden<br />
Diplomarbeit<br />
(einschließlich Belegarbeit)<br />
Kersten Schmidt<br />
Gaststudent an <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich<br />
Student <strong>der</strong> Technischen Physik <strong>der</strong> TU Ilmenau<br />
Betreuer:<br />
Prof. Jürgen Schäfer, Dr. Vladimir Polyakov (TU Ilmenau)<br />
Michael Pfeiffer, Andreas Witzig (<strong>ETH</strong> Zürich)<br />
Ilmenau, 28.Dezember 2001
Inhaltsverzeichnis<br />
Einleitung 5<br />
1 Der Halbleiterlaser 7<br />
1.1 Eigenschaften <strong>der</strong> Laserstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.2 Anwendungen von Halbleiterlasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.3 Funktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.4 Laserstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.4.1 Halbleitermaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.4.2 p-n-Laserdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.4.3 Doppel-Heterostruktur-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.4.4 Quantum-Well-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.5 Simulationswerkzeug LASER-DESSIS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2 Der Festkörper 19<br />
2.1 Ladungsträger im Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
2.1.1 Ladungsdichten im homogenen Halbleiter . . . . . . . . . . . 22<br />
2.1.2 Ladungsdichten im Quantengraben . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3 Die Bandstruktur im homogenen Halbleiter 27<br />
3.1 Störungstheoretischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3.2 Matrixformulierung <strong>der</strong> Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3.3 LÖWDIN’s Methode <strong>der</strong> Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.4 k·p -Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.5 k·p -Hamiltonian mit Spin-Bahn-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . 31<br />
3.6 Das Kane’sche Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.7 Das Luttinger-Kohn-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.8 Materialparameter für die k·p -Methode . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
4 Die Bandstruktur in QW-Strukturen 43<br />
4.1 Envelopenfunktionsformalismus (EFA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.1.1 Die Idee des Envelopenfunktionsformalismus . . . . . . . . . 44<br />
4.1.2 Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.2 Behandlung von äußeren elektrischen Potentialen . . . . . . . . . . . 46<br />
4.3 Pikus-Bir-Hamiltonian mit Verspannung . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.4 4-Band-Hamiltonian ohne SO-Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.4.1 Blockdiagonalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
4.4.2 Axiale Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
4.5 6-Band-Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
4.6 Das Leitungsband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
4.7 Simple Valenzbandmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
4.8 Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
4.9 Anwendungsbereich des EFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
3
4 INHALTSVERZEICHNIS<br />
5 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Bandstruktur im QW 61<br />
5.1 Der Lösungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
5.1.1 Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
5.1.2 Verschwinden <strong>der</strong> Wellenfunktion im Unendlichen . . . . . . 64<br />
5.1.3 Die Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.1.4 Ermittlung <strong>der</strong> Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.2 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . 66<br />
5.3 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Zweibandschrödingergleichung . . . . . . . . . . . . 69<br />
5.3.1 Die Kopplung <strong>der</strong> HH- und LH-Bän<strong>der</strong> . . . . . . . . . . . . 70<br />
5.3.2 HH- und LH-Bän<strong>der</strong> in axialer Näherung . . . . . . . . . . . 73<br />
5.3.3 Koppelung <strong>der</strong> LH- und SO-Bän<strong>der</strong> bei k ρ = 0 . . . . . . . . 73<br />
5.4 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Dreibandschrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . 75<br />
6 Ergebnisse <strong>der</strong> Bandstrukturberechnungen 79<br />
6.1 Die Bandstrukturmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
6.1.1 Löcher: Vernachlässigung des SO-Bandes . . . . . . . . . . . 79<br />
6.1.2 Löcher: Vernachlässigung <strong>der</strong> HH-LH-Kopplung . . . . . . . . 81<br />
6.1.3 Löcher: Verwendung effektiver Bulkmassen . . . . . . . . . . 82<br />
6.1.4 Elektronen: parabolische und nichtparabolische <strong>Berechnung</strong> . 83<br />
6.1.5 Elektronen: Verwendung effektiver Bulkmassen . . . . . . . . 85<br />
6.2 Die Verspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
6.3 Einfluß von Materialparametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
7 Optoelektronik 105<br />
7.1 Die optische Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
7.1.1 Das optische Impulsmatrixelement . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
7.1.2 Die Linienverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
8 Vorhersagen für die opto<strong>elektronischen</strong> Eigenschaften 113<br />
8.1 Optische Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
8.2 Simulation eines Quantum-Well-Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
9 Zusammenfassung und Ausblick 119<br />
Anhang 121<br />
A. Zur Bandstrukturberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
B. Die Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
Literatur 125<br />
Danksagung 133
Einleitung<br />
Die in den letzten Jahren breitgestreute Anwendung von optischen Bauelementen<br />
und Halbleiterlasern wurde durch intensive Forschungen, Entwicklungen und fortgeschrittene<br />
Prozesstechnologien mit verschiedenem Bauelemente- und Systemaufbau<br />
und unterschiedlichen Materialien möglich. Verwendung finden sie in <strong>der</strong> Unterhaltungselektronik,<br />
im Druck- und Kopierbereich, in <strong>der</strong> Datenübertragung und<br />
-speicherung, in <strong>der</strong> Medizin- und <strong>der</strong> Waffentechnik, in Messapparaturen und in<br />
<strong>der</strong> Produktion.<br />
Die Optoelektronikindustrie nutzt zur Vorhersage <strong>der</strong> Eigenschaften optischer<br />
Bauelemente und Systeme mit grösser werdendem Interesse Simulationswerkzeuge,<br />
die auf physikalischen Modellen beruhen. Verschiedene Programme können quantitativ<br />
die Frequenz, die räumliche Verteilung und die Intensität <strong>der</strong> Lichtmoden, die<br />
zum Betrieb nötigen Ströme und die örtliche Erwärmung vorhersagen. Die Bandbreite<br />
<strong>der</strong> oft in <strong>der</strong> Forschung entwickelten Simulatoren geht von einfachen Ratengleichungsmodellen<br />
bis zu einer voll gekoppelten Lösung von Poisson-, Drift-<br />
Diffusion-, Wärmetransport-, Quantentransport- und den Maxwellschen Gleichungen,<br />
wie das im Institut für Integrierte Systeme <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich erarbeitete Simulationswerkzeug<br />
LASER- DESSIS.<br />
Für Laserdioden eignen sich hervorragend die direkten III-V-Halbleiter, wie zum<br />
Beispiel GaAs, AlAs, InAs und InP und ihre Legierungen. Durch Einschränkung<br />
des optisch-aktiven Bereiches durch eine dünne Schicht eines an<strong>der</strong>en Materials innerhalb<br />
des Substrates konnte <strong>der</strong> Schwellstrom, <strong>der</strong> zum ”<br />
Lasen“ notwendig ist,<br />
verkleinert werden. Eine Verkleinerung <strong>der</strong> Schichtdicke auf wenige Nanometer bis<br />
einzelne Monolagen sperrt die Ladungsträger so stark ein, daß ihre Energien quantisiert<br />
sind. Wegen ihrer besseren Betriebseigenschaften werden diese sogenannten<br />
Quantum-Well-Laser heutzutage verwendet.<br />
Um die <strong>elektronischen</strong> und optischen Eigenschaften von Quantum-Wells (QW)<br />
beschreiben zu können, ist das Wissen über ihre elektronische Bandstruktur wichtig.<br />
Gängiges Verfahren zur <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Bandstruktur ist <strong>der</strong> Envelopenfunktionsformalismus<br />
(EFA). Er wendet die k·p -Methode des homogenen Halbleiters auf QW-<br />
Strukturen an. Komplexe Modelle berücksichtigen die Beeinflussung <strong>der</strong> Zustände<br />
mehrerer Bän<strong>der</strong>. Einfache Modelle vernachlässigen diese Bandkoppelung.<br />
In dieser Arbeit wird untersucht, welchen Einfluß die Verwendung des Quantum-<br />
Well-Bandstrukturmodelles auf die simulierten opto<strong>elektronischen</strong> Verstärkung hat.<br />
Dazu wurden die Energien und Wellenfunktionen <strong>der</strong> Elektronen und Löcher im<br />
Quantengraben analytisch gelöst. Die Algorithmen wurden in einem Programmpaket<br />
in MATLAB r○ umgesetzt.<br />
Im 1. Kapitel wird <strong>der</strong> Halbleiterlaser, die Eigenschaften seiner Strahlung, seine<br />
Anwendung, die Wirkungsweise, die verwendeten Materialien, unterschiedliche<br />
Laserstrukturen und seine Simulation behandelt.<br />
Die Beschreibung von kristallinen Festkörpern und ihren Ladungsträgern schließt<br />
sich an (Kapitel 2).<br />
Die Bandstruktur im homogenen Halbleiter wird durch einen störungstheoretischen<br />
Ansatz <strong>der</strong> Schrödingergleichung – die k·p -Methode – berechnet, die in<br />
5
6 INHALTSVERZEICHNIS<br />
Kapitel 3 behandelt wird.<br />
Diese wird im 4. Kapitel mit dem Envelopenfunktionsformalismus auf Quantum-<br />
Well-Strukturen erweitert. Die komplexen und einfachen Bandstrukturmodelle und<br />
ein Modell zur <strong>Berechnung</strong> von Gitterverspannungen werden vorgestellt.<br />
Die verwendete analytische Lösungsmethode wird im 5. Kapitel allgemein und<br />
für verschieden komplexe Modelle einschließlich des verspannten 6×6-Hamiltonian<br />
beschrieben.<br />
In Kapitel 6 werden die Bandstrukturen für verschiedene Modelle, mit und<br />
ohne Verspannung sowie bei Variation <strong>der</strong> Materialparameter für unterschiedliche<br />
Quantum-Wells berechnet und verglichen.<br />
Die Ermittlung <strong>der</strong> lokalen optischen Verstärkung wird in Kapitel 7 vorgestellt<br />
und für verschiedene Bandstrukturmodelle in Kapitel 8 gegenübergestellt. Das Kapitel<br />
zeigt im weiteren die Ergebnisse einer Laserdiodensimulation unter Verwendung<br />
einer mit dem 4×4-Hamiltonian berechneten Bandstruktur.<br />
Das 9. Kapitel gibt eine Zusammenfassung <strong>der</strong> Arbeit und einen Ausblick.
Kapitel 1<br />
Der Halbleiterlaser<br />
1.1 Eigenschaften <strong>der</strong> Laserstrahlung<br />
Halbleiterlaserdioden fanden in den letzten Jahren vielfältige Anwendung als günstige<br />
Lichtquelle und wegen ihrer beson<strong>der</strong>en Eigenschaften:<br />
1. sehr hohe Bestrahlungsstärke (GW/cm 2 ) ist möglich,<br />
2. Monochromasie,<br />
3. große zeitliche und räumliche Kohärenz, die Interferenz von Strahlen möglich<br />
machen,<br />
4. hohe Frequenz- und Amplitudenstabilität,<br />
5. kurze Laserimpulse von unter 10 fs Dauer.<br />
Der Begriff Laser ist die Abkürzung für ”<br />
Light Amplification by Stimulated<br />
Emission of Radiation“ (Lichtverstärkung durch stimulierte Strahlungsemission),<br />
wird jedoch nicht nur für die optischen Verstärker von sichtbarem Licht, son<strong>der</strong>n<br />
auch von Infrarot- und ultravioletter Strahlung benutzt.<br />
Halbleiterlaser, die ersten wurden 1962 gebaut [2], sind aufgrund ihrer kleinen<br />
Abmessungen (1 − 1000µm), ihrem hohen Wirkungsgrad (bis 50 % [2]) – <strong>der</strong> elektrische<br />
Strom wird direkt in Laserlicht umgewandelt – und den günstigen Produktionskosten<br />
heute vor den Gaslasern die am meisten eingesetzten Laser.<br />
1.2 Anwendungen von Halbleiterlasern<br />
Laserdioden in Compact-Disc-Geräten, Laserpointern, Laserdruckern und Barcodelesern<br />
sind in den letzten Jahren eine alltägliche Technik geworden.<br />
Laserdioden, Photodetektoren, optische Verstärker (engl. semiconductor optical<br />
amplifier (SOA)) und Modulatoren ermöglichen eine neue Entwicklung in <strong>der</strong><br />
Übertragung von Daten und Kommunikation – durch das Einspeisen, Auslesen<br />
und Verstärken von Signalen in Glasfaserkabel. Durch Frequenzmodulation wird<br />
die Bandbreite einer Glasfaser auf über 40 Gbit/s erhöht.<br />
Fokussiertes Laserlicht ist eine ideale Quelle für kontaktloses Messen in Umweltund<br />
an<strong>der</strong>en materialsensitiven Sensoren, <strong>der</strong> Längen- (z.B. interferometrisch) und<br />
Geschwindigkeitsmessung (z.B. Dopplereffekt).<br />
In den Produktionsabläufen werden vermehrt Halbleiterlaser zur thermischen<br />
Bearbeitung, zum Reinigen von Wafern, für die Prozessoptimierung (Lichtschranken<br />
und Musterkennung) u.a. eingesetzt.<br />
7
8 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />
Bedeutende Nutzer von Lasern, auch Halbleiterlasern, sind die Krankenhäuser<br />
geworden. Präzisere Operationen und neue Untersuchungen sind durch sie möglich<br />
geworden. Dagegen schweben durch die Entwicklung von lasergesteuerten Angriffsund<br />
Verteidigungswaffen den Militärs präzise, ”<br />
saubere“ Kriege vor.<br />
Abbildung 1.1 zeigt eine Übersicht über Bereiche, in denen optoelektronische<br />
Halbleiterbauelemente, also<br />
• Laserdioden,<br />
• LEDs (light emitting diodes),<br />
• optische Verstärker (semiconductor optical amplifier (SOA)),<br />
• optische Modulatoren und<br />
• Photodetektoren,<br />
eingesetzt werden.<br />
Abbildung 1.1: Anwendungen von Halbleiterlasern [3].<br />
1.3 Funktionsprinzip<br />
Die Beson<strong>der</strong>heit <strong>der</strong> Strahlung des Lasers beruht auf <strong>der</strong> stimulierten Emission<br />
identischer Photonen, die sich in Wellenlänge und Phase nicht unterscheiden. Jedes<br />
erzeugte Photon erhält die Energie, die beim Übergang eines angeregten Elektrons<br />
in einen niedrigeren Energiezustand frei wird. Die Elektronen können sich nur in
1.3. FUNKTIONSPRINZIP 9<br />
Abbildung 1.2: (a) Bei T = 0 K befinden sich alle Elektronen im Valenzband. (b)<br />
Bei höheren Temperaturen liegen auch Elektronen oberhalb des<br />
Ferminiveaus im Leitungsband.<br />
bestimmten Energiezuständen befinden. Für Halbleiter sind vor allem die Zustände<br />
in dem untersten Leitungsband und den obersten Valenzbän<strong>der</strong>n von Bedeutung,<br />
die eine fundamentale Bandlücke (band gap) E g , in <strong>der</strong> keine Eigenzustände liegen,<br />
trennt.<br />
Die Elektronen unterliegen <strong>der</strong> Fermistatistik, d.h. nach dem Prinzip von Pauli<br />
dürfen sich keine zwei Elektronen im selben Zustand, <strong>der</strong> durch die Quantenzahlen<br />
festgelegt ist, befinden. Nahe des absoluten Temperaturnullpunktes befinden sich<br />
alle Elektronen in möglichst nie<strong>der</strong>energetischen Eigenzuständen (siehe Abbildung<br />
1.2(a)). Die Energie des energiereichsten Elektrons nennt man Fermienergie. Bei<br />
höherer Temperatur können sich Elektronen oberhalb <strong>der</strong> Fermienergie befinden.<br />
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit gibt die Fermifunktion f(E) mit <strong>der</strong> Energie E<br />
an (siehe Gleichung (1.1), [4]). In ihr ist k B die Boltzmannkonstante. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung<br />
ist temperaturabhängig, bei T → 0 K geht f(E) in die<br />
Stufenfunktion über. Bei Halbleitern liegt das Ferminiveau inmitten <strong>der</strong> Bandlücke,<br />
so daß <strong>der</strong> Anteil <strong>der</strong> Elektronen im Leitungsbänd sehr klein ist (siehe Abbildung<br />
1.2(b)).<br />
f(E) =<br />
1<br />
1 + exp E−E F<br />
k B T<br />
(1.1)<br />
Die unbesetzten Zustände im Valenzband werden Löcher genannt, die sich wie<br />
Teilchen durch den Festkörper bewegen und eine eigene effektive Masse haben. Die<br />
Häufigkeit, in einem Zustand ein Loch anzutreffen, ist 1 − f(E).<br />
Durch optisches Pumpen o<strong>der</strong> Injektion von Ladungsträgern können Elektronen<br />
ins Leitungsband und Löcher ins Valenzband gepumpt werden. Diese angeregten<br />
Zustände können mit <strong>der</strong> Einführung von zwei Ferminiveaus, E F c für die Elektronen<br />
und E F v < E F c für die Löcher, beschrieben werden. In Abbildung 1.3 ist dies im<br />
Elektron- Löcher-Modell illustriert.<br />
Aus diesen angeregten Zuständen fallen sie nach ca. 10 −13 s in einen unbesetz-
10 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />
Abbildung 1.3: Elektronen und Löcher wurden in angeregte Zustände gepumpt.<br />
Spontan o<strong>der</strong> durch ein Photon können angeregte Elektron-Loch-<br />
Paare unter Erzeugung eines Photons rekombinieren.<br />
ten Zustand des Valenzbandes. Bei <strong>der</strong> spontanen Emission geschieht dies zeitlich<br />
zufällig, also stochastisch. Die dabei ausgesendeten elektromagnetischen Wellen haben<br />
zufällige Ausbreitungs- und Polarisationsrichtungen; die spontane Emission liefert<br />
keine kohärente Strahlung.<br />
Durch das elektromagnetische Feld eines Photons mit E = ¯hω kann ein angeregtes<br />
Elektron mit <strong>der</strong> Energie E 1 zu einem Übergang in einen unbesetzten Zustand<br />
<strong>der</strong> Energie E 2 = E 1 − ¯hω im Valenzband ”<br />
stimuliert“ werden, wobei ein neues<br />
(zweites) Photon mit E = ¯hω, mit gleicher Richtung, Polarisation und Phase erzeugt<br />
wird; man spricht von <strong>der</strong> stimulierten Emission. Die stimuliert emittierte<br />
Strahlung ist kohärent.<br />
Ebenso kann durch ein Photon mit E = ¯hω ein Elektron aus dem Valenzband mit<br />
E 2 ins Leitungsband in einen Zustand mit E 1 = E 2 + ¯hω gelangen. Dieser Prozeß<br />
wird als Absorption bezeichnet. Die Differenz von stimulierter Emission und Absorption<br />
ist die Verstärkung (engl. Gain) mit dem Verstärkungskoeffizienten g(¯hω)<br />
(siehe Abschnitt 7.1).<br />
Abbildung 1.4: (a) Spontane Emission. (b) Absorption. (c) Stimulierte Emission.<br />
Die Emission, spontane o<strong>der</strong> stimulierte, ist in dieser Beschreibung die Vernichtung<br />
eines Elektron-Loch-Paares mit <strong>der</strong> Erzeugung eines Photons. Bei Absorption<br />
eines Lichtteilchens wird im Leitungsband ein Elektron und im Valenzband ein Loch
1.3. FUNKTIONSPRINZIP 11<br />
erzeugt.<br />
Im aktiven Laser gehen durch die Spiegel o<strong>der</strong> durch Streuung ins Substrat Photonen<br />
”<br />
verloren“. Eine notwendige Bedingung für die Laseraktivität ist deshalb, daß<br />
genügend neue Photonen in <strong>der</strong> aktiven Zone erzeugt werden, also die Rekombination<br />
<strong>der</strong> Absorption überwiegt. Für einen Übergang E 1 → E 2 ist die Rekombination<br />
durch das Produkt aus <strong>der</strong> Besetzungswahrscheinlichkeit <strong>der</strong> Elektronen im Leitungsband<br />
f C (E 1 ) und <strong>der</strong> Wahrscheinlichkeit <strong>der</strong> Nichtbesetzung (1 − f V (E 2 )) <strong>der</strong><br />
Elektronen im Valenzband, d.h. aus <strong>der</strong> Besetzungswahrscheinlichkeit <strong>der</strong> Löcher,<br />
bestimmt; die Absorption dagegen durch f V (E 2 ) (1 − f C (E 1 )). Die Bedingung <strong>der</strong><br />
Laseraktivität ist also<br />
( ) ( )<br />
f C (E 1 ) 1 − f V (E 2 ) − f V (E 2 ) 1 − f C (E 1 ) > 0 (1.2)<br />
Setzt man die Definition <strong>der</strong> Fermifunktion (1.1) in (1.2) ein, erhält man<br />
E FC − E FV > E 1 − E 2 = ¯hω (1.3)<br />
Da die Temperatur in (1.3) nicht enthalten ist, gilt die Bedingung für alle Temperaturen.<br />
Abbildung 1.5: Nur direkte Übergänge tragen zur Laseraktivität bei.<br />
Bedingung für einen Übergang E 1 → E 2 ist die Erhaltung des Gesamtimpulses.<br />
Es muß also für die Wellenvektoren des Elektrons (bzw. Loches) im Valenzband ⃗ k V ,<br />
des Elektrons im Leitungsband ⃗ k C und des Photons ⃗ k P<br />
¯h ⃗ k V + ¯h ⃗ k P = ¯h ⃗ k C<br />
gelten. Da <strong>der</strong> Impuls <strong>der</strong> Elektronen viel größer als <strong>der</strong> <strong>der</strong> Photonen ist, muß <strong>der</strong><br />
Übergang E 1 → E 2 vertikal, d.h. unter konstantem Wellenvektor, stattfinden (siehe<br />
Abbildung 1.5).<br />
⃗ kV = ⃗ k C (1.4)<br />
Diese For<strong>der</strong>ung des direkten Übergangs wird k-selection-rule [5] genannt.<br />
Bei indirekten Halbleitern haben die Minima von Leitungs- und Valenzband verschiedene<br />
k-Vektoren. Für einen solchen indirekten Übergang ist ein Gitterphonon<br />
nötig, das den fehlenden Impuls aufnimmt. Indirekte Übergänge sind zwar möglich,<br />
jedoch viel schwächer als direkte. Dies ist auch ein Grund, warum für kristallines<br />
Silizium keine Laseraktivität beobachtet wurde.
12 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />
1.4 Laserstrukturen<br />
1.4.1 Halbleitermaterialien<br />
Das erste Halbleitermaterial mit Lasereigenschaften war GaAs - und zwar im nahen<br />
Infrarotbereich. Heute gibt es Erfahrungen für eine Vielzahl von Materialien, vor<br />
allem für III-V-Halbleiter (siehe Tabelle 1.1), jedoch existieren weiterhin enorme<br />
Anstrengungen in <strong>der</strong> Forschung an Halbleitermaterialien.<br />
Die wichtigsten Materialsysteme sind Al x Ga 1−x As (siehe z.B. [6, 7, 8, 9, 10,<br />
11]) sowie Ga x In 1−x As y P 1−y (siehe z.B. [12, 13, 14]), die Licht <strong>der</strong> Wellenlängen<br />
im sichtbaren und nahen Infrarotbereich emittieren. Sie haben die Zinkblende-<br />
Gitterstruktur (kubisch), sind direkte Halbleiter, und die Extrempunkte liegen im<br />
Zentrum <strong>der</strong> Brillouinzone, dem Γ-Punkt (siehe Kapitel 2). Die in dieser Arbeit untersuchten<br />
Bandstrukturmodelle beziehungsweise ihre Hamiltonianmatrizen (siehe<br />
z.B. (3.57)) sind für Bandstrukturberechnungen dieser Systeme geeignet.<br />
Tabelle 1.1:<br />
Al Ga In<br />
N AlN GaN InN<br />
P AlP GaP InP<br />
As AlAs GaAs InAs<br />
Sb AlSb GaSb InSb<br />
Wegen ihrer opto<strong>elektronischen</strong> Eigenschaften sind von den III-V-<br />
Halbleitern die binären, ternären und quaternären Verbindungen mit<br />
Al, Ga und In interessant. Von diesen kommen die Phosphide, Arsenide<br />
und Antimonide im (kubisches) Zinkblendegitter vor. GaN<br />
existiert im Wurtzit- und im Zinkblendegitter.<br />
Wegen ihrer breiten Bandlücke und somit einer Emission von blauem und violettem<br />
Licht sind GaN, AlN, InN und ihre entsprechenden ternären und quaternären<br />
Verbindungen interessant (siehe z.B. [15, 16, 17, 18]). Sie haben fast ausschließlich<br />
eine Wurtzitgitterstruktur und sind nicht Gegenstand dieser Arbeit.<br />
1.4.2 p-n-Laserdiode<br />
In Abbildung 1.6 ist <strong>der</strong> schematische Aufbau einer p-n-Laserdiode dargestellt. Sie<br />
ist nichts an<strong>der</strong>es als eine p-n-Diode kombiniert mit einem optischen Resonator.<br />
Die Diode wird in Durchlaßrichtung betrieben, Ladungsträger werden injiziert und<br />
rekombinieren am p-n-Übergang in <strong>der</strong> aktiven Zone.<br />
Die beiden planparallelen Seitenflächen – meist Spaltkanten entlang von Kristallebenen<br />
– bilden einen Fabry-Perot-Resonanzraum. Die an<strong>der</strong>en Seitenflächen<br />
werden rauh belassen, damit Laseroszillationen in an<strong>der</strong>e als die ”<br />
Hauptrichtung“<br />
unterdrückt werden.<br />
Überschreitet die Ladungsträgerdichte am p-n-Übergang einen gewissen Wert,<br />
wird das erzeugte Licht verstärkt, die stimulierte Emission dominiert und die Lichtleistung<br />
steigt stark mit dem Injektionsstrom – das ”<br />
Lasen“ ist gestartet (siehe<br />
Abbildung 1.7). Der Strom an <strong>der</strong> Laserschwelle wird als Schwellstrom (threshold)<br />
I th bezeichnet. Unterhalb <strong>der</strong> Laserschwelle überwiegt die spontane Emission großer<br />
spektraler Breite ähnlich einer Licht-emittierenden Diode (LED).<br />
Der Schwellstrom steigt stark bei steigen<strong>der</strong> Temperatur und liegt bei Raumtemperatur<br />
sehr hoch, für GaAs bei etwa 50 − 100 kA/cm 2 [2, 5]. Ein kontinuierlicher<br />
Betrieb ist bei Raumtemperatur daher nicht möglich.
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87<br />
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% &' $<br />
1.4. LASERSTRUKTUREN 13<br />
Abbildung 1.6: Schematischer Aufbau einer p-n-Laserdiode mit Fabry-Perot-<br />
Resonator. Die aktive Zone ist schraffiert gezeichnet [5].<br />
4 56<br />
(%)*+,-+.0/213 ((%3 *+<br />
¢¡ £ ¤¦¥¨§©¢ ¥¢<br />
Abbildung 1.7: Unterhalb des Schwellstromes dominiert die spontane Emission<br />
die Lichtleistung. Durch die stimulierte Emission, die ab I th<br />
überwiegt, steigt die Lichtausbeute sehr stark mit wachsendem<br />
Injektionsstrom.<br />
1.4.3 Doppel-Heterostruktur-Laser<br />
Durch Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy (MBE)) und Chemische<br />
Gasphasenabscheidung (chemical vapor deposition (CVD)) können verschiedene Materialien<br />
aufeinan<strong>der</strong> gewachsen werden. Solche Strukturen werden als Heterostrukturen<br />
bezeichnet. Laserdioden mit einfacher o<strong>der</strong> doppelter Heterostruktur mit Breiten<br />
kleiner als 1 µm haben erheblich kleinere Schwellströme von ∼ 1 kA/cm 2 [2]<br />
(siehe Abbildung 1.8), da sie durch einen Wechsel des Brechungsindexes das Licht<br />
auf einen kleinen Bereich um die aktive Zone beschränken.<br />
1.4.4 Quantum-Well-Laser<br />
Verringert man die Breite von Doppel-Heterostrukturen auf die Größenordnung <strong>der</strong><br />
de-Broglie-Wellenlänge λ = h/p <strong>der</strong> Elektronen, werden diese in einem Potentialtopf<br />
eingesperrt und die Energien, die sie einnehmen können, werden quantisiert<br />
(siehe Abbildung 1.10). In die Wachstumsrichtung und somit die Richtung <strong>der</strong> Einschränkung<br />
wird o.E.d.A. die z-Achse gelegt.<br />
Es entstehen diskrete Energiebän<strong>der</strong> in k z -Richtung. In <strong>der</strong> QW-Ebene bewegen<br />
sich die Ladungsträger frei (Abbildung 1.9), und es ergibt sich für jedes Subband<br />
eine Energiedispersion in k ‖ -Richtung (Abbildung 1.10). In Gleichung (1.5) ist diese
14 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />
Abbildung 1.8: Der Schwellstrom ist gegenüber <strong>der</strong> Temperatur für drei Laserstrukturen<br />
dargestellt [19].<br />
Abbildung 1.9: In <strong>der</strong> Quantum-Well-Ebene können sich die Ladungsträger frei<br />
bewegen. Senkrecht zu ihr sind sie gebunden.<br />
Dispersion in parabolischer Näherung angegeben.<br />
E = E 0 ± ¯h2<br />
2m ∗ k2 ‖ (1.5)<br />
Diese dünnen Heterostrukturen werden als quantum well (QW) und die Laser als<br />
Quantum-Well-Laser bezeichnet. Vorteil <strong>der</strong> QW-Halbleiterlaser ist die weitere Senkung<br />
<strong>der</strong> Schwellstromdichte um einen Faktor von 2 bis 3 gegenüber konventionellen<br />
Doppel-Heterostruktur-Lasern. Die Temperaturabhängigkeit des Schwellstromes ist<br />
wesentlich schwächer. Dies und ihre hohe Zuverlässigkeit und hohe, geschätzte Lebensdauer<br />
von > 10 5 h haben den QW-Laser zur bevorzugten Laserdiode gemacht.<br />
Dingle et al [6] berechnete erstmals die diskreten Zustände in einer 140 Å bzw.<br />
210 Å dicken GaAs-Schicht in einem Al 0,2 Ga 0,8 As-Substrat anhand <strong>der</strong> gemessenen<br />
Übergangsenergien des Absorptionsspektrums. Zur <strong>Berechnung</strong> benutzten sie das<br />
simple ”<br />
particle in a box“-Modell. Mit dem Envelopenfunktionsformalismus (siehe
1.5. SIMULATIONSWERKZEUG LASER-DESSIS 15<br />
Abbildung 1.10: Potential eines Al x Ga 1−x As-Quantum-Wells. Es bilden sich diskrete<br />
Energiezustände <strong>der</strong> Elektronen (CB) und <strong>der</strong> Löcher<br />
(VB). In k ‖ -Richtung entstehen Subbän<strong>der</strong> mit einer Dispersion<br />
E( ⃗ k ‖ ).<br />
4.1) ist es möglich geworden, bei <strong>der</strong> <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Quantum-Well-Zustände die<br />
störungstheoretischen Modelle von Volumenhalbleitern zu verwenden. In den vorgestellten<br />
Modellen werden die Wechselwirkung <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong>, die Spin-Bahn-Kopplung<br />
und Verspannungen durch Gitteranpassung o<strong>der</strong> äussere Kräfte eingeschlossen.<br />
In neuen Messungen wurde stimulierte Emission bei ultradünnen (< 100 Å)<br />
Quantum-Well-Strukturen beobacht. Kolbas et. al. [20] konnten einen 8, 5 Å-(3 Monolagen)-dicken<br />
AlGaAs-GaAs-QW und einen 6, 6 Å-(2 Monolagen)-dicken GaAs-<br />
InAs-QW zum ”<br />
Lasen“ bringen und damit sogar bei diesen dünnen Strukturen eine<br />
genügend große Besetzungsinversion experimentell nachweisen.<br />
1.5 Simulationswerkzeug LASER-DESSIS<br />
Die Optoelektronikgruppe des Instituts für Integrierte Systeme <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich<br />
(Schweiz) entwickelt innerhalb ihrer Forschung mit u.a.<br />
• kantenemittierenden Laserdioden (engl. edge-emitting laser diodes),<br />
• vertikalen oberflächenemittierenden Dioden (engl. vertical-cavity surface-emitting<br />
diodes),<br />
• Photodetektoren,<br />
• abstimmbaren Lasern (engl. tunable lasers),<br />
• gekoppelter Elektronik-Optik-Thermik-Simulation<br />
das Simulationswerkzeug LASER-DESSIS zur ein- bis völlig dreidimensionalen Modellierung<br />
von opto<strong>elektronischen</strong> Bauelementen und zur numerischen Lösung von<br />
physikalischen Modellen zur Vorhersage ihrer Eigenschaften, wie Strom-Spannungs-<br />
Kennlinie, Lichtintensität, Lichtpolarisation, Schwellstrom u.a. Dieses baut auf dem<br />
Halbleiter-Bauelemente-Simulator DESSIS [21] <strong>der</strong> Partnerfirma ISE AG, Zürich<br />
auf.
16 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />
Abbildung 1.11: Bauelemente, wie Laserdioden, können dreidimensional modelliert<br />
und für die <strong>Berechnung</strong> diskretisiert werden.<br />
Der Simulator modelliert die Stromtransportphänomene im Bauelement. Die<br />
Transportphänomene schließen elektrische, magnetische, elektromagnetische, thermische,<br />
mechanische und optische Effekte ein. Diese Methodik wird Technology<br />
Computer Aided Design (TCAD) genannt und wird im Entwurfsprozeß von Bauelementen<br />
eingesetzt. DESSIS beinhaltet eine Vielzahl von physikalischen Modellen,<br />
die für jede Rechnung hinzugenommen o<strong>der</strong> vernachlässigt werden können. Für die<br />
Transportprozesse kann zwischen einem einfachen Drift- Diffusions-Modell, einem<br />
thermodynamischen, einem hydrodynamischen Modell und <strong>der</strong> Monte-Carlo- Simulation<br />
gewählt werden.<br />
Berechnet werden die Gleichungen selbstkonsistent durch Ermittlung <strong>der</strong> quasistationären<br />
Zustände mit Iterationen nach Newton. Dazu wird das Bauelement in<br />
Elemente diskretisiert. Diese Elemente sind für die 1D-Modellierung Punkte auf einem<br />
Liniengitter, für die 2D-Modellierung Kanten auf einem Flächengitter und für<br />
3D-Modellierung Tetrae<strong>der</strong> und Qua<strong>der</strong> auf einem Volumengitter (siehe Abbildung<br />
1.11). Für jeden Punkt des Injektionsstromes I lassen sich die Simulationsgrößen,<br />
wie optische Intensität, Ladungsdichte und Temperatur, örtlich darstellen (siehe<br />
Abbildung 1.12).<br />
LASER-DESSIS als optoelektronisches Simulationswerkzeug vereint Gleichungen<br />
<strong>der</strong> Elektronik, <strong>der</strong> Optik und ihrer Wechselwirkung [23] (siehe Abbildung 1.12).<br />
Durch die Poissongleichung<br />
∇ · (ε ∇φ) = e(p − n + N + D − N − A ) (1.6)<br />
erhält man den Verlauf des elektrischen Potentials φ aus den freien Ladungen p und<br />
n und den Dichten <strong>der</strong> Dotieratome N + D und N − A<br />
. Die Kontinuitätsgleichungen für<br />
die Elektronen- und Löcherströme sind<br />
(<br />
∇ · ⃗j n = −e R − G + ∂n )<br />
∂t<br />
(<br />
∇ · ⃗j p = −e R − G + ∂p )<br />
∂t<br />
(1.7)<br />
(1.8)
1.5. SIMULATIONSWERKZEUG LASER-DESSIS 17<br />
Z<br />
Y<br />
X<br />
Abbildung 1.12: Die physikalischen Modelle im LASER-DESSIS [22]. Die Größen,<br />
hier die optische Intensität, werden örtlich berechnet.<br />
Die Ladungsträgerdichten werden sowohl im Volumenhalbleiter (engl. bulk) als<br />
auch in Heterostrukturen in Effektivmassennäherung berechnet.<br />
In Energiebalancemodellen werden Wärmeströme hinzugenommen. Mit den thermodynamischen<br />
Gleichungen wird dies für die Gittertemperatur getan, in hydrodynamischen<br />
Gleichungen für die Gitter-, die Elektronen- und die Löchertemperatur.<br />
In Quantum-Well-Strukturen werden Ladungsträger in eine Richtung eingeschränkt.<br />
Die freien Ladungsträger oberhalb des Potentialgrabens werden mit n 3D<br />
und p 3D , die gebundenen mit n 2D und p 2D gekennzeichnet. Die Wechselwirkung dieser<br />
Ladungsträger wird durch die Einfangrate C und die Einfangzeit τ im folgenden<br />
Gleichungssystem behandelt.<br />
)<br />
∇ · ⃗j n 3D = −e<br />
(R − G + C + ∂n3D<br />
∂t<br />
)<br />
∇ · ⃗j p 3D = −e<br />
(R − G + C + ∂p3D<br />
∂t<br />
)<br />
∇ · ⃗j n 2D = −e<br />
(R − G − C + ∂n2D<br />
∂t<br />
)<br />
∇ · ⃗j p 2D = −e<br />
(R − G − C + ∂p2D<br />
∂t<br />
C =<br />
(1 − e η2D −η 3D) ( )<br />
1 − n2D n<br />
3D<br />
N 2D τ<br />
(1.9)<br />
(1.10)<br />
(1.11)<br />
(1.12)<br />
(1.13)<br />
Hier sind η 2D = (eΦ 2D − E C )/k B T und η 3D = (eΦ 3D − E C )/k B T Größen, die<br />
die Quasifermienergien enthalten, N 2D ist die Kapazität des Quantengrabens, d.h.<br />
die maximale Anzahl von Ladungsträgern. R und G enthalten alle strahlenden und<br />
nichtstrahlenden Rekombinations- und Generationsprozesse.<br />
∫<br />
N 2D = D 2D (E)dE (1.14)<br />
Für die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Photonen kann von den Maxwellgleichungen mit<br />
einem Separationsansatz die im Simulator benutzte Helmholtzgleichung <strong>der</strong> Mode
18 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER<br />
k<br />
(<br />
∇ 2 + ε r<br />
ω 2 k<br />
c 2 − γ2 )<br />
Ψ k = 0 (1.15)<br />
mit <strong>der</strong> Übertragungskonstante γ hergeleitet werden. Die Wellenlänge <strong>der</strong> Hauptmode<br />
k = 0 und <strong>der</strong> Nebenmoden wird durch<br />
ω p =<br />
πc √<br />
εr l p (1.16)<br />
mit <strong>der</strong> Länge des Hohlleiters (engl. cavity) l und <strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong> Wellenlängen p,<br />
die in den Hohlleiter paßt, bestimmt. Dabei wird die Wellenlänge genommen, die<br />
am meisten verstärkt wird. Diese liegt beim Maximum <strong>der</strong> G(¯hω)-Kurve, wobei<br />
G(¯hω) die gesamte optische Verstärkung im Bauelement ist.<br />
Durch eine Ratengleichung wird die zeitliche Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Photonenanzahl S k<br />
pro Mode beschrieben.<br />
∂<br />
∂t S k = (G k − L k )S k + R sp<br />
k<br />
(1.17)<br />
∫<br />
G k = g(¯hω)|Ψ k | 2 d 3 r (1.18)<br />
Hier sind G k die Verstärkung <strong>der</strong> Mode k, L k <strong>der</strong> effektive Verlust, z.B. durch<br />
die Strahlung aus den teilverspiegelten Flächen, und g(¯hω) die lokale, stimulierte<br />
Verstärkung. Für einen Quantum-Well als optisch-aktive Zone im Laser ist g(¯hω)<br />
die Verstärkung zwischen den quantisierten Zuständen <strong>der</strong> Elektronen und Löcher.<br />
Die Beschreibung <strong>der</strong> quantisierten Zustände beeinflußt direkt die Verstärkung<br />
<strong>der</strong> Photonen g(¯hω), die spontane Emission R sp<br />
k<br />
und die Ladungsdichten im Quantum-Well<br />
n 2D und p 2D . Dieser Zusammenhang wird genauer in Kapitel 7 beschrieben.<br />
Innerhalb dieser Arbeit konnten mit LASER-DESSIS Simulationen mit Verwendung<br />
<strong>der</strong> durch die k·p -Methode ermittelten nichtparabolischen Quantum-Well-<br />
Bandstruktur durchgeführt werden (siehe Abschnitt 8.2).
