Kennzahlen im Portfolio und Asset Management - Lehrstuhl für ...

Proseminar Methoden
Wintersemester 2010/2011
– Kennzahlen im Portfolio und Asset Management –
Dipl.-Ök. Michael Langer
Lehrstuhl für Wirtschaftsstatistik
Schumpeter School of Business and Economics
Bergische Universität Wuppertal

Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen des Portfoliomanagements
2 Renditen und deren Verteilung
3 Risikomaße
4 Literaturüberblick

Grundlagen des Portfoliomanagements
Moderne Portfoliotheorie nach Markowitz (Markowitz (1952) und
Markowitz (1959))
• Rendite, Risiko und Korrelation
• Diversifikation als Portfolioinstrument
Portfoliooptimierung nach Markowitz
Rendite
0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
●
Effiziente Portfolios
Ineffiziente Portfolios
MinVar Portfolio
●
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Volatilität

Grundlagen des Portfoliomanagements
• Eckpfeiler der modernen Finanzwirtschaft
• Moderne Portfoliotheorie (Markowitz (1952) und Markowitz (1959))
• CAPM (Sharpe (1964), Lintner (1965) und Mossin (1966))
• Arbitrage Pricing Theory (Ross (1976))
• Vorteile der modernen Portfoliotheorie
• Rückgriff auf etablierte statistische Verfahren
• Numerisch einfache Verfahren
• Intuitive Interpretation
• Kritische Annahmen der modernen Portfoliotheorie
• Projektion von vergangenen auf zukünftige Ereignisse
• Normalverteilung
• Quadratische Nutzenfunktion
• linearer Zusammenhang
• Volatilität als Risikomaß
• Risikoaversion

Renditen und deren Verteilung
Renditedefinitionen
Eindimensionales Maß des Anlageerfolges
• Diskrete Rendite
R t = S t − S t−1
S t−1
= S t
S t−1
− 1
• Stetige Rendite
R t = ln S t
S t−1
• Für „kleine“ Renditen approximativ gleich
• Annahme stetige Verzinsung (permanenter
Zinseszinszahlungen)
• Vorteile der stetigen Rendite
• Varianzstabilisierend (Box-Cox-Transformation)
• Summierbar
• Sonstiges (Vgl. Dorfleitner (2002))

Renditen und deren Verteilung
Deskriptive Analyse
a) Renditen Hannover Rück
b) Renditen Volkswagen
−0.5 0.0 0.5
2000 2002 2004 2006 2008 2010
c) Renditen MAN
2000 2002 2004 2006 2008 2010
−0.5 0.0 0.5
−0.5 0.0 0.5
d) Renditen DAX
−0.5 0.0 0.5
2000 2002 2004 2006 2008 2010
2000 2002 2004 2006 2008 2010
Abbildung: Ausgewählte Renditeverläufe

Renditen und deren Verteilung
Deskriptive Analyse
a) Renditeverteilung Hannover Rück
b) Renditeverteilung Volkswagen
0 5 10 15 20 25
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
c) Renditeverteilung MAN
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
d) Renditeverteilung DAX
0 5 10 15 20 25 30 35
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
Abbildung: Ausgewählte Renditeverteilungen

Renditen und deren Verteilung
Deskriptive Analyse
Statistiken Hannover Rück MAN Volkswagen DAX
N 2795 2795 2795 2795
¯x 0,0000 0,0003 0,0000 0,0000
x 0.5 0,0000 0,0000 0,0004 0,0008
x min -0.1821 -0.1314 -0,6031 -0,0887
x max 0.1643 0.1542 0,9027 0,1080
σ 2 0,0246 0,0246 0,0346 0,0165
S(X) -0,4845 -0,0043 5,8897 0,0280
K(X) 8,5806 2,9678 230,7081 4,1636
Tabelle: Deskriptive Statistiken der Renditeverteilungen

Renditen und deren Verteilung
Potentielle Verteilungen
Potentielle Verteilungen für Finanzmarktdaten
• Generalisierte hyperbolische Verteilungen (Barndorff-Nielsen
(1977), McNeil, Frey und Embrechts (2005))
• (α-)stabile Verteilungen (Rachev (2003), Rachev(2005))

Risikomaße
• Risikoarten:
• Kreditrisiko
• Marktrisiko
• Liquiditätsrisiko
• Operationales Risiko
• · · ·
• Konzentration auf Marktrisiken
• Marktrisiken: Potentielle Verluste aus nachteiligen
Marktpreisveränderungen
• Welche wünschenswerten Eigenschaften sollte ein
Finanzrisikomaßes erfüllen?

