Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

2.4. Approximation zweier Mengen 13
2.4 Approximation zweier Mengen
Im Folgenden wird definiert, was unter der gegenseitigen Approximation von zwei Mengen zu
verstehen ist. Die Definition ist symmetrisch in dem Sinne, dass die Rollen von der approximierten
und der approximierenden Menge vertauscht werden können. Die Definition von der
gegenseitigen Approximation ist so, dass die beiden Mengen beim Punkt a ∈ R d bzw. bei
Annäherung an diesen Punkt nahezu ”
identisch“ sind.
Definition 2.3. Eine Menge M ist positiv homogen, wenn θ ∈ M ⇒ aθ ∈ M für ∀a > 0 gilt.
Definition 2.4. Die Menge M ⊆ R d wird in a ∈ R d durch die Menge C M ⊆ R d approximiert,
wenn
und
inf ‖ x − y ‖ = o(‖ y − a ‖) für y ∈ M, y → a
x∈C M
inf ‖ x − y ‖ = o(‖ x − a ‖) für x ∈ C M, x → a
y∈M
gilt. Man sagt, M wird durch C M approximiert, wenn M durch C M im Nullpunkt approximiert
wird.
Beispiel 2.5. Die Menge {(x, √ x) : x ∈ R} ⊆ R 2 wird durch die Menge {(0, x) : x ∈ R} im
Nullpunkt approximiert, aber nicht durch {(x, 0) : x ∈ R}.
Bemerkung 2.6. (a) Nach Definition ist a Häufungspunkt von M.
(b) Kann die Menge M in a durch eine positiv homogene Menge, ungleich des gesamten
Raumes, approximiert werden, so ist a Randpunkt der Menge M.
(c) In Kapitel 5 zur asymptotischen Verteilung der Likelihood-Quotienten-Statistik wird die
zu approximierende Menge der Parameterraum der Hypothese bzw. der gesamte Parameterraum
sein. Die Menge soll im Nullpunkt durch eine positiv homogene Menge approximiert
werden können. Dieses ist zum Beispiel dann möglich, wenn die zu approximierende Menge
durch eine glatte, den Nullpunkt enthaltende Fläche begrenzt wird. Die Menge wird dann
durch die tangentiale Hyperebene am Nullpunkt und einen entsprechenden Halbraum approximiert.
Das nachstehende Lemma 2.7 betrachtet den Abstand einer Folge (x n ) n∈N ⊆ R d zu einer
Menge M ⊆ R d und den Abstand dieses Punktes zu einer M approximierenden Menge C M ⊆
R d . Es liefert, dass die Differenz der quadrierten Abstände zu den Mengen M bzw. C M von
der Ordnung o(‖ x n ‖ 2 ) für x n → 0 ist. Es gibt dementsprechend eine Fehlerabschätzung
für den Wechsel von einer Menge auf die sie approximierende Menge an. Bezeichne M den
Abschluss einer Menge M ⊆ R d .