Kapitel 2<br />
Der Festkörper<br />
Um die <strong>elektronischen</strong> Eigenschaften <strong>der</strong> opto<strong>elektronischen</strong> Halbleitermaterialien<br />
zu erfahren, muß ihre Struktur betrachtet werden.<br />
Die in <strong>der</strong> Mikro- und Optoelektronik verwendeten Festkörper liegen meist in<br />
einkristalliner Form vor. Die Atome führen Bewegungen kleiner Auslenkung um ihre<br />
Gitterplätze aus. Diese Positionen kehren periodisch wie<strong>der</strong>, d.h. sie haben eine<br />
Translationssymmetrie. Kristalle können auch durch Drehungen und Spiegelungen<br />
um vorgegebene Gitterpunkte o<strong>der</strong> Achsen, durch Koordinateninversion und Gleitspiegelungen<br />
auf sich selbst abgebildet werden. All diese Symmetrieoperationen werden<br />
in <strong>der</strong> Raumgruppe Ĝ des Kristalls zusammengefaßt. Die Raumgruppe enthält<br />
einfache Rotationssymmetrielemente ˆR (mit <strong>der</strong> Drehung um 0 ◦ ) und kombinierte<br />
Rotations-Translations-Elemente { ˆR| ˆT }.<br />
Abbildung 2.1: Zwei kubische Elementarzellen des Zinkblendekristallgitters am<br />
Beispiel von GaAs. Die Kantenlänge eines Würfels ist die Gitterkonstante,<br />
die für GaAs a 0 = 5, 65 Å beträgt (siehe Tabelle 4.2).<br />
In einer Elementarzelle befinden sich jeweils vier Gallium- und<br />
Aluminium-Atome.<br />
III-V-Halbleiter bestehen aus Atomen <strong>der</strong> 3. und <strong>der</strong> 5. Hauptgruppe, die je mit<br />
vier an<strong>der</strong>en Atomen binden (Koordinationszahl 4). Sie kommen in <strong>der</strong> kubischen<br />
Zinkblendestruktur (siehe Abbildung 2.1) o<strong>der</strong> <strong>der</strong> hexagonalen Wurtzitstruktur<br />
vor. Das Zinkblendegitter ist dem Diamantgitter, in dem Silizium und Germanium<br />
19
20 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER<br />
kristallisieren, ähnlich. Die Ähnlichkeit mit dem Diamant beruht auf <strong>der</strong> gleichen<br />
Gesamtzahl von Valenzelektronen, denn das Element <strong>der</strong> 3. Hauptgruppe steuert 3<br />
Valenzelektronen, das <strong>der</strong> 5. Hauptgruppe 5 Valenzelektronen bei, was insgesamt<br />
<strong>der</strong> Valenzelektronenzahl 4 beim Kohlenstoff entspricht. Der Zinkblendekristall besitzt<br />
die Punktgruppe ¯43m (T d in <strong>der</strong> Schönflies’ Symbolik). Die Punktgruppe des<br />
Diamantgitters besitzt eine zusätzliche Inversionssymmetrie.<br />
Die Halbleiter haben eine Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband, die<br />
kleiner als bei Isolatoren ist. So können sich im thermischen Gleichgewicht Elektronen<br />
im Leitungsband befinden. Verlässt ein Elektron sein Gitteratom, fehlt ein<br />
Valenzelektron in einer kovalenten Bindung. Übernimmt ein Valenzelektron eines<br />
an<strong>der</strong>en Atoms seinen Platz, fehlt dort ein Valenzelektron. Diese Fehlstellen werden<br />
als Löcher bezeichnet, die sich in umgekehrter Richtung <strong>der</strong> lückenfüllenden<br />
Elektronen bewegen.<br />
Der Festkörper hat festgelegte Eigenzustände mit Eigenfunktionen. Die Eigenfunktion<br />
jedes Zustandes kann näherungsweise als Produkt <strong>der</strong> Einteilcheneigenfunktionen<br />
betrachtet werden. Die Energie des Zustandes erhält man als Summe<br />
<strong>der</strong> Einteilcheneigenenergien. Man betrachtet die einzelnen Elektronen und Löcher<br />
in Wechselwirkung, d.h. im Potential, des restlichen Festkörpers. Die Translationssymmetrie<br />
des Gitters, also auch dessen Potential,<br />
ˆT V (⃗r) = V (⃗r + ⃗ R) (2.1)<br />
das die Ladungsträger spüren, führt dazu, daß die Elektronen- und Löcherwellenfunktionen<br />
ebenso translationssymmetrisch sind,<br />
ˆT Ψ ⃗k (⃗r) = Ψ ⃗k (⃗r + ⃗ R) = e i⃗ k· ⃗R Ψ ⃗k (⃗r) (2.2)<br />
wobei ⃗ R ein Gittervektor, also eine ganzzahlige Linearkombination <strong>der</strong> (nicht komplanaren)<br />
Basisvektoren ⃗a i , ist. Mit ˆT ist <strong>der</strong> Translationsoperator bezeichnet.<br />
⃗R = n 1 ⃗a 1 + n 2 ⃗a 2 + n 3 ⃗a 3 (2.3)<br />
Da e i⃗ k· ⃗R genauso wie ˆT transformiert (2.2), können die irreduzierbaren Darstellungen<br />
<strong>der</strong> Translationsgruppe ˆT mit ⃗ k bezeichnet werden. Funktionen, die (2.2)<br />
erfüllen, werden Blochfunktionen genannt. Die Gruppe ˆT eines Kristalls <strong>der</strong> Ausdehnung<br />
N 1 ⃗a 1 × N 2 ⃗a 2 × N 3 ⃗a 3 , wobei N 1 , N 2 und N 3 sehr große ganze Zahlen sind,<br />
hat N 1 · N 2 · N 3 Darstellungen.<br />
Es existiert ein k-Raum mit reziprokem Gitter, dessen Gittervektoren ⃗ K<br />
e i ⃗ K· ⃗R = 1 ∀ ⃗ R (2.4)<br />
erfüllen. So definieren ⃗ k und ⃗ k + ⃗ K dieselbe Darstellung. Um die Darstellungen eindeutig<br />
zu benennen, muß man sich auf die Einheitszelle des reziproken Gitters – die<br />
Brillouinzone – beschränken (siehe Abbildung 2.2). Ab nun werden nur die ⃗ k innerhalb<br />
<strong>der</strong> Brillouinzone betrachtet. Ihre Gitterkonstante (Strecke ΓX in Abbildung<br />
2.2) beträgt<br />
k max = 2π<br />
a 0<br />
(2.5)<br />
Wendet man eine Rotation aus <strong>der</strong> Punktgruppe ˆR auf die Wellenfunktion Ψ ⃗k (⃗r)<br />
mit dem Wellenvektor ⃗ k an, wird diese in eine neue Funktion Ψ ⃗k ′(⃗r) mit dem Wellenvektor<br />
⃗ k ′ transformiert. Damit ⃗ k · ⃗R invariant bleibt, erhält man ⃗ k ′ (und ⃗ k · ⃗R ′ ),<br />
indem man dieselbe Rotation ˆR auf ⃗ k im reziproken Raum und auf ⃗ R im Ortsraum<br />
wirken läßt.
21<br />
Abbildung 2.2: Die Brillouinzone – also die Wigner-Seitz-Zelle im reziproken<br />
Gitter – ist für Zinkblendekristalle ein Dodekae<strong>der</strong> [4]. Die Verzerrungen<br />
an <strong>der</strong> Brillouinzonengrenze sind nicht eingezeichnet.<br />
Die Punkte höchster Symmetrie Γ (das Zonenzentrum), X, L, K<br />
und U sowie die Linien hoher Symmetrie ∆, Λ und Σ sind markiert.<br />
In GaAs haben die Elektronenzustände im Zonenzentrum<br />
minimale Energie sowie die Löcherzustände maximale Energie –<br />
man spricht von einem direkten Halbleiter.<br />
Abbildung 2.3: Die Bandstruktur von GaAs an hochsymmetrischen Punkten und<br />
Linien <strong>der</strong> Brillouinzone, bestimmt durch eine Pseudopotentialrechnung<br />
[24]. Für die Optoelektronik ist <strong>der</strong> Bereich um den<br />
Γ-Punkt des ersten Elektronenbandes (Γ 6 um Energie 0 eV ), den<br />
am Zonenzentrum entarteten Bän<strong>der</strong>n <strong>der</strong> leichten und schweren<br />
Löcher (Γ 8 ) und des Spinorbitalbandes (Γ 7 ) interessant.
22 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER<br />
Die Einführung <strong>der</strong> ⃗ k-Vektoren als irreduzierbare Darstellungen ermöglicht eine<br />
Beschränkung auf die Basisvektoren Ψ ⃗k (⃗r), die Blochfunktionen sind [25].<br />
Der Hamiltonian eines freien Elektrons im Kristall ist<br />
− ¯h2<br />
2m 0<br />
∇ 2 + V (⃗r) (2.6)<br />
mit dem Kristallpotential V (⃗r), das die Symmetrie des Gitters besitzt (2.1). Die<br />
Blochfunktionen Ψ ⃗k (⃗r) sind die Eigenvektoren <strong>der</strong> Eigenzustände mit einer Energie<br />
E( ⃗ k), die sich kontinuierlich in <strong>der</strong> Brillouinzone än<strong>der</strong>t. E( ⃗ k) ist in <strong>der</strong> Regel für<br />
jeden Wellenvektor ⃗ k mehrdeutig, was durch E n ( ⃗ k) gekennzeichnet wird. E n ( ⃗ k)<br />
wird als Band und E( ⃗ k) aller Bän<strong>der</strong> als Bandstruktur bezeichnet. Abbildung 2.3<br />
zeigt die Bandstruktur für GaAs an den hochsymmetrischen Punkten und Linien<br />
<strong>der</strong> Brillouinzone (siehe Abbildung 2.2).<br />
Für die Emission von Licht ist <strong>der</strong> Bereich um den Γ-Punkt des ersten Elektronenbandes<br />
(Γ 6 ), <strong>der</strong> am Zonenzentrum entarteten Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> leichten und schweren<br />
Löcher (Γ 8 ) und des Spinorbitalbandes (Γ 7 ) interessant.<br />
Oft wird die Bandstruktur in <strong>der</strong> Nähe des Zonenzentrums mit Parabeln genähert,<br />
die für Elektronenbän<strong>der</strong> nach oben und für Löcherbän<strong>der</strong> nach unten geöffnet sind.<br />
E n ( ⃗ k) = E n0 ±<br />
¯h2<br />
2m ∗ n<br />
k 2 (2.7)<br />
Mit <strong>der</strong> als Effektivmassenansatz bezeichneten Näherung kann man die Kristallelektronen<br />
in den verschiedenen Bän<strong>der</strong>n genau wie Elektronen im Vakuum, jedoch<br />
mit einer neuen, effektiven Masse m ∗ , beschreiben. In Abschnitt 3.8 finden sich effektive<br />
Massen für Al x Ga 1−x As und In x Ga 1−x As für das unterste Leitungsband<br />
und die obersten Valenzbän<strong>der</strong>.<br />
2.1 Ladungsträger im Festkörper<br />
Sowohl für die Poissongleichung und die Kontinuitätsgleichungen <strong>der</strong> Ladungsträger,<br />
wie auch für die Wechselwirkung von Photon und Elektron-Loch-Paar sind<br />
die Ladungsdichten n und p entscheidende Größen. Berechnet werden sie durch<br />
Summation <strong>der</strong> Fermifunktion f über alle Zustände <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> i bzw. j in <strong>der</strong><br />
Brillouinzone. Wegen <strong>der</strong> großen Anzahl <strong>der</strong> Zustände ist eine Integration über den<br />
k-Raum vorzuziehen.<br />
2.1.1 Ladungsdichten im homogenen Halbleiter<br />
Für homogenes Material mit dem Volumen V = L 3 und dem Abstand <strong>der</strong> Zustände<br />
dk = ! ∆k = L 2π<br />
sind die Ladungsdichten [4]<br />
n = 2 V<br />
p = 2 V<br />
∑ ∑<br />
f C (E i ( ⃗ k)) = 1 ∑<br />
4π 3 i ⃗ k i<br />
∑<br />
)<br />
j<br />
∑<br />
⃗ k<br />
(<br />
1 − f V (E j ( ⃗ k))<br />
∫<br />
= 1<br />
4π 3 ∑<br />
f C (E i ( ⃗ k))d 3 k (2.8)<br />
j<br />
∫ (<br />
1 − f V (E j ( ⃗ k)))<br />
d 3 k (2.9)<br />
f C (E) und f V (E) sind die Fermifunktionen mit den Quasifermienergien E F c für<br />
das Leitungsband und E F v für das Valenzband. Im Gleichgewichtsfall ist E F c =<br />
E F v = E F .
2.1. LADUNGSTRÄGER IM FESTKÖRPER 23<br />
f C (E i ( ⃗ k)) =<br />
f V (E j ( ⃗ k)) =<br />
1 − f V (E j ( ⃗ k)) =<br />
1<br />
1 + exp E i( ⃗ k)−E F c<br />
k B T<br />
1<br />
1 + exp E j( ⃗ k)−E F v<br />
k B T<br />
exp Ej(⃗ k)−E F v<br />
k B T<br />
1 + exp E j( ⃗ k)−E F v<br />
k B T<br />
=<br />
1<br />
1 + exp E F v−E j ( ⃗ k)<br />
k B T<br />
(2.10)<br />
(2.11)<br />
(2.12)<br />
Bei den betrachteten Halbleitern befindet sich ein vernachlässigbar kleiner Teil in<br />
höheren Bän<strong>der</strong>n als dem 1. Leitungsband. So kann man sich auf i = 1 beschränken.<br />
Ebenso reicht eine Betrachtung <strong>der</strong> drei obersten Valenzbän<strong>der</strong>.<br />
Integriert man anstatt über den k-Raum über die Energie, kommt im Integranden<br />
die Zustandsdichte D(E) hinzu. In <strong>der</strong> Zustandsdichte <strong>der</strong> Löcher befinden sich<br />
alle Valenzbän<strong>der</strong>.<br />
n =<br />
p =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
D C (E)f C (E)dE (2.13)<br />
( )<br />
D V (E) 1 − f V (E) dE (2.14)<br />
Die Zustandsdichte ist die Anzahl <strong>der</strong> Zustände im Energieintervall (E, E +dE).<br />
Sie ist proportional dem von den Kugelschalen E und E + dE eingeschlossenen<br />
Volumen. Sie ist definiert durch<br />
1 ∑<br />
4π 3 d 3 k = 1 ∑<br />
π 2 k 2 dk = D(E)dE (2.15)<br />
i/j<br />
Auflösen nach D(E) ergibt<br />
D(E) = 1 ∑<br />
π 2 k 2 ·<br />
dk<br />
∣dE<br />
∣ = 1 ∑ k 2<br />
π 2 ∣ dE ∣<br />
i/j<br />
i/j<br />
i/j<br />
dk<br />
(2.16)<br />
Man beachte die Energieabhängigkeit von k = k(E i/j ) in den Gleichungen (2.15)<br />
und (2.16). Die Korrektur durch die Betragszeichen ist notwendig, da bei negativem<br />
dE/dk das Volumen zwischen den Kugelschalen E und E + dE negativ wäre.<br />
Für den homogenen Halbleiter sind mit (2.7) mit <strong>der</strong> Bandkante des Leitungsbandes<br />
E C und den Bandkanten <strong>der</strong> Valenzbän<strong>der</strong> E j0<br />
D C (E) =<br />
D V (E) =<br />
( )<br />
1 2m<br />
∗<br />
3 2 √<br />
E −<br />
2π 2 ¯h 2 EC (2.17)<br />
1 ∑<br />
2π 2<br />
Damit ergibt sich für die Ladungsdichten<br />
j<br />
( 2m<br />
∗<br />
j<br />
¯h 2 ) 3 2 √<br />
Ej0 − E (2.18)<br />
n =<br />
(<br />
kB T m ∗<br />
2<br />
2π¯h 2<br />
p =<br />
( )<br />
kB T<br />
2 ∑<br />
2<br />
2π¯h 2<br />
) 3 ( )<br />
2 EF c − E C<br />
F1/2<br />
k B T<br />
j<br />
m ∗ j<br />
3<br />
2 F 1/2<br />
(<br />
Ej0 − E F v<br />
k B T<br />
)<br />
(2.19)<br />
(2.20)
24 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER<br />
Abbildung 2.4: Zustandsdichte eines Leitungsbandes im homogenen Medium.<br />
mit dem Fermiintegral <strong>der</strong> Ordnung 1/2, das analytisch nicht lösbar ist und durch<br />
Näherungsformeln bestimmt wird [4, 26].<br />
2.1.2 Ladungsdichten im Quantengraben<br />
Für einen Quanten-Well besteht <strong>der</strong> Wellenvektor ⃗ k nur aus zwei Komponenten.<br />
Die Einschränkung sei in z-Richtung. Der Betrag von ⃗ k im Quantengraben | ⃗ k| =<br />
√<br />
k 2 x + k 2 y wird mit k ρ bezeichnet, <strong>der</strong> Winkel in <strong>der</strong> (k x , k y )-Ebene mit φ. Die<br />
Indizes i und j bezeichnen nun die Subbän<strong>der</strong>. Die Ladungsdichten sind deshalb<br />
n(z) = 2 V<br />
=<br />
p(z) = 2 V<br />
=<br />
∑<br />
|φ i (z)| ∑ 2 f C (E i ( ⃗ k))<br />
⃗ k<br />
i<br />
k<br />
1 ∑<br />
∫ max ∫2π<br />
2π 2 |φ i (z)| 2 f C (E i (<br />
L ⃗ k))dφ dk ρ (2.21)<br />
z<br />
i<br />
∑<br />
|φ j (z)| ∑ (1 2 − f V (E j ( ⃗ )<br />
k))<br />
⃗ k<br />
j<br />
k<br />
1 ∑<br />
∫ max ∫<br />
2π 2 |φ j (z)| 2<br />
L z<br />
j<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2π<br />
0<br />
(<br />
1 − f V (E j ( ⃗ )<br />
k))<br />
dφ dk ρ (2.22)<br />
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |φ n (z)| 2 des Subbandes n ist das Betragsquadrat<br />
<strong>der</strong> Wellenfunktionen. Bei den von z unabhängigen Gesamtladungsdichten<br />
n und p verschwinden die Terme <strong>der</strong> Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Dies entspricht<br />
wegen <strong>der</strong> Normierung <strong>der</strong> Wellenfunktionen durch (2.23) <strong>der</strong> Integration<br />
von n(z)dz bzw. p(z)dz.<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
|φ n (z)| 2 = 1 (2.23)<br />
Mit den Formeln (2.21) und (2.22) können die Quasiferminiveaus aus den Ladungsdichten<br />
o<strong>der</strong> umgekehrt berechnet werden. Im Lasersimulator sind die Ladungsdichten<br />
im QW durch die Kontinuitätsgleichungen und die Gleichungen <strong>der</strong><br />
Wechselwirkung <strong>der</strong> 3D- und 2D-Ladungsträger (1.9) bis (1.13) bekannt, und die<br />
Quasiferminiveaus sind zu bestimmen.<br />
Mit dem Wechsel des k-Koordinatensystems zu Energiekoordinaten wird mit<br />
1 ∑<br />
2π 2 d 2 k = 1 ∑<br />
kdk = D(E)dE (2.24)<br />
L z πL z<br />
i/j<br />
i/j
2.1. LADUNGSTRÄGER IM FESTKÖRPER 25<br />
die Zustandsdichte definiert und wird zu<br />
D(E) = 1 ∑<br />
k ·<br />
dk<br />
πL z<br />
∣dE<br />
∣ = 1 ∑ k<br />
πL z<br />
∣ dE ∣<br />
i/j<br />
i/j<br />
dk<br />
(2.25)<br />
Die Betragszeichen werden eingeführt, um die Nichtnegativität des Energievolumens<br />
und somit <strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong> Zustände zu gewährleisten.<br />
Die Subbandstruktur ist nichtparabolisch und kann Extrempunkte in <strong>der</strong> Nähe<br />
von k ρ = 0 haben. An diesen Punkten hat die Zustandsdichte wegen dE<br />
dk = 0<br />
Singularitäten.<br />
Es gibt zwei Vereinfachungen, mit denen man die Zustandsdichten auf eine<br />
ähnlich simple Form wie (2.17) und (2.18) bringen kann. Die eine ist ein Effektivmassenfit,<br />
das zweite die Einführung eines Nichtparabolizitätsfaktors α nach Kane<br />
[27].<br />
Der Effektivmassenfit<br />
Im Effektivmassenfit werden an die Subbandstrukturen Parabeln gelegt<br />
E n ( ⃗ k) = E n0 ±<br />
¯h2<br />
2m ∗ n<br />
k 2 ρ (2.26)<br />
und die Zustandsdichte wird mit den Nullpunktsenergien <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />
E i0 und <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> E j0<br />
D C (E) =<br />
D V (E) =<br />
1 ∑<br />
m ∗ i · H(E − E i0 ) (2.27)<br />
π¯hL z<br />
i<br />
1 ∑<br />
m ∗ j · H(E j0 − E) (2.28)<br />
π¯hL z<br />
i<br />
Hier ist H(x) die Heaviside-Stufenfunktion, die die Eigenschaft H(x) = 1 für<br />
x ≥ 0 und H(x) = 0 für x < 0 hat.<br />
Die Ladungsdichte kann in <strong>der</strong> parabolischen Näherung mit dem Fermiintegral<br />
<strong>der</strong> Ordnung 0 ausgedrückt werden.<br />
n(z) =<br />
=<br />
p(z) =<br />
=<br />
( )<br />
kB T ∑<br />
π¯h 2 L z i<br />
( )<br />
kB T ∑<br />
π¯h 2 L z i<br />
(<br />
kB T<br />
) ∑<br />
π¯h 2 L z i<br />
( )<br />
kB T ∑<br />
π¯h 2 L z j<br />
( )<br />
|φ i (z)| 2 m ∗ EF c − E i0<br />
i F 0<br />
k B T<br />
(<br />
|φ i (z)| 2 m ∗ i ln 1 + exp E )<br />
F c − E i0<br />
k B T<br />
( )<br />
|φ j (z)| 2 m ∗ Ej0 − E F v<br />
j F 0<br />
k B T<br />
(<br />
|φ j (z)| 2 m ∗ j ln 1 + exp E )<br />
j0 − E F v<br />
k B T<br />
(2.29)<br />
(2.30)<br />
Ein Beispiel für eine Löchersubbandstruktur ist Abbildung 2.5.<br />
Definitionsgemäß legt man in <strong>der</strong> Effektivmassennäherung die Parabeln an die<br />
Subbän<strong>der</strong> im Γ-Punkt, wie in Abbildung 2.6(a) dargestellt ist. Die tatsächliche<br />
Subbandstruktur weicht jedoch meist stark von <strong>der</strong> Parabel ab, so daß ein Fit <strong>der</strong><br />
Parabel um einen größeren Bereich um den Γ-Punkt, wie in Abbildung 2.6(b) die<br />
ungenäherte Zustandsdichte besser approximiert.
26 KAPITEL 2. DER FESTKÖRPER<br />
Abbildung 2.5: Zustandsdichte von parabolischen Subbän<strong>der</strong>n (Löcher).<br />
Abbildung 2.6: (a) Parabolischer Fit am Zonenzentrum Γ mit m ∗ = 0, 18 m 0 ,<br />
(b) über einen größeren Bereich (m ∗ = 0, 67 m 0 ). Die Krümmung<br />
<strong>der</strong> Kurven und damit die effektiven Massen unterscheiden sich<br />
stark. Der Nullpunkt <strong>der</strong> Energieskala ist die Valenzbandkante<br />
des Substrates.<br />
Kane’sche Näherung [27]<br />
Die Kane’sche Näherung ist<br />
(<br />
(E n ( ⃗ k) − E n0 ) 1 + α<br />
(E n ( ⃗ ) )<br />
k) − E n0 = ± ¯h2<br />
2m ∗ kρ 2 (2.31)<br />
n<br />
Mit ihr werden die Zustandsdichten zu<br />
D C (E) =<br />
D V (E) =<br />
1 ∑ (<br />
m ∗ i · 1 + α )<br />
π¯hL z 2 (E F c − E i0 ) H(E F c − E i0 ) (2.32)<br />
i<br />
1 ∑ (<br />
m ∗ j · 1 + α )<br />
π¯hL z 2 (E j0 − E F v ) H(E j0 − E) (2.33)<br />
j
Kapitel 3<br />
Die Bandstruktur im<br />
homogenen Halbleiter<br />
3.1 Störungstheoretischer Ansatz<br />
Zur Behandlung des quantenmechanischen Eigenwertproblems, <strong>der</strong> Schrödingergleichung<br />
ĤΨ = EΨ (3.1)<br />
wird als eine wichtige Methode ein störungstheoretischer Ansatz verwendet [4]. In<br />
seiner herkömmlichen Form hat <strong>der</strong> Operator Ĥ die Form Ĥ = Ĥ0 + ˆV , wobei die<br />
Eigenwerte und Eigenzustände <strong>der</strong> ungestörten Schrödingergleichung<br />
Ĥ 0 Φ n = ɛ n Φ n (3.2)<br />
bekannt sind. Gegenüber Ĥ0 ist die Störung ˆV klein. Die Störungstheorie ist eine<br />
Entwicklung <strong>der</strong> Eigenwerte und Eigenzustände von Ĥ nach den bekannten<br />
genäherten Eigenwerten und Eigenzuständen von Ĥ0 in Potenzen des Störungsparameters<br />
λ. Häufig werden nur die erste und zweite Ordnung betrachtet.<br />
Die Eigenfunktion Ψ n und ihre Eigenenergie E sind bis zur ersten bzw. zweiten<br />
Ordnung <strong>der</strong> Störung:<br />
Ψ n = Φ n + ∑ m≠n<br />
E n = ɛ n + V nn + ∑ m≠n<br />
V mn<br />
Φ<br />
E n (0) − E m<br />
(0) m (3.3)<br />
|V mn | 2<br />
E (0)<br />
n − E (0)<br />
m<br />
(3.4)<br />
mit<br />
∫<br />
V mn =<br />
Φ ∗ m ˆV Φ n d 3 r. (3.5)<br />
3.2 Matrixformulierung <strong>der</strong> Schrödingergleichung<br />
Das Problem (3.1) kann auch direkt gelöst werden, indem die Eigenfunktionen von<br />
Ĥ durch eine Linearkombination <strong>der</strong> Eigenfunktionen Φ n (n = 1, 2, .., N) von Ĥ0<br />
dargestellt werden.<br />
27
28 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />
Ψ =<br />
N∑<br />
c n Φ n (3.6)<br />
n=1<br />
Setzt man (3.6) in (3.1) ein und wendet das innere Produkt mit Φ m an, ergibt<br />
sich für einen orthonormierten Satz von Funktionen {Φ n }<br />
mit den Matrixelementen<br />
N∑<br />
(H mn − Eδ mn ) c n = 0 (3.7)<br />
n=1<br />
∫<br />
H mn = Φ ∗ mĤΦ n (3.8)<br />
Die Eigenwertgleichung (3.7) kann gelöst werden, indem man<br />
setzt.<br />
det (H mn − Eδ mn ) = 0 (3.9)<br />
3.3 LÖWDIN’s Methode <strong>der</strong> Störungstheorie<br />
LÖWDIN’s Methode <strong>der</strong> Störungstheorie [1]<br />
Die Eigenzustände n werden in zwei Klassen (A) und (B) unterteilt, wobei vor<br />
allem die Zustände <strong>der</strong> Klasse (A) interessieren, und <strong>der</strong> Einfluß <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong><br />
Klasse (B) als Störung auf die Zustände <strong>der</strong> Klasse (A) behandelt wird. Das Eigenwertproblem<br />
(3.7) kann nun geschrieben werden als<br />
und man erhält mit<br />
(E − H mm ) c m = ∑ nɛA<br />
n≠m<br />
H mn c n + ∑ αɛB<br />
α≠m<br />
H mα c α (3.10)<br />
h mn =<br />
c m = ∑ nɛA<br />
n≠m<br />
H mn<br />
E − H mn<br />
h mn c n + ∑ αɛB<br />
α≠m<br />
h mα c α (3.11)<br />
Die linke Summe ist über die Zustände <strong>der</strong> Klasse A, die rechte Summe über die<br />
Zustände <strong>der</strong> Klasse B. Man ersetzt nun die Zustände <strong>der</strong> Klasse B, indem man in<br />
<strong>der</strong> rechten Summe die Koeffizienten c durch (3.11) iterativ ersetzt. Dieses Vorgehen<br />
führt zu folgendem Ausdruck:<br />
c m = ∑ nɛA<br />
n≠m<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝ h mn + ∑ h mα h αn +<br />
αɛB<br />
α≠m<br />
Führt man die Matrixelemente<br />
U A mn = H mn +<br />
∑ αɛB<br />
α≠m,n<br />
H mα H αn<br />
E − H αα<br />
+<br />
∑<br />
α,βɛB<br />
α,β≠m, α≠β<br />
∑<br />
α,βɛB<br />
α,β≠m,n, α≠β<br />
⎞<br />
h mα h αβ h βn + · · · ⎟<br />
⎠ c n (3.12)<br />
H mα H αβ H βn<br />
(E − H αα )(E − H ββ ) + · · · (3.13)
3.3. LÖWDIN’S M<strong>ETH</strong>ODE DER STÖRUNGSTHEORIE 29<br />
ein, erhält man<br />
c m = ∑ nɛA<br />
n≠m<br />
U A mn − H mn δ mn<br />
E − H mn<br />
c n (3.14)<br />
Es lässt sich zeigen [1]: Ein Eigenwertproblem (3.7) hinsichtlich eines Systems<br />
aus zwei Klassen (A) und (B) kann auf die Klasse (A) reduziert werden, wenn die<br />
Matrixelemente H mn durch die Elemente U A mn ersetzt werden, in denen <strong>der</strong> Einfluß<br />
<strong>der</strong> Klasse (B) durch die Iterationsvorschrift (3.12) berücksichtigt wurde.<br />
Das Theorem hat diese beiden grundlegenden Gleichungen zur Folge:<br />
A∑ ( )<br />
U<br />
A<br />
mn − Eδ mn cn = 0 m ɛ A (3.15)<br />
nɛA<br />
c α =<br />
A∑<br />
nɛA<br />
U A αn<br />
E − H αα<br />
c n α ɛ B (3.16)<br />
Man beachte, daß <strong>der</strong> Term −H αn δ αn in (3.16) wegen α ≠ m ∀ nɛA, αɛB verschwindet.<br />
Wurden die Koeffizienten c n <strong>der</strong> Klasse (A) ermittelt, erhält man mit (3.16) die<br />
Koeffizienten c n <strong>der</strong> Klasse (B). Die normierte Wellenfunktion ist damit<br />
∑<br />
Ψ = ∑ n a nΦ n<br />
n |a n| 2 (3.17)<br />
Die notwendige Bedingung für die Konvergenz <strong>der</strong> Iteration (3.12) ist<br />
∣ H mn ∣∣∣<br />
∣<br />
≪ 1 m, n ɛ B (3.18)<br />
E − H mm<br />
Besteht die Klasse A nur aus einem Zustand n und die Klasse B aus den restlichen,<br />
ist <strong>der</strong> genäherte Eigenwert dieses Zustandes<br />
E = U A nn = H nn + ∑ α≠n<br />
H nα H αn<br />
E − H αα<br />
+<br />
∑<br />
α,β≠n<br />
α≠β<br />
H nα H αβ H βn<br />
(E − H αα )(E − H ββ ) + · · · (3.19)<br />
Nun seien Zustände <strong>der</strong> Klasse A entartet, d.h. daß die Diagonalelemente H kk<br />
dieser Zustände k exakt o<strong>der</strong> beinahe gleich sind, also<br />
H kk ≃ E A (3.20)<br />
für die erste o<strong>der</strong> für höhere Ordnungen. Die normale Herangehensweise zur Behandlung<br />
<strong>der</strong> entarteten Zustände ist, die Matrix H nn durch lineare Transformationen<br />
<strong>der</strong> genäherten Wellenfunktionen Φ n bezüglich <strong>der</strong> entarteten Zustände zu<br />
diagonalisieren, so daß die gewöhnliche Störungsgleichung anwendbar ist.<br />
Löwdin’s Methode behandelt die entarteten Zustände jedoch auf einfachere Weise.<br />
Man stellt erst die Gleichung (3.13) auf und behandelt die Entartung in dem<br />
System (3.15). Die Koeffizienten c n <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong> Klasse A erhält man aus dem<br />
linearen System (3.15) sowie die Koeffizienten <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong> Klasse B aus (3.16).<br />
Wegen (3.20) ist E ≈ E A und U A mn wird in zweiter Ordnung<br />
U A mn = H mn +<br />
∑ αɛB<br />
α≠m,n<br />
H mα H αn<br />
E A − H αα<br />
(3.21)
30 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />
3.4 k·p -Methode<br />
Zur Untersuchung <strong>der</strong> <strong>elektronischen</strong> und opto<strong>elektronischen</strong> Eigenschaften eines<br />
Halbleiters, ist die Kenntnis seiner Bandstruktur nötig. Die untersuchten Ma terialien<br />
GaAs, AlGas und Al x Ga 1−x As kommen in einem Zinkblendegitter vor und<br />
sind direkte Halbleiter (siehe Kapitel 2). D.h. die Extrempunkte <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> liegen<br />
im Brillouinzonenzentrum Γ, also bei k 0 = 0, wie man durch Untersuchung <strong>der</strong> Symmetrieeigenschaften<br />
nachweist. Da dadurch die Elektronen nahe des Minimums des<br />
Leitungsbandes und die Löcher in <strong>der</strong> Nähe des Valenzbandmaximums konzentriert<br />
sind, ist die Kenntnis <strong>der</strong> Bandstruktur in <strong>der</strong> Nähe des Brillouinzonenzentrums<br />
ausreichend.<br />
Im Kristall wird ein Ladungsträger durch eine gitterperiodisch modulierte ebene<br />
Welle repräsentiert, d.h. seine Wellenfunktion läßt sich als Produkt einer gitterperiodischen<br />
Blochfunktion u n ⃗ k<br />
(⃗r) und e i⃗ k·⃗r darstellen :<br />
Ψ n ⃗ k<br />
(⃗r) = e i⃗ k·⃗r u n ⃗ k<br />
(⃗r) (3.22)<br />
Ist u = const, wird Ψ = c · e i⃗k·⃗r und das Elektron verhält sich wie ein freies<br />
Teilchen und wird durch eine ebene Welle repräsentiert.<br />
So ist die Schrödingergleichung<br />
( )<br />
ˆp<br />
2<br />
Ĥ 0 (ˆp)Ψ n ⃗ k<br />
(⃗r) = + V (⃗r) Ψ<br />
2m n ⃗ k<br />
(⃗r) = E n ( ⃗ k)Ψ n ⃗ k<br />
(⃗r) (3.23)<br />
0<br />
Mit ˆp = ¯h i<br />
∇ wird aus (3.23) und (3.22)<br />
e i⃗ k·⃗r<br />
(− ¯h2<br />
)<br />
(− ¯h2 ∇ 2 + V (⃗r) e i⃗k·⃗r u<br />
2m n ⃗ k<br />
(⃗r)<br />
0<br />
)<br />
= E n ( ⃗ k) · e i⃗k·⃗r u n ⃗ k<br />
(⃗r)<br />
u n ⃗ k<br />
(⃗r) = E n ( ⃗ k)e i⃗k·⃗r u n ⃗ k<br />
(⃗r) (3.24)<br />
(∇ 2 + 2i<br />
2m ⃗ k∇ − k 2 ) + V (⃗r)<br />
0<br />
(<br />
)<br />
ˆp 2<br />
+ ¯h⃗ kˆp<br />
+ ¯h2 k 2<br />
+ V (⃗r)<br />
2m 0 m 0 2m 0<br />
u n ⃗ k<br />
(⃗r) = E n ( ⃗ k)u n ⃗ k<br />
(⃗r)<br />
Die k·p -Methode ist eine Variante <strong>der</strong> Störungstheorie, bei <strong>der</strong> die Zustände<br />
bei k > 0 um k 0 entwickelt werden. Dabei werden für kleine k die beiden Terme<br />
Ĥ 1 = ¯h2 k 2<br />
2m 0<br />
,<br />
als Störung von (3.23) bei k 0 = 0 betrachtet. Bei k 0 ist<br />
Ĥ 2 = ¯h⃗ kˆp<br />
m 0<br />
(3.25)<br />
( )<br />
ˆp<br />
2<br />
+ V (⃗r) u<br />
2m n ⃗ k0<br />
(⃗r) = E n ( ⃗ k 0 )u n ⃗ k0<br />
(⃗r) (3.26)<br />
0<br />
Dabei bildet nur Ĥ2 Interbandmatrixelemente wie in (3.5).<br />
Der k·p -Hamiltonian nahe des Zonenzentrums ist somit<br />
Ĥ k· = Ĥ0 + ¯h2 k 2<br />
2m 0<br />
+ ¯h⃗ kˆp<br />
m 0<br />
(3.27)<br />
Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Ladungsträger sind in dem störungstheoretischen Ansatz<br />
eine Linearkombination <strong>der</strong> orthonormierten Blochfunktionen u n (n=1,2,..,N)<br />
(3.3).
