Kennzahlen im Portfolio und Asset Management - Lehrstuhl für ...

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Kennzahlen im Portfolio und Asset Management - Lehrstuhl für ...

Proseminar Methoden

Wintersemester 2010/2011

Kennzahlen im Portfolio und Asset Management

Dipl.-Ök. Michael Langer

Lehrstuhl für Wirtschaftsstatistik

Schumpeter School of Business and Economics

Bergische Universität Wuppertal


Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen des Portfoliomanagements

2 Renditen und deren Verteilung

3 Risikomaße

4 Literaturüberblick


Grundlagen des Portfoliomanagements

Moderne Portfoliotheorie nach Markowitz (Markowitz (1952) und

Markowitz (1959))

• Rendite, Risiko und Korrelation

• Diversifikation als Portfolioinstrument

Portfoliooptimierung nach Markowitz

Rendite

0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08


Effiziente Portfolios

Ineffiziente Portfolios

MinVar Portfolio


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Volatilität


Grundlagen des Portfoliomanagements

• Eckpfeiler der modernen Finanzwirtschaft

• Moderne Portfoliotheorie (Markowitz (1952) und Markowitz (1959))

• CAPM (Sharpe (1964), Lintner (1965) und Mossin (1966))

• Arbitrage Pricing Theory (Ross (1976))

• Vorteile der modernen Portfoliotheorie

• Rückgriff auf etablierte statistische Verfahren

• Numerisch einfache Verfahren

• Intuitive Interpretation

• Kritische Annahmen der modernen Portfoliotheorie

• Projektion von vergangenen auf zukünftige Ereignisse

• Normalverteilung

• Quadratische Nutzenfunktion

• linearer Zusammenhang

• Volatilität als Risikomaß

• Risikoaversion


Renditen und deren Verteilung

Renditedefinitionen

Eindimensionales Maß des Anlageerfolges

• Diskrete Rendite

R t = S t − S t−1

S t−1

= S t

S t−1

− 1

• Stetige Rendite

R t = ln S t

S t−1

• Für „kleine“ Renditen approximativ gleich

• Annahme stetige Verzinsung (permanenter

Zinseszinszahlungen)

• Vorteile der stetigen Rendite

• Varianzstabilisierend (Box-Cox-Transformation)

• Summierbar

• Sonstiges (Vgl. Dorfleitner (2002))


Renditen und deren Verteilung

Deskriptive Analyse

a) Renditen Hannover Rück

b) Renditen Volkswagen

−0.5 0.0 0.5

2000 2002 2004 2006 2008 2010

c) Renditen MAN

2000 2002 2004 2006 2008 2010

−0.5 0.0 0.5

−0.5 0.0 0.5

d) Renditen DAX

−0.5 0.0 0.5

2000 2002 2004 2006 2008 2010

2000 2002 2004 2006 2008 2010

Abbildung: Ausgewählte Renditeverläufe


Renditen und deren Verteilung

Deskriptive Analyse

a) Renditeverteilung Hannover Rück

b) Renditeverteilung Volkswagen

0 5 10 15 20 25

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

c) Renditeverteilung MAN

0 5 10 15 20

0 5 10 15 20

d) Renditeverteilung DAX

0 5 10 15 20 25 30 35

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

Abbildung: Ausgewählte Renditeverteilungen


Renditen und deren Verteilung

Deskriptive Analyse

Statistiken Hannover Rück MAN Volkswagen DAX

N 2795 2795 2795 2795

¯x 0,0000 0,0003 0,0000 0,0000

x 0.5 0,0000 0,0000 0,0004 0,0008

x min -0.1821 -0.1314 -0,6031 -0,0887

x max 0.1643 0.1542 0,9027 0,1080

σ 2 0,0246 0,0246 0,0346 0,0165

S(X) -0,4845 -0,0043 5,8897 0,0280

K(X) 8,5806 2,9678 230,7081 4,1636

Tabelle: Deskriptive Statistiken der Renditeverteilungen


Renditen und deren Verteilung

Potentielle Verteilungen

Potentielle Verteilungen für Finanzmarktdaten

• Generalisierte hyperbolische Verteilungen (Barndorff-Nielsen

(1977), McNeil, Frey und Embrechts (2005))

• (α-)stabile Verteilungen (Rachev (2003), Rachev(2005))


Risikomaße

• Risikoarten:

• Kreditrisiko

• Marktrisiko

• Liquiditätsrisiko

• Operationales Risiko

• · · ·

• Konzentration auf Marktrisiken

• Marktrisiken: Potentielle Verluste aus nachteiligen

Marktpreisveränderungen

• Welche wünschenswerten Eigenschaften sollte ein

Finanzrisikomaßes erfüllen?


