Zentralabitur 2013 Grundlegendes ... - STARK Verlag

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Zentralabitur 2013 Grundlegendes ... - STARK Verlag

Hamburg Kernfach Mathematik – Zentralabitur 2013

Grundlegendes Anforderungsniveau – Analysis 1

Halbinsel

Eine in einen See ragende künstlich

angelegte Halbinsel soll neu gestaltet

werden. Die Halbinsel ist in Ost-West-

Richtung 30 m breit, auf der westlichen

Seite ragt die Halbinsel in Nordrichtung

15 m (Punkt C), auf der östlichen Seite

10 m (Punkt D) in den See (siehe Abbildung

in der Anlage).

Ein neuer Praktikant erstellt für den

Verlauf der nördlichen Strandlinie

die Funktionsgleichung g(x) =− 7 x 2 + 13 x + 15 für 0 ≤ x ≤ 30.

90 6

Der Projektleiter zweifelt dieses Ergebnis an und fordert seinen Praktikanten auf,

exemplarisch für drei Punkte mit x-Werten aus dem Intervall [5; 25] zu überprüfen,

ob der Funktionsgraph von g mit der Strandlinie übereinstimmt. Eine Abweichung

der Funktionswerte von den gemessenen Werten (siehe Abbildung in der Anlage)

von maximal 1 m soll akzeptiert werden.

Punkte

a) • Bestätigen Sie durch Rechnung, dass der Zweifel des Projektleiters berechtigt

ist.

• Begründen Sie, warum die nördliche Strandlinie nicht auf dem Graphen

einer quadratischen Funktion (Parabel) liegen kann (siehe Abbildung in

der Anlage). 20

Die Planungsabteilung geht davon aus, dass die Strandlinie durch eine Funktion

f dritten Grades modelliert werden kann. Zur Erstellung der Funktionsgleichung

werden an den beiden Punkten C(0 | 15) und D(30 | 10) noch Winkelpeilungen

vorgenommen: Am Punkt C hat die Strandlinie einen Winkel

von 45° zur Ost-West-Achse, am Punkt D einen Winkel von 116,57° (siehe

Abbildung in der Anlage).

b) • Bestätigen Sie mithilfe des gegebenen Winkels, dass die Steigung der

Strandlinie im Punkt D den Wert –2 aufweist.

• Zeigen Sie, dass die Koordinaten von D und die Steigung der Strandlinie

in diesem Punkt zur Funktion f mit der folgenden Gleichung passen:

1 3 1

f (x) =− x − x 2+ x + 15 für 0 ≤ x ≤ 30 15

1350 60

5

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Im Folgenden wird die in Aufgabenteil b genannte Funktion f genutzt.

c) Berechnen Sie, wie weit die Halbinsel in Nordrichtung in den See ragt. 20

Ein Plan sieht vor, dass auf dem Gebiet

der Halbinsel eine Fläche in Form eines

rechtwinkligen Dreiecks abgeteilt und

bepflanzt werden soll, die im Punkt V

auf die Strandlinie trifft. Die abgeteilte

Dreiecksfläche soll maximal werden.

d) Bestimmen Sie den maximalen Inhalt

der Dreiecksfläche und die Koordinaten

des zugehörigen Punktes V.

20

Die von der durch den Graphen der Funktion f gegebenen Strandlinie und der

Hypotenuse CV des Dreiecks eingeschlossene Fläche soll 40 cm hoch mit

Spielsand bedeckt werden.

e) Ermitteln Sie das Volumen des benötigten Sandes.

Hinweis: Wenn Sie Teilaufgebe d nicht gelöst haben, rechnen Sie für den

Punkt V mit dem unzutreffenden Ersatzwert V E (19,57 | f(19,57)). 25

Anlage zur Aufgabe „Halbinsel“

100

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Hinweise und Tipps

Teilaufgabe a

Überprüfung Graph und Standlinie

r Wählen Sie drei Punkte aus dem Intervall [5; 25] aus, beispielsweise den Anfangsund

Endpunkt des Intervalls und einen dritten Punkt dazwischen.

r Lesen die Ordinaten (y-Werte) dieser Punkte ab.

r Beachten Sie den Maßstab des Koordinatensystems.

r Ermitteln Sie rechnerisch die Ordinaten, indem Sie die x-Koordinate in die Funktionsgleichung

einsetzen.

r Bilden Sie jeweils die Differenz der Ordinaten.

r Zur Bestätigung des Zweifels vom Objektleiter beachten Sie, dass die Abweichungen

maximal 1 m betragen dürfen.

Begründung, dass nördliche Strandlinie keine Parabel ist

r Beurteilen Sie den Graphen bezüglich Achsensymmetrie.

r Durch welchen Punkt muss die Symmetrieachse bei einer Parabel gehen?

r Achsensymmetrie bedeutet Spiegelung an der Symmetrieachse.

r Stellen Sie fest, ob eine Spiegelung an einer Achse vorliegt.