Risikomaße
• Verschiedene axiomatische Ansätze für Risikomaße
• Axiomensystem aus Artzner et al (1999) besitzt die höchste
Verbreitung im wissenschaftlichen Schrifttum
• Axiomensystem nach Artzner et al (1999)
• Translationsinvarianz ρ(X + αr) = ρ(X) − α
• Positive Homogenität ρ(λX) = λρ(X), für λ ≥ 0
• Subadditivität ρ(X 1 + X 2) ≤ ρ(X 1) + ρ(X 2)
• Monotonie X ≤ Y ⇒ ρ(X) ≤ ρ(Y)

Risikomaße
Volatilität
√
σ = E [(R − E(R)) 2 ]
• Bekanntes statistisches Streuungsmaß
• Einfache Optimierung (quadratische Optimierung)
• Normalverteilungsannahme kritisch
• Zweiseitiges Risikomaß
• Kein kohärentes Risikomaß

Risikomaße
Lower Partial Moments n-ter Ordnung (LPM n )
LPM n =
∫ RMAR
−∞
(R MAR − X) n f (X)dX
= E(max(R MAR − X, 0) n )
• Downside-Abweichungsmaß (betrachten nur Verlustseite)
• Generelles Maß (n und R MAR müssen gewählt werden)
• Nutzt frei wählbare Mindestrenditen R MAR (Minimum acceptable
return)
• Ordnung n muss nicht ganzzahlig sein
• Numerisch anspruchsvoller als Mean-Variance Ansatz
• Nur LPM 1 kohärent

Risikomaße
Spezialfälle
• Ausfallwahrscheinlichkeit (LPM 0 )
LPM 0 = P(X ≤ R MAR )
= F(R MAR )
• Ausfallerwartungswert (LPM 1 )
LPM 1 = E(max(R MAR − X, 0))
• Ausfallvarianz (LPM 2 )
LPM 2 = E(max(R MAR − X, 0) 2 )
R MAR = E(X) ⇒ LPM 2 = Semivarianz
LPM 2 = E(max(R MAR − X, 0) 2 )

Risikomaße
Value at Risk (VaR)
VaR α (X) = FX
−1 (α)
• α-Quantil der Verteilung der Portfoliowertänderungen oder
Renditen
• Notwendiges zu hinterlegendes Kapital (Basel II)
• Verschiedene Schätzmethoden
• Historische Simulation
• Parametrische Varianz-Kovarianz-Methode
• Normalverteilung:
F −1
X (α) = E(X) + qα ∗ σ(X)
• Cornish-Fisher-Approximation:
z α = q α + 1 6 (q2 α − 1) ∗ γ + 1 24 (q3 α − 3q α) ∗ δ − 1 36 (2q3 α − 5q α) ∗ γ 2
• Monte-Carlo-Simulationen
• Kein kohärentes Risikomaß

Risikomaße
Abbildung: Theoretischer VaR
Quelle: Hull (2005, S. 436-437)

Risikomaße
Expected Shortfall (ES) oder Conditional Value at Risk (CVaR)
ES α (X) = E(X|X < VaR α (X))
• Mittlerer Verlust, falls der VaR überschritten wird
• Koheräntes Risikomaß
Andere Darstellungsform
ES α (X) =
VaR α (X) + E[X − VaR α (X)|X < −VaR α (X)]
} {{ } } {{ }
(1 − α)100%-Maximalverlust Durchschnittliche Überschreitung
im Überschreitungsfall
• Quantils-Reserve (VaR) plus eine Exzess-Reserve

Risikomaße
Drawdown
• Prozentuale Abweichung vom Höchststand
• Maximum Drawdown ist sie die maximale prozentuale
Abweichung vom Höchststand
• Durchschnittlicher Drawdown ist sie die durchschnittliche
prozentuale Abweichung vom Höchststand
• Beliebt im Money Management oder Hedge Fond-Bereich
• Intuitive Interpretation

Risikomaße
a) Dax
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
2000 2002 2004 2006 2008 2010
b) Relative Drawdowns
0.0 0.2 0.4 0.6
2000 2002 2004 2006 2008 2010
c) Maximaler Drawdown
0.0 0.2 0.4 0.6
2000 2002 2004 2006 2008 2010
Abbildung: DAX Drawdowns

