I. Lehrsatz von Pythagoras - Schule.at
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Übungen für die 2. Schularbeit Seite 1<br />
I. <strong>Lehrs<strong>at</strong>z</strong> <strong>von</strong> <strong>Pythagoras</strong><br />
1. In einem rechtwinkligen Dreieck sind: a, b die Längen der K<strong>at</strong>heten, c die Länge<br />
der Hypotenuse, p, q die Längen der Hypotenusenabschnitte, h die Länge der<br />
Höhe auf c und A der Flächeninhalt. Berechne die jeweils fehlenden Größen:<br />
a) a = 24 cm, p = 14,4 cm b) a = 28 cm, b = 45 cm c) A = 924 cm², b = 65 cm<br />
d) p = 48 cm, q = 23 cm e) A = 2166 cm², a = 57 cm f) q = 48 cm, h = 36 cm<br />
2. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Rechtecks. Entnimm die Angaben<br />
in cm der Skizze:<br />
.<br />
6<br />
3. Von einem Rechteck sind b und A gegeben, drücke a, u und d aus.<br />
4. Von einem gleichschenkligen Dreick kennst du A = 1728 cm² und c = 72 cm.<br />
Berechne die Höhe auf c und den Umfang des Dreiecks.<br />
5. Von einem gleichseitigen Dreieck ist der Flächeninhalt A = 120 cm² gegeben.<br />
Berechne die Seitenlänge a, indem du zuvor umformst.<br />
6. Drei Häuser liegen so, dass jedes Haus <strong>von</strong> den beiden anderen 360 m entfernt<br />
ist. Ein Telefonhäuschen soll so errichtet werden, dass die Entfernung <strong>von</strong> jedem<br />
Haus gleich groß ist. An welcher Stelle muss das Telefonhäuschen errichtet werden<br />
und wie weit ist es <strong>von</strong> jedem Haus entfernt? (Skizze!!!)<br />
7. Stelle die Näherungsformel für die theoretische Sichtweite auf und berechne die<br />
theoretische Sichtweite, die man vom Hohen Göll (2522 m) aus genießen kann.<br />
Erdradius: 6370 km.<br />
8. Berechne den Umfang des Dreiecks A(0|3), B(11|1), C(5|9).<br />
9. Vom rechteckigen Monitor eines Computers kennt man die Länge der Diagonale<br />
d=45 cm. Berechne den Umfang des Monitors, wenn sich die Breite zur Höhe wie<br />
4:3 verhalten.<br />
10. Ein Punkt h<strong>at</strong> vom Mittelpunkt M eines Kreises den Zentralabstand z = 60 mm.<br />
Welchen Radius muss der Kreis haben, wenn die Tangentenstrecke die Länge x<br />
= 50 mm haben soll. Löse dieses Beispiel rechnerisch und zeichnerisch.<br />
11. In einem rechtwinkligen Dreieck verhalten sich die Längen der K<strong>at</strong>heten wie 15:8.<br />
Der Flächeninhalt beträgt 2940 cm². Berechne die drei Seitenlängen, die Höhe,<br />
den Umkreisradius und den Inkreisradius.<br />
12. Gegeben ein Deltoid ABCD: a = 60 mm, b = 73 mm, f = 96 mm. Berechne den<br />
Flächeninhalt und die zweite Diagonale.<br />
13. Beweise den S<strong>at</strong>z <strong>von</strong> <strong>Pythagoras</strong> auf zwei Arten.<br />
10<br />
4E, Akademisches Gymnasium Mag. Petra Wagenknecht
Übungen für die 2. Schularbeit Seite 2<br />
14. Der Flächeninhalt eines Trapezes ist 252 cm².<br />
Wie groß ist der Umfang? Entnimm die Maße in<br />
cm der Abbildung.<br />
12<br />
15. Sechseckige Fliesen lassen sich lückenlos<br />
aneinanderlegen. Welche Fläche lässt sich mit<br />
500 Fliesen belegen, wenn ein Sechseck eine<br />
Seitenlänge <strong>von</strong> 4 cm h<strong>at</strong>?<br />
5 18<br />
16. Beweise den Höhens<strong>at</strong>z.<br />
17. Beweise, dass für den Inkreisradius eines rechtwinkeligen Dreiecks gilt:<br />
ρ<br />
=<br />
a<br />
---------<br />
⋅ b<br />
u<br />
II. Algebra<br />
1. Beweise: Die Differenz der Quadr<strong>at</strong>e <strong>von</strong> zwei aufeinanderfolgenden n<strong>at</strong>ürlichen<br />
Zahlen ist gleich der Summe dieser Zahlen.<br />
2. Beweise: Eine ungerade Quadr<strong>at</strong>zahl ergibt bei Division durch 4 den Rest 1.<br />
3. Ergänze in den folgenden Gleichungen die Leerstellen:<br />
a) x²+6x+ = (x + )² b) 4a² - = ( + 3b).( - )<br />
c) 16y² - 8yz + =( - )² d) x² - 9x + = (x - )²<br />
e) u² + u + = ( + )² f) ( + )³ = c³ + + + 8d³<br />
g) ( - )³=- 48a²b + 12ab²- h) ( + )³= + 36x²y + + 27y³<br />
i) x² + 3x + = ( + )² j) (2a + )³ = + 24a²b + +<br />
4. Berechne und überprüfe das Ergebnis durch Ausmultiplizieren:<br />
a) (4a + b + 3c)² b) (-2a + 3b - c)²<br />
c) (-5a + 3b)³ d) ( -3u - 4v)³<br />
5. Ein Gewinn <strong>von</strong> 1 850 € wird unter drei Personen so verteilt, dass die zweite Person<br />
um 50 € weniger als die erste bekommt; die dritte erhält das Doppelte der<br />
zweiten Person. Wie viel erhält jede?<br />
6. In einem Deltoid ist die Diagonale e um 5 cm länger als die Diagonale f. Verlängert<br />
man e um 3 cm und verkürzt f um 2 cm, so erhält man ein Deltoid mit demselben<br />
Flächeninhalt. Berechne die Längen der beiden Diagonalen.<br />
7. Herr Nader ist Firmenvertreter und h<strong>at</strong> ein Grundgehalt <strong>von</strong> 1650 €, weiters erhält<br />
er 8 % des <strong>von</strong> ihm erzielten Ums<strong>at</strong>zes als Provision. Im letzten Mon<strong>at</strong> kam er auf<br />
ein Gehalt <strong>von</strong> 2430 €. Wie hoch war sein Ums<strong>at</strong>z in diesem Mon<strong>at</strong>?<br />
8. Die Zehnerziffer einer dreiziffrigen Zahl ist 5, Einer- und Hunderterziffer sind einander<br />
gleich. Vertauscht man die Zehner- und die Einerziffer, so entsteht eine um<br />
18 größere Zahl. Wie lautet die ursprüngliche Zahl?<br />
4E, Akademisches Gymnasium Mag. Petra Wagenknecht