Teilaufgabe b

Steigung der Strandlinie

r Die Steigung einer Funktion f an einer bestimmten Stelle x 0 ist gleich dem Anstieg m

der Tangente an die Kurve mit m = tan α.

Gleichung für die Funktion f der Strandlinie

r Bestätigen Sie durch Punktprobe (Einsetzen der Koordinaten des Punktes D in die

Funktionsgleichung), dass der Punkt auf der Strandlinie liegt.

r Überlegen Sie, was die erste Ableitung an einer Stelle der Funktion angibt.

Teilaufgabe c

r Die größte Ausdehnung der Halbinsel in Nordrichtung liegt beim Hochpunkt der

Funktion f(x).

r Notwendige Bedingung für einen Hochpunkt ist, dass f '(x) = 0 ist.

r Zum Nachweis, dass ein Maximum vorliegt, benötigen Sie die zweite Ableitung –

hinreichende Bedingung ist, dass f ''(x) < 0 ist.

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Teilaufgabe d

r Es liegt eine Extremwertaufgabe vor.

r Das Gesuchte stellt die Hauptbedingung (Extremalbedingung) und das Gegebene die

Nebenbedingung dar.

r Umformen und Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die

Zielfunktion, die genau eine Variable enthält.

r Stellen Sie mithilfe der Haupt- und Nebenbedingung die Gleichung der Zielfunktion

auf.

r Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung.

r Beachten Sie die notwendige Bedingung A'(v) = 0 für ein Extremum und die hinreichende

Bedingung A''(v) < 0 für ein Maximum.

r Berechnen Sie mögliche Extrema und beachten Sie den Definitionsbereich von v.

r Wenn Sie den Extremalwert v E in die Zielfunktion einsetzen, dann erhalten Sie die

maximale Fläche.

r Für den Punkt V gilt: V(v E | f(v E )).

Teilaufgabe e

r Die Fläche, die der Spielsand bedeckt, wird durch den Graphen der Funktionen f(x)

und der Hypotenuse CV des Dreiecks begrenzt.

r Die Hypotenuse ist Teil einer Geraden durch die beiden Punkte C und V.

r Stellen Sie die Geradengleichung auf.

r Beachten Sie, dass Sie die Differenz der Begrenzungsfunktionen für das bestimmte

Integral verwenden.

r Bestimmen Sie die Stammfunktion, die Integralgrenzen und berechnen Sie die vom

Spielsand bedeckte Fläche.

r Nun können Sie auch das Volumen des Spielsandes berechnen.

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Lösung

a) Zur Überprüfung werden die drei Punkte P 1 (5 | g(5)), P 2 (15 | g(15)) und

P 3 (25 | g(25)) gewählt.

7 2 13

90 6

g(5) = 23,88 ≈ 23,9

g(15) = 30

g(25) = 20,55 ≈ 20,6

Mit g(x) =− x + x + 15 ist

Ablesen der Ordinaten (y-Werte) aus der Grafik: Maßstab 10 mm 5 m

39⋅5

P 1: 39 mm m ≈19,5 m

10

48⋅5

P 2: 48 mm m = 24 m

10

36⋅5

P 3: 36 mm m = 18 m

10

Abweichungen:

für Punkt P 1: 23,9 − 19,5 = 4,4

P 2: 30,0 − 24 = 6

P : 20,6 − 18 = 2,6

3

Da in allen Fällen die Abweichung größer als 1 m ist, besteht die Anzweiflung

des Projektleiters zu Recht.

Jede Parabel als Graph einer quadratischen Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich

der Parallelen zur y-Achse durch ihren Scheitelpunkt. Dies ist hier jedoch

nicht der Fall.

b) tan 116,57° ≈ –2

Punktprobe d. h.: Koordinaten von D(30 | 10) in f(x) einsetzen:

1 3 1

f (30) =− ⋅30 − ⋅ 302+ 30 + 15 = 10

1350 60

10 = 10 w. A.

Anstieg → 1. Ableitung

1 2 1

f '(x) =− x − x+

1

450 30

1 2 1 900

f'(30) =− ⋅30 − ⋅ 30 + 1 =−

450 30 450

f '(30) = −2

Beide Werte passen zur Funktion f(x).

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c) Die größte Ausdehnung der Halbinsel in Nordrichtung liegt beim Hochpunkt der

Funktion f(x). Notwendige und hinreichende Bedingungen für einen Hochpunkt

sind f '(x E ) = 0 ∧ f ''(x E ) < 0.