3.5. K·P -HAMILTONIAN MIT SPIN-BAHN-WECHSELWIRKUNG 31<br />
Ψ n ⃗ k<br />
(⃗r) =<br />
N∑<br />
n=1<br />
In Matrixformulierung (siehe (3.7)) erhält man<br />
⎧<br />
∑ ⎨(E ⎩ m ( ⃗ k 0 ) + ¯h2 k 2 )<br />
− E δ mn + ¯h⃗ kp mn<br />
+ ¯h2 ∑<br />
2m 0 m 0 m 2 0<br />
n<br />
mit den Momentummatrixelementen<br />
⃗p mn = ⃗p m ⃗ k0 ,n ⃗ k 0<br />
= 1 V<br />
(<br />
c n e i⃗ k·⃗r ) u n ⃗ k<br />
(r) (3.28)<br />
∫<br />
⎫<br />
∑ p α ⎬<br />
nn<br />
k α k ′pβ n ′ n<br />
β<br />
E n (k 0 ) − E n ′(k 0 ) ⎭ c m = 0<br />
α,β n ′ ≠n<br />
(3.29)<br />
Ψ ∗ m ⃗ k 0<br />
ˆp Ψ n ⃗ k0<br />
d 3 r (3.30)<br />
α und β laufen in (3.29) und (3.31) über die drei Raumrichtungen des p-Vektors<br />
x,y und z.<br />
Die Entwicklung <strong>der</strong> Eigenenergie bis zur 2.Ordnung <strong>der</strong> Störung (siehe (3.4))<br />
ist<br />
E n ( ⃗ k) = E n (k 0 ) + ¯h⃗ kp mn<br />
m 0<br />
∑<br />
α=x,y,z<br />
p α nn +<br />
∑<br />
α,β=x,y,z<br />
wobei die eingeführten richtungsabhängigen effektiven Massen durch<br />
1<br />
= 1 ∑<br />
m αβ m 2 0<br />
n ′ ≠n<br />
p α nn ′pβ n ′ n + pβ nn ′pα n ′ n<br />
E n (k 0 ) − E n ′(k 0 )<br />
¯h 2<br />
2m αβ<br />
k α k β (3.31)<br />
+ 1 m 2 δ αβ (3.32)<br />
0<br />
gegeben sind.<br />
In den untersuchten direkten Halbleitermaterialen liegt sowohl das Maximum<br />
jedes Valenzbandes, als auch das Minimum jedes Leitungsbandes am Γ-Punkt. So<br />
sind die ersten Ableitungen ∂E n /∂k α = p α nn bei k 0 = 0 Null, und es verschwinden<br />
alle Terme p nn . Durch Symmetriebetrachtungen in <strong>der</strong> Brillouinzone und Auswahlregeln<br />
wird die Anzahl <strong>der</strong> nicht zu Null verschwindenen Konstanten p α und 1/m αβ<br />
ermittelt.<br />
Es gibt dafür zwei wesentliche Ansätze, das Kane’sche Modell (siehe Abschnitt<br />
3.6) und das Luttinger-Kohn-Modell (siehe Abschnitt 3.7).<br />
3.5 k·p -Hamiltonian mit Spin-Bahn-Wechselwirkung<br />
Wird die Wechselwirkung von Spin- und Bahndrehimpuls berücksichtigt, kommt zu<br />
dem Hamiltonian in (3.23) ein Term für die Spin-Bahn-Wechselwirkung hinzu :<br />
mit<br />
Ĥ = Ĥ0 +<br />
¯h<br />
4m 2 0 c2 =<br />
σ ·∇V × ˆp (3.33)<br />
Ĥ 0 =<br />
ˆp2<br />
2m 0<br />
+ V (⃗r) (3.34)<br />
Dabei ist σ = die Pauli-Spin-Matrix mit den Komponenten<br />
[ ] [ ] [<br />
= 0 1 = 0 −i = 1 0<br />
σ x =<br />
σ<br />
1 0 y =<br />
σ<br />
i 0 z =<br />
0 −1<br />
]<br />
(3.35)
32 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />
mit den Spins<br />
[<br />
1<br />
↑=<br />
0<br />
]<br />
[<br />
0<br />
↓=<br />
1<br />
]<br />
(3.36)<br />
Aus <strong>der</strong> Schrödingergleichung für die Blochfunktionen mit dem Hamiltonian<br />
(3.33) erhält man für die gitterperiodischen Funktionen u n ⃗ k<br />
(⃗r) ähnlich zu (3.24)<br />
Ĥu n ⃗ k<br />
(⃗r) =<br />
{ ˆp<br />
2<br />
2m 0<br />
+ V (⃗r) + ¯h2 k 2<br />
2m 0<br />
+ ¯h m 0<br />
⃗ k · ˆp +<br />
¯h<br />
4m 2 0 c2 =<br />
σ ·∇V × ˆp +<br />
}<br />
¯h =<br />
σ ·∇V × ⃗ k<br />
4m 2 0 c2<br />
×u n ⃗ k<br />
(⃗r) = E n ( ⃗ k)u n ⃗ k<br />
(⃗r) (3.37)<br />
Da ¯h ⃗ k ≪ ˆp in <strong>der</strong> Nähe des Brillouinzonenzentrums, ist <strong>der</strong> vierte Term klein<br />
verglichen mit dem dritten Term.<br />
Abbildung 3.1: Im Kane’schen Modell <strong>der</strong> 4 Bän<strong>der</strong> HH, LH, SO und CB werden<br />
nur diese im Hamiltonian H berücksichtigt.<br />
3.6 Das Kane’sche Modell<br />
Das Kane’sche Modell nimmt einen Teil <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> in die Störungsrechnung hinein.<br />
Die an<strong>der</strong>en werden nicht berücksichtigt (siehe Abbildung 3.1). Die Eigenfunktionen<br />
bei k werden als Linearkombinationen <strong>der</strong> Nullpunktseigenfunktionen dargestellt :<br />
u n ⃗ k<br />
(r) = ∑ m<br />
c m u m0 (⃗r) (3.38)<br />
Nimmt man die Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> schweren (HH) und <strong>der</strong> leichten Löcher (LH), das<br />
Spin-Orbit-Split-off-Band (SO) und das unterste Leitungsband (CB) in das Kane’sche<br />
Modell, wählt man als System von Eigenfunktionen |S ↑>, |S ↓>, |X ↑>,<br />
|Y ↑>, |Z ↑>,|X ↓>,|Y ↓> und |Z ↓> und erhält eine 8×8-Hamiltonmatrix, die
3.7. DAS LUTTINGER-KOHN-MODELL 33<br />
durch eine unitäre Transformation blockdiagonal wird mit zwei identischen 4×4-<br />
Matrizen<br />
Ĥ K =<br />
3.7 Das Luttinger-Kohn-Modell<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
E g 0 kP 0<br />
0 − 2 3 ∆ √ 2<br />
3 ∆ 0<br />
√ ⎥<br />
kP 2<br />
3 ∆ − 1 3 ∆ 0 ⎦ (3.39)<br />
0 0 0 0<br />
Das Luttinger-Kohn-Modell beruht auf <strong>der</strong> Löwdinschen Methode (siehe 3.3). In<br />
seiner Originalform werden die Bän<strong>der</strong> HH, LH und SO - jeweils spinentartet - in<br />
die Klasse A und alle Leitungsbän<strong>der</strong> und die tieferliegenden Valenzbän<strong>der</strong> in die<br />
Klasse B (siehe Abbildung 3.2) genommen.<br />
u ⃗k =<br />
A∑<br />
c n ( ⃗ k)u n0 (⃗r) +<br />
n<br />
B∑<br />
c α ( ⃗ k)u α0 (⃗r) (3.40)<br />
α<br />
Abbildung 3.2: Das Luttinger-Kohn-Modell mit den Bän<strong>der</strong>n HH, LH und SO in<br />
<strong>der</strong> Klasse A und den restlichen in <strong>der</strong> Klasse B.<br />
Die Zonenzentrum-Blochfunktionen u n0 für die Bän<strong>der</strong> HH, LH und SO <strong>der</strong><br />
Klasse A sind<br />
〉<br />
∣<br />
u 10 (⃗r) = ∣u h ↑<br />
= ∣ 3<br />
2 , + 2〉 3 = − √2 1<br />
|(X + iY ) ↑〉 ,<br />
〉<br />
∣<br />
u 20 (⃗r) = ∣u l ↑<br />
= ∣ √<br />
3<br />
2 , + 2〉 1 = − √6 1 2<br />
|(X + iY ) ↓〉 +<br />
3<br />
|Z ↑〉 ,<br />
〉<br />
∣<br />
u 30 (⃗r) = ∣u l ↓<br />
= ∣ √<br />
3<br />
2 , − 2〉 1 = √6 1 2<br />
|(X + iY ) ↑〉 +<br />
3<br />
|Z ↓〉 ,<br />
〉<br />
∣<br />
u 40 (⃗r) = ∣u h ↓<br />
= ∣ 3<br />
2 , − (3.41)<br />
2〉 3 = √2 1<br />
|(X − iY ) ↓〉 ,<br />
〉<br />
∣<br />
u 50 (⃗r) = ∣u s ↑<br />
= ∣ 1<br />
2 , + 〉 1<br />
2 = √3 1<br />
|(X + iY ) ↓〉 + √ 1<br />
3<br />
|Z ↑〉 ,<br />
〉<br />
∣<br />
u 60 (⃗r) = ∣u s ↓<br />
= ∣ 1<br />
2 , − 〉 1<br />
2 = √3 1<br />
|(X − iY ) ↑〉 − √ 1<br />
3<br />
|Z ↓〉
34 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />
In <strong>der</strong> Basis |J, m J 〉 ist J <strong>der</strong> Gesamtdrehimpuls und m J seine Projektion auf<br />
die z-Achse.<br />
Für den ungenäherten Hamiltonian Ĥ <strong>der</strong> Eigenwertgleichung<br />
Ĥu n ⃗ k<br />
(⃗r) = E n ( ⃗ k)u n ⃗ k<br />
(⃗r) (3.42)<br />
wird (3.37) mit Spin-Bahn-Wechselwirkung angenommen :<br />
mit<br />
Ĥ = Ĥ0 + ¯h2 k 2<br />
+ ¯h<br />
2m 0 4m 2 ∇V × ˆp· =σ<br />
0 c2 +Ĥ′ (3.43)<br />
Ĥ 0 =<br />
p 2<br />
+ V (⃗r)<br />
2m 0<br />
(3.44)<br />
Ĥ ′ = ¯h ⃗ k · ˆΠ<br />
m 0<br />
(3.45)<br />
Nach Löwdin’s Methode wird die Eigenwertgleichung<br />
ˆΠ = ˆp + ¯h<br />
4m 0 c 2 =<br />
σ ×∇V (3.46)<br />
gelöst. Man erhält<br />
A∑<br />
(Umn A − Eδ mn )c m ( ⃗ k) = 0 (3.47)<br />
n<br />
Umn A =<br />
[E m (0) + ¯h2 k 2 ]<br />
δ mn + ¯h2 k 2<br />
2m 0 m 2 0<br />
B∑<br />
∑<br />
n ′ ≠m,n α,β<br />
k α k β p α mn ′pβ n ′ n<br />
E 0 − E n ′<br />
(3.48)<br />
Man kann D mn = U A mn in einen Term ohne k und einen mit k trennen :<br />
mit<br />
D mn = E m (0)δ mn + ∑ α,β<br />
[<br />
Dmn αβ = ¯h2 k 2<br />
δ mn δ αβ + 1 ∑<br />
B<br />
2m 0 m 0<br />
n ′<br />
D αβ<br />
mnk α k β (3.49)<br />
p α mn ′pβ n ′ n + pβ mn ′pα n ′ n<br />
E 0 − E n ′<br />
]<br />
(3.50)<br />
Explizites Ausrechnen für kubische Halbleiter ergibt drei unabhängige Konstanten<br />
[28]<br />
N = ¯h2<br />
2m 0<br />
+ ¯h2<br />
m 2 0<br />
M = ¯h2 + ¯h2<br />
2m 0 m 2 0<br />
B∑<br />
L = ¯h2<br />
m 2 0<br />
n<br />
B∑<br />
n<br />
B∑<br />
n<br />
p x 1np x n1<br />
E 0 − E n<br />
(3.51)<br />
p y 1n py n1<br />
E 0 − E n<br />
(3.52)<br />
p x 1np y n2 + py 1n px n2<br />
E 0 − E n<br />
(3.53)<br />
und definiert die sogenannten Luttingerparameter γ 1 , γ 2 und γ 3 [29] als
3.7. DAS LUTTINGER-KOHN-MODELL 35<br />
γ 1 = − 2m 0<br />
¯h 2<br />
γ 2 = − 2m 0<br />
¯h 2<br />
γ 3 = − 2m 0<br />
¯h 2<br />
N + 2M<br />
3<br />
N − M<br />
6<br />
L<br />
6<br />
(3.54)<br />
(3.55)<br />
(3.56)<br />
So erhält man mit den Basisfunktionen (3.41) den 6×6-Luttinger-Kohn- Hamiltonian<br />
:<br />
⎡<br />
Ĥ LK = −<br />
⎢<br />
⎣<br />
mit<br />
P + Q −S R 0 − √ 2<br />
2 S √ ⎤<br />
2R<br />
−S ∗ P − Q 0 R − √ √<br />
2Q 6<br />
2 S<br />
R ∗ √<br />
0 P − Q S 6<br />
√ 2 S∗ 2Q<br />
0 R ∗ S ∗ P + Q − √ 2R ∗ − √ 2<br />
2 S∗<br />
2 S∗ − √ 2Q ∗ √ 6<br />
2 S −√ ⎥<br />
2R P + ∆ 0 ⎦<br />
√ √<br />
2R<br />
∗ 6<br />
√<br />
2 S∗ 2Q<br />
∗<br />
− √ 2<br />
2 S 0 P + ∆<br />
− √ 2<br />
(3.57)<br />
P = ¯h2 γ 1<br />
2m 0<br />
(k 2 x + k 2 y + k 2 z)<br />
Q = ¯h2 γ 2<br />
2m 0<br />
(k 2 x + k 2 y − 2k 2 z)<br />
R = ¯h2<br />
2m 0<br />
√<br />
3<br />
[<br />
−γ2 (k 2 x − k 2 y) + i2γ 3 k x k y<br />
]<br />
S = ¯h2 γ 3<br />
2m 0<br />
√<br />
3(kx − ik y )k z<br />
(3.58)<br />
wobei ∗ die komplexe Konjugation bezeichnet.<br />
Die Luttingerparameter sind materialabhängig und werden experimentell o<strong>der</strong><br />
durch ab-initio-Bandstrukturberechnungen bestimmt.<br />
Abbildung 3.3: Die durch 6×6-k·p-Hamiltonian berechnete Bandstruktur von<br />
GaAs in drei Richtungen <strong>der</strong> Brillouinzone.<br />
.
36 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />
In <strong>der</strong> Punktgruppe des Zinkblendegitter ¯43m bzw. T d [25, 30] fehlt eine Inversionsymmetrie<br />
<strong>der</strong> Diamantpunktgruppe. Dies führt zu einer Spinaufspaltung an den<br />
Punkten Γ 6 , Γ 7 und Γ 8 [31] und einer Aufhebung <strong>der</strong> zweifachen Spinentartung in<br />
<strong>der</strong> ganzen Brillouinzone [32]. Mit <strong>der</strong> Einführung von zu k proportionalen Antisymmetrietermen<br />
C k in ĤLK können diese Effekte berücksichtigt werden. Die C k<br />
sind jedoch klein und werden üblicherweise vernachlässigt [32, 33, 34].<br />
In Abbildung 3.3 ist die Bandstruktur von GaAs, die mit Anwendung von (3.57)<br />
berechnet wurde. Das Luttinger-Kohn-Modell kann man vereinfachen zu einem 4×4-<br />
Hamiltonian unter Vernachlässigung des SO-Bandes (siehe Abschnitt 4.4)) o<strong>der</strong><br />
erweitern zu einem 8×8-Hamiltonian unter Einbeziehung des ersten Leitungsbandes<br />
[35, 34, 31, 36, 37, 38, 39, 40].<br />
Abbildung 3.4: Durch Pseudopotentialmethode bestimmte Volumenbandstruktur<br />
von AlAs und InAs [24], aus <strong>der</strong> die Luttingerparameter, die effektive<br />
Elektronenmasse und die Bandgap-Energie gewonnen werden<br />
können. Die Bandstruktur von GaAs zeigt Abbildung 2.3<br />
.<br />
3.8 Materialparameter für die k·p -Methode<br />
Die k·p -Methode ist keine ab-initio-Methode, d.h. für sie sind Parameter, wie die<br />
Luttingerparameter γ 1 , γ 2 , γ 3 und die Spinbahnabspaltung ∆ für die <strong>Berechnung</strong><br />
<strong>der</strong> Löcherbän<strong>der</strong> sowie die effektive Masse <strong>der</strong> Elektronen m e und die Bandgap-<br />
Energie im Zonenzentrum E g für die Elektronenbän<strong>der</strong> erfor<strong>der</strong>lich.<br />
Es gibt viele verschiedene Luttingerparametersätze, die aus theoretischen o<strong>der</strong><br />
experimentellen Ergebnissen resultieren. Die gängigsten theoretischen <strong>Berechnung</strong>en<br />
beruhen auf Pseudopotentialmodellen und Fünfniveau-14-Band-k·p-Modellen<br />
[41]. In Spektroskopiemessungen an GaAs-Quantumwellstrukturen werden die Übergangs<br />
energien bestimmt und die Luttingerparameter so bestimmt, daß die Energien<br />
mit denen <strong>der</strong> k·p-Rechnung übereinstimmen [42, 10]. Weitere Experimente zur Bestimmung<br />
<strong>der</strong> Luttingerparameter, wie die Zyklotronresonanzmessung [43], werden<br />
in Veröffentlichungen von Vurgaftman et. al. [44] und Pfeffer und Zawadzki [45]<br />
zitiert.<br />
Einige Luttingerparametersätze für GaAs und AlAs sind in Tabelle 3.1 bzw.<br />
3.2 zusammengetragen. Am meisten benutzt werden bisher für GaAs die Werte<br />
γ 1 = 6, 85, γ 2 = 2, 10 und γ 3 = 2, 90 von Hess et. al. [7] und für AlAs γ 1 = 3, 45,
3.8. MATERIALPARAMETER FÜR DIE K·P -M<strong>ETH</strong>ODE 37<br />
γ 2 = 0, 68 und γ 3 = 1, 29 (siehe Chuang [46]). Um die Vergleiche zu ermöglichen,<br />
werden für die <strong>Berechnung</strong>en diese Parameter verwendet.<br />
Dagegen wurden 2001 von Vurgaftman et. al. [44] neue Werte für die Luttingerparameter<br />
empfohlen (siehe Tabellen 3.1 und 3.2).<br />
Für InAs können die Luttinger-Parameter nicht mit hoher Genauigkeit angegeben<br />
werden. Theoretische Werte kommen aus 14-Band-k·p-Rechnungen z.B. durch<br />
Lawaetz et al [41]. Diese und die empfohlenen Werte von Chuang [46] und Vurgaftman2001<br />
et al [44] finden sich in Tabelle 3.3.<br />
GaAs γ 1 γ 2 γ 3 Ermittlung<br />
Wood und Zunger [47] 5, 895 1, 652 2, 420 Pseudopotentialrechnung<br />
Molenkamp et. al. [10] 6, 79 1, 924 2,681 Übergangsenergien von<br />
AlGaAs-GaAs-QW<br />
Miller et. al. [42] 6, 8 1, 9 Übergangsenergien von<br />
Al x Ga 1−x As-GaAs-QW<br />
Hess et. al. [7] 6, 85 2, 10 2, 90 Magnetische Reflexion<br />
Skolnick et. al. [43] 6, 98 2, 25 2, 88 Zyklotronresonanzmessungen<br />
Lawaetz [41] 7, 65 2, 41 3, 28 14-Band-k·p-Modell<br />
Pfeffer und Zawadzki [45] 7, 80 2, 46 3, 30 14-Band-k·p-Modell<br />
Vurgaftman et. al. [44] 6, 98 2, 06 2, 93 Mittelwert von berechneten und<br />
gemessenen Löchermassen<br />
Tabelle 3.1: Luttingerparameter für GaAs, ermittelt durch verschiedene theoretische<br />
und experimentielle Methoden.<br />
Für Al x Ga 1−x As werden die Luttingerparameter durch eine Interpolation bestimmt:<br />
γ AlxGa1−xAs<br />
i<br />
= x · γ AlAs<br />
i<br />
+ (1 − x) · γ GaAs<br />
i (3.59)<br />
AlAs γ 1 γ 2 γ 3 Ermittlung<br />
Chuang [46] 3, 45 0, 68 1, 29<br />
Wood und Zunger [47] 3, 60 0, 70 1, 34 Pseudopotentialrechnung<br />
Molenkamp et. al. [10] 3, 790 1, 230 1,395 Übergangsenergien von<br />
AlGaAs-GaAs-QW<br />
Lawaetz [41] 4, 04 0, 78 1, 57 14-Band-k·p-Modell<br />
Vurgaftman et. al. [44] 3, 76 0, 82 1, 42 Mittelwert von berechneten und<br />
gemessenen Löchermassen<br />
Tabelle 3.2: Luttingerparameter für AlAs.<br />
InAs γ 1 γ 2 γ 3 Ermittlung<br />
Chuang [46] 20, 4 8, 3 9, 1<br />
Lawaetz [41] 19, 67 8, 37 9, 29 14-Band-k·p-Modell<br />
Vurgaftman et. al. [44] 20, 0 8, 5 9, 2 Mittelwert von berechneten und<br />
gemessenen Löchermassen<br />
Tabelle 3.3: Luttingerparameter für InAs.
38 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER<br />
m 0<br />
m ∗ hh<br />
m 0<br />
m ∗ lh<br />
[100] γ 1 − 2γ 2 γ 1 + 2γ 2<br />
[110]<br />
1<br />
2 (2γ 1 − γ 2 − 3γ 3 )<br />
1<br />
2 (2γ 1 + γ 2 + 3γ 3 )<br />
[111] γ 1 − 2γ 3 γ 1 + 2γ 3<br />
Tabelle 3.4: Effektive Löchermassen am Γ-Punkt in verschiedene Kristallrichtungen.<br />
Die Luttingerparameter stellen für die Bandstrukturberechnung mit <strong>der</strong> k·p -<br />
Methode vernünftige Größen dar, jedoch haben sie keine direkte physikalische Bedeutung.<br />
Aber sie stehen in Zusammenhang mit den effektiven Löchermassen in<br />
verschiedene Kristallrichtungen (Tabelle 3.4). So können z.B. aus dem Experiment<br />
bestimmte effektive Massen und die Luttingerparameter ineinan<strong>der</strong> umgerechnet<br />
werden.<br />
Die akzeptierten Werte <strong>der</strong> Spinbahnabspaltung sind ∆ GaAs = 0, 34 eV , ∆ AlAs =<br />
0, 28 eV und ∆ InAs = 0, 38 eV [48, 46, 44], die durch Elektroreflektion an Schottky-<br />
Barrieren gemessen wurden. Vurgaftman et al empfiehlt neu ∆ InAs = 0, 39 eV .<br />
Die Spinabspaltung wird für Al x Ga 1−x As und für In x Ga 1−x As aus denen ∆<br />
von GaAs und AlAs bzw. InAs durch lineare Interpolation wie in (3.59) bestimmt.<br />
Für GaAs wird die Bandlücke am Zonenzentrum (Γ-Punkt) bei einer Temperatur<br />
von 300 K meist mit Eg<br />
GaAs = 1, 424 eV angegeben [48]. Die Bandlücke ist stark<br />
temperaturabhängig. Man setzt die empirische Varschni-Formel [44] an:<br />
E g (T ) = E g (T = 0) − αT 2<br />
T + β<br />
(3.60)<br />
Für GaAs werden von Levinshtein und Rumyantsev [49] und Vurgaftman et.<br />
al. [44] ähnliche Werte von E g (T = 0) = 1, 519 eV , α GaAs = 0, 5405 meV/K und<br />
β GaAs = 204 K angegeben.<br />
Da bei AlAs und für Al x Ga 1−x As (mit x > 0, 45) sich kein Minimum des Leitungsbandes<br />
am Γ-Punkt befindet, ist eine Unterscheidung zwischen <strong>der</strong> eigentlichen<br />
Bandlücke (2, 168 eV ) und <strong>der</strong> am Zonenzentrum wichtig. Da die letztere für die<br />
k·p-<strong>Berechnung</strong> entscheidend ist, wird sie in dieser Arbeit ebenso als E g bezeichnet.<br />
Sowohl Chuang [46] als auch Vurgaftman et. al. [44] geben die Bandlücke bei Raumtemperatur<br />
mit Eg<br />
AlAs = 3, 03 eV und bei 0 K mit Eg<br />
AlAs (T = 0) = 3, 13 eV an. Die<br />
Temperaturabhängigkeit beschreiben α AlAs = 0, 885 meV/K und β AlAs = 530 K<br />
[44]. Die Bandlücke von InAs besitzt eine höhere Temperaturabhängigkeit. Die Werte<br />
von Lawaetz et al [41], Chuang [46] und Vurgaftman et al [44] stimmen nahezu<br />
überein. Bei Raumtemperatur ist Eg<br />
InAs = 0, 354 eV und bei 0 K ist Eg InAs (T =<br />
0) = 0, 417 eV . Die Faktoren <strong>der</strong> Varschni-Formel sind α InAs = 0, 276 meV/K und<br />
β InAs = 93 K [44].<br />
Die Bandlücke für Legierungen von GaAs und AlAs bzw. InAs wird oft durch<br />
lineare Interpolation zwischen den GaAs- und AlAs- bzw. InAs-Bandlücken ermittelt.<br />
Genauer setzt man E g an, wenn man die Bandlücken nicht linear, son<strong>der</strong>n mit<br />
einem Polynom dritten (bzw. zweiten) Grades interpoliert [44]:<br />
E Al xGa 1−x As<br />
g = (1 − x)Eg<br />
GaAs + xEg<br />
AlAs + x(1 − x)(0, 127 + 1, 310x)eV<br />
(3.61)<br />
E In xGa 1−x As<br />
g = (1 − x)Eg<br />
GaAs + xEg InAs + x(1 − x) · 0, 477eV (3.62)<br />
Obwohl ab-inito-Bandstrukturmethoden effektive Elektronenmassen für GaAs<br />
von teils weit über 0, 07 m 0 erhalten [50, 47], ist <strong>der</strong> akzeptierte Wert m GaAs<br />
e =
3.8. MATERIALPARAMETER FÜR DIE K·P -M<strong>ETH</strong>ODE 39<br />
0, 067 m 0 [7, 42, 46, 11, 44], <strong>der</strong> in dieser Arbeit verwendet wird. Jedoch empfehlen<br />
Vurgaftman et. al. [44] für Raumtemperatur den durch Photolumineszenzmessungen<br />
bestätigten Wert von 0, 0635 m 0 .<br />
Für AlAs wird durch Messungen, theoretischen <strong>Berechnung</strong>en [47] und Extrapolationen<br />
von AlGaAs eine effektive Elektronenmasse [44] m AlAs<br />
e = 0, 150 m 0 erhalten.<br />
Für InAs wird meist m InAs<br />
e = 0, 023 m 0 verwendet ([41, 46]). Für niedrige<br />
Temperaturen wurden höhere effektive Elektronenmassen gemessen [11, 44].<br />
Parameter GaAs AlAs InAs Al x Ga 1−x As In x Ga 1−x As<br />
γ 1 6,85 3,45 20,4 6,85 - 3,40x 6,85+13,55x<br />
γ 2 2,10 0,68 8,3 2,10 - 1,42x 2,10 + 6,2x<br />
γ 3 2,90 1,29 9,1 2,90 - 1,61x 2,90 +6,2x<br />
∆ (eV) 0,34 0,28 0,38 0,34 - 0,06x 0,34+0,04x<br />
E g (eV) 1,424 3,03 0,354 1,424 + 1,606x 1,424-1,07x<br />
m e /m 0 0,067 0,150 0,023 0,067 + 0.083x 0,067-0,044x<br />
Tabelle 3.5: Die gängigen Materialparameter mit linearer Interpolation für Legierungen<br />
bei T = 300 K.<br />
Als Weiterentwicklung <strong>der</strong> gewöhnlich benutzten, linearen Interpolation <strong>der</strong> effektiven<br />
Massen von für Legierungen AB kann die Formel 3.63 von Nelson [51]<br />
verwendet werden. Sie beruht auf <strong>der</strong> Proportionalität <strong>der</strong> effektiven Masse zur<br />
Bandlücke E g<br />
m AB = m B + [ m A − m<br />
EAB<br />
B] g<br />
Eg<br />
A<br />
Setzt man (3.61) und (3.62) in (3.63) ein, erhält man<br />
− E B g<br />
− E B g<br />
(3.63)<br />
m Al xGa 1−x As = m GaAs + [ m AlAs − m GaAs] (−0, 816x 2 + 0, 737x + 1, 079)x (3.64)<br />
m InxGa1−xAs = m GaAs + [ m InAs − m GaAs] (0, 446x + 0, 554)x (3.65)<br />
Diese Formel ist direkt auf die effektive Elektronenmasse anwendbar (Tabelle 3.6).<br />
Parameter GaAs AlAs InAs Al x Ga 1−x As<br />
γ 1 6,98 3,76 20,0 −0, 60x 3 + 4, 24x 2 − 6, 86x + 6, 98<br />
γ 2 2,06 0,82 8,5 −0, 47x 3 + 2, 12x 2 − 2, 89x + 2, 06<br />
γ 3 2,93 1,42 9,2 −0, 36x 3 + 2, 15x 2 − 3, 3x + 2, 93<br />
∆ (eV) 0,34 0,28 0,39 0,34 - 0,06x<br />
E g (eV) 1,424 3,03 0,354 −1, 31x 3 + 1, 437x 2 + 1, 479x + 1, 424<br />
m e /m 0 0,0635 0,150 0,023 −0, 071x 3 + 0, 064x 2 + 0, 093x + 0, 0635<br />
Parameter<br />
In x Ga 1−x As<br />
γ 1 52, 11x 4 − 65, 55x 3 + 24, 27x 2 + 2, 19x + 6, 98<br />
γ 2 26, 05x 4 − 32, 78x 3 + 12, 11x 2 + 1, 06x + 2, 06<br />
γ 3 25, 99x 4 − 32, 75x 3 + 12, 03x 2 + x + 2, 93<br />
∆ (eV) 0,34 + 0,05x<br />
E g (eV) −0, 477x 2 − 0, 593x + 1, 424<br />
m e /m 0 −0, 018x 2 − 0, 0225x + 0, 0635<br />
Tabelle 3.6: Neue Materialparameter mit Interpolationen höherer Ordnung für Legierungen<br />
bei T = 300 K.
= =<br />
?<br />
3.8. MATERIALPARAMETER FÜR DIE K·P -M<strong>ETH</strong>ODE 41<br />
Ordnung (Tabelle 3.6) durchgeführt.<br />
Die k·p -Methode ist für an<strong>der</strong>e Materialien mit kubischem Gitter, wie InP, GaP,<br />
AlP und ihre Legierungen geeignet. Materialparameter finden sich zum Beispiel in<br />
[41, 50, 46, 45, 49, 44].
42 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER
Kapitel 4<br />
Die Bandstruktur in<br />
Quantum-Well-Strukturen<br />
(QW)<br />
In Quantum-Well-Hetero-Strukturen wird ein Halbleitermaterial, z.B. GaAs, mit<br />
kleinerer Bandlücke als das Substrat, z.B. Al 0,2 Ga 0,8 As, als dünne Schicht zwischen<br />
das Substrat gewachsen; (siehe Abbildungen 1.9 und 1.10). Ohne Einschänkung <strong>der</strong><br />
Allgemeinheit sei die Aufwachsrichtung und damit eingeschränkte Richtung die z-<br />
Achse und die (x, y)-Ebene die Ebene, in <strong>der</strong> sich die Ladungsträger frei bewegen<br />
können. Durch die unterschiedliche Bandlücken springt die Bandkante <strong>der</strong> Löcher<br />
und <strong>der</strong> Elektronen.<br />
<strong>Berechnung</strong>smethoden für solche Systeme müssen<br />
(a) die freie Beweglichkeit <strong>der</strong> Ladungsträger in <strong>der</strong> (x, y)-Ebene und die Beschränktheit<br />
in <strong>der</strong> z-Richtung beschreiben können,<br />
(b) die Bandkantendiskontinuitäten berücksichtigen,<br />
(c) die Materialkonstanten jedes Bereiches benutzen,<br />
(d) die Wellenfunktionen in allen Bereichen <strong>der</strong> Heterostruktur, auch an den Potentialsprüngen,<br />
definieren und<br />
(e) die Subbän<strong>der</strong> gekoppelt betrachten.<br />
4.1 Envelopenfunktionsformalismus (EFA)<br />
Die k·p -Methode des Volumenhalbleiters (siehe 3.4-3.7) läßt sich durch den Envelopenfunktionsformalismus<br />
(englisch envelope-function approximation) auf Heterostrukturen<br />
anwenden [52, 53, 54], erfüllt alle Bedingungen (a) bis (e) und ist die<br />
am meisten verwendete Methode.<br />
Die EFA ist so alt wie die k·p -Methode selbst [28, 55]; mit ihr wurden die<br />
<strong>elektronischen</strong> Bewegungseigenschaften bei schwach verän<strong>der</strong>lichen Potentialen, wie<br />
magnetischen und elektrischen Fel<strong>der</strong>n, wie auch flache Störstellenprobleme und<br />
Verspannungen beschrieben.<br />
Mit dem Beginn <strong>der</strong> Halbleiter-QWs wurde die Effektivmassenapproximation<br />
auf diese Strukturen angewendet, zuerst von Dingle et al [6] in dem ”<br />
particle in a<br />
box“-Modell. Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Ladungsträger sind dabei, als ideal angenommen,<br />
auf den QW beschränkt.<br />
43
44 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />
Die EFA kann für III-V-Halbleiter-Quantengräben <strong>der</strong> QW-Breiten von ca. 8 nm<br />
bis 20 nm angewendet werden. Dies wird in Abschnitt 4.9 detailiert diskutiert.<br />
4.1.1 Die Idee des Envelopenfunktionsformalismus<br />
Bastard [52, 53, 56] führte den heute noch am meisten benutzten Ansatz ein, <strong>der</strong><br />
auf folgenden Hauptannahmen beruht:<br />
(i) In jedem Bereich wird die Wellenfunktion nach den periodischen Teilen <strong>der</strong><br />
Blochfunktionen, den Blochfaktoren, am Zonenzentrum k 0 = 0 entwickelt<br />
Ψ(⃗r) = ∑ n<br />
F n (⃗r)u n0 (⃗r) (4.1)<br />
Der Envelopenfunktionsformalismus vernachlässigt durch die Phänomene auf<br />
<strong>der</strong> atomen Skala und benutzt einen effektiven Hamiltonian, <strong>der</strong> auf die sich<br />
schwach än<strong>der</strong>nde Hüllfunktion F n (⃗r) wirkt.<br />
(ii) Die gitterangepaßten Schichten haben den selben Blochfaktor<br />
u A n0(⃗r) = u B n0(⃗r) ! = u n0 (⃗r) (4.2)<br />
(iii) Mit <strong>der</strong> Annahme <strong>der</strong> freien Bewegung <strong>der</strong> Ladungsträger in <strong>der</strong> QW-Ebene<br />
können ebene Wellen in dieser Ebene absepariert werden<br />
F n (⃗r) = e (kxx+kyy)i φ n (z) (4.3)<br />
φ n (z) ist die z-Komponente <strong>der</strong> Hüllfunktion, die auch als Einhüllende bezeichnet<br />
wird.<br />
(iv) Der Hamiltonian des Volumenhalbleiters wirkt auf den Spaltenvektor <strong>der</strong><br />
Hüllfunktionen, wobei<br />
k z → −i ∂ ∂z<br />
(4.4)<br />
ersetzt wird.<br />
(v) Das störende QW-Potential (siehe Abbildung 5.1)<br />
⎧<br />
⎨ V 0 = ∆E c/v : z < 0<br />
V (z) = V 1 = 0 : 0 ≤ z ≤ L<br />
⎩<br />
V 2 = ∆E c/v : L < z<br />
(4.5)<br />
o<strong>der</strong> an<strong>der</strong>e störende Potentiale, wie ein äußeres elektrisches Feld o<strong>der</strong> Verspannungen<br />
(siehe 4.3), werden zum Hamiltonian addiert.<br />
Ĥ(k x , k y , −i ∂ ∂z ) → Ĥ(k x, k y , −i ∂ ) + V (z) (4.6)<br />
∂z<br />
(vi) Die entsprechenden Materialparameter je<strong>der</strong> Schicht, u.a. die Luttingerparameter,<br />
werden im Hamiltonian verwendet.<br />
(vii) An den Grenzflächen gelten für die Wellenfunktion bestimmte Grenzbedingungen<br />
(engl. boundary conditions).
4.1. ENVELOPENFUNKTIONSFORMALISMUS (EFA) 45<br />
Durch die Ersetzung (4.4) wird die k·p -Hamiltonianmatrix (z.B. (3.57), (3.39))<br />
im Ortsraum in einen kinetischen Energieoperator gewandelt. Dadurch wird die korrespondierende<br />
Schrödingergleichung zu einem gekoppelten Differentialgleichungssystem<br />
(bzw. zu einer Differentialgleichung für die Betrachtung eines Bandes).<br />
(Ĥ N×N (k x , k y , −i ∂ ∂z ) ) ⎡ ⎢ ⎣<br />
φ 1 (z)<br />
.<br />
.<br />
φ N (z)<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ = E n ( ⃗ ⎢<br />
k) ⎣<br />
φ 1 (z)<br />
.<br />
.<br />
φ N (z)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ (4.7)<br />
4.1.2 Grenzbedingungen<br />
Die einhüllenden Funktionen φ n (z) und <strong>der</strong> Wahrscheinlichkeitsstrom J (z) müssen<br />
an den Grenzflächen <strong>der</strong> Bereiche j stetig sein [57, 52, 56, 58].<br />
φ j (z) = φ j+1 (z)<br />
J j (z) = J j+1 (z) (4.8)<br />
Man führt die Matrizen a, b und c durch Zerlegung des Hamiltonian in Anteile<br />
<strong>der</strong> Ordnung 2, 1 und 0 von ∂/∂z ein:<br />
Ĥ N×N = a ∂2<br />
∂z 2 + b ∂ ∂z + c (4.9)<br />
Die Operatoren a∂ 2 /∂z 2 und b ∂ ∂z<br />
werden im Quantum-Well nicht hermitisch, da<br />
die Matrizen a(z) und b(z) von z abhängen. Eine Möglichkeit a∂ 2 /∂z 2 durch einen<br />
hermitischen Operator zu ersetzen ist<br />
a ∂2<br />
∂z 2 → ∂ ∂z a ∂ ∂z<br />
(4.10)<br />
Durch diese Symmetrisierung können die Bedingungen (4.8) so geschrieben werden<br />
[59, 36]:<br />
φ j (z) = φ j+1 (z) (4.11)<br />
a j ∂ ∂z φj (z) + 1 2 bj φ j (z) = a j+1 ∂ ∂z φj+1 (z) + 1 2 bj+1 φ j+1 (z) (4.12)<br />
In <strong>der</strong> Literatur [60] findet man anstatt (4.12) auch die Bedingung<br />
a j ∂ ∂z φj (z) + b j φ j (z) = a j+1 ∂ ∂z φj+1 (z) + b j+1 φ j+1 (z) (4.13)<br />
Der Faktor 1/2 tritt hier nicht auf, wenn b ∂ ∂z<br />
nicht symmetrisiert wurde.<br />
Durch die Bedingungen (4.12) und (4.13) wird die Ableitung von φ(z) an den<br />
Grenzflächen nicht stetig sein und somit φ(z) einen Knick haben, <strong>der</strong> in einer echten<br />
Wellenfunktion nicht auftreten darf.<br />
Burt [61, 62, 63] veröffentlichte die sogenannte exakte Formulierung des Enveloppenfunktionsformalismus.<br />
Er konnte zeigen, daß es an den Grenzen einen weichen“ ”<br />
Knick <strong>der</strong> Einhüllenden φ n (z) gibt, wenn die exakten F n (⃗r) an den Grenzflächen<br />
stetig sind. Die Wahl <strong>der</strong> Grenzbedingungen verursacht Abweichungen in den Eigenenergien,<br />
die bei kleinen Störpotentialen gering sind [63, 59].