Risikomaße

• Verschiedene axiomatische Ansätze für Risikomaße

• Axiomensystem aus Artzner et al (1999) besitzt die höchste

Verbreitung im wissenschaftlichen Schrifttum

• Axiomensystem nach Artzner et al (1999)

• Translationsinvarianz ρ(X + αr) = ρ(X) − α

• Positive Homogenität ρ(λX) = λρ(X), für λ ≥ 0

• Subadditivität ρ(X 1 + X 2) ≤ ρ(X 1) + ρ(X 2)

• Monotonie X ≤ Y ⇒ ρ(X) ≤ ρ(Y)


Risikomaße

Volatilität


σ = E [(R − E(R)) 2 ]

• Bekanntes statistisches Streuungsmaß

• Einfache Optimierung (quadratische Optimierung)

• Normalverteilungsannahme kritisch

• Zweiseitiges Risikomaß

• Kein kohärentes Risikomaß


Risikomaße

Lower Partial Moments n-ter Ordnung (LPM n )

LPM n =

∫ RMAR

−∞

(R MAR − X) n f (X)dX

= E(max(R MAR − X, 0) n )

• Downside-Abweichungsmaß (betrachten nur Verlustseite)

• Generelles Maß (n und R MAR müssen gewählt werden)

• Nutzt frei wählbare Mindestrenditen R MAR (Minimum acceptable

return)

• Ordnung n muss nicht ganzzahlig sein

• Numerisch anspruchsvoller als Mean-Variance Ansatz

• Nur LPM 1 kohärent


Risikomaße

Spezialfälle

• Ausfallwahrscheinlichkeit (LPM 0 )

LPM 0 = P(X ≤ R MAR )

= F(R MAR )

• Ausfallerwartungswert (LPM 1 )

LPM 1 = E(max(R MAR − X, 0))

• Ausfallvarianz (LPM 2 )

LPM 2 = E(max(R MAR − X, 0) 2 )

R MAR = E(X) ⇒ LPM 2 = Semivarianz

LPM 2 = E(max(R MAR − X, 0) 2 )


Risikomaße

Value at Risk (VaR)

VaR α (X) = FX

−1 (α)

• α-Quantil der Verteilung der Portfoliowertänderungen oder

Renditen

• Notwendiges zu hinterlegendes Kapital (Basel II)

• Verschiedene Schätzmethoden

• Historische Simulation

• Parametrische Varianz-Kovarianz-Methode

• Normalverteilung:

F −1

X (α) = E(X) + qα ∗ σ(X)

• Cornish-Fisher-Approximation:

z α = q α + 1 6 (q2 α − 1) ∗ γ + 1 24 (q3 α − 3q α) ∗ δ − 1 36 (2q3 α − 5q α) ∗ γ 2

• Monte-Carlo-Simulationen

• Kein kohärentes Risikomaß


Risikomaße

Abbildung: Theoretischer VaR

Quelle: Hull (2005, S. 436-437)


Risikomaße

Expected Shortfall (ES) oder Conditional Value at Risk (CVaR)

ES α (X) = E(X|X < VaR α (X))

• Mittlerer Verlust, falls der VaR überschritten wird

• Koheräntes Risikomaß

Andere Darstellungsform

ES α (X) =

VaR α (X) + E[X − VaR α (X)|X < −VaR α (X)]