1 2 1

f '(x) =− x − x + 1

450 30

1 1

f ''(x) =− x −

225 30

Mit f '(x) = 0 ⇒


1 2 1

− x − x + 1 = 0

450 30

x 2 + 15x − 450 = 0

⏐⋅ ( − 450)

x =− 7,5 ± 56,25 + 450

1, 2

x1, 2 =− 7,5 ± 506,25

x1, 2 =− 7,5±

22,5

x1

= 15

x 2 =−30 keine Lösung, da ∉D

Prüfen, ob x = 15 ein Hochpunkt ist:

1 1

f ''(15) =− ⋅15


225 30

1

=− < 0 ⇒ H(15 | f (15))

10

Für die größte Ausdehnung der Halbinsel in Nordrichtung gilt f(15) = 23,75.

Die Halbinsel ragt in Nordrichtung 23,75 m in den See.

d) Extremwertberechung:

Mit den gegebenen Angaben gilt für die Fläche des Dreiecks CBV

A(v) = 0,5 ⋅ v ⋅ (f(v) – 15)

Hauptbedingung (HB)

1 3 1

f (v) =− v − v2+ v + 15 Nebenbedingung (NB)

1350 60

NB in HB einsetzen ⇒ Zielfunktion (ZF):

1 3 1

A(v) = 0,5v ⋅


v v2

v 15 15


⎜− − + + −

1350 60




1 4 1 3 1

A(v) =− v − v + v2

2 700 120 2

Notwendige Bedingung für ein Extremum ist

A'(v) = 0

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1

Mit 3 1

A'(v) =− v − v2+ v gilt:

675 40

1 3 1

− v − v2+ v = 0

675 40

⏐⋅ ( − 675)

⇔ 3 135

v + v2− 675v = 0

8

⏐v ausklammern

2 135

( )

⇔ v⋅ v + v − 675 = 0

8

⇒ v 1 = 0

⇒ 2 135

v + v − 675 = 0

8

2

135 135

v2, 3 =− ± ( ) + 675

16 16

135

v2, 3 ≈− ± 746,19

16

≈ 135 − ± 27,316

16

v2≈18,8785 ; v3≈−35,7535

Die Lösungen v 1 = 0 und v 3 = –35,7535 scheiden aus, da für v 1 = 0 und für v 3 < 0

kein Dreieck vorhanden ist. Damit kann nur bei v 2 ≈ 18,8785 ein Extremum

vorliegen.

Art des Extremums prüfen:

1 2 1

A''(v) =− v − v + 1

225 20

1 2 1

A''(18,8785) =− ⋅18,8785 − ⋅ 18,8785 + 1 ≈−1,5279

225 20

Da A''(18,8785) < 0 ⇒ An der Stelle v ≈ 18,8785 existiert ein Maximum.

Somit ergibt sich für den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks CBV

(18,8785 in ZF einsetzen):

1 4 1 3 1

A(18,8785) =− ⋅18,8785 − ⋅ 18,8785 + ⋅18,87852

2 700 120 2

A(18,8785) ≈ 75,1

Die maximale rechtwinklige Dreiecksfläche beträgt etwa 75 m 2 .

Koordinaten des Punktes V:

1 3 1

f (18,8785) =− ⋅18,8785 − ⋅ 18,87852+ 18,8785 + 15

1350 60

f (18,8785) ≈ 22,95

Der Punkt V hat näherungsweise die Koordinaten V(18,88 | 22,95).

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e) Fläche zwischen dem Graphen von f und der Hypotenuse CV (Gerade CV)

Geradengleichung g 1

(x) aufstellen mit C(0 | 15) und V(18,88 | 22,95) (siehe

Teilaufgabe d)

g 1

(x) = m ⋅ x + b

Da die Gerade durch (0 | 15) geht.

⇒ b = 15

Koordinaten von V in g 1

(x) einsetzen

7,95 795

795

22,95 = m ⋅ 18,88 + 15 ⇒ m = = , also g 1(x) = x + 15

18,88 1888

1888

Für die Fläche zwischen den Graphen von f und g 1

gilt dann

18,88

A = (f(x) − g (x)) dx


0

1

und für das Volumen des benötigten Sandes:

18,88

V = 0,4⋅A ≈0,4 ⋅ (f (x) −g (x)) dx


1

0

18,88

1 3 1 2

795

≈0,4⋅ ⎡⎛ x x x 15

⎞ ⎛

x 15

⎞⎤

∫ ⎢⎜− − + + dx

1350 60

⎟− ⎜ +

1888

⎟⎥

0 ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

18,88

1 4 1 3 1 2 1 795

≈0,4⋅ ⎡

− x − x + x + 15x − ⋅ x 2 −15x



⎣ 5 400 180 2 2 1888 ⎥

⎦0

⎛ 1 4 1 3 1093

0,4 18,88 18,88 18,882⎞

≈ ⋅⎜− ⋅ − ⋅ + ⋅

5 400 180 3 776




≈16,91

Es werden etwa 16,9 m 3 Spielsand benötigt.

Hinweis: Mit den Koordinaten des Ersatzpunktes erhält man 19,2 m 3 Spielsand.

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