46 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />
4.2 Behandlung von äußeren elektrischen Potentialen<br />
Äussere elektrische Potentiale durch anliegende Spannungen, Dotierungen und Ladungsträgerdichten<br />
können zu diesem Hamiltonian bzw. zum Kastenpotential addiert<br />
werden. Eine fortgeschrittene Behandlung betrachtet die Subbandstruktur und<br />
die Poissongleichung selbstkonsistent.<br />
Diese Untersuchungen sind nicht Ziel dieser Arbeit und würden über ihren Umfang<br />
hinausgehen. Ohne die selbstkonsistente Betrachtung von Subbandstruktur<br />
und Poissongleichung kann die Subbandstruktur im selbstkonsistenten Lasersimulator<br />
als Vorberechnung (preprocessoring) implementiert werden.<br />
Wie Abbildung 4.1 zeigt, sind im lasenden Zustand oberhalb des Schwellstromes<br />
die Potentiale flach, und die Annahme von flachen Bän<strong>der</strong>n in <strong>der</strong> k·p-<strong>Berechnung</strong><br />
ist sinnvoll.<br />
Abbildung 4.1: Im lasenden Zustand sind Valenz- und Leitungsbandkante flach.<br />
4.3 Pikus-Bir-Hamiltonian mit Verspannung<br />
Äussere Verspannungen o<strong>der</strong> Verspannungen in Heterostrukturen durch verschiedene<br />
Gitterkonstanten <strong>der</strong> aufgewachsenen Materialien verän<strong>der</strong>n die Bandstruktur<br />
<strong>der</strong> Elektronen und Löcher. Durch die Verspannungseffekte ist somit die Wellenlänge<br />
<strong>der</strong> Halbleiterlaser verän<strong>der</strong>bar, wodurch ihre Anwendung eine einfache und in den<br />
letzten Jahren gut erforschte Methode ist, um gewünschte Wellenlängen zu erhalten.<br />
Zusammen mit <strong>der</strong> Beherrschung <strong>der</strong> Quantum-Wellbreite und <strong>der</strong> Barrierenhöhe<br />
wird sie als band structure engineering [64, 65, 66, 67] bezeichnet.<br />
Bleibt die Auslenkung <strong>der</strong> Deformation (englisch strain) klein, ist die rücktreibende<br />
Kraft (englisch stress) proportional <strong>der</strong> Auslenkung. Dieses Prinzip ist als<br />
Hookesches Gesetz (4.14) o<strong>der</strong> Gesetz <strong>der</strong> Elastizität bekannt. Dabei ist C das materialabhängige<br />
Elastizitätsmodul bzw. Young-Modul.<br />
Eine allgemeinere Form des Hookeschen Gesetzes ist<br />
σ = Cε (4.14)
4.3. PIKUS-BIR-HAMILTONIAN MIT VERSPANNUNG 47<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
σ xx<br />
σ yy<br />
σ zz<br />
σ xy<br />
σ yz<br />
σ zx<br />
⎤<br />
⎡<br />
=<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
⎤<br />
C 11 C 12 C 12 0 0 0<br />
C 12 C 11 C 12 0 0 0<br />
C 12 C 12 C 11 0 0 0<br />
0 0 0 C 44 0 0<br />
⎥<br />
0 0 0 0 C 44 0 ⎦<br />
0 0 0 0 0 C 44<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
ε xx<br />
ε yy<br />
ε zz<br />
ε xy<br />
ε yz<br />
ε zx<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(4.15)<br />
Hier sind C 11 , C 12 und C 44 Steifheitskonstanten. Diese werden in Einheiten von<br />
10 11 dyn/cm 2 (= 10GP a) angegeben.<br />
Durch die Deformation werden die Gittervektoren im realen und im reziproken<br />
Raum verän<strong>der</strong>t.<br />
⃗r ′ = (1+ = ε) · ⃗r (4.16)<br />
⃗ k ′ = (1− = ε) · ⃗k (4.17)<br />
In den neuen, gestrichenen Koordinaten kommt zu dem Hamiltonian (3.23)<br />
durch die Verspannung ein Term hinzu, <strong>der</strong> als Störung des undeformierten Kristalls<br />
betrachtet wird.<br />
(Ĥ0 + H ε<br />
)<br />
Ψ n ⃗ k ′(⃗r ′ ) = E n ( ⃗ k ′ )Ψ n ⃗ k ′(⃗r ′ ) (4.18)<br />
wobei<br />
ˆp 2<br />
Ĥ 0 = + V (⃗r) (4.19)<br />
2m 0<br />
∑<br />
H ε =<br />
ˆD αβ ε αβ = ∑ (− 1 )<br />
p α p β + V αβ ε αβ (4.20)<br />
m 0<br />
α,β=x,y,z<br />
α,β<br />
∂V<br />
V αβ = lim<br />
(4.21)<br />
ε αβ →0 ∂ε αβ<br />
Synchron zu (3.22) wird die Wellenfunktion in ein Produkt einer gitterperiodischen<br />
Blockfunktion u n ⃗ k ′(⃗r ′ ) und e i⃗ k ′·⃗r ′<br />
zerlegt. Mit<br />
u s n ⃗ k (⃗r) = u n ⃗ k ′ (⃗r ′ ) (4.22)<br />
Ψ n ⃗ k ′(⃗r ′ ) = e i⃗ k ′·⃗r ′ u n ⃗ k ′(⃗r ′ )<br />
= e i⃗k·⃗r u s n ⃗ (⃗r) (4.23)<br />
k<br />
wird äquivalent aus <strong>der</strong> Eigenwertgleichung (3.24) für das unverspannte Gitter die<br />
für das verspannte<br />
(<br />
)<br />
Ĥ 0 + ¯h⃗ kˆp<br />
+ ¯h2 k 2<br />
+ H ε + H εk u s<br />
m 0 2m n ⃗(⃗r) = E k<br />
n( ⃗ k)u s n ⃗ (⃗r) (4.24)<br />
k 0<br />
mit<br />
H εk = −2 ¯h m 0<br />
∑<br />
α,β=x,y,z<br />
k α ε αβ p β (4.25)<br />
Eine in ihrer Gestalt dem in 3.7 vorgestellten Luttinger-Kohn-Hamiltonian ähnliche<br />
Matrix, <strong>der</strong> sogenannte Pikus-Bir-Hamiltonian [68, 69, 55, 70], wird zur Beschreibung<br />
<strong>der</strong> 6 gekoppelten Löcherbän<strong>der</strong> HH, LH und SO im verspannten Gitter<br />
verwendet.
48 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />
⎡<br />
Ĥ S = −<br />
⎢<br />
⎣<br />
mit<br />
P + Q −S R 0 − √ 2<br />
2 S √ ⎤ 2R<br />
−S ∗ P − Q 0 R − √ √<br />
2Q 6<br />
2 S<br />
√<br />
√ R ∗ 3<br />
0 P − Q S<br />
2 S∗ 2Q<br />
0 R ∗ S ∗ P + Q − √ 2R ∗ − √ 2<br />
2 S∗<br />
2 S∗ − √ 2Q ∗ √<br />
6<br />
2 S −√ ⎥<br />
2R P + ∆ 0 ⎦<br />
√ √<br />
2R<br />
∗ 6<br />
√<br />
2 S∗ 2Q<br />
∗<br />
− √ 2<br />
2 S 0 P + ∆<br />
− √ 2<br />
(4.26)<br />
P = P k + P ε , Q = Q k + Q ε<br />
R = R k + R ε , S = S k + S ε<br />
P ε = −a v (ε xx + ε yy + ε zz )<br />
Q ε = − b 2 (ε xx + ε yy − 2ε zz )<br />
R ε = √ 3<br />
2 b(ε xx − ε yy ) − idε xy<br />
S ε = −d(ε zx − iε yz )<br />
(4.27)<br />
wobei P k , Q k , R k , S k die in (3.58) definierten Größen und a v , b und d die Pikus-<br />
Bir-Deformationspotentiale (siehe Tabelle 4.1) sind.<br />
Parameter GaAs InAs AlAs Al x Ga 1−x As In x Ga 1−x As<br />
C 11 (10 11 dyn/cm 2 ) 12,21 12,50 8,329 12,21 + 0,29x 12,21-3,881x<br />
C 12 (10 11 dyn/cm 2 ) 5,66 5,34 4,526 5,66 - 0,32x 5,66 - 1,134x<br />
C 44 (10 11 dyn/cm 2 ) 6,00 5,42 3,959 6,00 - 0,58x 6,00 - 2,041x<br />
a c (eV) -7,17 -5,64 -5,08 -7,17 + 1,53x -7,17 + 2,09x<br />
a v (eV) -1,16 -2,47 -1,00 -1,16 - 1,31x -1,16 +0,16x<br />
a = a c + a v (eV) -8,33 -8,11 -6,08 -8,33 + 0,22x -8,33+2,25x<br />
b (eV) -2,0 -2,3 -1,8 -2,0 - 0,3x -2,0+0,2x<br />
d (eV) -4,8 -3,4 -3,6 -4,8 + 1,4x -4,8+1,2x<br />
Tabelle 4.1: Deformationsparameter bei T = 300K [44], man beachte, daß Vurgaftman<br />
die Steifheitskonstanten C 11 , C 12 und C 44 in GP a, jedoch<br />
um eine Größenordnung zu hoch angibt. Weitere Quellen sind<br />
[48, 71, 49, 46], im Unterschied zu den an<strong>der</strong>en Referenzen führt<br />
Chuang a v positiv ein.<br />
Die folgenden Betrachtungen werden auf biaxiale Deformationen beschränkt.<br />
Zwei <strong>der</strong> wichtigsten Fälle von Verspannungen sind biaxial:<br />
1. eine dünne (QW)-Schicht, aufgewachsen auf ein Substrat an<strong>der</strong>er Gitterkonstante<br />
(siehe Abbildung 4.2) und<br />
2. ein Volumenhalbleiter o<strong>der</strong> eine Heterostruktur unter äußerem uniaxialen<br />
Druck entlang <strong>der</strong> z-Achse.<br />
Im Fall <strong>der</strong> biaxialen Verspannung fallen die Scherspannungen weg und die Normalspannungen<br />
senkrecht zur Aufwachsrichtung sind gleich :
4.3. PIKUS-BIR-HAMILTONIAN MIT VERSPANNUNG 49<br />
¡ ¢ £ ¤ £ ¥ ¦ § ¦ ¨<br />
<br />
© © <br />
Abbildung 4.2: Verspannung hervorgerufen durch eine Gitteranpassung beim<br />
Aufwachsen einer dünnen (QW)-Schicht auf ein Substrat. (a) Die<br />
Gitterkonstanten des Substrates a 0 und <strong>der</strong> QW-Schicht a stimmen<br />
überein, <strong>der</strong> QW bleibt unverspannt. (b) Das Substrat besitzt<br />
eine höhere Gitterkonstante, <strong>der</strong> QW wird in <strong>der</strong> xy-Ebene senkrecht<br />
zur Aufwachsrichtung gedehnt. Dies ist <strong>der</strong> Fall beim Aufwachsen<br />
einer GaAs-Schicht auf ein Al x Ga 1−x As-Substrat. (c)<br />
Die Gitterkonstante des Substrates ist kleiner, die QW-Schicht<br />
wird zusammengepreßt.<br />
ε xx = ε yy ≠ ε zz (4.28)<br />
ε xy = ε yz = ε zx = 0<br />
Deshalb verschwinden die Nichtdiagonalelemente R ε und S ε in (4.27).<br />
R ε = S ε = 0 (4.29)<br />
⎤<br />
Ohne die Scherkomponenten <strong>der</strong> Verspannung ist das Hookesche Gesetz<br />
⎡<br />
σ xx<br />
⎤ ⎡<br />
C 11 C 12 C 12<br />
⎡<br />
ε xx<br />
⎤<br />
σ zz C 12 C 12 C 11 ε zz<br />
⎣ σ yy<br />
⎦ = ⎣ C 12 C 11 C 12<br />
⎦ ⎣ ε yy<br />
⎦ (4.30)<br />
wie sich leicht durch Einsetzen von (4.28) in (4.15) zeigt.<br />
Bei <strong>der</strong> Gitteranpassung wird die QW-Schicht so verspannt, daß ihre Gitterkonstante<br />
in <strong>der</strong> QW-Ebene a gleich <strong>der</strong> des Substrates a 0 wird. Deshalb wird wegen<br />
ε xx a = ε yy a = a 0 − a (4.31)<br />
ε xx = ε yy = a 0 − a<br />
a<br />
(4.32)
50 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />
Man beachte, daß in <strong>der</strong> Literatur [72, 73, 74] auch <strong>der</strong> unkorrekte Nenner a 0<br />
steht.<br />
Damit die Spannung σ xx in z-Richtung verschwindet, muß<br />
und somit<br />
Setzt man ε = ε xx = ε yy erhält man nun<br />
0 = σ xx = C 12 (ε xx + ε yy ) + C 11 ε zz (4.33)<br />
ε zz = − 2C 11<br />
C 12<br />
ε xx (4.34)<br />
)<br />
P ε = −2a v<br />
(1 − C 12<br />
C 11<br />
ε<br />
( )<br />
Q ε = −b 1 + 2 C12<br />
C 11<br />
ε<br />
(4.35)<br />
P ε führt zu einer konstanten Verschiebung aller Bän<strong>der</strong> und wird als hydrostatische<br />
Komponente <strong>der</strong> Verspannung δE hy bezeichnet. Dagegen bewirkt Q ε eine<br />
Aufspaltung zwischen dem Band <strong>der</strong> leichten und <strong>der</strong> schweren Löcher und wird<br />
mit ζ abgekürzt. Das Doppelte von ζ wird als Scherspannung δE sh bezeichnet. Mit<br />
dieser Umbenennung kann man wie<strong>der</strong> P , Q, R und S anstatt P k , Q k , R k und S k<br />
schreiben.<br />
Der Pikus-Bir-Hamiltonian wird damit zu<br />
⎡<br />
P + Q + ζ −S R 0 − √ 2<br />
2 S √ ⎤ 2R<br />
−S ∗ P − Q − ζ 0 R − √ √<br />
2Q 6<br />
2 S<br />
√<br />
√ Ĥ S = −<br />
R ∗ 3<br />
0 P − Q − ζ S<br />
2 S∗ 2Q<br />
0 R<br />
⎢<br />
∗ S ∗ P + Q + ζ − √ 2R ∗ − √ 2<br />
−δE hy<br />
2 S∗<br />
⎣ − √ 2<br />
2 S∗ − √ 2Q ∗ √<br />
6<br />
2 S −√ ⎥<br />
2R P + ∆ 0 ⎦<br />
√ √<br />
2R<br />
∗<br />
6<br />
√<br />
2 S∗ 2Q<br />
∗<br />
− √ 2<br />
2 S 0 P + ∆ (4.36)<br />
Mit <strong>der</strong> gemachten Annahme, daß die Barrierenschicht viel dicker als die QW-<br />
Schicht ist, wird nur die QW-Schicht verspannt und im Substrat ist ζ = 0 und<br />
δE hy = 0. Dies ist <strong>der</strong> Spezialfall für T = 0 in (4.37).<br />
Für Al x Ga 1−x As − GaAs-Heterostrukturen wird wegen <strong>der</strong> höheren Gitterkonstante<br />
(siehe Tabelle 4.2) von Al x Ga 1−x As gegenüber GaAs die QW-Schicht immer<br />
gedehnt (siehe Abbildungen 4.2 und 4.3). Dagegen werden In x Ga 1−x As − InP -<br />
Heterostrukturen für x > 0, 532 gedehnt und für x < 0, 532 zusammengepreßt.<br />
Für die äußere uniaxiale Spannung T entlang <strong>der</strong> z-Achse folgt für den Volumenhalbleiter<br />
wegen σ zz = T und σ xx = σ yy = 0<br />
−C 11<br />
ε xx = ε yy =<br />
C11 2 + C 11C 12 − 2C12<br />
2 T<br />
C 11 + C 12<br />
ε zz =<br />
C11 2 + C 11C 12 − 2C12<br />
2 T (4.37)<br />
Wird eine Heterostruktur entlang <strong>der</strong> Aufwachsrichtung z uniaxial gespannt,<br />
än<strong>der</strong>n sich die angepaßten Gitterkonstanten <strong>der</strong> QW-Schicht und des Substrates<br />
zusammen. Da die Gitterkonstante des Substrates nur durch die äußere Spannung<br />
verän<strong>der</strong>t wird, gilt für das Substrat weiterhin (4.37). Für die QW- Schicht ist nun
4.3. PIKUS-BIR-HAMILTONIAN MIT VERSPANNUNG 51<br />
Material<br />
Gitterkonstante a 0 in Å<br />
GaAs 5, 65325<br />
AlAs 5, 6611<br />
Al x Ga 1−x As 5,65325 + 0,00785x<br />
InAs 6, 0583<br />
InP 5, 8697<br />
GaP 5, 4505<br />
AlP 5, 4672<br />
Tabelle 4.2: Gitterkonstanten einiger Halbleiter bei T = 300K [44] (siehe auch<br />
[49, 46]).<br />
mit<br />
ε xx = ε yy = a 0(c x T + 1) − a<br />
a<br />
ε zz = − 2C 11 a 0 − a<br />
+ c z T (4.38)<br />
C 12 a<br />
c x = c y =<br />
c z =<br />
−C 12<br />
C11 2 + C 11C 12 − 2C12<br />
2<br />
C 11 + C 12<br />
C11 2 + C 11C 12 − 2C12<br />
2<br />
Durch Verspannung von Barriere und Quantum-Well sind auch in <strong>der</strong> Barriere<br />
die hydrostatische und die Scherspannung zu berücksichtigen.<br />
14 x 10−4 Legierungsanteil Aluminium x<br />
12<br />
ohne äußere Spannung T<br />
T = 98,3 MPa<br />
Verspannung in <strong>der</strong> QW−Ebene ε xx<br />
=ε yy<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
Dehnung<br />
−2<br />
Kompression<br />
−4<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
Abbildung 4.3: Verspannung für Al x Ga 1−x As − GaAs-QW-Strukturen in <strong>der</strong><br />
QW-Ebene ohne und mit äußerer uniaxialer Spannung in<br />
Abhängigkeit vom Aluminiumanteil x.
52 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />
350<br />
300<br />
Spannung T in MPa, damit ε xx<br />
=ε yy<br />
=0<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
Kompression<br />
50<br />
Dehnung<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
Legierungsanteil Aluminium x<br />
Abbildung 4.4: Äußere uniaxiale Spannung T , die nötig ist, um Verspannung in<br />
<strong>der</strong> QW-Ebene aufzuheben.<br />
Wie man die Lösungen des Eigenwertproblems ĤSu n ⃗ k<br />
(⃗r) = E n ⃗ k<br />
(⃗r) findet, wird<br />
in Abschnitt 4.5 diskutiert. Einfacher ist das Problem unter Vernachlässigung des<br />
SO-Bandes, das im folgenden Abschnitt 4.4 beschrieben wird.<br />
Für Heterostrukturen wird aus dem Eigenwertproblem ein Differentialgleichungssystem,<br />
dessen Lösung für beide Probleme sowie <strong>der</strong> Schrödingergleichung <strong>der</strong> Elektronen<br />
in Kapitel 5 behandelt wird.<br />
4.4 4-Band-Hamiltonian mit Vernachlässigung des<br />
SO-Bandes<br />
Bei den meisten kubischen Halbleitern liegt das Spin-Orbit-Split-Off-Band relativ<br />
weit unterhalb <strong>der</strong> am Γ-Punkt vierfach entarteten Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> schweren und<br />
leichten Löcher. So ist für GaAs ∆ = 0, 34 eV . Zum Vergleich ist die Tiefe des<br />
Löcherquantentopfes ∆E C des Al 0,1 Ga 0,9 As − GaAs-Quantum-Wells 0, 083 eV und<br />
des Al 0,3 Ga 0,7 As − GaAs-Quantum-Wells 0, 249 eV ; die Subbandenergien liegen<br />
in dieser Grössenordnung. Somit ist eine Rechnung mit Vernachlässigung des SO-<br />
Bandes begründbar.<br />
Die die Wechselwirkung <strong>der</strong> schweren und leichten Löcher beschreibende 4×4-<br />
Luttinger-Kohn-Hamiltonianmatrix [28] ist:<br />
⎡<br />
H 4×4 = −<br />
⎢<br />
⎣<br />
P + Q + ζ −S R 0<br />
−S ∗ P − Q − ζ 0 R<br />
R ∗ 0 P − Q − ζ S<br />
0 R ∗ S ∗ P + Q + ζ<br />
⎤<br />
− δE hy (4.39)<br />
⎥<br />
⎦<br />
in <strong>der</strong> Basis |u 1 〉 . . . |u 1 〉 (siehe 3.41).<br />
Dabei haben P , Q, R und S die Bedeutung, wie in (4.27) beschrieben.
4.4. 4-BAND-HAMILTONIAN OHNE SO-BAND 53<br />
4.4.1 Blockdiagonalform<br />
Durch eine unitäre Transformation nach Broido und Sham [75]<br />
H ′ = UHU ∗<br />
Ψ ′ = UΨ<br />
(4.40)<br />
in ein neues Basissystem <strong>der</strong> Zonenzentrum-Blochfunktionen kann man die Hamiltonianmatrix<br />
in Blockdiagonalform bringen (die Transformation <strong>der</strong> Hamiltonianmatrix<br />
verspannter Halbleiter, siehe Abschnitt 4.3, wird in [76] beschrieben) ; dies<br />
durch eine geeignete Wahl <strong>der</strong> Winkel θ und η in<br />
⎡<br />
U =<br />
⎢<br />
⎣<br />
√<br />
2<br />
2 e−iθ 0 0 − √ 2<br />
2 eiθ<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
√<br />
2<br />
2 e−iη − √ 2<br />
2 eiη 0<br />
√ √<br />
2<br />
2<br />
2 e−iη 2 e−iη 0<br />
√<br />
⎥<br />
2 ⎦<br />
2 eiθ<br />
√<br />
2<br />
2 e−iθ 0 0<br />
Die Matrizen H 4×4 und H ′ 4×4 sind äquivalent, und die beiden Gleichungen<br />
(4.41)<br />
HΨ = EΨ (4.42)<br />
H ′ Ψ ′ = EΨ ′ (4.43)<br />
haben dieselben Eigenwerte. Die transformierte Matrix H ′ 4×4 ist<br />
⎡<br />
H 4×4 ′ = − ⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
= −<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
H U 0<br />
⎥<br />
⎦ (4.44)<br />
0 H L<br />
⎤<br />
P + Q + ζ ˜R 0 0<br />
˜R ∗ P − Q − ζ 0 0<br />
− δE hy<br />
0 0 P − Q − ζ ˜R<br />
⎥<br />
⎦<br />
0 0 ˜R∗ P + Q + ζ<br />
mit<br />
( ¯h<br />
2<br />
) √3 √<br />
˜R = |R| − i|S| =<br />
γ2 2 2m (k2 x − ky) 2 2 + 4γ3 2k2 xky 2 − i2 √ ( ¯h<br />
2<br />
)<br />
3 γ 3 k ρ k z<br />
0 2m 0<br />
(4.45)<br />
Die Zweifachentartung <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> leichten und <strong>der</strong> schweren Löcher bei<br />
Vernachlässigung <strong>der</strong> zu k linearen Terme wird nun sichtbar.<br />
Wie in einigen Veröffentlichungen falsch beschrieben, ist die axiale Approximation<br />
(siehe 4.4.2) keine Voraussetzung für die Blockdiagonalisierung des 4 × 4-<br />
Luttinger-Kohn-Hamiltonians.<br />
Mit <strong>der</strong> Diagonalisierung in die beiden Blöcke H U und H L verringert sich <strong>der</strong><br />
Rechenaufwand <strong>der</strong> Eigenwertbestimmung ohne einen Verlust an Genauigkeit. Gerade<br />
für Heterostrukturen, für die <strong>der</strong> Hamiltonian ein Differentialoperator ist und
54 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />
die Eigenwertbestimmung zur Lösung eines Differentialgleichungssystems wird, verringert<br />
man mit <strong>der</strong> Blockdiagonalisierung die Größe des Problems erheblich.<br />
Am Γ-Punkt, also bei k ρ = 0, verschwindet ˜R. Da auch wegen (4.29) in den<br />
Nichtdiagonalelementen keine Verspannung vorkommt, entkoppeln die Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong><br />
leichten und schweren Löcher, und es bleiben:<br />
⎡<br />
P + Q + ζ 0<br />
−H U/L = − ⎢<br />
⎣<br />
0 P − Q − ζ<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ (4.46)<br />
⎡<br />
⎤ ⎡ ⎤<br />
= ¯h2<br />
γ 1 − 2γ 2 0<br />
⎢<br />
⎥<br />
∂ 2<br />
2m 0<br />
⎣<br />
⎦<br />
0 γ 1 − 2γ 2<br />
∂z 2 − ζ 0<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
0 −ζ<br />
− δE hy<br />
Abbildung 4.5: Die Isoenergielinien des ersten Löcherbandes eines Al 0,3 Ga 0,7 As-<br />
GaAs-Quantum-Wells <strong>der</strong> Dicke 10nm verdeutlichen <strong>der</strong>en Anisotropie<br />
in <strong>der</strong> (k x , k y )-Ebene.<br />
4.4.2 Axiale Approximation<br />
In <strong>der</strong> axialen Näherung wird die Anisotropie <strong>der</strong> Subbandstruktur in <strong>der</strong> (k x ,k y )-<br />
Ebene (siehe Abbildung 4.5) vernachlässigt. Dies folgt aus <strong>der</strong> Überlegung, daß die<br />
Luttingerparameter γ 2 und γ 3 ähnliche Werte haben (siehe Tabelle 3.5). Ersetzt<br />
man in R bzw. unter <strong>der</strong> Wurzel in ˜R<br />
verschwinden die k x k y -Terme,<br />
γ 2 = γ 3<br />
!<br />
= γ 2 + γ 3<br />
2<br />
(4.47)
4.4. 4-BAND-HAMILTONIAN OHNE SO-BAND 55<br />
R = ¯h2 √ γ 2 + γ 3 3 kρ 2 (4.48)<br />
2m 0 2<br />
( ¯h<br />
2<br />
) ( )<br />
√3 γ2 + γ 3<br />
˜R =<br />
kρ 2 − i2 √ ( ¯h<br />
2<br />
)<br />
3 γ 3 k ρ k z (4.49)<br />
2m 0 2<br />
2m 0<br />
k 2 ρ = k 2 x + k 2 y (4.50)<br />
<strong>der</strong> Hamiltonian ist radialsymmetrisch in <strong>der</strong> (k x ,k y )-Ebene und nur doch <strong>der</strong> Abstand<br />
vom Γ-Punkt k ρ und nicht mehr die Richtung ist entscheidend (siehe Abbildung<br />
4.6a. ).<br />
Die Subbandstruktur in Richtung χ <strong>der</strong> (k x ,k y )-Ebene stimmt mit <strong>der</strong> <strong>der</strong> axialen<br />
Approximation überein (siehe Abbildung 4.6(b) ). Für χ ergibt sich<br />
⎛√<br />
χ = arctan ⎝<br />
5γ 2 + 7γ 3 − 4 √ ⎞<br />
(γ 2 + γ 3 )(γ 2 + 3γ 3 )<br />
⎠ (4.51)<br />
3γ 2 + γ 3<br />
In <strong>der</strong> Tabelle 4.3 sind für einige Al x Ga 1−x As-Materialien die Winkel angegeben.<br />
Die Herleitung von (4.51) findet sich in Anhang 9.<br />
GaAs Al 0,1 Ga 0,9 As Al 0,2 Ga 0,8 As Al 0,3 Ga 0,7 As AlAs<br />
χ 21, 35 o 21, 31 o 21, 26 o 21, 20 o 20, 27 o<br />
Tabelle 4.3: Der Winkel χ für einige Materialien.<br />
(a)<br />
(b)<br />
Abbildung 4.6: (a) Die Isoenergielinien des erste Löcherbandes eines<br />
Al 0,3 Ga 0,7 As-GaAs-Quantum-Wells <strong>der</strong> Dicke 10nm in axialer<br />
Approximation. (b) Isoenergielinien des anisotropen Subbandes<br />
mit strichgepunkteten Symmetrielinien im Vergleich mit denen<br />
<strong>der</strong> axialen Approximation. Die Kurven haben im Winkel χ<br />
einen Schnittpunkt. Die beiden Basisrichtungen < 10 >–k x und<br />
< 01 >–k y sind markiert.<br />
Wie in den Abbildungen 4.6 und 4.7 erkennbar, ist die axiale Approximation eine<br />
Mittelung über die Richtungen in <strong>der</strong> (k x , k y )-Ebene. Der eingesparte Rechenaufwand<br />
ist groß. Um die anisotropie Subbandstruktur zu erhalten, bedarf es Rechnungen<br />
in etwa 10 bis 50 ”<br />
Stützrichtungen“ φ, so daß mit <strong>der</strong> axialen Näherung, in <strong>der</strong><br />
es nur noch eine Richtung gibt, die <strong>Berechnung</strong> 10 bis 50mal schneller ausgeführt<br />
werden kann.
56 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />
In <strong>der</strong> Nähe von 1 bis 2% <strong>der</strong> Brillouinzonengrenze k max unterscheiden sich die<br />
Energien in < 10 >- und < 11 >-Richtung nicht wesentlich (siehe Abbildung 4.7).<br />
0<br />
mit AA<br />
ohne AA<br />
−0.01<br />
−0.02<br />
E in eV<br />
−0.03<br />
−0.04<br />
−0.05<br />
−0.06<br />
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05<br />
k ρ<br />
in k max<br />
Abbildung 4.7: Die oberen beiden Valenzbän<strong>der</strong> <strong>der</strong> Subbandstruktur eines<br />
Al 0,3 Ga 0,7 As-GaAs-Quantum-Wells <strong>der</strong> Dicke 10nm in die beiden<br />
Richtungen < 10 > und < 11 > (durchgezogene Linie) und<br />
mit axialer Approximation (gestrichelte Linie).<br />
4.5 6-Band-Hamiltonian<br />
Der 6-Band-Hamiltonian für biaxiale Verspannung durch Gitteranpassung und uniaxiale<br />
Verspannung in z-Richtung ist in (4.36) angegeben. Durch eine Transformation<br />
in ein neues Basissystem kann er in eine nahezu blockdiagonale Form [70] und<br />
durch eine an<strong>der</strong>e Transformation in eine blockdiagonale Form gebracht werden<br />
[77].<br />
⎡ ⎤<br />
H U 0<br />
H 6×6 = − ⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦ (4.52)<br />
0 H L<br />
⎡<br />
√ √<br />
P + Q + ζ ˜R<br />
2|R| + i 2<br />
2<br />
⎢ |S|<br />
⎤<br />
√<br />
H U = ⎣ ˜R ∗<br />
√<br />
P − Q − ζ 2(Q + ζ) + i 6<br />
√ 2 |S|<br />
√<br />
2|R| − i<br />
2<br />
2 |S| √ √<br />
2(Q + ζ) − i<br />
6<br />
2<br />
⎡<br />
√ |S| P + ∆ √<br />
P + ∆ 2(Q + ζ) + i 6<br />
2<br />
⎢<br />
|S| √ √<br />
2|R| + i<br />
2<br />
2 |S|<br />
⎤<br />
√ √<br />
H L = ⎣ 2(Q + ζ) − i 6<br />
2 |S| P − Q − ζ ˜R<br />
√ √<br />
2|R| − i<br />
2<br />
2 |S| ˜R∗ P + Q + ζ<br />
⎥<br />
⎦ + δE hy<br />
⎥<br />
⎦ + δE hy<br />
Die 3×3-Hamiltonian H U und H L wirken auf die Wellenfunktionen von HH, LH<br />
und SO bzw. SO, LH und HH in dieser Reihenfolge.
4.6. DAS LEITUNGSBAND 57<br />
Bei k ρ = 0 entkoppelt das Band <strong>der</strong> schweren Löcher, das Band <strong>der</strong> leichten<br />
Löcher und das SO-Band bleiben gekoppelt. Die beiden Blöcke H U und H L werden<br />
identisch zu<br />
H U/L =<br />
⎡<br />
⎤<br />
P + Q + ζ 0 0<br />
√ 0 P − Q − ζ 2(Q + ζ)<br />
+ δE<br />
⎢<br />
⎥ hy (4.53)<br />
⎣<br />
√ ⎦<br />
0 2(Q + ζ) P + ∆<br />
⎡<br />
⎤ ⎡<br />
⎤<br />
γ 1 − 2γ 2 0 0<br />
= − ¯h2<br />
0 γ 1 + 2γ 2 −2 √ ζ 0 0<br />
2γ ∂ 2<br />
2<br />
2m 0 ⎢<br />
⎣<br />
0 −2 √ ⎥ ∂z<br />
⎦<br />
2 + 0 −ζ + √ 2ζ<br />
+ δE<br />
⎢<br />
⎣<br />
2γ 2 γ 1 0 + √ ⎥ hy<br />
⎦<br />
2ζ ∆<br />
Bei symmetrischen Potentialen sind die Eigenzustände, die man mit H U und<br />
H L erhält identisch, und man kann sich auf H U beschränken.<br />
Die Anisotropie <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong> kann mit <strong>der</strong> axialen Approximation vernachlässigt<br />
werden (siehe 4.4.2, [78]). Nach Meinung des Autors dieser Arbeit bringt die<br />
sogenannte semiaxiale Approximation von Rodríguez et al [79, 80] keinen Vorteil<br />
gegenüber <strong>der</strong> Rechnung ohne irgendeine axiale Approximation.<br />
4.6 Das Leitungsband<br />
In den meisten III-V-Halbleitern kann das Leitungsband durch ein parabolisches<br />
Einbandmodell beschrieben werden [78].<br />
( ¯h<br />
2<br />
)<br />
) (k 2<br />
2m ∗ ρ − ∂2<br />
(z) ∂z 2 + V (z) + δE hy φ c (z) = Eφ c (z) (4.54)<br />
Die Elektronenwellenfunktionen sind das Produkt aus <strong>der</strong> Hüllfunktion e ikρρ φ c (z)<br />
und einer <strong>der</strong> Blockfaktoren u 70 (⃗r) und u 80 (⃗r) (siehe Gleichungen (4.1) und (4.3)).<br />
〉<br />
∣<br />
u 70 (⃗r) = ∣u c ↑<br />
= ∣ 1<br />
2 , + 2〉 1 = |S ↑〉 ,<br />
〉<br />
∣<br />
u 80 (⃗r) = ∣u c ↓<br />
= ∣ 1<br />
2 , − 〉 (4.55)<br />
1<br />
2 = |S ↓〉 ,<br />
Der Leitungsbandanteil <strong>der</strong> hydrostatischen Verspannung ist gegeben durch<br />
(<br />
δE hy = a c (ε xx + ε yy + ε zz ) = 2a c 1 − C )<br />
12<br />
ε (4.56)<br />
C 11<br />
m ∗ (z) verdeutlicht hierbei den Wechsel <strong>der</strong> effektiven Elektronenmassen (des homogenen<br />
Materials) an den Grenzflächen. Werte für m ∗ finden sich in den Tabellen<br />
3.5 und 3.6.<br />
Von einem Zweiband-CB-LH-Modell kann bei Annahme konstanter Differenz <strong>der</strong><br />
beiden Bän<strong>der</strong> ein nichtparabolisches Modell mit energie- und richtungsabhängigen<br />
effektiven Elektronenmassen approximiert werden [26].<br />
mit<br />
(<br />
¯h 2<br />
¯h 2 ∂ 2<br />
)<br />
2m ∗ ρ(E, z) k2 ρ −<br />
2m ∗ z(E, z) ∂z 2 + V (z) + δE hy(z) φ c (z) = Eφ c (z) (4.57)
58 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />
(<br />
m ∗ ρ(E, z) = m ∗ (z) 1 + E − V (z) − E )<br />
g + 3ζ<br />
E g + δE g<br />
(<br />
m ∗ z(E, z) = m ∗ (z) 1 + E − V (z) − E )<br />
g<br />
E g + δE g<br />
(4.58)<br />
(4.59)<br />
Weitere Ansätze zur Behandlung <strong>der</strong> Leitungssubbän<strong>der</strong> sind ein Dreiband-<br />
Modell mit CB, LH und SO [81] und die Untersuchung von k 3 - und k 4 -Termen<br />
[82, 83, 84]. Eine komplexe Betrachtung <strong>der</strong> Kopplung des untersten Leitungsbandes<br />
mit den drei obersten Valenzbän<strong>der</strong>n ist in 8-Band-k·p-Modellen [35, 34, 31, 36,<br />
37, 38, 39, 40] möglich.<br />
4.7 Simple Valenzbandmodelle<br />
Zum Vergleich mit den gekoppelten Modellen zur <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Subbandstruktur<br />
<strong>der</strong> Löcher werden die ungekoppelten Gleichungen untersucht. Dies ist für die<br />
schweren Löcher<br />
( ¯h<br />
2<br />
(<br />
)<br />
)<br />
− 2(γ 1 + γ 2 )kρ 2 − (γ 1 − 2γ 2 ) ∂2<br />
2m 0 ∂z 2 + V (z) + ζ(z) + δE hy (z) φ h (z) = Eφ h (z)<br />
für die leichten Löcher<br />
(4.60)<br />
( ¯h<br />
2<br />
(<br />
)<br />
)<br />
− 2(γ 1 − γ 2 )kρ 2 − (γ 1 + 2γ 2 ) ∂2<br />
2m 0 ∂z 2 + V (z) − ζ(z) + δE hy (z) φ h (z) = Eφ h (z)<br />
und für das Spinorbitalband<br />
(4.61)<br />
(¯h 2 ( )<br />
)<br />
γ 1<br />
− kρ 2 − ∂2<br />
2m 0 ∂z 2 + V (z) + ∆ + δE hy (z) φ h (z) = Eφ h (z) (4.62)<br />
Die ungekoppelt berechneten Energiebän<strong>der</strong> sind parabolisch. Die effektiven<br />
Massen bleiben wie im Volumenhalbleiter 1/(γ 1 − 2γ 2 ) für die schweren Löcher,<br />
1/(γ 1 + 2γ 2 ) für die leichten Löcher und 1/(γ 1 ) für die SO-Subbän<strong>der</strong>.<br />
4.8 Lösungsmethoden<br />
Die im Enveloppenfunktionsformalismus stückweise in <strong>der</strong> Barriere und im Quantengraben<br />
aufgestellten Differentialgleichungen und Diferentialgleichungssysteme lassen<br />
sich in verschiedenen Verfahren lösen.<br />
Andreani et al [85] stellten eine exakte, analytische Lösung für das Vierband-<br />
Envelopenfunktionsproblem für ein einfaches Kastenpotential vor. Die Schrödingergleichung<br />
wurde zuerst in jedem Material, dem <strong>der</strong> Barriere und dem des Quantengrabens,<br />
gelöst. Durch die Grenzbedingungen für die Linearkombinationen dieser<br />
vier Volumenwellenfunktionen (hin- und rücklaufende Wellen) an je<strong>der</strong> Grenzfläche<br />
wurden die Vorfaktoren und die Eigenenergien gefunden.<br />
Im Quantum-Well sind es acht Vorfaktoren und in den Barrieren je vier (wegen<br />
Verschwinden <strong>der</strong> Wellenfunktion im Unendlichen). Diese Lösungen ergeben sich<br />
aus D(E, k ‖ ) = 0, wobei D eine 16×16-Determinante ist. Durch eine Blockdiagonalisierung<br />
kann diese auf eine 8×8-Determinante reduziert werden.
