Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

20 Kapitel 3: Nicht-Unterlegenheitstests im 2-Stichprobenfall unter Normalverteilung
Testen der standardisierten Differenz δ std
Bei Verwendung der standardisierten Differenz als Äquivalenzparameter treten diese Probleme
nicht auf. In diesem Fall wird die Teststatistik T d mit ∆ = 0 verwendet,
T s =
x R − x
√ T
.
s 1 p n R
+ 1
n T
Die Teststatistik T s folgt einer nicht-zentralen t-Verteilung mit n R + n T − 2 Freiheitsgraden
und Nichtzentralitätsparameter
ncp s :=
µ R − µ T
=
σ√
1
n R
+ 1
n T
δ std
√
1
n R
+ 1
n T
. (3.4)
Um einen Test durchzuführen, muss das α-Quantil einer nicht-zentralen t-Verteilung berechnet
werden. Die Hypothese H 0 : δ std ≥ ∆ wird verworfen für
T s < (t nR +n T −2,ncp s(∆)) α ,
wobei ncp s (∆) der Nichtzentralitätsparameter aus (3.4) mit δ std = ∆ ist.
Lehmann (1986, p. 294) hat gezeigt, dass dieser nicht-zentrale t-Test in der Klasse der invarianten
Tests bezüglich Skalentransformationen der Test mit gleichmäßig größter Power ist.
Es lässt sich zeigen, dass der Likelihood-Quotienten-Test bezüglich Skalentransformationen
ebenfalls invariant und nicht äquivalent zum hier betrachteten Test ist. Nach Lehmann (1986)
weist aber der hier betrachtete Test eine bessere Power als der Likelihood-Quotienten-Test
auf. Somit ist der Likelihood-Quotienten-Test nicht weiter zu betrachten. Da unter der Hypothese
die Differenz der Mittelwerte durch die Standardabweichung beschränkt ist, wären für
die Bestimmung des eingeschränkten ML-Schätzers weitere numerische Berechnungen nötig.
3.3 Power- und Fallzahlberechnungen
Die Verteilung der Teststatistiken T d , T r und T s ist bei normalverteilten Daten für jede Parameterkonstellation
(µ R , µ T , σ 2 ) bekannt. Folglich ist es möglich bei gegebenen Fallzahlen
die Power und die minimal benötigten Fallzahlen bei zu erreichender Power für alle drei
Abstandsmaße zu berechnen.
Testen der Differenz δ md
Die Teststatistik T d ist nicht-zentral t-verteilt mit n R + n T − 2 Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter
ncp d gegeben in (3.2). Demnach kann die Power für festgelegte Fallzahlen
n R und n T und einen Abstand δ md (< ∆) berechnet werden nach
1 − β = P δmd (T d < (t nR +n T −2) α ) = F nR +n T −2,ncp d
((t nR +n T −2) α ) , (3.5)
wobei F m,ncp die kumulative Verteilungsfunktion der nichtzentralen t-Verteilung mit m Freiheitsgraden
und Nichtzentralitätsparameter ncp ist. Diese Funktion ist in den meisten Softwarepaketen
verfügbar.