} {{ } } {{ }

(1 − α)100%-Maximalverlust Durchschnittliche Überschreitung

im Überschreitungsfall

• Quantils-Reserve (VaR) plus eine Exzess-Reserve


Risikomaße

Drawdown

• Prozentuale Abweichung vom Höchststand

• Maximum Drawdown ist sie die maximale prozentuale

Abweichung vom Höchststand

• Durchschnittlicher Drawdown ist sie die durchschnittliche

prozentuale Abweichung vom Höchststand

• Beliebt im Money Management oder Hedge Fond-Bereich

• Intuitive Interpretation


Risikomaße

a) Dax

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

2000 2002 2004 2006 2008 2010

b) Relative Drawdowns

0.0 0.2 0.4 0.6

2000 2002 2004 2006 2008 2010

c) Maximaler Drawdown

0.0 0.2 0.4 0.6

2000 2002 2004 2006 2008 2010

Abbildung: DAX Drawdowns


Risikomaße

Statistiken Hannover Rück MAN VW DAX

Volatilität 0.3916 0.4143 0.5507 0.2624

Semivolatilität 0.2491 0.2603 0.3087 0.1732

MaxDrawdown -0.7746 -0.8127 -0.9571 -0.7674

VaR 1% -0.0573 -0.0604 -0.0807 -0.0384

VaR 5% -0.0405 -0.0426 -0.0570 -0.0271

MVaR 1% -0.1135 -0.0787 NA -0.0542

MVaR 5% -0.0396 -0.0411 NA -0.0256

ES 1% -0.0657 -0.0693 -0.0924 -0.0440

ES 5% -0.0508 -0.0535 -0.0715 -0.0340

MES 1% -0.1135 -0.0963 NA -0.0542

MES 5% -0.0789 -0.0613 NA -0.0387

Tabelle: Risikokennzahlen


Risikomaße

Anwendungsgebiete von Risikomaßen

• Risikomanagement oder Risikocontrolling

• Identifikation von Risiken

• Quantifizierung von Risiken

• Steuerung von Risiken

• Performancemessung

• Ex-post Größe zur Beurteilung des Anlageerfolges

• Welche Anlageentscheidung wäre positiv gewesen?

• Performance ≠ Rendite

• Risikoadjustierte Rendite = Überrendite

Risikomaß

• Kennzahl zur Wertpapierauswahl

• Momentumeffekte (Jegadeesh und Titman (1993))

• Projektion auf zukünftige Ereignisse


Risikomaße

Risikomaß

Standardabweichung

Performancemaß

Sharpe-Ratio

Lower Partial Moments

LPM 1

Omega

LPM 2

Sortino-Ratio

LPM 3 Kappa 3

Drawdowns

Maximum

Durchschnitt

Value at Risk

Standard VaR

CVaR

MVaR

Calmar-Ratio

Sterling-Ratio

Excess Return on Value at Risk

Conditional Sharpe-Ratio

Modified Sharpe-Ratio


Literaturüberblick

Statistik

• Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I. und Tutz, G. (2009): Statistik: Der Weg zur

Datenanalyse, 7. Auflage, Springer, Berlin.

• Toutenburg, H. und Heumann, C. (2009): Deskriptive Statistik: Eine Einführung in

Methoden und Anwendungen mit R und SPSS, 7. Auflage, Springer, Berlin.

• Toutenburg, H. und Heumann, C. (2008): Induktive Statistik: Eine Einführung mit

R und SPSS, 4. Auflage, Springer, Berlin.

Finanzstatistik und quantitative Finanzwirtschaft

• Campbell, J. Y., Lo, A. W. und MacKinlay, A. C. (1997): The Econometrics of

Financial Markets, Princeton University Press, Princeton (New Jersey).

• Franke, J., Härdle, W. und Hafner, C. (2004): Einführung in die Statistik der

Finanzmärkte, 2. Auflage, Springer, Berlin.

• Hull, J. C. (2005): Options, Futures, and other derivatives, 6. Auflage, Prentice

Hall, Upper Saddle River (New Jersey).

• Schmid, F. und Trede, M. (2006): Finanzmarktstatistik, Springer, Berlin.


Literaturüberblick

Finanzwirtschaft und Portfoliomanagement (Allgemein)

• Bodie, Z., Kane, A. und Marcus, A. J. (2009): Investments, 8. Auflage,

McGraw-Hill, Boston (Massachusetts).

• Elton, E. J., Gruber, M. J., Brown, S. J. und Goetzmann, W. N. (2007): Modern

Portfolio Theory and Investment Analysis, 7. Auflage, Wiley, New York.

• Spremann, K. (2008): Portfoliomanagement, 4. Auflage, Oldenbourg, München.

• Steiner, M. und Bruns, C. (2007): Wertpapiermanagement: Professionelle

Wertpapieranalyse und Portfoliostrukturierung, 9. Auflage, Schäffer-Poeschel,

Stuttgart.

Finanzwirtschaft und Portfoliomanagement (Speziell)

• Jegadeesh, N. und Titman, S. (1993): Returns to Buying Winners and Selling

Losers: Implications for Stock Market Efficiency, Journal of Finance 48, S. 65-91.

• Lintner, J. (1965): The Valuation of Risk Assets and Selection of Risky

Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets, Review of Economics and

Statistics 47, S. 13-37.