4.9. ANWENDUNGSBEREICH DES EFA 59<br />
Chuang [72] entwickelte ein ähnliches, analytisches Verfahren, jedoch mit signifikanten<br />
Vereinfachungen. Er ermittelte die Bulkeigenenergien und -wellenfunktionen<br />
gleich mit dem blockdiagonalisierten Hamiltonian. Als Eigenfunktionen wählte er<br />
ebenso eine Linearkombination aus den hin- und rücklaufenden Bulkwellenfunktionen,<br />
jedoch nur aus den zwei desselben 2×2-Blockes. Dadurch blieben 8 freie<br />
Parameter. Chuang betrachtete die sich aus den Grenzbedingungen ergebenden<br />
Verbreitungs- o<strong>der</strong> Übertragungsmatrizen (propagation, transition o<strong>der</strong> transfer matrizes)<br />
an einem Übergang und dem durch <strong>der</strong>en Multiplikation resultierende Gesamtübertragungsmatrix.<br />
Diese sind 4×4-Matrizen. Die Eigenenergien ergeben sich<br />
aus <strong>der</strong> Nullstelle einer 2×2-Determinante. Dieses analytische Verfahren ist bei<br />
gleicher Wahl <strong>der</strong> Ansatzfunktionen äquivalent zu <strong>der</strong> Transfer-Matrix-Methode<br />
[86, 76, 87, 88, 89, 90, 91, 59, 92].<br />
Die Finite Differenzen-Methode (FDM) [93, 94, 77, 78, 26] unterteilt den Quantengraben<br />
und einen Bereich in <strong>der</strong> Barriere in äquidistante Stücke mit N Stützstellen.<br />
In diesen werden aus allen Differenzialquotienten in Ĥ die Differenzenquotienten<br />
ermittelt. Es entsteht eine N × N- Matrix, <strong>der</strong>en Eigenwerte zu bestimmen<br />
sind. Da abrupte Übergänge, wie die Bandkantendiskontinuität in QW-Strukturen,<br />
in <strong>der</strong> FDM durch steile Schrägen approximiert werden, wird eine Vielzahl von<br />
Stützpunkten benötigt, und die FDM-Matrizen werden sehr groß. Vorteil <strong>der</strong> FDM<br />
ist ihre leichte Anwendung für schiefe Potentiale, z.B. durch ein elektrostatisches<br />
Potential o<strong>der</strong> Störstellen.<br />
Die Finite Elemente-Methode (FEM) kann beides, die Envelopenfunktionen an<br />
abrupten Übergängen exakt“ zur Stetigkeit bringen und beliebige Potentiale berechnen.<br />
Zudem müssen die Stützpunkte nicht äquidistant sein. Anstatt <strong>der</strong> tatsäch-<br />
”<br />
lichen Ableitung benutzt sie sogenannte schwache Ableitungen und kommt mit wesentlich<br />
weniger Stützpunkten als die Finite Differenzen-Methode aus [38].<br />
Weitere angewendete Verfahren sind<br />
• die Variationsmethode [75, 95, 96, 97], bei <strong>der</strong> die Subbandenergie in einem<br />
Ansatz von Wellenfunktionen minimiert wird,<br />
• das Schießverfahren [97] und<br />
• die Quadraturmethode (Integration im Impulsraum) [98].<br />
In dieser Arbeit wird die Methode von Chuang benutzt. Sie wird im nächsten<br />
Kapitel für den Flachbandfall näher vorgestellt.<br />
Anzumerken ist, daß diese Methode wie die FDM und die FEM beliebige Potentiale<br />
durch eine Diskretisierung behandeln kann. An den Stützstellen werden<br />
synchron zu den Materialgrenzen die Übertragungsmatrizen aufgestellt und zur Gesamtübertragungsmatrix<br />
multipliziert.<br />
4.9 Anwendungsbereich des Envelopenfunktionsformalismus<br />
Für Doppelheterostrukturen mit einer Breite wesentlich größer als 20 nm gilt die Annahme<br />
des Envelopenfunktionsformalismus, daß die Ladungsträger nur eine Energiedispersion<br />
innerhalb <strong>der</strong> Ebene parallel zur Aufwachsrichtung haben, nicht mehr.<br />
Die Quanteneffekte treten nicht mehr auf und man kann die Bandstrukturalgorithmen<br />
für homogenes Material, wie die Pseudopotential- o<strong>der</strong> die k·p -Methode<br />
anwenden. Es gibt einen Übergangsbereich zwischen dem Modell des homogenen<br />
Halbleiters und dem EFA.<br />
Verkleinert man die Breite des Quantum-Wells auf weniger als ca. 8 nm, verringert<br />
sich die Genauigkeit <strong>der</strong> durch den EFA berechneten die Quanteneffekte.
60 KAPITEL 4. DIE BANDSTRUKTUR IN QW-STRUKTUREN<br />
Genauere Ergebnisse erhält mit empirischen Tight-Binding Ansätzen [99, 100]. Diese<br />
komplexeren Ansätze betrachten den Einfluß <strong>der</strong> nächsten Nachbarn auf ein<br />
Atom durch eine empirische Parametrisierung. Der Bereich <strong>der</strong> EFA mit hoher<br />
Genauigkeit kann durch Vergleich mit Tight Binding-Ergebnissen abgeschätzt werden.<br />
In Abbildung 4.8 sind die mit einem Tight Binding-Ansatz [100] und mit dem<br />
EFA berechneten effektiven Massen am Γ-Punkt für AlAs-GaAs-Quantum-Wells<br />
<strong>der</strong> Breiten 3, 4 nm bis 11 nm dargestellt (bei T=0 K). Die effektive Masse von<br />
GaAs im Volumenhalbleiter ist 0, 067 m0. Durch die höhere Quantisierung – kleinere<br />
QW-Breite – nehmen die effektiven Massen im Quantengraben zu. Je kleiner<br />
die Quantum-Well-Breite desto größer werden die Abweichungen und desto kleiner<br />
wird die Genauigkeit des EFA.<br />
Der vorgestellte Envelopenfunktionsformalismus hat seine höchste Genauigkeit<br />
für III-V-Halbleiterquantengräben mit Breiten von ca. 8 nm bis 20 nm.<br />
0.1<br />
Tight−Binding−<strong>Berechnung</strong> von Städele und Hess (2000)<br />
gekoppelte k·p−<strong>Berechnung</strong><br />
effektive Masse m*/m 0<br />
am Γ−Punkt<br />
0.095<br />
0.09<br />
0.085<br />
0.08<br />
0.075<br />
0.07<br />
3 4 5 6 7 8 9 10 11<br />
Quantum−Well−Breite L in nm<br />
Abbildung 4.8: Die mit einem Tight Binding-Ansatz [100] und mit dem EFA<br />
berechneten effektiven Massen am Γ-Punkt für AlAs-GaAs-<br />
Quantum-Wells verschiedener Breite bei T=0 K.
Kapitel 5<br />
Die analytische <strong>Berechnung</strong><br />
<strong>der</strong> Eigenzustände im<br />
Quantum-Well<br />
Im Quantum-Well wird aus <strong>der</strong> Matrix H ein Differentialoperator Ĥ und aus dem<br />
Eigenwertproblem ein Differentialgleichungssystem. Chuang [72] stellte einen Algorithmus<br />
vor, <strong>der</strong> die Energieeigenwerte und die Eigenvektoren, die Einhüllenden <strong>der</strong><br />
Wellenfunktionen (EWF), im Quantum-Well mittels Transfermatrizen findet.<br />
In Abschnitt 5.1 wird zuerst die Methode allgemein vorgestellt. Für völlig entkoppelte<br />
Bän<strong>der</strong> wird die Einbandschrödingergleichung gelöst (siehe 5.2). Durch<br />
Blockdiagonalisierung des 4×4-Hamiltonians <strong>der</strong> schweren und leichten Löcher (Abschnitt<br />
5.3.1) und am Zonenzentrum für den blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian<br />
(Abschnitt 5.3.3) erhält man Zweibandschrödingergleichungen. Die Anwendung auf<br />
die Dreibandschrödingergleichung des blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian wird<br />
in Abschnitt 5.4 beschrieben.<br />
Das Verfahren ist auch für die großen“ Differentialgleichungssysteme ohne die<br />
”<br />
signifikante Vereinfachung <strong>der</strong> Blockdiagonalisierung, wie die vollgekoppelten Ĥ4×4,<br />
Ĥ 6×6 o<strong>der</strong> Ĥ8×8, anwendbar.<br />
5.1 Der Lösungsalgorithmus<br />
Im homogenen Material mit anliegendem Potential V erhält man durch<br />
H( ⃗ k) + (V − E)I N×N = 0 (5.1)<br />
die N Eigenenergien E n ( ⃗ k) und die N Eigenvektoren ⃗ F n ( ⃗ k) mit je N Komponenten<br />
F in ( ⃗ k). Diese können mit Division durch √∑ i |F ni| 2 normiert werden.<br />
Die zugehörigen Wellenfunktionen im homogenen Material sind<br />
Ψ n (⃗r) = ⃗ F n ( ⃗ k) e i⃗ k⃗r =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
F 1n ( ⃗ k)<br />
.<br />
.<br />
F Nn ( ⃗ k)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ e i(kρρ+kzz) (5.2)<br />
mit den Hüllfunktionen F ⃗ n ( ⃗ k).<br />
Zur kompakteren Schreibweise wurden kρ 2<br />
eingeführt.<br />
= kx 2 + ky 2 und k ρ ρ = k x x + k y y<br />
61
62 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />
Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> zweidimensionalen Elektronen bzw. Löcher sind in<br />
jedem <strong>der</strong> Materialbereiche j eine Linearkombination dieser Bulkwellenfunktionen<br />
(einer hin- und einer herlaufenden Welle)<br />
Ψ j (⃗r) = ∑ n<br />
= ∑ n<br />
(<br />
A j n ⃗ F j n( ⃗ k) e ik ρρ+ik z (z−d j ) + B j n ⃗ F j−<br />
n ( ⃗ k) e ik ρρ−ik z (z−d j ) )<br />
(<br />
A j ⃗ n Fn( j ⃗ k) e ik z(z−d j ) + Bn j F ⃗ n<br />
j− ( ⃗ ) k) e −ik z(z−d j )<br />
e ik ρρ<br />
(5.3)<br />
Das Minus in ⃗ F j−<br />
N ersetzt kj z durch −k j z.<br />
Der Index j ist 0 für die linke Seite <strong>der</strong> Barriere, 1 für den Quantum-Well und 2<br />
für die rechte Seite <strong>der</strong> Barriere. d j sind die Referenzpositionen für die stückweise<br />
Definition <strong>der</strong> Wellenfunktionen. Der Abstand <strong>der</strong> Referenzpositionen sei l j = d j −<br />
d j−1 . Man wählt d 3 = d 2 , um mit l 3 = 0 eine Vereinfachung zu erhalten (siehe<br />
Abbildung 5.1). Durch das Setzen von d j (außer das letzte j) auf die Grenze zum<br />
Bereich j + 1, wird an dieser Grenze (z − d j ) = 0 und e ik z(z−d j ) = 1.<br />
Abbildung 5.1: Sowohl die Elektronen- als auch die Löcherzustände werden mit<br />
dem nach oben geöffneten Potentialkasten betrachtet. Die Energiekoordinatenachsen<br />
illustrieren dies. Die Bereiche werden mit<br />
dem Index j numeriert. Es werden die Referenzpositionen d j für<br />
die Wellenfunktionen in <strong>der</strong> dargestellten Weise eingeführt.<br />
Die Bewegung <strong>der</strong> Elektronen und Löcher in <strong>der</strong> Quanten-Well-Ebene kann als<br />
frei betrachtet werden und läßt sich separieren.<br />
Die Wellenfunktion in z-Richtung ist<br />
Ψ j (⃗r) = Ψ j (z) e ik ρρ<br />
(5.4)<br />
Ψ j (z) = ∑ n<br />
(A j n ⃗ F j n( ⃗ k) e ikjn z<br />
(z−dj) + Bn j F ⃗ n<br />
j− ( ⃗ ) k) e −ikjn z (z−d j)<br />
(5.5)<br />
kz j wird durch Auflösen von E n ( ⃗ k) = E(k ρ , kz<br />
jn ) nach kz<br />
jn ermittelt wurde. Da<br />
in kz jn die Dispersion des homogenen Materials steckt, ist es energieabhängig (→<br />
kz<br />
jn (E)).<br />
Die Grenzbedingungen (4.11) und (4.12) müssen erfüllt werden, d.h. es müssen<br />
an den Bereichsgrenzen (5.6) und (5.7)<br />
Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.6)<br />
a j ∂ ∂z Ψj (z) + 1 2 bj Ψ j (z) = a j+1 ∂ ∂z Ψj+1 (z) + 1 2 bj+1 Ψ j+1 (z) (5.7)
5.1. DER LÖSUNGSALGORITHMUS 63<br />
mit den Matrixelementen a mn · k 2 z und b mn · k z gelten (siehe (4.9)).<br />
5.1.1 Grenzbedingungen<br />
Setzt man (5.5) in die Grenzbedingungen ein, erhält man<br />
N∑<br />
n<br />
N∑<br />
n<br />
(<br />
A j ⃗ n Fn( j ⃗ k) + Bn j F ⃗ n j− ( ⃗ )<br />
k)<br />
(<br />
A j+1<br />
n<br />
⃗F n<br />
(j+1) ( ⃗ k) e ik(j+1)n z l j+1<br />
+ Bn<br />
j+1<br />
= (5.8)<br />
⃗F n<br />
(j+1)− ( ⃗ )<br />
k) e −ik(j+1)n z l j+1<br />
[<br />
N∑ ∑ N (<br />
ia j mnkz<br />
jn A j ⃗ n Fn( j ⃗ k) − Bn j F ⃗ n j− ( ⃗ )<br />
k) + 1 2<br />
m<br />
n<br />
[<br />
N∑ ∑ N<br />
m<br />
n<br />
(<br />
ia j+1<br />
mn k z<br />
(j+1)n A j+1<br />
n<br />
1<br />
2<br />
N∑<br />
n<br />
(<br />
b j+1<br />
mn A j+1<br />
n<br />
N∑<br />
n<br />
b j mn<br />
⃗F n<br />
(j+1) ( ⃗ k) e ik(j+1)n z l j+1<br />
− Bn<br />
j+1<br />
⃗F n<br />
(j+1) ( ⃗ k) e ik(j+1)n z l j+1<br />
+ Bn<br />
j+1<br />
(<br />
A j n ⃗ F j n( ⃗ k) + B j n ⃗ F j−<br />
n ( ⃗ k)) ] =<br />
⃗F n<br />
(j+1)− ( ⃗ )<br />
k) e −ik(j+1)n z l j+1<br />
⃗F n<br />
(j+1)− ( ⃗ ) ]<br />
k) e −ik(j+1)n z l j+1<br />
(5.9)<br />
+<br />
Man beachte, daß n = 1, .., N mit N die Anzahl <strong>der</strong> zu koppelnden Bän<strong>der</strong> und ⃗ F<br />
ein Vektor mit N Komponenten ist. Aus den Linearfaktoren A j n und B j n wird ein<br />
Vektor ⃗ Φ j mit 2N Elementen gebildet<br />
⎡<br />
⃗Φ j =<br />
⎢<br />
⎣<br />
A j 1<br />
.<br />
A j N<br />
B j 1<br />
.<br />
B j N<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(5.10)<br />
Mit den 2N × 2N-Matrizen<br />
⎡<br />
P j =<br />
⎢<br />
⎣<br />
e −ikj1 z l j<br />
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0<br />
0<br />
. .. . .. . .<br />
. ..<br />
e −ikjN z l j<br />
. .. . .<br />
.<br />
.<br />
.. e ikj1 z l j<br />
. ..<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
. .. . .. 0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(5.11)<br />
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 e ikjN z<br />
l j<br />
und
64 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />
⎡<br />
M j =<br />
⎢<br />
⎣<br />
N∑<br />
m<br />
N∑<br />
m<br />
N∑<br />
m<br />
N∑<br />
m<br />
F j 11 (⃗ k) . . . F j 1N (⃗ k)<br />
.<br />
.<br />
.. . F j N1 (⃗ k) . . . F j NN (⃗ k)<br />
)<br />
F j m1 (⃗ N∑ (<br />
k) . . . ia j m1 kjN z + 1 2 bj m1<br />
(<br />
ia j m1 kj1 z + 1 2 bj m1<br />
.<br />
.<br />
(<br />
ia j mN kj1 z + 1 2 bj mN<br />
)<br />
F j m1 (⃗ k) . . .<br />
m<br />
. ..<br />
.<br />
.<br />
N∑<br />
m<br />
)<br />
F j mN (⃗ k)<br />
(<br />
)<br />
ia j mN kjN z + 1 2 bj mN<br />
F j mN (⃗ k)<br />
F j−<br />
11 (⃗ k) . . . F j−<br />
1N (⃗ k)<br />
.<br />
.<br />
.<br />
..<br />
.<br />
.<br />
F j−<br />
N1 (⃗ k) . . . F j−<br />
NN (⃗ k)<br />
(<br />
)<br />
−ia j m1 kj1 z + 1 2 bj m1 F j−<br />
m1 (⃗ N∑ (<br />
k) . . . −ia j m1 kjN z + 1 2 bj m1<br />
.<br />
(<br />
−ia j mN kj1 z + 1 2 bj mN<br />
)<br />
F j−<br />
m1 (⃗ k) . . .<br />
m<br />
. .. . .<br />
N∑<br />
m<br />
)<br />
F j−<br />
mN (⃗ k)<br />
(<br />
)<br />
−ia j mN kjN z + 1 2 bj mN<br />
F j−<br />
mN (⃗ k)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(5.12)<br />
können die Bedingungen (5.8) und (5.9) umgeschrieben werden in<br />
M jΦ ⃗ j = M j+1 P j+1Φ ⃗ j+1<br />
(5.13)<br />
Durch Multiplizieren mit <strong>der</strong> Inversen von M j erhält man die Übertragungsmatrizen<br />
⃗Φ j = M −1<br />
j M j+1 P j+1<br />
⃗ Φ j+1 = T j+1<br />
⃗ Φ<br />
j+1<br />
(5.14)<br />
5.1.2 Verschwinden <strong>der</strong> Wellenfunktion im Unendlichen<br />
Bei z → ±∞ müssen alle Komponenten <strong>der</strong> Wellenfunktion Ψ 0 (z) bzw. Ψ 2 (z)<br />
verschwinden. Bei positivem Imaginärteil von kz<br />
0n müssen wegen<br />
lim<br />
z→−∞ eik zz =<br />
lim<br />
z→−∞ ei(k r+k i i)z =<br />
lim<br />
z→−∞ e−k iz · e ikrz = ±∞ (5.15)<br />
die A 0 n = 0 sein, da diese Terme bei z → ∞ nicht exponentiell abklingen. Die<br />
Bne 0 −ik0n z z -Terme verschwinden dagegen bei z → −∞. Synchron müssen Bn 2 = 0<br />
sein für ein Abklingen von Ψ 2 (z) bei z → +∞ gegen Null.<br />
⎡ ⎤<br />
⎡<br />
0<br />
A 2 ⎤<br />
1<br />
.<br />
.<br />
⃗Φ 0 =<br />
0<br />
B1<br />
0 ⃗Φ 2 =<br />
A 2 N 0 (5.16)<br />
⎢ . ⎥<br />
⎢ . ⎥<br />
⎣ . ⎦<br />
⎣ . ⎦<br />
0<br />
Falls man ein k 0n<br />
z<br />
k 0n<br />
z<br />
B 0 N<br />
mit negativem Imaginärteil erhält, wird das Inverse −kz<br />
0n anstatt<br />
genommen. Somit hat man sich festgelegt, daß alle Terme mit den Linearfaktoren<br />
A 0 n bei z → ∞ exponentiell zunehmen und alle Terme mit den Linearfaktoren<br />
B 0 n bei z → ∞ exponentiell abnehmen. Dies erspart eine unnötige Fallunterscheidung.
5.1. DER LÖSUNGSALGORITHMUS 65<br />
5.1.3 Die Übertragungsfunktion<br />
Gesucht wird die Gesamtübertragungsmatrix<br />
U = T 1 · T 2<br />
= (M0 −1 M 1P 1 )(M1 −1 M 2P 2 ) (5.17)<br />
[ ]<br />
Ua U<br />
=<br />
b<br />
U c U d<br />
mit den N × N-Matrizen U a , U b , U c und U d , die (5.16) erfüllt und für die sie somit<br />
die Eigenwerte liefert.<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
0<br />
⃗Φ 0 Ua U<br />
= B ⃗ 0<br />
=<br />
b ⃗A 2<br />
= U Φ<br />
U c U d 0<br />
⃗ 2 (5.18)<br />
Diese Bedingung ist nur erfüllt, wenn<br />
und somit<br />
[<br />
0<br />
]<br />
= Ua<br />
[ ⃗A 2 ] (5.19)<br />
t = det U a = 0 (5.20)<br />
wird. Die energieabhängige Funktion t(E) wird als Übertragungsfunktion bezeichnet.<br />
U a und somit det U a sind in <strong>der</strong> Regel komplex. Es wäre zwar möglich, unabhängig<br />
für den realen und den imaginären Teil von t(E) nach Nulldurchgängen, also Vorzeichenwechseln,<br />
zu suchen. Dies ist jedoch numerisch nicht umsetzbar, weil sich <strong>der</strong><br />
Imaginär- und <strong>der</strong> Realteil oft in <strong>der</strong> Größenordnung drastisch unterscheiden und<br />
Zahlen nahe <strong>der</strong> Rechengenauigkeit des Computers schnell das Vorzeichen wechseln.<br />
Deshalb ist es vernünftiger, nach den Nullstellen von |t(E)| zu suchen. Dies ist paradoxerweise<br />
numerisch auch nicht möglich. Der Computer kann E nicht so genau<br />
auflösen, daß |t(E)| = 0 wird; es gibt jedoch ein deutliches Minimum des Betrages<br />
mit einem Wert nahe bei Null. Die Erfahrung zeigt, daß alle Minima von |t(E)| für<br />
E innerhalb des Quanten-Well-Potentials Eigenwerte sind. Ein Beispiel für |t(E)|<br />
zeigt Abbildung 5.2 auf Seite 69 für den Einbandfall.<br />
5.1.4 Ermittlung <strong>der</strong> Wellenfunktionen<br />
Man erhält für die Eigenenergie, für die (5.20) erfüllt ist, die Linearfaktoren A 2 n<br />
durch Lösen des linearen Gleichungssystems (5.19). Diese sind bis auf eine Konstante<br />
bestimmt. Die Faktoren A 1 n, B 1 n und B 0 n findet man durch Multiplikation mit T 3<br />
bzw. U c .<br />
[ ⃗A 1<br />
⃗B 1 ]<br />
= T 3<br />
[ ⃗A 2<br />
0<br />
⃗B 0 = U c<br />
⃗ A<br />
2<br />
]<br />
(5.21)<br />
(5.22)<br />
Normiert wird die Wellenfunktion durch die For<strong>der</strong>ung<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
Ψ ∗ (z)Ψ(z)dz = 1 (5.23)<br />
also durch Teilen aller Linearfaktoren A j n und B j n durch die Wurzel des Integrals.
66 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />
Da die Bedingung det U a = 0 jedoch nicht völlig erreicht werden kann, wird<br />
U a auch keine exakte singuläre Matrix sein. Da <strong>der</strong> Vektor <strong>der</strong> Linearvektoren ⃗ A 2<br />
bis auf eine Konstante festgelegt ist, kann einer <strong>der</strong> Linearfaktoren gewählt und die<br />
an<strong>der</strong>en so ermittelt werden, daß <strong>der</strong> gemachte Fehler so klein wie möglich ist. Setzt<br />
man o.E.d.A. A 2 1 = 1, ist das überbestimmte Gleichungssystem<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
0<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ = U a ⎢<br />
⎣<br />
1<br />
A 2 2<br />
.<br />
A 2 N<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(5.24)<br />
zu lösen. Hierfür eignet sich z.B. die Gauß’sche Methode <strong>der</strong> kleinsten Fehlerquadrate.<br />
5.2 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung<br />
Die Einbandschrödingergleichung im Quantum-Well wird gelöst zur Ermittlung <strong>der</strong><br />
Eigenzustände<br />
(a) am Γ-Punkt durch die Entkoppelung <strong>der</strong> HH- und LH- Bän<strong>der</strong> für den 4×4-<br />
Hamiltonian (4.46),<br />
(b) am Γ-Punkt durch die Entkoppelung des HH-Bandes für den 6×6-Hamiltonian<br />
(4.53),<br />
(c) für das Leitungsband (4.54) o<strong>der</strong> (4.57) und<br />
(d) für die ungekoppelten Löcherbandstrukturmodelle (4.60) bis (4.62)<br />
Es wird dieser allgemeine Fall betrachtet, <strong>der</strong> all diese Gleichungen vereint:<br />
(<br />
¯h 2<br />
¯h 2 ∂ 2<br />
)<br />
2m ∗ ρ(E, z) k2 ρ −<br />
2m ∗ z(E, z) ∂z 2 + V (z) ± ζ(z) + δE hy(z) φ(z) = Eφ(z) (5.25)<br />
Die Richtungs- und Energieabhängigkeit <strong>der</strong> effektiven Masse tritt nur bei (4.57)<br />
auf. Die Aufspaltung ζ(z) durch die Scherspannung gibt es nur bei den Gleichungen<br />
für die HH- und LH-Bän<strong>der</strong>. Für die unverspannte Betrachtung ist ζ(z) =<br />
δE hy (z) = 0. Für (a) und (b) vereinfachen sich die Einbandschrödingergleichungen<br />
durch den Wegfall des kρ- 2 Termes. Sowohl richtungs- und energieabhängige Masse,<br />
Verspannungen, als auch kρ-Term 2 können in einer Methode behandelt werden.<br />
Das Potential des Quantum-Wells im Flachbandfall sei<br />
⎧<br />
⎨ V 0 = ∆E C/V : z < 0<br />
V (z) = V 1 = 0 : 0 ≤ z ≤ L<br />
(5.26)<br />
⎩<br />
V 2 = ∆E C/V : L < z<br />
Dies kann man für Elektronen und Löcher ansetzen, wenn man für beide positive<br />
effektive Massen nimmt und die Energiekoordinate für die Löcher umdreht (siehe<br />
auch Abbildung 5.1). Bei <strong>der</strong> <strong>Berechnung</strong> wird <strong>der</strong> Nullpunkt <strong>der</strong> Energie auf das<br />
Potential des unverspannten (!) Quantum-Wells gesetzt. Aus dem Rechnungskoordinatensystem<br />
kann man Energien Ē in tatsächliche Energien E durch<br />
E(CB) = Ē(CB) + ∆E C (5.27)<br />
E(V B) = ∆E V − Ē(V B) (5.28)
5.2. BERECHNUNG DER EINBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 67<br />
umrechnen.<br />
Gleichung (5.25) kann in eine einfachere Form gebracht werden, indem man die<br />
Verspannungsterme und die k 2 ρ-Terme im Potential integriert. Man erhält ein neues<br />
Potential<br />
⎧<br />
V ⎪⎨ 0 = ∆E C/V ± ζ B + δEhy B (z) + ¯h 2<br />
2m B ρ (Ē,z)k2 ρ : z < 0<br />
V h (z, Ē, k ρ) = V 1 = ±ζ W + δEhy W (z) + ¯h 2<br />
2m<br />
⎪⎩<br />
W ρ (Ē,z)k2 ρ : 0 ≤ z ≤ L<br />
V 2 = ∆E C/V ± ζ B + δEhy B (z) + ¯h 2<br />
2m B ρ (Ē,z)k2 ρ : L < z<br />
(5.29)<br />
mit den effektiven Massen parallel zum Quantengraben in <strong>der</strong> Barriere m B ρ (Ē, z)<br />
und innerhalb des Quantum-Wells m W ρ (Ē, z). Das Substrat wird verspannt durch<br />
äussere Spannung T , so daß für die reine gitterangepaßte Verspannung ζ B und<br />
δEhy B (z) Null sind. Der Term ±ζW + δEhy W (z) resultiert aus <strong>der</strong> Anpassung des<br />
Gitters im Quantum-Well infolge unterschiedlicher Gitterkonstanten (siehe 4.3).<br />
Die neue Form <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung ist<br />
(−¯h2<br />
2<br />
∂<br />
∂z<br />
)<br />
1 ∂<br />
m ∗ z(z) ∂z + V h(z, Ē, k ρ) Ψ n (z) = Ēn(k ρ ) Ψ n (z) (5.30)<br />
Die Eigenenergie im homogenen Material des Bereiches j ist mit k z anstatt −i ∂ ∂z<br />
Ē =<br />
¯h2<br />
2m ∗ z<br />
(k j z) 2 + V j (Ē, k ρ) (5.31)<br />
Der ”<br />
Eigenvektor“ ist 1. So ist <strong>der</strong> Ansatz für die Wellenfunktionen analog zu (5.5)<br />
mit<br />
Ψ j (z) = A j e ikj(z−dj) + B j e −ikj(z−dj) (5.32)<br />
√<br />
k z(Ē) j = 2m j )<br />
z<br />
(Ē − V j<br />
¯h 2 (Ē, k ρ)<br />
(5.33)<br />
und <strong>der</strong> effektiven Bulkmasse m j z im Bereich j.<br />
Da in <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung im Bulk (5.31) nur k 2 z-, jedoch keine<br />
k z -Terme vorkommen, ist a j = ¯h 2 /2m j z und b j = 0. So sind die Grenzbedingungen<br />
(5.6) und (5.7) mit Kürzen von ¯h 2 /2<br />
1<br />
m j z<br />
Ψ j (d j ) = Ψ j+1 (d j ) (5.34)<br />
d<br />
dz Ψ 1 d<br />
j(d j ) =<br />
m j+1<br />
z dz Ψ j+1(d j ) (5.35)<br />
und ausgeschrieben wie in (5.8) und (5.9) mit Kürzen von i<br />
k j z<br />
m j z<br />
A j + B j = A j+1 e ikj+1 z l j<br />
+ B j+1 e −ikj+1<br />
(A j − B j) = kj+1 z<br />
m j+1<br />
z<br />
z l j<br />
(5.36)<br />
)<br />
(A j+1 e ikj+1 z l j<br />
− B j+1 e −ikj+1 z l j<br />
Diese Gleichungen lassen sich in Matrizenform (5.39) schreiben<br />
(5.37)<br />
(5.38)<br />
M j<br />
⃗ Φ j = M j+1 P j+1<br />
⃗ Φ<br />
j+1<br />
(5.39)
68 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />
mit<br />
und<br />
P j =<br />
[<br />
M j =<br />
e −ikj z l j<br />
0<br />
0 e ikj z l j<br />
[<br />
1 1<br />
k j z<br />
m j z<br />
− kj z<br />
m j z<br />
Die Inverse von M j lässt sich einfach ausdrücken<br />
⎡<br />
M −1<br />
j = 1 ⎣ 1<br />
2<br />
m j z<br />
k j z<br />
1 − mj z<br />
k j z<br />
Die Übertragungsmatrix T j+1 vom Bereich j + 1 zu j ist<br />
]<br />
]<br />
⎤<br />
(5.40)<br />
(5.41)<br />
⎦ (5.42)<br />
T j+1 = M −1<br />
j M j+1 P j+1 (5.43)<br />
⎡ (<br />
)<br />
) ⎤<br />
= 1 1 + mj z k j+1<br />
e −ikj+1<br />
⎣ kz<br />
j m j+1<br />
z l j+1<br />
(1 − mj z k j+1<br />
e ikj+1<br />
z<br />
kz<br />
j m j+1 z l j+1<br />
(<br />
)<br />
z ) ⎦(5.44)<br />
2 1 − mj z k j+1<br />
e −ikj+1<br />
kz<br />
j m j+1<br />
z l j+1<br />
(1 + mj z k j+1<br />
e ikj+1<br />
z<br />
kz<br />
j m j+1 z l j+1<br />
z<br />
Die Übertragung vom Bereich j = 2 zum Bereich j = 0 wird durch das Produkt<br />
erreicht.<br />
( ) ( )<br />
A<br />
0<br />
A<br />
2<br />
B 0 = T 1 · T 2<br />
B 2 = 1 ( ) ( )<br />
Ua U b A<br />
2<br />
2 U c U d B 2 (5.45)<br />
Die Bedingung (5.16), daß die Wellenfunktion im Unendlichen 0 wird, hat zur<br />
Folge, daß A 0 = 0 und B 2 = 0 sein müssen. Das ist erfüllt, wenn U a = 0 wird<br />
(5.46). Diese Bedingung wird jedoch nur für diskrete Energien erfüllt.<br />
U a = 1 4<br />
= 1 4<br />
[ (<br />
1 + m0 z<br />
k 0 z<br />
[(<br />
1<br />
1 − m0 z<br />
4 kz<br />
[ 0 (<br />
1 + m0 z<br />
k 0 z<br />
kz<br />
1<br />
m 1 z<br />
kz<br />
1<br />
m 1 z<br />
kz<br />
1<br />
m 1 z<br />
)<br />
e −ik1 z L ][ (<br />
1 + m1 z<br />
k 1 z<br />
)<br />
e ik1 z L ] [(<br />
1 − m1 z<br />
)(<br />
1 + m1 z<br />
k 1 z<br />
kz<br />
2<br />
m 2 z<br />
k 1 z<br />
kz<br />
2<br />
m 2 z<br />
kz<br />
2<br />
m 2 z<br />
) ] +<br />
)]<br />
)<br />
e −ik1 z L +<br />
(<br />
1 − m0 z<br />
k 0 z<br />
kz<br />
1<br />
m 1 z<br />
)(<br />
1 − m1 z<br />
k 1 z<br />
kz<br />
2<br />
m 2 z<br />
)<br />
e ik1 z L ]<br />
= 0 (5.46)<br />
Mit <strong>der</strong> Annahme, daß die Bereiche j = 0 und j = 2 dasselbe Material haben<br />
und t(Ē) = 4U a ist, führt zu k 2 z = k 0 z und m 2 z = m 0 z und<br />
t(Ē) =<br />
(<br />
1 + m0 z<br />
k 0 z<br />
kz<br />
1<br />
m 1 z<br />
)(<br />
1 + m1 z<br />
k 1 z<br />
kz<br />
0<br />
m 0 z<br />
) (<br />
e −ik1 z L + 1 − m0 z<br />
kz<br />
0<br />
kz<br />
1<br />
m 1 z<br />
)(<br />
1 − m1 z<br />
k 1 z<br />
kz<br />
0<br />
m 0 z<br />
)<br />
e ik1 z L = 0<br />
(5.47)<br />
Die Nullstellen von t(Ē) werden ermittelt, indem die Orte <strong>der</strong> Singularitäten von<br />
log(|t(Ē)|) gesucht werden. log(|t(Ē)|) ist in <strong>der</strong> Abbildung 5.2 auf Seite *** (obere<br />
Kurve) für die schweren Löcher bei k ρ = 0 in einem 10nm breiten, unverspannten<br />
GaAs−Al 0,1 Ga 0,9 As- Quantum-Well dargestellt. Es ist m 0 z = m 0 ρ = m Al0,1Ga 0,9As =<br />
0, 3885m 0 , m 1 z = m 1 ρ = m GaAs = 0, 3774m 0 , V 0 = 0, 0562 eV und V 1 = 0. Man
5.3. BERECHNUNG DER ZWEIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 69<br />
Abbildung 5.2: (a) Die obere Kurve ist die Übertragungsfunktion (5.47) für<br />
die schweren Löcher bei k ρ = 0 in einem 10nm breiten, unverspannten<br />
GaAs − Al 0,1 Ga 0,9 As-Quantum-Well. Die Singularitäten<br />
sind die Eigenenergien. (b) Die untere Kurve ist die<br />
optimierte Übertragungsfunktion (5.48) für dieselbe Einbandschrödingergleichung.<br />
Zu den Eigenenergien ĒHH1 = 0, 0061 eV ,<br />
Ē HH2 = 0, 0238 eV und ĒHH3 = 0, 0493 eV kommt eine Singularität<br />
hinzu, die keine Lösung <strong>der</strong> Einbandschrödingergleichung<br />
ist.<br />
erkennt drei Singularitäten bei Ē HH1 = 0, 0061 eV (E HH1 = 0, 0501 eV ), Ē HH2 =<br />
0, 0238 eV (E HH2 = 0, 0324 eV ) und ĒHH3 = 0, 0493 eV (E HH3 = 0, 0069 eV ). Nur<br />
in dem Intervall V 1 = 0 < Ē < ∆Ēv = V 0 können Nullstellen vorkommen.<br />
Die Gleichung (5.47) kann man in eine einfachere umformen (5.48). Dabei tritt<br />
jedoch bei Ē = 0 eine Singularität auf, die keine Lösung ist (siehe untere Kurve im<br />
Diagramm 5.2).<br />
˜t(Ē) = eik1L − m0 zk 1 z + k 0 zm 1 z<br />
m 0 zk 1 z − k 0 zm 1 z<br />
= 0 (5.48)<br />
Zur Ermittlung <strong>der</strong> Wellenfunktion werden die A j und B j benötigt. O.E.d.A.<br />
wird A 2 = 1 gesetzt. Für das flache Potential (5.26) und gleiche Materialien für<br />
j = 0 und j = 2 ist U c = 1 , wie man leicht nachrechnen kann. Somit ist B 0 = 1. A 1<br />
und B 1 folgen durch Multiplikation mit T 3 . Zusammengefaßt sind die unnormierten<br />
Linearfaktoren<br />
⎡ ⎤<br />
[ ] 0 ⃗Φ 0 =<br />
1<br />
⃗Φ 1 = 1 2<br />
⎣ 1 + m1 z k0 z<br />
k 1 z m0 z<br />
1 − m1 z k0 z<br />
k 1 z m0 z<br />
[ ]<br />
⎦ Φ ⃗ 1 2 =<br />
0<br />
(5.49)<br />
Normiert werden sie durch Division durch die Wurzel des Integrals (5.23), also<br />
durch<br />
√ 2i<br />
kz<br />
0<br />
(<br />
+ i<br />
( ) (<br />
)<br />
2kz<br />
1 2 m1 zkz<br />
0<br />
kzm 1 0 + 1 − m1 zkz<br />
0<br />
z kzm 1 0 e −ik1 z L − 1 + m1 zkz<br />
)e 0<br />
z<br />
kzm ik1 1 0 z L<br />
z<br />
(5.50)<br />
5.3 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Zweibandschrödingergleichung<br />
Im Quantum-Well gibt es zwei Anwendungen für die Zweibandschrödingergleichung:<br />
1. die gekoppelte <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> <strong>der</strong> leichten und schweren Löcher mit<br />
dem blockdiagonalisierten 4×4-Hamiltonian (4.44) und
70 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />
2. am Γ-Punkt die Kalkulation <strong>der</strong> gekoppelten LH- und SO-Bän<strong>der</strong> mit dem<br />
blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian (4.52).<br />
5.3.1 Die Kopplung <strong>der</strong> HH- und LH-Bän<strong>der</strong><br />
Der blockdiagonaliserte Hamiltonian ist (4.44)<br />
⎡<br />
2×2 = P ± Q ± ζ<br />
⎢<br />
⎣<br />
˜R ∗<br />
H U|L<br />
˜R<br />
P ∓ Q ∓ ζ<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ + δE hy (5.51)<br />
In das Potential des Quantum-Wells im Flachbandfall (5.26) wird die hydrostatische<br />
Verspannung hineingenommen und es ist<br />
⎧<br />
⎨ V 0 = ∆E C/V + δEhy B (z) : z < 0<br />
V h (z) = V 1 = δEhy W ⎩<br />
(z) : 0 ≤ z ≤ L (5.52)<br />
V 2 = ∆E C/V δEhy B (z) : L < z<br />
Die zu lösende Schrödingergleichung ist (im <strong>Berechnung</strong>skoordinatensystem)<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
P ± Q ± ζ + V h (z)<br />
˜R ∗<br />
˜R<br />
P ∓ Q ∓ ζ + V h (z)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ Ψ n(z) = Ēn(kx, ky) Ψ n (z) (5.53)<br />
Für symmetrische Quantum-Wells sind die Ergebnisse von H U und H L gleich.<br />
Die Untersuchungen werden deshalb ab nun auf H U beschränkt.<br />
Die beiden Eigenenergien im homogenen Material sind<br />
√<br />
Ē HH/LH − V h = P ∓ (Q + ζ) 2 + ˜R ˜R ∗ (5.54)<br />
[<br />
= A(kρ 2 + kz) 2 ± B 2 (kρ 2 + kz) 2 2 + C 2 (kxk 2 y 2 + kyk 2 z 2 + kzk 2 x)<br />
2<br />
Dabei sind<br />
+Bζ(k 2 ρ − 2k 2 z) + ζ 2] 1/2<br />
A = ¯h2 γ 1<br />
2m 0<br />
(¯h 2 )<br />
γ 2<br />
B = 2<br />
2m 0<br />
( ¯h<br />
2<br />
)2<br />
C 2 = 12 (γ3 2 − γ<br />
2m<br />
2)<br />
2<br />
0<br />
(5.55)<br />
Daraus ergibt sich für k z<br />
{<br />
)<br />
k z(Ē) 2 = 1<br />
A 2 − B 2 A(Ē − V h) −<br />
(A 2 − B 2 − C2<br />
kρ 2 − Bζ<br />
2<br />
[B 2 (Ē − V h) 2 + AC 2 kρ(Ē 2 − V h) − C<br />
(A 2 2 − B 2 − C2<br />
±<br />
4<br />
] } 1/2<br />
−Bζ[2A(Ē − V h) − (3A 2 − 3B 2 − C 2 )kρ] 2 + A 2 ζ 2<br />
)<br />
k 4 ρ + C 2 (A 2 − B 2 )k 2 xk 2 y<br />
(5.56)
5.3. BERECHNUNG DER ZWEIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 71<br />
Das Plus in ”<br />
±“ ist für die schweren Löcher, das Minus für die leichten, wie man<br />
durch Setzen von k ρ = 0 im Vergleich mit den entkoppelten k z am Zonenzentrum<br />
überprüfen kann. Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> schweren und <strong>der</strong> leichten Löcher für<br />
H U sind:<br />
Ψ HH (⃗r) =<br />
Ψ LH (⃗r) =<br />
[ ]<br />
F1HH<br />
e<br />
F i⃗k⃗r =<br />
2HH<br />
[ ]<br />
F1LH<br />
e<br />
F i⃗k⃗r =<br />
2LH<br />
[ ]<br />
P − (Q + ζ) − Ē<br />
− ˜R ∗ e i⃗ k⃗r<br />
[<br />
]<br />
˜R ∗<br />
e i⃗ k⃗r<br />
Ē − P − (Q + ζ)<br />
(5.57)<br />
(5.58)<br />
So ist <strong>der</strong> Ansatz für die Wellenfunktionen analog zu (5.5)<br />
Ψ j (z) = A j HH<br />
+ B j HH<br />
[<br />
F<br />
j<br />
1HH<br />
F j 2HH<br />
[<br />
F<br />
j−<br />
1HH<br />
F j−<br />
2HH<br />
]<br />
]<br />
e ikj,HH z (z−d j) + A j LH<br />
e −ikj,HH z (z−d j ) + B j LH<br />
[<br />
F<br />
j<br />
1LH<br />
F j 2LH<br />
[<br />
F<br />
j−<br />
1LH<br />
F j−<br />
2LH<br />
]<br />
e ikj,LH z (z−d j)<br />
]<br />
e −ikj,LH z (z−d j )<br />
(5.59)<br />
Das Minus in F j−<br />
1/2 HH/LH ersetzt kj z durch −kz.<br />
j<br />
Die kz- 2 und k z -Terme in (5.51) sind<br />
mit<br />
a =<br />
[<br />
u 0<br />
0 w<br />
]<br />
b =<br />
[<br />
0 v<br />
−v 0<br />
]<br />
(5.60)<br />
u = ¯h2<br />
2m (γ 1 − 2γ 2 )<br />
So müssen an den Bereichsgrenzen<br />
v = √ 3 ¯h2<br />
2m γ 3k ρ<br />
w = ¯h2<br />
2m (γ 1 + 2γ 2 ) (5.61)<br />
⎡<br />
⎣ uj ∂ ∂z<br />
−v j<br />
v j<br />
w j ∂ ∂z<br />
Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.62)<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎦ Ψ j (z) = ⎣ uj+1 ∂ ∂z<br />
v j+1<br />
⎦ Ψ j+1 (z) (5.63)<br />
−v j+1<br />
w j+1 ∂ ∂z<br />
gelten. Die Grenzbedingungen können in Matrizen geschrieben werden<br />
⎡ ⎤<br />
⎡<br />
A j,HH<br />
A (j+1),HH ⎤<br />
M j<br />
⎢ A j,LH<br />
⎥<br />
⎣ B j,HH ⎦ = M j+1P j+1<br />
⎢ A (j+1),LH<br />
⎥<br />
⎣ B (j+1),HH ⎦ (5.64)<br />
B j,LH<br />
B (j+1),LH<br />
mit<br />
und<br />
⎡<br />
P j =<br />
⎢<br />
⎣<br />
e −ikj,HH z l j<br />
0 0 0<br />
0 e −ikj,LH z l j<br />
0 0<br />
0 0 e ikj,HH z l j<br />
0<br />
0 0 0 e ikj,LH<br />
z l j ⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
(5.65)
72 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />
⎡<br />
M j =<br />
⎢<br />
⎣<br />
F j 1HH<br />
F j 2HH<br />
F j 1LH<br />
F j 2LH<br />
(iu j k j,HH<br />
z F j 1HH + vj F j 2HH ) (iuj k j,LH<br />
z F j 1LH + vj F j 2LH )<br />
(−v j F j 1HH + iwj k j,HH<br />
z F j 2HH ) (−vj F j 1LH + iwj k j,LH<br />
z F j 2LH )<br />
F j−<br />
1HH<br />
F j−<br />
2HH<br />
(−iu j kz<br />
j,HH F j−<br />
1HH + vj F j−<br />
2HH )<br />
(−v j F j−<br />
1HH − iwj kz<br />
j,HH F j−<br />
2HH )<br />
F j−<br />
1LH<br />
F j−<br />
2LH<br />
(−iuj kz<br />
j,LH F j−<br />
1LH + vj F −j<br />
2LH )<br />
(−vj F j−<br />
1LH − iwj kz<br />
j,LH<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2LH )<br />
F −j<br />
(5.66)<br />
Die Gesamtübertragungsmatrix U, die<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
0<br />
⎢ B<br />
⎣<br />
HH<br />
0 = U<br />
⎥<br />
⎦<br />
B 0 LH<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
A 2 HH<br />
A 2 LH<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(5.67)<br />
erfüllt, kann nicht mehr so einfach hingeschrieben werden.<br />
U = (M0 −1 1P 1 )(M1 −1 2P 2 )<br />
=<br />
[ ]<br />
Ua U b<br />
U c U d<br />
Ē wird die Über-<br />
U a , U b , U c und U d sind 2×2-Matrizen. Bei den Eigenenergien<br />
tragungsfunktion<br />
(5.68)<br />
Für die Linearfaktoren A 2 HH und A2 LH gilt<br />
U a<br />
[ A<br />
2<br />
HH<br />
A 2 LH<br />
]<br />
=<br />
t(Ē) = det U a = 0 (5.69)<br />
U 21 U 22 A 2 LH<br />
[<br />
U11 U 12<br />
] [ A<br />
2<br />
HH<br />
]<br />
=<br />
[ 0<br />
0<br />
]<br />
(5.70)<br />
Da U a bei den numerisch ermittelten Energieeigenwerten keine exakt singuläre<br />
Matrix wird, wird A 2 HH = 1 und A2 LH auf den Mittelwert <strong>der</strong> beiden Lösungen des<br />
überbestimmten Gleichungssystems gesetzt.<br />
(<br />
A 2 HH = 1 A2 LH = −1 U11<br />
+ U )<br />
21<br />
(5.71)<br />
2 U 12 U 22<br />
Je genauer die Lösungen von (5.69) bestimmt wurden, desto genauer sind A 2 HH<br />
und A 2 LH . Die an<strong>der</strong>en Linearfaktoren werden durch Multiplikation mit T 3 bzw.<br />
U c bestimmt. Schlußendlich werden die Wellenfunktionen durch Integration über z<br />
normiert.