Risikomaße
Statistiken Hannover Rück MAN VW DAX
Volatilität 0.3916 0.4143 0.5507 0.2624
Semivolatilität 0.2491 0.2603 0.3087 0.1732
MaxDrawdown -0.7746 -0.8127 -0.9571 -0.7674
VaR 1% -0.0573 -0.0604 -0.0807 -0.0384
VaR 5% -0.0405 -0.0426 -0.0570 -0.0271
MVaR 1% -0.1135 -0.0787 NA -0.0542
MVaR 5% -0.0396 -0.0411 NA -0.0256
ES 1% -0.0657 -0.0693 -0.0924 -0.0440
ES 5% -0.0508 -0.0535 -0.0715 -0.0340
MES 1% -0.1135 -0.0963 NA -0.0542
MES 5% -0.0789 -0.0613 NA -0.0387
Tabelle: Risikokennzahlen

Risikomaße
Anwendungsgebiete von Risikomaßen
• Risikomanagement oder Risikocontrolling
• Identifikation von Risiken
• Quantifizierung von Risiken
• Steuerung von Risiken
• Performancemessung
• Ex-post Größe zur Beurteilung des Anlageerfolges
• Welche Anlageentscheidung wäre positiv gewesen?
• Performance ≠ Rendite
• Risikoadjustierte Rendite = Überrendite
Risikomaß
• Kennzahl zur Wertpapierauswahl
• Momentumeffekte (Jegadeesh und Titman (1993))
• Projektion auf zukünftige Ereignisse

Risikomaße
Risikomaß
Standardabweichung
Performancemaß
Sharpe-Ratio
Lower Partial Moments
LPM 1
Omega
LPM 2
Sortino-Ratio
LPM 3 Kappa 3
Drawdowns
Maximum
Durchschnitt
Value at Risk
Standard VaR
CVaR
MVaR
Calmar-Ratio
Sterling-Ratio
Excess Return on Value at Risk
Conditional Sharpe-Ratio
Modified Sharpe-Ratio

Literaturüberblick
Statistik
• Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I. und Tutz, G. (2009): Statistik: Der Weg zur
Datenanalyse, 7. Auflage, Springer, Berlin.
• Toutenburg, H. und Heumann, C. (2009): Deskriptive Statistik: Eine Einführung in
Methoden und Anwendungen mit R und SPSS, 7. Auflage, Springer, Berlin.
• Toutenburg, H. und Heumann, C. (2008): Induktive Statistik: Eine Einführung mit
R und SPSS, 4. Auflage, Springer, Berlin.
Finanzstatistik und quantitative Finanzwirtschaft
• Campbell, J. Y., Lo, A. W. und MacKinlay, A. C. (1997): The Econometrics of
Financial Markets, Princeton University Press, Princeton (New Jersey).
• Franke, J., Härdle, W. und Hafner, C. (2004): Einführung in die Statistik der
Finanzmärkte, 2. Auflage, Springer, Berlin.
• Hull, J. C. (2005): Options, Futures, and other derivatives, 6. Auflage, Prentice
Hall, Upper Saddle River (New Jersey).
• Schmid, F. und Trede, M. (2006): Finanzmarktstatistik, Springer, Berlin.

Literaturüberblick
Finanzwirtschaft und Portfoliomanagement (Allgemein)
• Bodie, Z., Kane, A. und Marcus, A. J. (2009): Investments, 8. Auflage,
McGraw-Hill, Boston (Massachusetts).
• Elton, E. J., Gruber, M. J., Brown, S. J. und Goetzmann, W. N. (2007): Modern
Portfolio Theory and Investment Analysis, 7. Auflage, Wiley, New York.
• Spremann, K. (2008): Portfoliomanagement, 4. Auflage, Oldenbourg, München.
• Steiner, M. und Bruns, C. (2007): Wertpapiermanagement: Professionelle
Wertpapieranalyse und Portfoliostrukturierung, 9. Auflage, Schäffer-Poeschel,
Stuttgart.
Finanzwirtschaft und Portfoliomanagement (Speziell)
• Jegadeesh, N. und Titman, S. (1993): Returns to Buying Winners and Selling
Losers: Implications for Stock Market Efficiency, Journal of Finance 48, S. 65-91.
• Lintner, J. (1965): The Valuation of Risk Assets and Selection of Risky
Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets, Review of Economics and
Statistics 47, S. 13-37.
• Markowitz, H. M. (1952): Portfolio Selection, Journal of Finance 7, S.77-91.
• Markowitz, H. M. (1959): Portfolio Selection: Efficient Diversification of
Investments, Wiley, New York.