• Markowitz, H. M. (1952): Portfolio Selection, Journal of Finance 7, S.77-91.

• Markowitz, H. M. (1959): Portfolio Selection: Efficient Diversification of

Investments, Wiley, New York.


Literaturüberblick

• Mossin, J. (1964): Equilibrium in a Capital Asset Market, Econometrica 34, S.

768-783.

• Ross, S. (1964): The arbitrage theory of capital asset pricing, Journal of

Economic Theory 13, S. 341360.

• Sharpe, W. F. (1964): Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under

Conditions of Risk, Journal of Finance 19, S. 425-442.

Risikomaße

• Acerbi, C. und Tasche, D. (2002): On the coherence of expected shortfall, Journal

of Banking & Finance, 26, S. 1487-1503.

• Albrecht, P. (2003): Zur Messung von Finanzrisiken, Mannheimer Manuskripte zu

Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft, 143,

Mannheim.

• Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M. und Heath, D. (1999): Coherent measures of

risk, Mathematical finance, 9, S. 203-228.

• Biglova, A., Ortobelli, S., Rachev, S. und Stoyanov, S. (2004): Different

Approaches to Risk Estimation in Portfolio Theory, Journal of Portfolio

Management, 31, S. 103-112.


Literaturüberblick

• Daldrup, A. (2005): Kreditrisikomaße im Vergleich, Arbeitsbericht des Instituts für

Wirtschaftsinformatik, Universität Göttingen, 13, Göttingen.

• Dorfleitner, G. (2002): Stetige versus diskrete Renditen: Überlegungen zur

richtigen Verwendung beider Begriffe in Theorie und Praxis, Kredit und Kapital

35, S. 216-241.

• Dowd, K. (1998): Beyond Value at Risk, Wiley, Chichester u.a.

• Fishburn, P. (1977): Mean-Risk Analysis With Risk Asssociated With

Below-Target returns, American Economic Review 67, S. 116-126.

• Grossman, S. J., und Zhou, Z. (1993): Optimal Investment Strategies for

Controlling Drawdowns, Mathematical Finance 3, S. 241-276.

• Szegö, G. (2005): Measures of risk, European Journal of Operational Research

163, S. 5-19.

• Tasche, D. (2002): Expected shortfall and beyond, Journal of Banking & Finance

26, S. 1519-1533.


Literaturüberblick

Performancemaße

• Eling, M. und Schuhmacher, F. (2007): Does the choice of performance measure

influence the evaluation of hedge funds? Journal of Banking & Finance 31, S.

26322647.

• Jensen, M. (1969): Risk, the pricing of capital assets, and the evaluation of

investment portfolios, Journal of Business 43, S. 167-247.

• Jensen, M. (1968): The performance of mutual funds in the period 1945-1964,

Journal of Finance 23, S. 389-416.

• Magdon-Ismail, M. und Atiya, A. (2004): Maximum Drawdown, Risk Magazine

17, S. 99-102.

• Markowitz, H. M. (1959): Portfolio Selection: Efficient Diversification of

Investments, Wiley, New York.

• Rachev, S. T., Stoyanov, S. V. und Fabozzi, F. J. (2008): Advanced stochastic

models, risk assessment, and portfolio optimization: The ideal risk, uncertainty,

and performance measures, Wiley, Hoboken (New Jersey).

• Sharpe W. (1994): The Sharpe Ratio, Journal of Portfolio Management 21, S.

49-58.


Literaturüberblick

• Sortino, F. A. und Price, L. N. (1994): Performance Measurement In A Downside

Risk Framework, Journal of Investing 3, S. 59-64.

• Treynor, J. (1965): How to rate management of investment funds, Harvard

Business Review 43, S. 63-75.

Verteilungen

• Barndorff-Nielsen, O. (1977): Exponentially decreasing distributions for the

logarithm of particle size, Proceedings of the Royal Society London A 353, S.

401-419.

• McNeil, A.J., Frey, R. und Embrechts, P. (2005): Quantitative Risk Management,

Princeton University Press, Princeton (New Jersey).

• Rachev, S. T., Menn, C. und Fabozzi, F. J. (2005): Fat-tailed and skewed asset

return distributions: Implications for risk management, portfolio selection, and

option pricing, Wiley, Hoboken (New Jersey).

• Rachev, S., Ed. (2003): Handbook of Heavy-tailed Distributions in Finance,

Elsevier, Amsterdam u. a.

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