5.3. BERECHNUNG DER ZWEIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 73<br />
5.3.2 HH- und LH-Bän<strong>der</strong> in axialer Näherung<br />
Einen radialsymmetrischen Hamiltonian erhält man mit <strong>der</strong> axialen Approximation<br />
(siehe Abschnitt 4.4.2). ˜R än<strong>der</strong>t sich zu (4.49). Dadurch werden die beiden<br />
Eigenenergien im homogenen Material<br />
√<br />
Ē HH/LH − V h = P ∓ (Q + ζ) 2 + ˜R ˜R ∗ (5.72)<br />
√<br />
= A(kρ 2 + kz) 2 ± B 2 kz 4 + 2D 2 kρk 2 z 2 + C 2 kρ 4 + Bζ(kρ 2 − 2kz) 2 + ζ 2<br />
Es sind hier<br />
Für k z ergibt sich<br />
A = ¯h2 γ 1<br />
C 2 = 1 ¯h 2 (<br />
)<br />
7γ2 2 + 6γ 2 γ 3 + 3γ3<br />
2 2m 0 4 2m 0<br />
(¯h 2 )<br />
γ<br />
( ) (5.73)<br />
2<br />
B = 2<br />
D 2 = 2 ¯h2 3γ3 2 − γ2<br />
2 2m 0 2m 0<br />
{<br />
k z(Ē) 2 = 1<br />
A 2 − B 2 A(Ē − V h) − ( A 2 − D 2) [<br />
kρ 2 − Bζ ± B 2 (Ē − V h) 2<br />
+2A(D 2 − B 2 )kρ(Ē 2 − V h) − ( D 4 − C 2 B 2 + A 2 (B 2 + C 2 − 2D 2 ) ) kρ<br />
4<br />
}<br />
−Bζ[2A(Ē − V h) − (3A 2 − B 2 − 2D 2 )kρ] 2 + A 2 ζ 2] 1/2<br />
(5.74)<br />
5.3.3 Koppelung <strong>der</strong> LH- und SO-Bän<strong>der</strong> bei k ρ = 0<br />
Betrachtet man den blockdiagonalisierten 6×6-Hamiltonian <strong>der</strong> HH-, LH- und SO-<br />
Bän<strong>der</strong> (4.52), entkoppelt das Band <strong>der</strong> schweren Löcher am Zonenzentrum von<br />
den LH- und SO-Bän<strong>der</strong>n, wie Gleichung (4.53) zeigt. Die LH- und SO-Bän<strong>der</strong><br />
bleiben gekoppelt und werden in einer Zweibandschrödingergleichung gelöst, dessen<br />
Hamiltonianmatrix folgende ist:<br />
H U/L =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
√<br />
P − Q − ζ 2(Q + ζ)<br />
√<br />
⎥<br />
⎦ + δE hy (5.75)<br />
2(Q + ζ) P + ∆<br />
Das anliegende Potential sei (5.52). So sind die Eigenenergien im homogenen<br />
Material<br />
E − V h = P − Q 2 + ∆ − ζ<br />
2<br />
mit<br />
= (A + B)k 2 z + ∆ − ζ<br />
2<br />
± 1 √<br />
(<br />
9 Q + ζ<br />
2<br />
√<br />
± 1 2<br />
) 2 ( )<br />
+ 2∆Q + ∆ ∆ + 2ζ<br />
36B 2 k 4 z − 4B<br />
(5.76)<br />
( )<br />
9ζ + ∆ kz 2 + 9ζ 2 + 2ζ∆ + ∆ 2<br />
Mögliche Eigenfunktionen sind<br />
A = ¯h2 γ 1<br />
2m 0<br />
B = ¯h2 γ 2<br />
2m 0<br />
(5.77)
74 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />
Ψ LH (⃗r) =<br />
Ψ SO (⃗r) =<br />
[<br />
F1LH<br />
]<br />
e<br />
F i⃗k⃗r =<br />
2LH<br />
[ ]<br />
F1SO<br />
e<br />
F i⃗k⃗r =<br />
2SO<br />
[ √ ]<br />
2(Q + ζ)<br />
e i⃗ k⃗r<br />
Ē − P + Q + ζ<br />
[ ] Ē<br />
√ − P − ∆<br />
e i⃗ k⃗r<br />
2(Q + ζ)<br />
(5.78)<br />
(5.79)<br />
mit den Wellenvektoren in z-Richtung<br />
{<br />
k z(Ē) 2 = 1<br />
(A + B)(Ē (A + 4B)(A − 2B)<br />
− V h) − (A + 2B) ∆ 2 + (A − 8B)ζ 2<br />
± 1 [<br />
36B 2 (Ē 2<br />
− V h) 2 − 4B(10B∆ + 9Aζ + A∆)(Ē − V h)9A 2 ζ 2<br />
] } 1/2<br />
+(A + 2B) 2 ∆ 2 + 2A(A + 10B)∆ζ<br />
(5.80)<br />
Das Plus in ”<br />
±“ ist für die leichten Löcher, das Minus für das Spinorbitalband.<br />
Die Wellenfunktionen werden analog zu (5.5) mit<br />
Ψ j (z) = A j LH<br />
+ B j LH<br />
[<br />
F<br />
j<br />
1LH<br />
F j 2LH<br />
[<br />
F<br />
j−<br />
1LH<br />
F j−<br />
2LH<br />
]<br />
]<br />
e ikj,LH z (z−d j ) + A j SO<br />
e −ikj,LH z (z−d j) + B j SO<br />
[<br />
F<br />
j<br />
1SO<br />
F j 2SO<br />
[<br />
F<br />
j−<br />
1SO<br />
F j−<br />
2SO<br />
]<br />
e ikj,SO z (z−d j )<br />
]<br />
e −ikj,SO z (z−d j) (5.81)<br />
angesetzt. Das Minus in F j−<br />
1/2 LH/SO ersetzt kj z durch −k j z.<br />
Die k 2 z- und k z -Terme in (5.75) sind<br />
mit<br />
[ ]<br />
u v<br />
a =<br />
v w<br />
b =<br />
[<br />
0 0<br />
0 0<br />
]<br />
(5.82)<br />
u = ¯h2<br />
2m (γ 1 + 2γ 2 )<br />
Die Grenzbedingungen sind<br />
v = −2 √ 2 ¯h2<br />
2m γ 2<br />
w = ¯h2<br />
2m γ 1 (5.83)<br />
Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.84)<br />
[ u<br />
j<br />
v j ]<br />
[<br />
∂<br />
u<br />
j+1<br />
v j+1 ]<br />
∂<br />
v j w j ∂z Ψj (z) =<br />
v j+1 w j+1 ∂z Ψj+1 (z) (5.85)<br />
In <strong>der</strong> Matrixschreibweise <strong>der</strong> Grenzbedingungen (5.13) ist P j (5.65) und M j ist<br />
⎡<br />
M j =<br />
⎢<br />
⎣<br />
F j 1LH<br />
F j 2LH<br />
F j 1SO<br />
F j 2SO<br />
ik j,LH<br />
z (u j F j 1LH + vj F j 2LH ) ikj,SO z (u j F j 1SO + vj F j 2SO )<br />
ik j,LH<br />
z (v j F j 1LH + wj F j 2LH ) ikj,SO<br />
z<br />
(v j F j 1SO + wj k j,SO<br />
z F j 2SO )
5.4. BERECHNUNG DER DREIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 75<br />
F j−<br />
1LH<br />
F j−<br />
2LH<br />
−ikz<br />
j,LH (u j F j−<br />
1LH + vj F j−<br />
2LH )<br />
−ikz<br />
j,LH (v j F j−<br />
1LH + wj F j−<br />
2LH )<br />
F j−<br />
1SO<br />
F j−<br />
2SO<br />
−ikj,SO z (u j F j−<br />
1SO + vj F −j<br />
2SO )<br />
−ikj,SO z (v j F j−<br />
1SO + wj F −j<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2SO )<br />
(5.86)<br />
Die Gesamtübertragungsmatrix, die Eigenenergien und die Wellenfunktionen<br />
werden nun wie in Abschnitt 5.3.1 ermittelt.<br />
5.4 <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Dreibandschrödingergleichung<br />
Die Dreibandschrödingergleichung im Quantum-Well erhält man durch Blockdiagonalisierung<br />
des Luttinger-Kohn-6×6-Hamiltonian (siehe 4.5). Sie beschreibt die<br />
Zustände <strong>der</strong> schweren, leichten und Spinorbitallöcher im reziproken Raum.<br />
H U =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
√ √<br />
P + Q + ζ<br />
˜R<br />
2|R| + i 2<br />
2 |S|<br />
⎤<br />
√<br />
˜R †<br />
√<br />
P − Q − ζ 2(Q + ζ) + i 6<br />
√ 2 |S| ⎥<br />
⎦ + δE hy<br />
√<br />
2|R| − i<br />
2<br />
2 |S| √ √<br />
2(Q + ζ) − i<br />
6<br />
2 |S| P + ∆ (5.87)<br />
Es sind<br />
}<br />
˜R<br />
˜R † = |R| ∓ i|S| =<br />
√<br />
2|R| ± i<br />
√<br />
2<br />
( ¯h<br />
2<br />
) √3 √<br />
γ2 2 2m (k2 x − ky) 2 2 + 4γ3 2k2 xky 2 ∓ i2 √ ( ¯h<br />
2<br />
)<br />
3 γ 3 k ρ k z<br />
0 2m 0<br />
2 |S| = ( ¯h<br />
2<br />
2m 0<br />
) √6 √<br />
γ2 2(k2 x − ky) 2 2 + 4γ3 2k2 xky 2 ± i √ ( ¯h<br />
2<br />
6<br />
√<br />
2(Q + ζ) ± i<br />
√<br />
6<br />
2 |S| = ( ¯h<br />
2<br />
2m 0<br />
) √2γ2<br />
(k 2 ρ − 2k 2 z) + √ 2ζ ± i3 √ 2<br />
2m 0<br />
)<br />
γ 3 k ρ k z<br />
( ¯h<br />
2<br />
2m 0<br />
)<br />
γ 3 k ρ k z<br />
(5.88)<br />
Die hydrostatische Komponente <strong>der</strong> Verspannung wird im Potential V h (z) integriert<br />
und die Eigenenergien Ē(⃗ k) = E + V h + P im homogenen Material sind die<br />
Lösungen dieser Gleichung<br />
(<br />
E 3 − ∆E 2 − 3<br />
(<br />
− 3<br />
Q 2 + |R| 2 + |S| 2) E + 2Q 3 + ∆Q 2<br />
2|R| 2 − |S| 2) Q +<br />
(<br />
|R| 2 + |S| 2) ∆ − 3 √ 2|R||S| 2 = 0 (5.89)<br />
Die Lösungen sind genau wie die Auflösung nach k z nicht mehr überschaubar.<br />
Für k z ergibt sich folgende Gleichung<br />
ak 6 z + b(Ē − V h, k ρ )k 4 z + c(k ρ , k x k y )k 3 z (5.90)<br />
+ d(Ē − V h, k ρ , k x k y )k 2 z + e(k ρ , k x k y )kz + f(Ē − V h, k ρ , k x k y ) = 0<br />
Die Parameter a . . . f sind im Anhang 9 aufgelistet. Die k 3 z- und k z -Terme verursachen<br />
eine vernachlässigbare Nichtparabolizität. Nach Streichen dieser Terme
76 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />
entsteht eine bikubische Gleichung, die drei Lösungen für k 2 z besitzt. Diese können<br />
numerisch für eine konkrete Stützstelle (Ē, k x, k y ) bestimmt werden.<br />
Die Wellenfunktionen im homogenen Medium sind<br />
Ψ HH (⃗r) =<br />
Ψ LH (⃗r) =<br />
Ψ SO (⃗r) =<br />
⎡<br />
⎣ F 1HH<br />
F 2HH<br />
F 3HH<br />
⎡<br />
⎣ F 1LH<br />
F 2LH<br />
F 3LH<br />
⎡<br />
⎣ F 1SO<br />
F 2SO<br />
F 3SO<br />
⎤<br />
⎦ e i⃗ k⃗r =<br />
⎤<br />
⎦ e i⃗ k⃗r =<br />
⎤<br />
⎦ e i⃗ k⃗r =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
˜R(|R| + i 1 2 |S|)<br />
(Ē − Vh − P − (Q + ζ))(|R| + i 1 2 |S| )<br />
√<br />
2 ˜R<br />
(<br />
)<br />
2<br />
P + Q + ζ − (Ē − V h)<br />
(Ē − Vh − P + Q + ζ)(<br />
Q + ζ + i √ )<br />
3<br />
2 |S|<br />
˜R<br />
(Q † + ζ + i √ )<br />
3<br />
2 |S|<br />
⎢<br />
⎣ √<br />
2 ˜R<br />
(<br />
)<br />
2<br />
P − (Q + ζ) − (Ē − V h)<br />
⎡ (Ē − Vh − P − ∆)(<br />
Q + ζ − i √ ) ⎤<br />
3<br />
(<br />
2 |S| )<br />
⎢ P + ∆ − (Ē ⎣<br />
− V h)<br />
)(|R| − i 1 2<br />
√ |S| ⎥<br />
)(<br />
2<br />
(|R| − i 1 2 |S| Q + ζ − i √ )<br />
3<br />
2 |S|<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ ei⃗ k⃗r<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ ei⃗ k⃗r<br />
⎦ ei⃗ k⃗r<br />
(5.91)<br />
Die Wellenfunktionen im Quantum-Well werden als Linearkombinationen <strong>der</strong><br />
Bulk-Wellenfunktionen analog zu (5.5) angesetzt<br />
⎡<br />
Ψ j (z) = A j ⎣<br />
HH<br />
F j 1HH<br />
F j 2HH<br />
⎤<br />
⎦ e ikj,HH z (z−d j ) + A j LH<br />
⎡<br />
⎣<br />
F j 1LH<br />
F j 2LH<br />
⎤<br />
⎦ e ikj,LH z (z−d j )<br />
⎡<br />
+ A j ⎣<br />
SO<br />
⎡<br />
+ B j ⎣<br />
LH<br />
F j 3HH<br />
F j 1SO<br />
F j 2SO<br />
F j 3SO<br />
F j−<br />
1LH<br />
F j−<br />
2LH<br />
F j−<br />
3LH<br />
⎤<br />
⎦ e ikj,SO z (z−d j ) + B j HH<br />
⎤<br />
⎦ e −ikj,LH z<br />
⎡<br />
⎣<br />
(z−d j ) + B j ⎣<br />
SO<br />
F j 3LH<br />
F j−<br />
1HH<br />
F j−<br />
2HH<br />
F j−<br />
⎡<br />
3HH<br />
F j−<br />
1SO<br />
F j−<br />
2SO<br />
F j−<br />
3SO<br />
⎤<br />
⎦ e −ikj,HH z (z−d j ) (5.92)<br />
⎤<br />
⎦ e −ikj,SO z (z−d j )<br />
(5.93)<br />
mit<br />
Die k 2 z- und k z -Terme in (5.87) sind<br />
a =<br />
⎡<br />
⎣ u 0 0<br />
0 w x<br />
0 x y<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ b = ⎣<br />
√<br />
0 −2v<br />
√ 2v<br />
2v 0 6v<br />
− √ 2v − √ 6v 0<br />
⎤<br />
⎦ (5.94)<br />
u = ¯h2<br />
2m (γ 1 − 2γ 2 )<br />
x = −2 √ 2 ¯h2<br />
2m γ 2<br />
v = √ 3 ¯h2<br />
2m γ 3k ρ<br />
y = ¯h2<br />
2m γ 1<br />
An den Bereichsgrenzen des Quantum-Wells müssen<br />
w = ¯h2<br />
2m (γ 1 + 2γ 2 )<br />
(5.95)<br />
Ψ j (z) = Ψ j+1 (z) (5.96)
5.4. BERECHNUNG DER DREIBANDSCHRÖDINGERGLEICHUNG 77<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
u j ∂ ∂z<br />
−v j √<br />
2<br />
2 vj<br />
v j w j ∂ ∂z<br />
x j ∂ ∂z + √ 6<br />
2 vj<br />
− √ 2<br />
2 vj x j ∂ ∂z − √ 6<br />
2 vj y j ∂ ∂z<br />
u j+1 ∂ ∂z<br />
−v j+1 √<br />
2<br />
2 vj+1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ Ψj (z) =<br />
v j+1 w j+1 ∂ ∂z<br />
x j+1 ∂ ∂z + √ 6<br />
2 vj+1<br />
− √ 2<br />
2 vj+1 x j+1 ∂ ∂z − √ 6<br />
2 vj+1 y j+1 ∂ ∂z<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ Ψj+1 (z) (5.97)<br />
gelten. Die Bedingungen werden in <strong>der</strong> Matrixform (5.13) geschrieben. P j wird<br />
synchron zu (5.65) gebildet und die erste Spalte von M j ist<br />
⎡<br />
M j =<br />
⎢<br />
⎣<br />
F j 1HH<br />
F j 2HH<br />
F j 3HH<br />
(<br />
ikz j,HH u j F j 1HH − v j F j 2HH − √ 2<br />
) (<br />
v j (F j 1HH + √ 6<br />
2 F j 3HH<br />
− √ 2<br />
2 vj (F j 1HH + √ 3F j 2HH<br />
+ ikz<br />
j,HH<br />
)<br />
+ ik j,HH<br />
z<br />
2 F j 3HH<br />
)<br />
)<br />
w j F j 2HH + xj F j 3HH<br />
(<br />
x j F j 2HH + yj F j 3HH<br />
)<br />
⎤<br />
. . .<br />
⎥<br />
⎦<br />
(5.98)<br />
In gewohnter Weise werden die Übertragungsmatrizen in Abhängigkeit von Ē<br />
gebildet. Für die Eigenenergien ist det U a = 0 (nahezu) erfüllt und somit<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
A 2 HH U 11 U 12 U 13 A 2 HH 0<br />
U a ⎢ A 2 LH ⎥<br />
⎣ ⎦ = ⎢ U 21 U 22 U 23 ⎥ ⎢ A 2 LH ⎥<br />
⎣<br />
⎦ ⎣ ⎦ = ⎢ 0 ⎥ (5.99)<br />
⎣ ⎦<br />
U 31 U 32 U 33 0<br />
A 2 SO<br />
A 2 SO<br />
Die numerische Ungenauigkeit wird durch die Gauß’sche Methode <strong>der</strong> kleinsten<br />
Fehlerquadrate ausgeglichen. Setzen von A 2 HH = 1 führt zu<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎡ ⎤<br />
[ A<br />
2<br />
] U 12 U 13 [<br />
LH<br />
A<br />
2<br />
] −U 11<br />
LH<br />
U = ⎢ U 22 U 23 ⎥ = ⎢ −U 21 ⎥ (5.100)<br />
A 2 ⎣<br />
⎦<br />
SO<br />
A 2 ⎣ ⎦<br />
SO<br />
U 32 U 33<br />
Durch eine QR-Zerlegung von U folgt<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎡<br />
R 12 R 13 [ A<br />
2<br />
]<br />
LH<br />
⎢ 0 R 23 ⎥ = ⎢<br />
⎣<br />
⎦ A 2 ⎣<br />
SO<br />
0 0<br />
und<br />
A 2 SO = R (<br />
13 U12<br />
− U )<br />
11<br />
R 12 R 23 R 12<br />
−U 11<br />
−U 21<br />
−U 31<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
−U 31<br />
(5.101)<br />
A 2 LH = − U 21<br />
R 23<br />
(5.102)
78 KAPITEL 5. BERECHNUNG DER BANDSTRUKTUR IM QW<br />
Die Linearfaktoren <strong>der</strong> Bereiche j = 0 und j = 1 werden durch Multiplikation<br />
mit T 3 bzw. U c ermittelt. Die Wellenfunktionen erhält man durch die Normierung<br />
(5.23).<br />
Da die leichten Löcher und das Spinorbitalband bei k ρ = 0 nicht entkoppeln, muß<br />
man die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong> betrachten, um sie zuordnen zu können.<br />
Besitzt die Wellenfunktion bei k ρ = 0 nur die zweite Komponente, d.h. die an<strong>der</strong>en<br />
beiden verschwinden, ist dies ein Subband <strong>der</strong> leichten Löcher. Äquivalent haben<br />
schwere Löchersubbän<strong>der</strong> am Zonenzentrum nur die erste und SO-Subbän<strong>der</strong> nur<br />
die dritte Komponente.
Kapitel 6<br />
Ergebnisse <strong>der</strong><br />
Bandstrukturberechnungen<br />
6.1 Die Bandstrukturmodelle<br />
An vier Strukturen wurde <strong>der</strong> Einfluß des <strong>Berechnung</strong>smodelles untersucht. Die<br />
QW-Strukturen sind<br />
(A) ein Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Well mit 68 Å (24 Monolagen),<br />
(B) ein Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Well mit 113 Å (40 Monolagen),<br />
(C) ein Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Well mit 68 Å (24 Monolagen),<br />
(D) ein Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Well mit 113 Å (40 Monolagen)<br />
Die beiden Materialsysteme (A,B) und (C,D) unterscheiden sich markant. GaAs<br />
und Al 0,2 Ga 0,8 As besitzen ähnliche Bandlücken, Gitterkonstanten (leichte Zugverspannung)<br />
und Luttingerparameter. Dagegen hat In 0,2 Ga 0,8 As eine erheblich kleinere<br />
Bandlücke als Al 0,2 Ga 0,8 As, eine größere Gitterkonstante (starke Zugverspannung)<br />
und höhere Luttingerparameter. Mit den Quantum-Well-Breiten wurde eine<br />
relativ kleine und eine relativ große gewählt.<br />
Im Folgenden werden die Ergebnisse für die Löchersubbän<strong>der</strong> und die Elektronensubbän<strong>der</strong><br />
vorgestellt. Vom weitgehensten Modell wird schrittweise jedes<br />
Modell anhand <strong>der</strong> Subbanddispersionen, <strong>der</strong> Zustandsdichten und <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten<br />
mit dem nächst komplexeren verglichen.<br />
Für Valenzbän<strong>der</strong> konnten mit den in <strong>der</strong> Arbeit vorgestellten Lösungsalgorithmen<br />
die Eigenenergien (und Wellenfunktionen) <strong>der</strong> Einbandschrödinger- und <strong>der</strong><br />
Zweibandschrödingergleichung berechnet werden. Zum Vergleich mit dem Modell<br />
mit drei gekoppelten Valenzbän<strong>der</strong>n konnte ein Programm von Dipl.-Ing. Andrei<br />
Herasimovich (BSPA Minsk, Weißrußland) genutzt werden, das die Finiten Differenzen-Methode<br />
anwendet. Zu beachten ist, daß alle Modelle dieselbe Nullpunktsenergie<br />
für die schweren Löcher liefern. Für die leichten Löcher erhalten die Einbandund<br />
die Zweibandschrödingergleichung die gleiche Energie am Γ-Punkt. Die Bän<strong>der</strong><br />
wurden in axialer Approximation berechnet.<br />
Für das Leitungsband wurden das parabolische und das nichtparabolische Modell<br />
miteinan<strong>der</strong> verglichen.<br />
6.1.1 Löcher: Vernachlässigung des SO-Bandes<br />
In den Abbildungen 6.1, 6.4, 6.7 und 6.10 sind für die Materialsysteme (A)-(D) die<br />
Dispersionskurven dargestellt, die mit dem 6×6-Hamiltonian (grüne Kurven), dem<br />
79
80 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
0.1<br />
0.09<br />
ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
0.08<br />
0.07<br />
E in eV<br />
0.06<br />
0.05<br />
0.04<br />
0.03<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.1: Energiedispersion <strong>der</strong> Löcher eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–<br />
Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å.<br />
1.8<br />
2 x 1021<br />
Ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1<br />
E in eV<br />
Abbildung 6.2: Löcherzustandsdichte eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells<br />
<strong>der</strong> Breite 68 Å.<br />
4×4-Hamiltonian (blaue Kurven) und dem ungekoppelten Modell (rote Kurven) mit<br />
Berücksichtigung <strong>der</strong> Verspannung berechnet wurden.<br />
In den Abbildungen 6.2, 6.5, 6.8 und 6.11 sind die Zustandsdichten <strong>der</strong> Materialsysteme<br />
(A) bis (D) dargestellt. In den Abbildungen 6.3, 6.6, 6.9 und 6.12 sieht<br />
man die Löcherdichten bei Raumtemperatur.<br />
Die Nullpunktsenergie <strong>der</strong> leichten Löcher bei Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Materialsystemen<br />
erhält man bei Vernachlässigung des SO-Bandes mit 0,5 meV bis 10 meV<br />
zu gering. Die durch die beiden Lösungsmethoden – analytische Lösung und Finite<br />
Differenzen- Methode – erhaltenen Nullpunktsenergien <strong>der</strong> schweren Löcher liegen<br />
innerhalb <strong>der</strong> Rechengenauigkeit. Die Form <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> sind ähnlich, die Abweichungen<br />
<strong>der</strong> Energien nehmen bei den unteren Subbän<strong>der</strong>n zu.<br />
Bei Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Materialsystemen werden die Energien am Zo-
6.1. DIE BANDSTRUKTURMODELLE 81<br />
10 20 Ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
E Fv<br />
in eV<br />
Löcherladungsdichte p in cm −3<br />
10 19<br />
10 18<br />
10 17<br />
10 16<br />
−0.2 −0.1 0 0.1<br />
Abbildung 6.3: Löcherdichten eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells <strong>der</strong><br />
Breite 68 Åbei 300 K.<br />
0.12<br />
ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
0.1<br />
0.08<br />
E in eV<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.4: Energiedispersion <strong>der</strong> Löcher eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–<br />
Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 113 Å.<br />
nenzentrum bei Vernachlässigung des SO-Bandes mit 1 meV bis 16 meV zu gering<br />
berechnet. Die Form <strong>der</strong> Bän<strong>der</strong> sind weniger ähnlich, als das bei (A) und (B) war.<br />
6.1.2 Löcher: Vernachlässigung <strong>der</strong> HH-LH-Kopplung<br />
Die Ergebnisse <strong>der</strong> Bandstrukturberechnungen mit Kopplung <strong>der</strong> schweren und<br />
leichten Löcher (blaue Kurven) und ohne diese Kopplung (rote Kurven) (siehe Abbildungen<br />
6.1, 6.4, 6.7 und 6.10) wird im folgenden diskutiert.<br />
Die Nullpunktsenergien stimmen überein, da <strong>der</strong> 4×4-Hamiltonian am Γ-Punkt<br />
entkoppelt. Die Parabeln <strong>der</strong> ungekoppelten Modelle weichen so stark von den Kurven<br />
des gekoppelten Modelles ab, daß Zustandsdichte und Ladungsträgerdichten<br />
(siehe Abbildungen 6.2, 6.5, 6.8 und 6.11 sowie 6.3, 6.6, 6.9 und 6.12) – vor al-
82 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
1.8<br />
2 x 1021<br />
Ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1<br />
E in eV<br />
Abbildung 6.5: Löcherzustandsdichte eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells<br />
<strong>der</strong> Breite 113 Å.<br />
10 20 Ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
E Fv<br />
in eV<br />
Löcherladungsdichte p in cm −3<br />
10 19<br />
10 18<br />
10 17<br />
10 16<br />
−0.2 −0.1 0 0.1<br />
Abbildung 6.6: Löcherdichten eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells <strong>der</strong><br />
Breite 113 Åbei 300 K.<br />
lem bei den Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells – stark kleiner erhalten werden.<br />
Die HH-LH-Kopplung sollte deshalb für beide Materialsysteme nicht vernachlässigt<br />
werden.<br />
Dies stimmt ebenso für unverspannt berechnete Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />
Quantengräben. Bei Verspannung än<strong>der</strong>t sich die Form <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong>. Nur in den<br />
oberen 5 meV stimmen die Modelle überein. Eine <strong>Berechnung</strong> mit Kopplung ist<br />
angebracht.<br />
6.1.3 Löcher: Verwendung effektiver Bulkmassen<br />
Für alle Materialsysteme liegen die effektiven Massen <strong>der</strong> ungekoppelt berechneten<br />
Löchersubbän<strong>der</strong> sehr nah bei den effektiven Massen des homogenen QW-Materials.