Literaturüberblick
• Mossin, J. (1964): Equilibrium in a Capital Asset Market, Econometrica 34, S.
768-783.
• Ross, S. (1964): The arbitrage theory of capital asset pricing, Journal of
Economic Theory 13, S. 341360.
• Sharpe, W. F. (1964): Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under
Conditions of Risk, Journal of Finance 19, S. 425-442.
Risikomaße
• Acerbi, C. und Tasche, D. (2002): On the coherence of expected shortfall, Journal
of Banking & Finance, 26, S. 1487-1503.
• Albrecht, P. (2003): Zur Messung von Finanzrisiken, Mannheimer Manuskripte zu
Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft, 143,
Mannheim.
• Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M. und Heath, D. (1999): Coherent measures of
risk, Mathematical finance, 9, S. 203-228.
• Biglova, A., Ortobelli, S., Rachev, S. und Stoyanov, S. (2004): Different
Approaches to Risk Estimation in Portfolio Theory, Journal of Portfolio
Management, 31, S. 103-112.

Literaturüberblick
• Daldrup, A. (2005): Kreditrisikomaße im Vergleich, Arbeitsbericht des Instituts für
Wirtschaftsinformatik, Universität Göttingen, 13, Göttingen.
• Dorfleitner, G. (2002): Stetige versus diskrete Renditen: Überlegungen zur
richtigen Verwendung beider Begriffe in Theorie und Praxis, Kredit und Kapital
35, S. 216-241.
• Dowd, K. (1998): Beyond Value at Risk, Wiley, Chichester u.a.
• Fishburn, P. (1977): Mean-Risk Analysis With Risk Asssociated With
Below-Target returns, American Economic Review 67, S. 116-126.
• Grossman, S. J., und Zhou, Z. (1993): Optimal Investment Strategies for
Controlling Drawdowns, Mathematical Finance 3, S. 241-276.
• Szegö, G. (2005): Measures of risk, European Journal of Operational Research
163, S. 5-19.
• Tasche, D. (2002): Expected shortfall and beyond, Journal of Banking & Finance
26, S. 1519-1533.

Literaturüberblick
Performancemaße
• Eling, M. und Schuhmacher, F. (2007): Does the choice of performance measure
influence the evaluation of hedge funds? Journal of Banking & Finance 31, S.
26322647.
• Jensen, M. (1969): Risk, the pricing of capital assets, and the evaluation of
investment portfolios, Journal of Business 43, S. 167-247.
• Jensen, M. (1968): The performance of mutual funds in the period 1945-1964,
Journal of Finance 23, S. 389-416.
• Magdon-Ismail, M. und Atiya, A. (2004): Maximum Drawdown, Risk Magazine
17, S. 99-102.
• Markowitz, H. M. (1959): Portfolio Selection: Efficient Diversification of
Investments, Wiley, New York.
• Rachev, S. T., Stoyanov, S. V. und Fabozzi, F. J. (2008): Advanced stochastic
models, risk assessment, and portfolio optimization: The ideal risk, uncertainty,
and performance measures, Wiley, Hoboken (New Jersey).
• Sharpe W. (1994): The Sharpe Ratio, Journal of Portfolio Management 21, S.
49-58.

Literaturüberblick
• Sortino, F. A. und Price, L. N. (1994): Performance Measurement In A Downside
Risk Framework, Journal of Investing 3, S. 59-64.
• Treynor, J. (1965): How to rate management of investment funds, Harvard
Business Review 43, S. 63-75.
Verteilungen
• Barndorff-Nielsen, O. (1977): Exponentially decreasing distributions for the
logarithm of particle size, Proceedings of the Royal Society London A 353, S.
401-419.
• McNeil, A.J., Frey, R. und Embrechts, P. (2005): Quantitative Risk Management,
Princeton University Press, Princeton (New Jersey).
• Rachev, S. T., Menn, C. und Fabozzi, F. J. (2005): Fat-tailed and skewed asset
return distributions: Implications for risk management, portfolio selection, and
option pricing, Wiley, Hoboken (New Jersey).
• Rachev, S., Ed. (2003): Handbook of Heavy-tailed Distributions in Finance,
Elsevier, Amsterdam u. a.