Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

18 Kapitel 3: Nicht-Unterlegenheitstests im 2-Stichprobenfall unter Normalverteilung
zwei unabhängige Zufallsvektoren mit gleicher, unbekannter Varianz. Beim Diskriminieren
zwischen zwei Gruppen ist die Differenz zwischen den Mittelwerten,
δ md = µ R − µ T ,
das meist verwendete Abstandsmaß. Einige Autoren schlagen für bestimmte Situationen die
Verwendung vom Quotienten der Mittelwerte,
δ mr = µ R /µ T ,
vor (Liu und Weng, 1994; Hauschke u. a., 1999). Wenn keine Vorinformation über die Varianzen
der Daten verfügbar ist, kann die standardisierte Differenz der Mittelwerte,
δ std = (µ R − µ T )/σ,
verwendet werden. Diese Größe hat den zusätzlichen Anreiz, dass sie frei von Messeinheiten
ist.
Im folgenden wird angenommen, dass δ md , δ mr und δ std die Unterlegenheit der Testgruppe
gegenüber der Referenzgruppe messen. Für δ ∈ {δ md , δ mr , δ std } ist das Testproblem, um
Nicht-Unterlegenheit aufzudecken, gegeben durch
H 0 : δ ≥ ∆ vs. H 1 : δ < ∆ , (3.1)
wobei ∆ eine feste Nicht-Unterlegenheitsmarge ist (∆ > 0 für δ md bzw. δ std und ∆ > 1 für
δ mr ). Die empirischen Mittelwerte der Gruppen sind mit ¯x R beziehungsweise ¯x T bezeichnet.
Ein Schätzer für die zusammengefasste Standardabweichung ist gegeben durch
√ ∑nR
s p = i=1
(x Ri − ¯x R ) 2 + ∑ n T
i=1 (x T i − ¯x T ) 2
.
n R + n T − 2
Ferner sei (t m,ncp ) α das α-Quantil der nichtzentralen t-Verteilung mit m Freiheitsgraden und
Nichtzentralitätsparameter ncp, während (t m ) α das α-Quantil der zentralen t-Verteilung ist.
3.2 Likelihood-Quotienten-Test und t-Statistiken
Testen der Differenz δ md
Der klassische Test für Differenzen der Mittelwerte ist der Zwei-Stichproben t-Test. Die Teststatistik
T d = x R − x T − ∆
√
s 1 p n R
+ 1
n T
folgt einer nicht-zentralen t-Verteilung mit n R + n T − 2 Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter
ncp d = µ R − µ T − ∆
=
σ√ δ md − ∆
. (3.2)
1
n R
+ 1
n T
σ√
1
n R
+ 1
n T