6.1. DIE BANDSTRUKTURMODELLE 83<br />
0.2<br />
ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
E in eV<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.7: Energiedispersion <strong>der</strong> Löcher eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />
Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å.<br />
3.5<br />
4 x 1021<br />
Ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2<br />
E in eV<br />
Abbildung 6.8: Löcherzustandsdichte eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />
Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å.<br />
Die Abweichungen betragen bis zu 3 % bei den Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells<br />
und bis zu 12 % bei den Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga0, 8As–Quantum-Wells.<br />
6.1.4 Elektronen: parabolische und nichtparabolische <strong>Berechnung</strong><br />
Für die <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Subbandenergien wurden zwei Modelle getestet. Das parabolische<br />
Modell nimmt das Leitungsband als ungekoppelt an. Das nichtparabolische<br />
Modell erhält man aus einem 2×2-Kane-Hamiltonian mit Kopplung mit dem Band<br />
<strong>der</strong> leichten Löcher (siehe Abschnitt 4.6). Für die Materialsysteme (A) bis (D) sind<br />
die Leitungssubbandstrukturen in den Abbildungen 6.13 bis 6.15 dargestellt.
84 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
Ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
Löcherladungsdichte p in cm −3<br />
10 21<br />
10 20<br />
10 19<br />
10 18<br />
10 17<br />
E Fv<br />
in eV<br />
10 16<br />
−0.2 −0.1 0 0.1<br />
Abbildung 6.9: Löcherdichten eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Wells<br />
<strong>der</strong> Breite 68 åbei 300 K.<br />
0.2<br />
ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
E in eV<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.10: Energiedispersion <strong>der</strong> Löcher eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–<br />
Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 113 Å.<br />
Die Nullpunktsenergien des ersten Elektronensubbandes liegen bei parabolischer<br />
<strong>Berechnung</strong> 0,7 meV bei (A) und 0,4 meV bei (B) höher als bei nichtparabolischer<br />
<strong>Berechnung</strong> (mit und ohne Berücksichtigung <strong>der</strong> Verspannung). Das zweite Subband<br />
liegt dagegen 7,5 meV bei (A) und 2,5 meV bei (B) tiefer (mit Verspannung 7,2<br />
meV bei (A)). Der Abstand beim dritten Subband bei (B) beträgt schon 10,1 meV.<br />
Im unverspannten Fall sind die Unterschiede <strong>der</strong> Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga0, 8As-<br />
Quantum-Well-Energien, die durch die beiden Modelle erhalten wurden, ähnlich.<br />
Für (C) sind sie 1,6 meV und 17,0 meV, für (D) 0,8 meV, 4,1 meV und 26,3<br />
meV. Rechnet man mit Verspannung, unterscheiden sich die Modelle stärker. Das<br />
1. Elektronensubband wird in ungekoppelter Betrachtung 22,2 meV bei (C) und<br />
32,6 meV bei (D) zu gering berechnet. Die Abstände <strong>der</strong> CB2 sind deutlich höher.<br />
Die Lage <strong>der</strong> Energien bestimmt die Wellenlänge des bei <strong>der</strong> Rekombination
6.1. DIE BANDSTRUKTURMODELLE 85<br />
4.5<br />
5 x 1021<br />
Ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
4<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2<br />
E in eV<br />
Abbildung 6.11: Löcherzustandsdichte eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-<br />
Wells <strong>der</strong> Breite 113 Å.<br />
Ungekoppelt<br />
4x4−Hamiltonian ohne SO−Band<br />
6x6−Hamiltonian mit SO−Band<br />
Löcherladungsdichte p in cm −3<br />
10 21<br />
10 20<br />
10 19<br />
10 18<br />
10 17<br />
E Fv<br />
in eV<br />
10 16<br />
−0.2 −0.1 0 0.1<br />
Abbildung 6.12: Löcherdichten eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells <strong>der</strong><br />
Breite 113 Åbei 300 K.<br />
mit einem Loch erzeugten Photons. Der Unterschied von weniger als 1 meV bei (A)<br />
und (B) bewirkt einen Fehler in <strong>der</strong> Wellenlänge, <strong>der</strong> kleiner als 0,4 nm ist. Die<br />
Wellenlängen <strong>der</strong> in <strong>der</strong> Rekombination mit CB1 <strong>der</strong> unverspannten Al 0,2 Ga 0,8 As-<br />
In 0,2 Ga0, 8As-Quantum-Wells erhaltenen Photonen werden bis zu 1,2 nm zu hoch<br />
berechnet. Berücksichtigt man die Verspannung, beträgt <strong>der</strong> Unterschied 17 bis 22<br />
nm.<br />
6.1.5 Elektronen: Verwendung effektiver Bulkmassen<br />
Im Gegensatz zu den Löchern unterscheiden sich die effektiven Massen <strong>der</strong> Elektronen<br />
im Quantum-Well bei ungekoppelter <strong>Berechnung</strong> von den effektiven Massen des<br />
homogenen QW-Materials um mehr als 1 % (siehe Tabelle 6.1). Bei parabolischer
86 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
1.74<br />
1.72<br />
1.7<br />
1.68<br />
E in eV<br />
1.66<br />
1.64<br />
1.62<br />
1.6<br />
1.58<br />
(a)<br />
1.56<br />
Nichtparabolisch<br />
Parabolisch<br />
1.54<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />
1.74<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
1.72<br />
1.7<br />
1.68<br />
E in eV<br />
1.66<br />
1.64<br />
1.62<br />
1.6<br />
1.58<br />
(b)<br />
1.56<br />
Nichtparabolisch<br />
Parabolisch<br />
1.54<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.13: Energiedispersion eines Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Wells<br />
<strong>der</strong> Breite a) 68 Å (b) 113 Å.<br />
Rechnung betragen die Unterschiede 1,4 % bis 12 % für die Al 0,2 Ga 0,8 As-GaAs-<br />
Quantum-Wells und 2 % bis 39 % für die Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga0, 8As-Quantum-<br />
Wells. Bei nichtparabolischer Rechnung werden die effektiven Massen 15 % bis 25 %<br />
größer als die effektiven Massen im homogenen QW-Material für die Al 0,2 Ga 0,8 As-<br />
GaAs-Quantum-Wells und 28 % bis 70 % größer für die Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga0, 8As-<br />
Quantum-Wells.<br />
6.2 Die Verspannung<br />
Wie än<strong>der</strong>t sich die Bandstruktur bei Berücksichtigung von Verspannung durch Gitteranpassung?<br />
Dies wurde an Al x Ga 1−x As-GaAs- und an Al x Ga 1−x As-In x Ga 1−x As-<br />
Quantengräben untersucht (Abbildungen 6.16 bis 6.23). Zur <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Eigenenergien<br />
wurde <strong>der</strong> 4×4-Luttinger-Kohn-Hamiltonian (siehe Abschnitt 4.4) angesetzt.<br />
Für Al x Ga 1−x As-GaAs-Quantengräben ist die Än<strong>der</strong>ung durch die Verspannung
6.2. DIE VERSPANNUNG 87<br />
1.7<br />
1.65<br />
E in eV<br />
1.6<br />
1.55<br />
1.5<br />
1.45<br />
(a)<br />
Nichtparabolisch<br />
Parabolisch<br />
1.4<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
1.7<br />
1.65<br />
E in eV<br />
1.6<br />
1.55<br />
1.5<br />
1.45<br />
(b)<br />
Nichtparabolisch<br />
Parabolisch<br />
1.4<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.14: Energiedispersion eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-<br />
Well. (a) 68 Å Breite ohne Verspannung, (b) 68 Å Breite mit<br />
Verspannung.<br />
bei den schweren Löchern kleiner als 1 meV, bei den leichten Löchern kleiner als<br />
2 meV (siehe Abbildung 6.16) und bei den Elektronen kleiner als 5 meV (siehe<br />
Abbildung 6.17). Damit sind die Unterschiede nicht so klein, daßsie vernachlässigt<br />
werden können.<br />
In den Abbildung 6.18, 6.19, 6.20 und 6.21 sind die Zustandsdichten und Ladungsträgerdichten<br />
bei Raumtemperatur dargestellt.<br />
Für Al x Ga 1−x As-In x Ga 1−x As-Quantum-Wells sind die Än<strong>der</strong>ungen von einigen<br />
10 meV für die Löcher und die Elektronen durch die stark unterschiedlichen Gitterkonstanten<br />
erheblich grösser.<br />
In den Abbildung 6.18, 6.19, 6.20 und 6.21 ist <strong>der</strong> Einflu¨ss <strong>der</strong> Verspannung<br />
auf die Zustandsdichten und Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Al x Ga 1−x As-In x Ga 1−x As-<br />
Quantum-Wells bei Raumtemperatur dargestellt.
88 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
1.7<br />
1.65<br />
E in eV<br />
1.6<br />
1.55<br />
1.5<br />
1.45<br />
(a)<br />
Nichtparabolisch<br />
Parabolisch<br />
1.4<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
1.7<br />
1.65<br />
E in eV<br />
1.6<br />
1.55<br />
1.5<br />
1.45<br />
(b)<br />
Nichtparabolisch<br />
Parabolisch<br />
1.4<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.15: Energiedispersion eines Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-<br />
Well. (a) 113 Å Breite ohne Verspannung, (b) 113 Å Breite mit<br />
Verspannung.<br />
6.3 Einfluß von Materialparametern<br />
In Abschnitt 3.8 wurden für die Materialparameter, die in die k·p-Rechnung eingehen,<br />
für die Materialien von Al x Ga 1−x As und In x Ga 1−x As die gängigen Werte<br />
(siehe Tabelle 3.5) und neue Werte mit Interpolation nach Nelson (siehe Tabelle<br />
3.6) tabelliert. Dies sind die Luttingerparameter γ 1 , γ 2 und γ 3 , die Bandlücke E g ,<br />
die effektive Masse <strong>der</strong> Elektronen m e und die Spinabspaltung ∆.<br />
In den Abbildungen 3.5 und 3.6 sind die Elektronen- und Löchersubbän<strong>der</strong> für<br />
(a) einen Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs– und (b) einen Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-<br />
Well dargestellt. Berechnet wurden sie mit dem 4×4-Hamiltonian. Verspannung<br />
wurde berücksichtigt.<br />
Entscheidende Größen sind die Bandkantendiskontinuitäten ∆E V und ∆E C ,<br />
die sich aus dem Unterschied <strong>der</strong> Bandlücken von Barrieren- und Quantum-Well-<br />
Material ergeben. Für die Bandlücken für GaAs, Al 0,2 Ga 0,8 As und In 0,2 Ga 0,8 As<br />
werden üblicherweise 1,424 eV, 1,7452 eV und 1,21 eV (lineare Interpolation mit
6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 89<br />
Bulk parabolisch nichtparabolisch<br />
Verspannung ohne mit ohne mit<br />
(A) CB1 0,067 0,068 0,078<br />
CB2 0,067 0,074 0,083<br />
(B) CB1 0,067 0,067 0,077<br />
CB2 0,067 0,069 0,080<br />
CB3 0,067 0,075 0,084<br />
(C) CB1 0,0588 0,060 0,062 0,077 0,093<br />
CB2 0,0588 0,064 0,082 0,084 0,098<br />
(D) CB1 0,0588 0,059 0,061 0,075 0,094<br />
CB2 0,0588 0,060 0,065 0,079 0,100<br />
CB3 0,0588 0,063 - 0,085 0,088<br />
Tabelle 6.1: Mittlere effektive Massen <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong> und die effektive<br />
Bulk-Masse für die Materialsysteme (A) bis (D) (in Einheiten von<br />
m 0 ).<br />
AlAs bzw. InAs) verwendet. Die neuen Parameter mit Nelsons Formel interpoliert<br />
sind 1,424 eV, 1,7668 eV und 1,2863 eV. Für den QW (a) ergeben sich mit den<br />
gängigen Werten ∆E V = 0, 1124eV und ∆E C = 0, 2088eV , dagegen mit den neuen<br />
Werten ∆E V = 0, 1200eV und ∆E C = 0, 2228eV . Für den QW (b) sind die üblichen<br />
Werte ∆E V = 0, 1832eV und ∆E C = 0, 3479eV und die neuen Werte ∆E V =<br />
0, 1682eV und ∆E C = 0, 3123eV . Diese Zahlen ergeben sich mit ∆E C = 0, 65∆E g .<br />
Die gängigen und neuen Luttingerparameter und effektiven Elektronenmassen sind<br />
in Tabelle 6.2 angegeben.<br />
Parameter GaAs Al 0,2 Ga 0,8 As In 0,2 Ga 0,8 As<br />
gängig neu gängig neu gängig neu<br />
γ 1 6,85 6,98 6,17 5,773 9,56 7,948<br />
γ 2 2,10 2,06 1,816 1,563 3,34 2,536<br />
γ 3 2,90 2,93 2,578 2,353 4,14 3,391<br />
m e /m 0 0,067 0,0635 0,0836 0,0841 0,0582 0,0583<br />
Tabelle 6.2: Übliche und neue Materialparameter für die verwendeten Materialien.<br />
Die Wahl <strong>der</strong> Materialparameter hat erheblichen Einfluß auf die Ergebnisse <strong>der</strong><br />
Bandstrukturberechnungen im Quantum-Well, wie die betrachteten Beispiele verdeutlichen<br />
(siehe Abbildungen 6.28 und 6.29). Man beachte, daß <strong>der</strong> Nullpunkt <strong>der</strong><br />
Energien das Valenzbandniveau des Substrates ist.<br />
Für den Al 0,2 Ga 0,8 As-GaAs-Quantengraben liegen die Valenzsubbandenergien,<br />
die mit den neuen Parametern berechnet wurden, bis zu 8 meV höher als die mit den<br />
üblichen Materialparametern erhaltenen Energien. Die Leitungssubbän<strong>der</strong> befinden<br />
sich bis zu 21 meV höher. Die Übergangsenergie zwischen dem 1. Elektronen- und<br />
dem 1. Löchersubband wird um 6 meV größer berechnet.<br />
Bei dem untersuchten Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Well sind die Unterschiede<br />
größer. Dies wird bei den Valenzbän<strong>der</strong>n beson<strong>der</strong>s durch die hohe Differenz<br />
<strong>der</strong> angesetzten Luttingerparameter verursacht. Bei den Subbän<strong>der</strong>n <strong>der</strong> schweren<br />
Löcher werden die Energien bei Wahl <strong>der</strong> neuen Parameter um bis zu 19 meV kleiner,<br />
die Energien <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong> <strong>der</strong> leichten Löcher und <strong>der</strong> Elektronen je um zu<br />
bis 15 meV kleiner. Die Übergangsenergie zwischen dem 1. Elektronen- und dem
90 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
0.1<br />
0.09<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
0.08<br />
0.07<br />
E in eV<br />
0.06<br />
0.05<br />
0.04<br />
0.03<br />
0.02<br />
0.01<br />
(a)<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
0.1<br />
0.08<br />
E in eV<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
(b)<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.16: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Energiedispersionen <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch<br />
Verspannung (a) eines 68 Å-breiten und (b) eines 113 Å-breiten<br />
Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs–Quantum-Well.<br />
1. Löchersubband wird mit den neuen Parametern um 86 meV größer berechnet.<br />
Dieses Ergebnis bestätigt die Ansicht von Vurgaftman et al [44], daß bei InGaAs<br />
weitere Untersuchungen <strong>der</strong> Parameter nötig sind.
6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 91<br />
1.74<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
1.72<br />
1.7<br />
1.68<br />
E in eV<br />
1.66<br />
1.64<br />
1.62<br />
1.6<br />
1.58<br />
1.56<br />
(a)<br />
1.74<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
1.72<br />
1.7<br />
1.68<br />
E in eV<br />
1.66<br />
1.64<br />
1.62<br />
1.6<br />
1.58<br />
1.56<br />
(b)<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.17: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Energiedispersionen <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />
durch Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.
92 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
16 x 1020<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
14<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
(a)<br />
0<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1<br />
E in eV<br />
2.5 x 1021<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
(b)<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />
E in eV<br />
Abbildung 6.18: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch Verspannung.<br />
(a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.
6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 93<br />
15 x 1019<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
10<br />
5<br />
(a)<br />
0<br />
1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7 1.72 1.74<br />
E in eV<br />
1.8<br />
2 x 1020<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
(b)<br />
0<br />
1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7 1.72 1.74<br />
E in eV<br />
Abbildung 6.19: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong> durch<br />
Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.
94 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
Löcherladungsdichte p in cm −3<br />
10 18<br />
10 17<br />
10 19 E Fv<br />
in eV<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
(a)<br />
−0.2 −0.1 0 0.1<br />
10 20 E Fv<br />
in eV<br />
Löcherladungsdichte p in cm −3<br />
10 19<br />
10 18<br />
10 17<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
(b)<br />
−0.2 −0.1 0 0.1<br />
Abbildung 6.20: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch<br />
Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.
6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 95<br />
Elektronenladungsdichte p in cm −3<br />
10 18<br />
10 17<br />
E Fc<br />
in eV<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
(a)<br />
1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7<br />
Elektronenladungsdichte p in cm −3<br />
(b)<br />
10 18<br />
10 17<br />
E Fc<br />
in eV<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7<br />
Abbildung 6.21: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />
durch Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.16.
96 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
0.2<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
E in eV<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
(a)<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
0.2<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
E in eV<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
(b)<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.22: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Energiedispersionen <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch<br />
Verspannung (a) eines 68 Å-breiten und (b) eines 113 Å-breiten<br />
Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Well.
6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 97<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
1.7<br />
1.65<br />
E in eV<br />
1.6<br />
1.55<br />
1.5<br />
(a)<br />
1.45<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
1.7<br />
1.65<br />
E in eV<br />
1.6<br />
1.55<br />
1.5<br />
1.45<br />
(b)<br />
1.4<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.23: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Energiedispersionen <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />
durch Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.
98 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
18 x 1020<br />
16<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
(a)<br />
0<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25<br />
E in eV<br />
3 x 1021<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
2.5<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
(b)<br />
0<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2<br />
E in eV<br />
Abbildung 6.24: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch Verspannung.<br />
(a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.
6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 99<br />
15 x 1019<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
10<br />
5<br />
(a)<br />
0<br />
1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7<br />
E in eV<br />
1.8<br />
2 x 1020<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
Zustandsdichte D in eV −1 cm −3<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
(b)<br />
0<br />
1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7<br />
E in eV<br />
Abbildung 6.25: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong> durch<br />
Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.
100 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
10 20 E Fv<br />
in eV<br />
Löcherladungsdichte p in cm −3<br />
10 19<br />
10 18<br />
10 17<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
(a)<br />
−0.2 −0.1 0 0.1<br />
10 20 E Fv<br />
in eV<br />
Löcherladungsdichte p in cm −3<br />
10 19<br />
10 18<br />
10 17<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
(b)<br />
−0.2 −0.1 0 0.1<br />
Abbildung 6.26: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> durch<br />
Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.
6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 101<br />
Elektronenladungsdichte p in cm −3<br />
10 19<br />
10 18<br />
E Fc<br />
in eV<br />
(a)<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7<br />
Elektronenladungsdichte p in cm −3<br />
10 19<br />
10 18<br />
E Fc<br />
in eV<br />
mit Verspannung<br />
ohne Verspannung<br />
(b)<br />
1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7<br />
Abbildung 6.27: Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Ladungsträgerdichten <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong><br />
durch Verspannung. (a) und (b) sind wie in Abbildung 6.22.
102 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN<br />
0.1<br />
Interpolation nach Nelson, neue Parameter<br />
lineare Interpolation, übliche Parameter<br />
0.08<br />
E in eV<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
(a)<br />
0<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
0.2<br />
Interpolation nach Nelson, neue Parameter<br />
lineare Interpolation, übliche Parameter<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
E in eV<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
(b)<br />
0<br />
0 0.05 0.1 0.15<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.28: Energiedispersionen <strong>der</strong> Löchersubbän<strong>der</strong> für die gängigen<br />
und die neuen Materialparameter eines 68 Å-breiten (a)<br />
Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs– und (b) Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />
Quantum-Well.
6.3. EINFLUSS VON MATERIALPARAMETERN 103<br />
1.76<br />
1.74<br />
1.72<br />
1.7<br />
E in eV<br />
1.68<br />
1.66<br />
1.64<br />
1.62<br />
1.6<br />
1.58<br />
(a)<br />
1.56<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Interpolation nach Nelson, neue Parameter<br />
lineare Interpolation, übliche Parameter<br />
1.75<br />
1.7<br />
1.65<br />
E in eV<br />
1.6<br />
1.55<br />
1.5<br />
1.45<br />
(b)<br />
Interpolation nach Nelson, neue Parameter<br />
lineare Interpolation, übliche Parameter<br />
1.4<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08<br />
k ρ<br />
in Einheiten von k max<br />
Abbildung 6.29: Energiedispersionen <strong>der</strong> Elektronensubbän<strong>der</strong> für die gängigen<br />
und die neuen Materialparameter eines 68 Å-breiten (a)<br />
Al 0,2 Ga 0,8 As–GaAs– und (b) Al 0,2 Ga 0,8 As–In 0,2 Ga 0,8 As–<br />
Quantum-Wells.
104 KAPITEL 6. ERGEBNISSE DER BANDSTRUKTURBERECHNUNGEN
Kapitel 7<br />
Optoelektronik<br />
7.1 Die optische Verstärkung<br />
Die Verstärkung <strong>der</strong> Photonen <strong>der</strong> Mode k ist gegeben durch das Produkt von<br />
Verstärkungskoeffizient g(¯hω) und Aufenthaltswahrscheinlichkeit <strong>der</strong> Photonen |Ψ k | 2<br />
nach Gleichung (1.18). Der Verstärkungskoeffizient ist das Verhältnis <strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong><br />
pro Volumen und Zeit erzeugten Photonen und <strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong> pro Volumen und<br />
Zeit eingestrahlten Photonen. g(¯hω) wird auch als lokale Verstärkung bezeichnet.<br />
Die Rekombination eines Leitungsbandelektrons <strong>der</strong> Energie E C und eines Valenzbandloches<br />
<strong>der</strong> Energie E V ist proportional dem Produkt <strong>der</strong> Aufenthaltswahrscheinlichkeiten<br />
des besetzten Leitungsbandzustandes und des unbesetzten Valenzbandzustandes<br />
f C (E C )·(1−f V (E V )). Die Absorption eines Photons und Anregung<br />
eines Elektrons von E V nach E C ist proportional dem Produkt <strong>der</strong> Aufenthaltswahrscheinlichkeiten<br />
für den unbesetzten Leitungsbandzustand und den besetzten<br />
Valenzbandzustand (1 − f C (E C )) · f V (E V ). Somit ist die Verstärkung als Differenz<br />
von Rekombination und Absorption proportional zu<br />
f C (E C ) · (1 − f V (E V )) − (1 − f C (E C )) · f V (E V ) = f C (E C ) − f V (E V ) (7.1)<br />
Mit Verwendung von Fermis Goldener Regel kann die lokale Verstärkung im<br />
Quantengraben durch<br />
g(¯hω) = C 0<br />
∑<br />
i,j<br />
∫<br />
k max 2π<br />
0<br />
∫<br />
0<br />
|M i,j | 2( )<br />
f c (E i ) − f v (E j ) δ(E i − E j − ¯hω) dφ dk ρ (7.2)<br />
beschrieben werden. Man beachte die Abhängigkeit <strong>der</strong> Subbandenergien E i (k ρ , φ))<br />
und E j (k ρ , φ)) von Betrag und Winkel des Wellenvektors ⃗ k innerhalb <strong>der</strong> QW-<br />
Ebene. Die Konstante C 0 ist<br />
C 0 =<br />
π e 2<br />
n r cε 0 m 2 0 ω =<br />
h π e2<br />
2n r cε 0 m 2 ·<br />
0<br />
1<br />
¯hω<br />
(7.3)<br />
mit dem Brechungsindex n r . Dieser ist abhängig von <strong>der</strong> optischen Energie ¯hω (siehe<br />
[101, 102] und Anhang J in [46]), <strong>der</strong> Temperatur und <strong>der</strong> Ladungsträgerdichte.<br />
Tabelle 7.1 gibt für einige III-V-Materialien mittlere Werte an.<br />
|M i,j | 2 ist das quadrierte optische Impulsmatrixelement, das im Quantum-Well<br />
von <strong>der</strong> Polarisation <strong>der</strong> Photonen abhängig ist. Es wird im Abschnitt 7.1.1 beschrieben.<br />
105
106 KAPITEL 7. OPTOELEKTRONIK<br />
Material GaAs AlAs InAs InP Al x Ga 1−x As<br />
Brechungsindex n r 3,3 2,86 3,51 3,1 3,3-0,53x+0,09x 2<br />
[49] [49] [102] [102] [49]<br />
Tabelle 7.1: Mittlerer Brechungsindex.<br />
Wechselt man von ⃗ k = (k ρ , φ)-Koordinaten in die Energiekoordinate E <strong>der</strong><br />
Übergangsenergien E( ⃗ k) = E i ( ⃗ k) − E j ( ⃗ k) wird aus (7.2)<br />
∑<br />
∫<br />
g(¯hω) = C 0<br />
i,j<br />
(<br />
)<br />
|M i,j | 2 Dij(E)<br />
r f c (E) − f v (E) δ(E − ¯hω) dE (7.4)<br />
Es ist hier Dij r (E) die Zustandsdichte <strong>der</strong> Übergangsenergien zwischen dem Leitungssubband<br />
i und dem Valenzsubband j, die als reduzierte Zustandsdichte (engl.<br />
joint density) bezeichnet wird.<br />
D r ij(E) = 1<br />
π̷L z<br />
·<br />
k<br />
∣ dE ∣ = 1 ·<br />
π̷L z<br />
dk<br />
∣ dEi<br />
dk<br />
k<br />
− dE j<br />
dk<br />
∣<br />
(7.5)<br />
Wenn E = E i − E j monoton steigend ist, fallen die Betragszeichen weg. Wenn<br />
(und nur wenn) E i monoton steigend und E j monoton fallend sind, ist die reduzierte<br />
Zustandsdichte Dij r (E) das geometrische Mittel <strong>der</strong> Zustandsdichten <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong><br />
i und j.<br />
1<br />
Dij r (E) = π̷L (<br />
z<br />
k · dEi<br />
dk − dE )<br />
j<br />
= π̷L z<br />
dk k ·<br />
=<br />
1<br />
D i (E i ) + 1<br />
D j (E j )<br />
( ∣ ∣ ∣∣<br />
dE i<br />
dk<br />
∣ ∣∣∣ ∣ + dE j<br />
)<br />
dk ∣<br />
(7.6)<br />
(7.7)<br />
Kurven <strong>der</strong> Verstärkung sind jedoch nur mit den gemessenen vergleichbar, wenn<br />
die δ- Funktion durch eine Linienformfunktion L(¯hω) ersetzt wird (siehe Abschnitt<br />
7.1.2).<br />
7.1.1 Das optische Impulsmatrixelement<br />
Das optische Impulsmatrixelement ist gegeben durch das Produkt aus <strong>der</strong> Polarisationsrichtung<br />
und dem Impulsmatrixelement des Elektron-Loch-Paares.<br />
|M i,j | 2 = |ê · ⃗p cv | 2 (7.8)<br />
Im homogenen Material ist das optische Matrixelement M b nicht polarisiert. Es<br />
wird auf S. 370 in [46] gezeigt, daß<br />
Mb 2 = m2 0<br />
3¯h 2 P 2<br />
M 2 b =<br />
(<br />
m0<br />
m ∗ e<br />
)<br />
m0 E g (E g + ∆)<br />
− 1<br />
6(E g + 2 3 ∆) = m 0<br />
6 E P (7.9)<br />
mit dem Kane’schen Impulsmatrixelement P und dem Energieparameter E P . E P<br />
ist für viele Halbleiter bekannt (siehe Tabelle 7.2). Der mittlere Term in (7.9) ist<br />
eine Näherung, die aus <strong>der</strong> Lösung des 4×4-Kane-Hamiltonian (3.39) im homogenen
7.1. DIE OPTISCHE VERSTÄRKUNG 107<br />
Material extrahiert werden kann. Wie Tabelle 7.2 zeigt, wird das optische Impulsmatrixelement<br />
damit jedoch zu klein berechnet. Meist wird <strong>der</strong> Energieparameter<br />
E P , in mancher Literatur auch selber als P 2 bezeichnet, verwendet. Werte von<br />
E P wurden durch die 14-Band-k·p -Methode [45] und die empirische Pseudopotentialmethode<br />
[50] berechnet, sowie mit Elektronspinresonanzexperimenten gemessen<br />
[103].<br />
E P = 2m2 0<br />
¯h 2 P 2 (7.10)<br />
Material E P (eV) [46] E P (eV) [44]<br />
(<br />
m0<br />
GaAs 25,7 28,8 21,2<br />
AlAs 21,1 21,1 17,7<br />
InAs 22,2 21,5 18,6<br />
InP 20,7 20,7 16,5<br />
m ∗ e<br />
)<br />
Eg (E<br />
− 1<br />
g +∆)<br />
(eV)<br />
(E g + 2 3 ∆)<br />
Tabelle 7.2: Energieparameter E P für wichtige III-V-Halbleiter nach zwei Quellen.<br />
Zum Vergleich wurden die Werte nach dem Ausdruck des Kane’schen<br />
Modells (Gleichung 7.9) angegeben.<br />
Im Quantum-Well unterscheidet man zwei Polarisationen des Lichtes. Bei <strong>der</strong><br />
TE-Polarisation (ê = ˆx) ist das optische Feld in <strong>der</strong> (x, y)-Quantum-Well-Ebene<br />
polarisiert. Bei <strong>der</strong> TM-Polarisation (ê = ẑ) ist es in <strong>der</strong> Wachstumsrichtung, also<br />
senkrecht zur Quantum-Well-Ebene polarisiert.<br />
Ungekoppelte Valenzbän<strong>der</strong><br />
Die Energien <strong>der</strong> Subbän<strong>der</strong> sind isotrop in <strong>der</strong> (k x , k y )-Ebene und die einhüllenden<br />
Funktionen φ(z) sind skalar.<br />
In [46] (S. 371ff) wird gezeigt, daß die optischen Impulsmatrixelemente eines<br />
Elektronenbandes und eines ungekoppelten Löcherbandes mit dieser Gleichung berechnet<br />
werden:<br />
|M i,j | 2 = |ê · ⃗p cv | 2 = P i,j (θ)|O ij | 2 M 2 b (7.11)<br />
Entscheidend für die Rekombination eines Elektron-Loch-Paares im Quantengraben<br />
ist, ob sich ihre einhüllenden Funktionen φ(z) und damit ihre Wellenfunktionen<br />
konstruktiv o<strong>der</strong> destruktiv überlagern. Die Überlagerung <strong>der</strong> einhüllenden<br />
Funktionen wird durch das Überlappintegral beschrieben.<br />
|O i,j | 2 =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
φ ∗ i (z)φ j (z)dz (7.12)<br />
Ein Übergang ist verboten, wenn |O ij | 2 = 0 ist.<br />
Der polarisationsbestimmende Faktor P i,j (θ) ist in Tabelle 7.3 angegeben. Der Faktor<br />
hat seine Ursache in <strong>der</strong> Überlappung <strong>der</strong> Zonenzentrum-Blochfaktoren, die<br />
im Enveloppenfunktionsformalismus absepariert wurden. P i,j ist nicht vom Winkel<br />
φ zwischen k x und k z abhängig, weil durch die Rotationssymmetrie <strong>der</strong> Energiesubbän<strong>der</strong><br />
im ⃗ k-Raum über φ gemittelt werden kann.<br />
θ(k ρ ) bzw. θ(E) ist <strong>der</strong> Winkel zwischen k z und k ρ . Im Quantum-Well haben<br />
die Wellenvektoren <strong>der</strong> Ladungsträger jedoch keine k z -Komponente. Dieser Wi<strong>der</strong>spruch<br />
löst sich auf, wenn man die Dispersion des homogenen QW-Materials<br />
E(k ρ , k z ) auf die (radialsymmetrische) Subbanddispersion E n (k ρ ) projeziert. Dies
108 KAPITEL 7. OPTOELEKTRONIK<br />
TE-Polarisation<br />
TM-Polarisation<br />
3<br />
CB-HH<br />
4 (1 + cos2 3<br />
(θ))<br />
2 sin2 (θ)<br />
5<br />
CB-LH<br />
4 − 3 4 cos2 1<br />
(θ)<br />
2 (1 + 3 cos2 (θ))<br />
CB-HH 9/8 3/4<br />
CB-LH 7/8 5/4<br />
Tabelle 7.3: Der polarisationsbestimmende Faktor P i,j (θ) in den optischen Matrixelementen<br />
und sein von θ-unabhängiger Mittelwert.<br />
entspricht <strong>der</strong> Verwendung des Bulk-k z in <strong>der</strong> Herleitung des Bandstrukturalgorithmus<br />
in Kapitel 5 (siehe insbeson<strong>der</strong>e Gleichung (5.33)).<br />
Mit folgendem Ansatz wird ein Mittelmaß zwischen θ des Elektrons und θ des<br />
Loches gebildet. m e und m h sind die effektiven Massen des Leitungsbandes und des<br />
Valenzbandes im homogen Medium.<br />
)<br />
E = E g + ¯h2 k 2 −<br />
(− ¯h2 k 2<br />
2m e 2m h<br />
= E g + ¯h2<br />
2<br />
(<br />
k 2 ρ + k 2 z<br />
) ( 1<br />
m e<br />
+ 1<br />
m h<br />
)<br />
(7.13)<br />
Man führt die reduzierte effektive Masse m r ein mit 1/m r = 1/m e + 1/m h . Für<br />
GaAs ist m h r = 0, 0569 m 0 für ein Elektron-schweres Loch-Paar und m l r = 0.0385 m 0<br />
für ein Elektron-leichtes Loch-Paar.<br />
Der Winkel θ(E) ergibt sich im realen bzw. im <strong>Berechnung</strong>skoordinatensystem<br />
k2 ρ<br />
sin 2 (θ) =<br />
kρ 2 + kz<br />
2<br />
= ¯h2 kρ<br />
2 ·<br />
(7.14)<br />
2m r E − E g<br />
= ¯h2 kρ<br />
2 ·<br />
2m r Ē i (k ρ ) + Ēj(k ρ )<br />
(7.15)<br />
Dieser Ausdruck ist allgemein gültig. In ihm befinden sich die Informationen <strong>der</strong><br />
QW- und <strong>der</strong> Bulkdispersion. Für die Rekombination des Elektronensubbandes i<br />
und eines HH-Lochsubbandes j benötigt man die QW-Dispersionen E i (k ρ ) und<br />
E j (k ρ ) sowie die Bulkdispersionen E c ( ⃗ k) und E h ( ⃗ k).<br />
Approximiert man die Subbän<strong>der</strong> <strong>der</strong> Elektronen und Löcher mit Parabeln, kann<br />
(7.14) vereinfacht werden. Im Folgenden ist m r ij die reduzierte effektive Masse des<br />
Elektronensubbandes i und des Löchersubbandes j.<br />
)<br />
E(k ρ ) = E i0 + ¯h2 kρ 2 −<br />
(E j0 − ¯h2 kρ<br />
2 = E i0 − E j0 + ¯h2<br />
2m i 2m j 2m r kρ 2 (7.16)<br />
ij<br />
sin 2 (θ) = mr ij<br />
m r<br />
·<br />
Als weitere Vereinfachung wurde<br />
1<br />
1 + E i0−E j0 −E g<br />
E<br />
(7.17)<br />
cos(θ) = E i0 − E j0<br />
(7.18)<br />
E<br />
vorgeschlagen [23]. Man beachte im Vergleich mit den Quellen [46, 23] die Lage und<br />
Orientierung <strong>der</strong> Energieachsen.
7.1. DIE OPTISCHE VERSTÄRKUNG 109<br />
HH- und LH-Band gekoppelt<br />
Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Löchereigenzustände besitzen zwei Komponenten. Diese<br />
seien φ h und φ l . Da die betrachteten Quantum-Wells symmetrisch sind, sind die<br />
Wellenfunktionen des oberen Blockes H U und des unteren Blockes H L in (4.44)<br />
identisch und müssen nicht unterschieden werden.<br />
Für die TE-Polarisation wird [46, 94]<br />
[<br />
|M i,j | 2 = 3 √ 〈φ<br />
c<br />
4 i |φ h 〉 2 1 〈<br />
j + φ<br />
c<br />
3 i |φ l 2 6<br />
j〉<br />
+<br />
3 cos 2φ 〈 φ c i|φ h 〉 〈<br />
j φ<br />
c<br />
i |φ l 〉 ]<br />
j Mb 2 (7.19)<br />
φ ist <strong>der</strong> Winkel zwischen k x und k y , über den in (7.2) integriert wird. Da cos 2φ =<br />
− cos 2(90 o −φ) und für die Bandstruktur E(k ρ , φ) = E(k ρ , 90 o −φ) (siehe Abbildung<br />
4.5), wird <strong>der</strong> cos 2φ-Term in <strong>der</strong> Integration zu Null. Deshalb kann man den Term<br />
im optischen Impulsmatrixelement streichen. Somit wird Gleichung (7.19) zu<br />
|M i,j | 2 = 3 [ ]<br />
〈φ<br />
c<br />
4 i |φ h 〉 2 1 〈<br />
j + φ<br />
c<br />
3 i |φ l 〉 2<br />
j Mb 2 (7.20)<br />
Für die TM-Polarisation wird zu<br />
|M i,j | 2 = 〈 φ c i|φ l j〉 2<br />
M<br />
2<br />
b (7.21)<br />
In den Impulsmatrixelementen wurden für die Produkte <strong>der</strong> Blochfaktoren das<br />
Quadrat des optischen Matrixelementes des homogenen Mediums Mb<br />
2 benutzt und<br />
somit θ-Winkelabhängigkeiten nicht berücksichtigt.<br />
HH-, LH- und SO-Band gekoppelt<br />
Die Wellenfunktionen <strong>der</strong> Löchereigenzustände besitzen nun die drei Komponenten<br />
φ h , φ l und φ s , die für die beiden Blöcke des Hamiltonian (4.52) im symmetrischen<br />
Quantum-Well identisch sind.<br />
Für die TE-Polarisation wird [77]<br />
|M i,j | 2 =<br />
4[ 3 〈φ<br />
c<br />
i |φ h 〉 2 1<br />
j +<br />
3<br />
+<br />
〈<br />
φ<br />
c<br />
i |φ l 2 2 〈<br />
j〉<br />
+ φ<br />
c<br />
3 i |φ s 〉 2<br />
j<br />
(7.22)<br />
√<br />
6<br />
3 cos 2φ (〈 φ c i|φ h 〉 〈<br />
j φ<br />
c<br />
i |φ l 〉 〈<br />
j + 2 φ<br />
c<br />
i |φ h 〉 〈<br />
j φ<br />
c<br />
i |φ s j〉)<br />
+ 2√ 2<br />
3<br />
(7.23)<br />
〈<br />
φ<br />
c<br />
i |φ l 〉 〈<br />
j φ<br />
c<br />
i |φ s 〉 ]<br />
j Mb 2 (7.24)<br />
Die beiden Terme mit cos 2φ können wegen <strong>der</strong> Spiegelsymmetrie um die 〈11〉-Achse<br />
aus |M i,j | 2 genommen werden.<br />
|M i,j | 2 =<br />
4[ 3 〈φ<br />
c<br />
i |φ h 〉 2 1 〈<br />
j + φ<br />
c<br />
3 i |φ l 2 2 〈<br />
j〉<br />
+ φ<br />
c<br />
3 i |φ s 〉 2<br />
j<br />
(7.25)<br />
+ 2√ 2<br />
3<br />
〈<br />
φ<br />
c<br />
i |φ l 〉 〈<br />
j φ<br />
c<br />
i |φ s 〉 ]<br />
j Mb 2 (7.26)<br />
Für die TM-Polarisation wird das optische Impulsmatrixelement zu<br />
[<br />
〈φ<br />
|M i,j | 2 c<br />
= i |φ l 〉 2 3 √ ]<br />
2 〈<br />
j − φ<br />
c<br />
2 i |φ s 〉 2<br />
j Mb 2 (7.27)
110 KAPITEL 7. OPTOELEKTRONIK<br />
7.1.2 Die Linienverbreiterung<br />
Die in 1.3 diskutierten Übergänge zwischen den beiden Energienivaus E 1 und E 2<br />
haben tatsächlich nicht eine streng monochromatische Spektrallinie <strong>der</strong> Frequenz<br />
f 0 = E 1 − E 2<br />
h<br />
(7.28)<br />
son<strong>der</strong>n eine Spektrallinie mit endlicher Linienbreite ∆f. Das Linienprofil wird<br />
durch die Linienformfunktion beschrieben (siehe Abbildung 7.1). Ohne Linienverbreiterung<br />
wäre die Deltafunktion die Linienformfunktion.<br />
δ(f − f 0 ) (7.29)<br />
Man unterscheidet die homogene und die inhomogene Linienverbreiterung. Wirkt<br />
eine Verbreiterung des Linienprofils für alle Atome in gleichem Maße, so nennt man<br />
die Linie homogen verbreitert. Dies ist <strong>der</strong> Fall für die natürliche und die Stoßverbreiterung.<br />
Die heterogene Verbreiterung ist nicht für jedes Atom gleich [2]. Ein<br />
Beispiel ist die Dopplerverbreiterung. Inhomogene Linienverbreitung beschreibt die<br />
Gaußfunktion, homogene die Lorentzfunktion<br />
mit <strong>der</strong> Halbwertsbreite (FHWM)<br />
L(f − f 0 ) = 1 ∆f/2<br />
π (f − f 0 ) 2 + (∆f/2) 2 (7.30)<br />
2<br />
L(0) =<br />
π∆f<br />
∆f = 1<br />
2πτ<br />
und <strong>der</strong> Lebensdauer τ des Elektrons im angeregten Zustand.<br />
(7.31)<br />
Abbildung 7.1: Gaußfunktion g(∆E, ¯hω), cosh-Verbreiterung C(∆E, ¯hω) und<br />
Lorentzfunktion L(∆E, ¯hω) als Linienformfunktionen mit gleicher<br />
Halbwertsbreite Γ [2].<br />
Die übliche Form, um die Linienverbreiterung <strong>der</strong> Halbleiterlaser zu beschreiben,<br />
ist die Lorentzverbreiterung, die mit Γ = ∆f · h auch als als Funktion <strong>der</strong><br />
Energiedifferenz ∆E zweier Zustände ausgedrückt werden kann [104]:
7.1. DIE OPTISCHE VERSTÄRKUNG 111<br />
L(∆E, ¯hω) = 1 π<br />
L(¯hω = ∆E) = 2 ≈ 0, 64 Γ−1<br />
πΓ<br />
Γ/2<br />
(∆E − ¯hω) 2 + (Γ/2) 2 (7.32)<br />
Typische Werte von Γ liegen bei 5 − 20 meV , was einer Halbwertsbreite <strong>der</strong><br />
Frequenz von 1 − 5 · 10 12 Hz und <strong>der</strong> Wellenlänge von 1 − 60 nm entspricht.<br />
Das Modell <strong>der</strong> Lorentzfunktion geht von elastischen Stößen <strong>der</strong> Teilchen in<br />
Nullzeit aus. Die tatsächliche Linienform beschreiben an<strong>der</strong>e Modelle homogener<br />
Linienverbreiterung besser, wie das empirische Modell <strong>der</strong> cosh-Verbreiterung<br />
C(∆E, ¯hω) =<br />
C(¯hω = ∆E) =<br />
( )<br />
1 ∆E − ¯hω<br />
cosh −2<br />
4Γ C 2Γ C<br />
1<br />
≈ 0, 25 Γ −1<br />
C<br />
≈ 0, 88 Γ−1<br />
4Γ C<br />
Γ C = arccosh(4 √ 2)Γ ≈ 3, 5 Γ<br />
(7.33)<br />
und das Landsberg Modell [104] mit energieabhängigem Γ(∆E)<br />
L(∆E, ¯hω) = 1 Γ(∆E)/2<br />
( )<br />
π<br />
2<br />
(∆E − ¯hω) 2 + Γ(∆E)/2<br />
(7.34)<br />
3∑<br />
(<br />
) k<br />
∆E<br />
Γ(∆E) = Γ L a k<br />
E F c − E F v<br />
(7.35)<br />
L(¯hω = ∆E) =<br />
k=0<br />
2<br />
πΓ(∆E)<br />
mit a 0 = 1, a 1 = −2, 229, a 2 = 1, 458, a 3 = −0, 229. Die Halbwertsbreite Γ(∆E)<br />
und <strong>der</strong> Betrag des Maximums von L(∆E, ¯hω) sind abhängig vom Verhältnis aus<br />
Energiedifferenz ∆E und <strong>der</strong> Quasiferminiveau-Separation E F c − E F v .
112 KAPITEL 7. OPTOELEKTRONIK
Kapitel 8<br />
Vorhersagen für die<br />
opto<strong>elektronischen</strong><br />
Eigenschaften<br />
8.1 Optische Verstärkung<br />
Für die zwei quantisierten Strukturen (A) und (C) - siehe Seite 79 - wurde <strong>der</strong> Einfluß<br />
des Bandstruktur- <strong>Berechnung</strong>smodells auf die optische Verstärkung bei Raumtemperatur<br />
untersucht. Die Ladungsträgerdichten wurden mit n = 1, 6 · 10 18 cm −3<br />
und p = 1 · 10 18 cm −3 gewählt. Sie entsprechen Werten oberhalb <strong>der</strong> Laserschwelle<br />
aus LASER-DESSIS-Simulationen.<br />
Untersucht wurden<br />
(A) das einfache Modell mit ungekoppeltem Leitungsband und ungekoppelten Valenzbän<strong>der</strong>n,<br />
(B) das Modell mit gekoppeltem Leitungsband und ungekoppelten Valenzbän<strong>der</strong>n,<br />
(C) das Modell mit gekoppeltem Leitungsband und Kopplung <strong>der</strong> schweren und<br />
leichten Löcher sowie<br />
(D) das Modell mit gekoppeltem Leitungsband und Kopplung von HH-, LH- und<br />
SO-Löchern.<br />
Die Ergebnisse für den Al 0,2 Ga 0,8 As-GaAs-Quantum-Well sind in Abbildung<br />
8.1 dargestellt. Die lokale optische Verstärkung wird bei allen Modellen in <strong>der</strong>selben<br />
Größenordnung berechnet. Je einfacher das Modell, desto höher wird die<br />
optische Verstärkung berechnet. Das Maximum <strong>der</strong> Gainkurve in TE-Richtung beträgt<br />
für das Modell (d) 761 cm −1 , für das Modell (c) 926 cm −1 , für das Modell (b)<br />
1286 cm −1 und für das einfache, ungekoppelte Modell (a) 1577cm −1 (siehe Tabelle<br />
8.1). Die Photonenenergie und damit die Wellenlänge <strong>der</strong> maximal verstärkten TE-<br />
Mode werden auf 0,5 % genau berechnet. In TM-Richtung betragen die maximalen<br />
Verstärkungen 514 cm −1 für (d), 1002 cm −1 für (c), 1317 cm −1 für (b) und 1665<br />
cm −1 für (a). Photonenenergie und Wellenlänge <strong>der</strong> maximal verstärkten TM-Mode<br />
werden auf 2,5 % genau berechnet.<br />
Für die TE-Richtung ist das Modell mit gekoppeltem Leitungsband und Kopplung<br />
<strong>der</strong> schweren und leichten Löcher eine gute Näherung. In TM-Richtung sollte<br />
das Modell aus gekoppeltem Leitungsband und gekoppelten HH-, LH- und SO-<br />
Valenzbän<strong>der</strong>n verwendet werden.<br />
113
114 KAPITEL 8. VORHERSAGEN VON OPTOELEKTR. EIGENSCHAFTEN<br />
Für Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Well sind die Kurven <strong>der</strong> lokalen optischen<br />
Verstärkung in den Abbildungen 8.2 und 8.3 dargestellt. In TE-Richtung<br />
sind die Werte des lokalen Gains für die Modelle (a) bis (c) 50-mal bis 200-mal<br />
so groß wie für das Modell (d). In TM-Richtung wird die optische Verstärkung<br />
für die Modelle (c) und (d) in <strong>der</strong>selben Größenordnung und für die Modelle (a)<br />
und (b) eine Größenordnung höher berechnet. Photonenenergie und Wellenlänge<br />
<strong>der</strong> maximal verstärkten TE- und TM-Mode werden für die Modelle (b) bis (d) auf<br />
1% genau berechnet. Die Wellenlänge <strong>der</strong> maximal verstärkten TE- und TM-Mode<br />
wird bei Verwendung des Modells (a) um 1 % bzw. 12 % größer berechnet als bei<br />
Verwendung des Modells (d).<br />
In <strong>der</strong> TE-Richtung sollte das Modell (d) verwendet werden. In <strong>der</strong> TM-Richtung<br />
kann das Modell (c) als gute Näherung verwendet werden. Rechnungen mit komplexeren<br />
Modellen, wie das einer Kopplung des untersten Leitungsbandes mit den<br />
obersten drei Valenzbän<strong>der</strong>n, können zur Evaluierung des Modells (d) verwendet<br />
werden.<br />
1600<br />
1400<br />
LB und VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />
LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />
Optische Verstärkung g in cm −1<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
(a)<br />
−200<br />
1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6<br />
hw in eV<br />
1600<br />
1400<br />
LB und VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />
LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />
Optische Verstärkung g in cm −1<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
(b)<br />
−200<br />
1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7<br />
hw in eV<br />
Abbildung 8.1: Die optische Verstärkung eines 68 Å breiten (verspannten)<br />
Al 0,2 Ga 0,8 As-GaAs-Quantum-Wells bei 300 K mit den Ladungsträgerdichten<br />
n = 1, 6 · 10 18 cm −3 und p = 1 · 10 18 cm −3 (a) in<br />
TE-Richtung und (b) in TM-Richtung.
8.2. SIMULATION EINES QUANTUM-WELL-LASERS 115<br />
(a) TE-Richtung ¯hω in eV g in cm −1 λ in nm<br />
LB und VB: ungekoppelt 1.514 1577 818,9<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt 1.510 1286 821,2<br />
LB: gekoppelt, VB: 4×4 ohne SO-Band 1.511 926 820,3<br />
LB: gekoppelt, VB: 6×6 mit SO-Band 1.506 761 823,5<br />
(b) TM-Richtung ¯hω in eV g in cm −1 λ in nm<br />
LB und VB: ungekoppelt 1.520 1665 815,7<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt 1.516 1317 817,6<br />
LB: gekoppelt, VB: 4×4 ohne SO-Band 1.516 1002 817,8<br />
LB: gekoppelt, VB: 6×6 mit SO-Band 1.538 514 806,1<br />
Tabelle 8.1: Photonenenergie maximaler Verstärkung, die lokale optische<br />
Verstärkung und Wellenlänge dieser Lichtwelle eines Al 0,2 Ga 0,8 As–<br />
GaAs–Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å für verschiedene Modelle für<br />
(a) die TE-Richtung und (b) die TM-Richtung.<br />
(a) TE-Richtung ¯hω in eV g in cm −1 λ in nm<br />
LB und VB: ungekoppelt 1.329 1909 932,7<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt 1.301 1217 953,1<br />
LB: gekoppelt, VB: 4×4 ohne SO-Band 1.300 552 953,9<br />
LB: gekoppelt, VB: 6×6 mit SO-Band 1.313 10 944,1<br />
(b) TM-Richtung ¯hω in eV g in cm −1 λ in nm<br />
LB und VB: ungekoppelt 1.472 926 842,3<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt 1.301 559 950,8<br />
LB: gekoppelt, VB: 4×4 ohne SO-Band 1.302 16 952,4<br />
LB: gekoppelt, VB: 6×6 mit SO-Band 1.314 32 943,2<br />
Tabelle 8.2: Photonenenergie maximaler Verstärkung, die lokale optische<br />
Verstärkung und Wellenlänge dieser Lichtwelle eines Al 0,2 Ga 0,8 As–<br />
In 0,2 Ga 0,8 As–Quantum-Wells <strong>der</strong> Breite 68 Å für verschiedene<br />
Modelle für (a) die TE-Richtung und (b) die TM- Richtung.<br />
8.2 Simulation eines Quantum-Well-Lasers<br />
Innerhalb <strong>der</strong> Arbeit konnte eine Laserdiode (siehe Abbildung 8.4) mit einem komplexen<br />
Bandstrukturmodell, dem 4×4-Luttinger-Kohn-Hamiltonian, simuliert werden.<br />
Dies war möglich durch die Implemenation <strong>der</strong> reduzierten Zustandsdichten<br />
und optischen Matrixelemente in Gleichung 7.4 in LASER-DESSIS. Es wurde bei<br />
konstanter Temperatur gerechnet. Verwendet wurde die cosh-Verbreiterungsfunktion.<br />
Die Reflektivitäten <strong>der</strong> Seitenspiegel waren 0,9 und 0,07. Die aktive Zone war<br />
eine 8,5 nm dicke Schicht In 0,2 Ga 0,8 As in einem gradiert gewachsenen Al x Ga 1−x As-<br />
Substrat, dessen Aluminiumgehalt von x=0,28 auf x=0,2 zum Quanten-Well abnahm.<br />
Eine prägnante Abweichung <strong>der</strong> Ergebnisse (Abbildung 8.5) ist sichtbar. Die<br />
Energie mit <strong>der</strong> größten Verstärkung wird bei <strong>der</strong> Implementation des 4×4-Hamiltonian<br />
um ∼ 150 meV höher vorhergesagt als bei Implementation <strong>der</strong> ungekoppelten<br />
Bandstrukturmodelle. Eine weitere Untersuchung dieser Unterschiede war zeitlich<br />
innerhalb <strong>der</strong> Arbeit nicht mehr möglich.
116 KAPITEL 8. VORHERSAGEN VON OPTOELEKTR. EIGENSCHAFTEN<br />
Optische Verstärkung g in cm −1<br />
2000<br />
1800<br />
1600<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
LB und VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />
LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />
0<br />
(a)<br />
−200<br />
1.2 1.25 1.3 1.35<br />
hw in eV<br />
100<br />
80<br />
LB und VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />
LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />
Optische Verstärkung g in cm −1<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
(b)<br />
−20<br />
1.2 1.25 1.3 1.35<br />
hw in eV<br />
Abbildung 8.2: (a) Die optische Verstärkung eines 68 Å breiten (verspannten)<br />
Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Wells bei 300 K mit den Ladungsträgerdichten<br />
n = 1, 6 · 10 18 cm −3 und p = 1 · 10 18 cm −3 in<br />
TE-Richtung. (b) ist ein Ausschnitt aus (a).
8.2. SIMULATION EINES QUANTUM-WELL-LASERS 117<br />
700<br />
600<br />
LB und VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />
LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />
Optische Verstärkung g in cm −1<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
(a)<br />
−100<br />
1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4<br />
100<br />
80<br />
LB und VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: ungekoppelt<br />
LB: gekoppelt, VB: 4x4 ohne SO−Band<br />
LB: gekoppelt, VB: 6x6 mit SO−Band<br />
hw in eV<br />
Optische Verstärkung g in cm −1<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
(b)<br />
−20<br />
1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4<br />
hw in eV<br />
Abbildung 8.3: (a) Die optische Verstärkung eines 68 Å breiten (verspannten)<br />
Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Wells bei 300 K mit den Ladungsträgerdichten<br />
n = 1, 6 · 10 18 cm −3 und p = 1 · 10 18 cm −3 in<br />
TM-Richtung. (b) ist ein Ausschnitt aus (a).
118 KAPITEL 8. VORHERSAGEN VON OPTOELEKTR. EIGENSCHAFTEN<br />
-4<br />
-3<br />
-2<br />
Y<br />
-1<br />
0<br />
1<br />
0 2 4 6 8<br />
X<br />
Abbildung 8.4: Modell <strong>der</strong> simulierten Laserdiode (Längen sind in µm). Dargestellt<br />
ist die Hälfte eines Seitenschnittes. Simuliert wurde auf dem<br />
Gitter, das in <strong>der</strong> aktiven Zone in <strong>der</strong> Mitte sehr dicht ist.<br />
18<br />
20<br />
16<br />
14<br />
15<br />
12<br />
ModeGain0<br />
10<br />
8<br />
ModeGain0<br />
10<br />
6<br />
5<br />
4<br />
2<br />
0<br />
1.3 1.4 1.5<br />
TransitionEnergy<br />
(a)<br />
1.15 1.2 1.25 1.3<br />
TransitionEnergy<br />
(b)<br />
Abbildung 8.5: Die globale, optische Verstärkung eines 85 Å breiten (verspannten)<br />
Al 0,2 Ga 0,8 As-In 0,2 Ga 0,8 As-Quantum-Well-Lasers bei einer<br />
Leistung von 13,5 mW in Abhängigkeit von <strong>der</strong> Übergangsenergie<br />
(in eV). (a) <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Subbäner mit 4×4-Hamiltonian, (b)<br />
mit ungekoppelter Bandstrukturberechnung.
Kapitel 9<br />
Zusammenfassung und<br />
Ausblick<br />
Die k·p -Methode als störungstheoretischer Ansatz ist eine bekanntes Verfahren<br />
zur Ermittlung <strong>der</strong> Eigenzustände in einem homogenen Halbleiter. In <strong>der</strong> vorliegenden<br />
Arbeit wurde <strong>der</strong> Envelopenfunktionsformalismus, eine Möglichkeit <strong>der</strong> Fortentwicklung<br />
<strong>der</strong> k·p -Methode für die Beschreibung <strong>der</strong> Bandstruktur in Quantengräben,<br />
benutzt.<br />
Zwei Modelle <strong>der</strong> k·p -Methode , das Kane- und das Luttinger-Kohn-Modell,<br />
sowie ihre Grundlagen, <strong>der</strong> allgemeine störungstheoretische Ansatz und die Methode<br />
von Löwdin, wurden vorgestellt. Im Quanten-Well können mit einer Entwicklung<br />
<strong>der</strong> Wellenfunktionen nach den Blochfaktoren im Brillouinzonenzentrum die<br />
Hamiltonmatrizen <strong>der</strong> beiden Modelle verwendet werden. Die Einschränkung <strong>der</strong><br />
Ladungsträger in einer Richtung lässt aus den Matrizen Differentialoperatoren werden,<br />
und das Eigenwertproblem wird mit speziellen Bedingungen an den Stoffgrenzen<br />
zum gekoppelten Differentialgleichungssystem. Diese Methode hat den weiteren<br />
Vorteil, daß die Verspannung des Gitters im Quantum-Well durch unterschiedliche<br />
Gitterkonstanten von Substrat und QW-Material, auf eine einfache Art in den<br />
Störungsansatz hinzugenommen werden kann. Verschieden komplexe Modelle zum<br />
Finden <strong>der</strong> Eigenzustände <strong>der</strong> Valenz- und Leitungssubbän<strong>der</strong> sowie Vereinfachungen<br />
wie die Blockdiagonalform und die Axiale Approximation wurden aufgezeigt.<br />
Beson<strong>der</strong>en Wert wurde auf die eingehenden Materialparameter gelegt.<br />
Die Eigenzustände im Quantum-Well ergeben sich als Lösungen <strong>der</strong> gekoppelten<br />
Differentialgleichungssysteme. Eine analytische Lösungsmethode wurde in allgemeiner<br />
Form und für ungekoppelte und gekoppelte Valenz- und Leitungsbandmodelle<br />
beschrieben.<br />
Für die Materialsysteme Al x Ga 1−x As–GaAs und Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As<br />
wurden Ergebnisse <strong>der</strong> Bandstrukturberechnungen – Eigenenergien und -funktionen–<br />
präsentiert. Für diese Simulationen wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Programmpaket<br />
in MATLAB entwickelt.<br />
Bei den Löchern gibt es bei beiden Systemen starke Unterschiede für die drei betrachteten<br />
Modelle, 6×6-Hamiltonian, 4×4-Hamiltonian und ungekoppelte <strong>Berechnung</strong>.<br />
Die Abweichungen <strong>der</strong> Ergebnisse des ungekoppelten Modells von den komplexeren<br />
sind sowohl bei Al x Ga 1−x As–GaAs als auch bei Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As<br />
groß. Bei 300 K werden die Löcherdichten bis zu 80% kleiner als bei dem komplexesten<br />
Modell berechnet. Im Gegensatz zu Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As ergeben sich<br />
für Al x Ga 1−x As–GaAs für das Modell mit vier gekoppelten Bän<strong>der</strong>n wesentlich<br />
bessere Ergebnisse.<br />
Für die <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> Löcherladungsdichten in Al x Ga 1−x As–GaAs–Quantum-<br />
119
120 KAPITEL 9. ZU<strong>SAM</strong>MENFASSUNG UND AUSBLICK<br />
Wells sollte mindestens das 4-Band-Modell verwendet werden. Bei Al x Ga 1−x As–<br />
In x Ga 1−x As–Quantum-Wells sind die Abweichungen bei <strong>Berechnung</strong> mit 4×4- und<br />
6×6-Hamiltonian aufgrund <strong>der</strong> SO-Kopplung recht groß (ca. 20 meV für die Fermienergie).<br />
Daher empfiehlt sich hier eine Betrachtung mit dem 6×6-Modell.<br />
Die Elektronensubbän<strong>der</strong> wurden anhand zweier Modelle verglichen – das ungekoppelte,<br />
parabolische und das gekoppelte, nicht parabolische. Relativ kleine Abweichungen<br />
existieren nur bei tieferen Energien für den Al x Ga 1−x As–GaAs-Quantengraben.<br />
Da für den vorgestellten Algorithmus das nicht parabolische Modell nicht<br />
wesentlich komplexer als das parabolische Modell ist, empfiehlt sich für die Betrachtung<br />
<strong>der</strong> Elektronen das gekoppelte Modell.<br />
Der Einfluß <strong>der</strong> Verspannung ist bei dem Al x Ga 1−x As–GaAs-System relativ<br />
klein, bei dem Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As-System jedoch relativ groß und nicht vernachlässigbar.<br />
Beobachtet wurden markante Än<strong>der</strong>ungen in den Ergebnissen für beide Materialsysteme<br />
bei Verwendung aktuell empfohlener Zahlenwerte für die Materialparameter<br />
wie Luttingerparameter, effektive Elektronenmasse im homogenen Medium<br />
und Bandlücke. Für den Al x Ga 1−x As–GaAs-Quantum-Well sind die Abweichungen<br />
etwas kleiner als für den Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As-Quantum-Well.<br />
Die Subbandstruktur <strong>der</strong> Löcher und Elektronen sowie ihre Wellenfunktionen<br />
wurden zur <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong> optischen Verstärkung nach Fermis Goldener Regel<br />
benutzt. Die dabei verwendeten optischen Impulsmatrixelemente wurden für unterschiedlich<br />
komplexe Ansätze <strong>der</strong> Wellenfunktionen aufgestellt. Für die beiden Materialsysteme<br />
Al x Ga 1−x As–GaAs und Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As wurde die lokale<br />
optische Verstärkung in TE- und TM- Richtung für verschieden komplexe Bandstrukturmodelle<br />
verglichen.<br />
Für den Al x Ga 1−x As–GaAs–Quantengraben war die berechnete optische Verstärkung<br />
bei allen Modellen in <strong>der</strong>selben Größenordnung. Im Gegensatz dazu lagen<br />
die Werte für den Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As-Quantengraben bei Verwendung <strong>der</strong><br />
ungekoppelten Modelle um ein bis zwei Größenordnungen höher als bei Verwendung<br />
<strong>der</strong> Kopplung <strong>der</strong> HH- und LH- Bän<strong>der</strong> bzw. HH-, LH- und SO- Bän<strong>der</strong>. Die Wellenlängen<br />
<strong>der</strong> maximal verstärkten Lichtwellen wurden bei den drei komplexeren<br />
Modellen bis auf 12 nm genau berechnet.<br />
Für beide Materialsysteme sollten die Leitungsbän<strong>der</strong> gekoppelt berechnet werden.<br />
Für den Al x Ga 1−x As–GaAs–Quantengraben sollte für die TE-Richtung mindestens<br />
das Modell mit <strong>der</strong> Kopplung <strong>der</strong> HH- und LH-Bän<strong>der</strong> benutzt werden. In<br />
TM-Richtung sollte das komplexe Modell mit Kopplung des SO-Bandes verwendet<br />
werden. Für den Al x Ga 1−x As–In x Ga 1−x As-Quantengraben wird in TE-Richtung<br />
das Modell mit SO-Band-Kopplung und in TM-Richtung die gekoppelte <strong>Berechnung</strong><br />
<strong>der</strong> HH- und LH-Bän<strong>der</strong> empfohlen.<br />
In dem Simulator LASER-DESSIS wurden die berechneten Zustandsdichten und<br />
optischen Impulsmatrixelemente zur Bestimmung <strong>der</strong> optischen Verstärkung verwendet.<br />
So war ein erster Vergleich des komplexen k·p-Modells mit dem bestehenden<br />
einfachen k·p-Modell (ungekoppelt) möglich. Die prägnant unterschiedlichen<br />
Ergebnisse bedürfen weiterführen<strong>der</strong> Untersuchungen. So ist eine Verwendung <strong>der</strong><br />
mit dem komplexen k·p-Modell erhaltenen Bandstruktur für die <strong>Berechnung</strong> <strong>der</strong><br />
Ladungsträgerdichten im LASER-DESSIS angebracht. Mit einer Näherung <strong>der</strong> reduzierten<br />
Zustandsdichten durch stückweise Waagerechten kann das Fermiintegral<br />
0. Ordnung weiter verwendet werden.<br />
Desweiteren sind die Einflüsse von Verspannung und Materialparameter auf die<br />
optische Verstärkung zu untersuchen.<br />
Für eine Untersuchung <strong>der</strong> Selbstkonsistenz <strong>der</strong> Bandstruktur mit <strong>der</strong> Poissongleichung<br />
müssen beide in das selbstkonsistente System <strong>der</strong> Modelle von LASER-<br />
DESSIS integriert werden. Dies erfor<strong>der</strong>t weitere Untersuchungen zur Optimierung<br />
<strong>der</strong> Algorithmen.
Anhang<br />
A. Zur Bandstrukturberechnung<br />
A.1. Axiale Approximation: Bei welchem Winkel χ stimmen<br />
die <strong>Berechnung</strong> ohne und mit axialer Approximation überein?<br />
Die <strong>Berechnung</strong> mit und ohne axialer Approximation unterscheidet sich nur im<br />
˜R-Term in (4.45) und (4.49). An den Punkten mit dem Winkel χ stimmen die ˜R<br />
überein, und es muß<br />
( ) 2<br />
γ2(k 2 x 2 − ky) 2 2 + 4γ3k 2 xk 2 y 2 γ2 + γ 3<br />
=<br />
(kx 2 + k 2<br />
2<br />
y) 2 . (9.1)<br />
erfüllt sein.<br />
Mit k y = k x tan χ wird daraus :<br />
γ 2 2(1 − tan 2 χ) 2 k 4 x + 4γ 2 3 tan 2 χk 4 x =<br />
γ 2 2(1 − tan 2 χ) 2 + 4γ 2 3 tan 2 χ =<br />
( ) 2 γ2 + γ 3<br />
(1 + tan 2 χ) 2 kx<br />
4 2<br />
( ) 2 γ2 + γ 3<br />
(1 + tan 2 χ) 2 (9.2)<br />
2<br />
(9.3)<br />
Man erhält die biquadratische Gleichung<br />
Als Lösung ergibt sich :<br />
χ = arctan ⎝<br />
tan 4 χ − 2 5γ 2 + 7γ 3<br />
3γ 2 + γ 3<br />
tan 2 χ + 1 = 0 (9.4)<br />
⎛√<br />
5γ 2 + 7γ 3 − 4 √ ⎞<br />
(γ 2 + γ 3 )(γ 2 + 3γ 3 )<br />
⎠ (9.5)<br />
3γ 2 + γ 3<br />
Die Lösung mit dem Plus-Zeichen ist größer als 45 o und entspricht 1 − χ.<br />
Für Al x Ga 1−x As stellt die Abbildung 9.1 die Abhängigkeit des Winkels χ vom<br />
Aluminiumlegierungsanteil x dar. Für einige x sind sie in Tabelle 4.3 aufgelistet.<br />
Die Winkel liegen alle in dem kleinen Bereich von 20, 27 o bis 21, 35 o .<br />
A.2. Analytische Lösungen des 6×6-Hamiltonians im homogenen<br />
Material<br />
A.2.1. Der Wellenvektor k z<br />
Die Parameter <strong>der</strong> Gleichung zum Ermitteln von k z (5.90) sind<br />
121
122 ANHANG A. ZUR BANDSTRUKTURBERECHNUNG<br />
22<br />
21.8<br />
21.6<br />
21.4<br />
21.2<br />
φ in o<br />
21<br />
20.8<br />
20.6<br />
20.4<br />
20.2<br />
20<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
x<br />
Abbildung 9.1: Abhängigkeit des Winkels χ vom Aluminiumlegierungsanteil x<br />
a = (γ 1 + 4γ 2 )(γ 1 − 2γ 2 ) 2<br />
[ (<br />
)<br />
b(Ē − V h, k ρ ) = (γ 1 − 2γ 2 ) 3 γ 1 (γ 1 + 2γ 2 ) + 4(γ2 2 − γ3)<br />
2 kρ<br />
2<br />
]<br />
+ (γ 1 + 2γ 2 )(∆ − 3(Ē − V h)) + 12γ 2 ζ<br />
)<br />
c(k ρ , k x k y ) = −72iγ 3 k ρ<br />
(γ3k 2 ρ 2 − γ 2 R<br />
d(Ē − V h, k ρ , k x k y ) =<br />
(<br />
(<br />
3<br />
)<br />
γ1 2 − 4γ2(γ 2 1 + γ 2 ) + 12(γ 1 + 4γ 3 )(γ2 2 − γ3)k 2 xk 2 y<br />
2<br />
[<br />
− 6(γ1 2 + 2γ2 2 − 2γ3)(Ē 2 − V h) + 2(γ1 2 + 2γ2 2 + 6γ3)∆<br />
2<br />
(<br />
) ]<br />
+ 6 γ 1 γ 2 + 2(2γ2 2 − γ3)<br />
2 ζ kρ 2 + 3γ 1 (Ē − V h) 2<br />
)<br />
− 2(γ 1 ∆ + 6γ 3 ζ)(Ē − V h) − 3(γ 1 − 4γ 2 )ζ 2 + 4γ 2 ζ∆<br />
e(k ρ , k x k y ) = −k z (36iγ 3 k ρ )<br />
((γ 2 kρ 2 + ζ)R + R 2)<br />
f(Ē − V h, k ρ , k x k y ) = (γ 1 − 2γ 2 )(γ1 2 + 2γ 1 γ 2 − 2γ2)k 2 ρ 6 −<br />
]<br />
+ (γ1 2 + 2γ2)∆ 2 − 6γ 1 γ 2 ζ kρ 4 +<br />
[<br />
3(γ 2 1 − 2γ 2 2)(Ē − V h)<br />
[<br />
3γ 1 (Ē − V h) 2<br />
]<br />
− 2(γ 1 ∆ − 3γ 2 ζ)(Ē − V h) − 3(γ 1 + 2γ 2 )ζ 2 − 2γ 2 ζ∆<br />
+ 12(γ 1 − 2γ 2 )(γ2 2 − γ3)k 2 ρk 2 xk 2 y<br />
2<br />
(<br />
)<br />
− (Ē − V h − ζ) (Ē − V h) 2 − (∆ − ζ)(Ē − V h) − 2ζ 2 − ζ∆<br />
k 2 ρ
ANHANG A. ZUR BANDSTRUKTURBERECHNUNG 123<br />
R =<br />
√<br />
γ 2 2 (k2 x − k 2 y) 2 + 4γ 2 3 k2 xk 2 y (9.6)
124 ANHANG B. DIE SOFTWARE<br />
B. Die Software<br />
Die vorgestellten Algorithmen wurden in einem Programmpaket in <strong>der</strong> mathematischen<br />
Programmiersprache von MATLAB r○ umgesetzt. Das Kernstück ist die Bandstrukturberechnung,<br />
die für symmetrische QW-Strukturen variabler Breite und Materialwahl<br />
die Eigenenergien und die Wellenfunktionen berechnet. Die Software ist<br />
in unabhängigen Modulen programmiert, was eine Erweiterung auf an<strong>der</strong>e Modelle<br />
(zum Beispiel Koppelung von 6 o<strong>der</strong> 8 Bän<strong>der</strong>n) erleichtert. Die Eingaben <strong>der</strong><br />
Struktur und <strong>der</strong> Materialparameter wurden in einem eigenen Modul umgesetzt.<br />
Mit parabolischen Fits an die Kurven <strong>der</strong> Energiedispersion werden effektive<br />
Massen im Zonenzentrum sowie in <strong>der</strong> Nähe des Zonenzentrums berechnet.<br />
Funktionen rechnen aus <strong>der</strong> Energiedispersion <strong>der</strong> vollen Bandstruktur o<strong>der</strong> des<br />
parabolischen Fits die Ladungsträgerdichten in Quasiferminiveaus und umgekehrt<br />
um. Als weiteres können Überlappintegrale von Leitungs- und Valenzbän<strong>der</strong>n, optische<br />
Matrixelemente und optische Verstärkungen aus <strong>der</strong> Energiedispersion, den<br />
Wellenfunktionen und den Quasiferminiveaus berechnet werden.<br />
W X Y Z [ \ X ]<br />
“ ” • – — ˜ •<br />
¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ § ¨ ¥ § ¦<br />
€ ‚<br />
{ | } ~ z<br />
ƒ „ … † ƒ „ ‡<br />
ˆ ‰ Š<br />
© ! " # $ %<br />
1 2 3 3 4 5 6 7 8<br />
o p q n<br />
k l m<br />
f g h i f g j<br />
‹ Œ Ž ‹ Œ ‘ ’<br />
r s t u v w x y<br />
M N O P Q M R M S P T U V<br />
9 : ; < = > ? ; @ A B C D E F G H F I J K L<br />
c d e b<br />
^ _ ` a<br />
& ' ( ) * + , ( , - . / ) 0<br />
Abbildung 9.2: <strong>Berechnung</strong>sschema <strong>der</strong> Grundfunktionen des Programmpaketes.<br />
In Abbildung 9.2 sind die Grundfunktionen und die Reihenfolge ihrer Benutzung<br />
illustriert. Um z.B. die optische Verstärkung g(¯hω) zu erhalten, werden die<br />
mit getfermiE_ berechneten Quasiferminiveaus, die mit bandstruktur erhaltene<br />
Banddispersionen, die Momentum-Matrix-Elemente M 2 ( ⃗ k) aus momentum_matrix<br />
und <strong>der</strong> Materialparameter E P innerhalb <strong>der</strong> Materialliste K aus material benötigt.
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132 LITERATURVERZEICHNIS
Danksagung<br />
Mein ausdrücklicher Dank gilt Prof. Dr. Jürgen Schäfer. Er ermöglichte die Erarbeitung<br />
meiner Diplomarbeit in seiner Gruppe am Institut für Physik <strong>der</strong> TU Ilmenau<br />
und unterstützte meinen Aufenthalt an <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich, Schweiz.<br />
Für die Unterstützung <strong>der</strong> Durchführung dieser Arbeit am Institut für Integrierte<br />
Systeme <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich möchte ich dem Institutsleiter Prof. Dr. Wolfgang<br />
Fichtner danken.<br />
Mein Dank für die interessanten Diskussionen und Ratschläge über die Bandstruktur<br />
in Quantengräben gilt Dr. Vladimir Polyakov am Institut für Festkörperelektronik<br />
<strong>der</strong> TU Ilmenau. Für die konstruktiven Diskussionen über die Bandstrukturalgorithmen,<br />
über Selbstkonsistenz mit <strong>der</strong> Poissongleichung und die Band Gap<br />
Renormalisation sowie Vergleichsrechnungen mit ihren Finite Differenzen-Programmen<br />
möchte ich mich bei Dipl. Ing. Andrei Herasimovich (BSPA Minsk, Weißrußland)<br />
und bei Wolf-Michael Gnehr, Andreas Winzer (beide Institut für Physik, TU Ilmenau)<br />
und Dr. Valentin Nakov (IMMS Ilmenau) bedanken.<br />
Am Institut für Integrierte Systeme <strong>der</strong> <strong>ETH</strong> Zürich danke ich Dipl.-Phys. Michael<br />
Pfeiffer und Dipl.-Ing. Andreas Witzig für die Wegleitung und einige Diskussionen<br />
über Halbleiterlaser und ihre Simulation. Den Administratoren Christoph<br />
Wicki und Anja Böhm des Instituts gilt mein Dank für die computertechnische<br />
Unterstützung. Den Oberassistenten Dölf Aemmer und Norbert Felber sowie Frau<br />
Haller danke ich für ihre Hilfe, u.a. bei den Behördenanträgen.<br />
Beson<strong>der</strong>er Dank gilt meiner Freundin und meiner Familie für erhebliche Unterstützung<br />
meiner Studien.<br />
133
134<br />
Bestätigung<br />
Ich bestätige, daß ich diese Arbeit selbständig angefertigt habe.<br />
Kersten Schmidt