Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

6.1. Asymptotik im 1-Stichprobenfall 51
Zum Beweis des Theorems wird ein Resultat der klassischen Likelihood-Quotienten-Theorie
benutzt, formuliert in Lemma 6.3. Demnach ist −2 log λ n unter der Hypothese H 0 : θ = θ 0
asymptotisch χ 2 -verteilt. Das Lemma stellt einen Spezialfall der Arbeit von Wilks (1938)
dar, die zusammengesetzte Hypothesen im Allgemeinen abdeckt. Ein Beweis des Resultates
ist zum Beispiel auch im Buch von Ferguson (1996, Kapitel 22, Satz 22) zu finden.
Lemma 6.3. Unter den Regularitätsbedingungen R und der Hypothese H 0 : θ = θ 0 gilt
−2 log λ n = −2[l n (θ (0) ) − l n (ˆθ n )]
wobei d die Dimension des Parameterraumes ist.
D
−→ χ 2 d ,
Beweis von Theorem 6.2. Betrachtet wird der log-Likelihood
log λ n = l n (ˆθ r n) − l n (ˆθ n )
= [l n (ˆθ r n) − l n (θ ∗ )] + [l n (θ ∗ ) − l n (θ (0) )] + [l n (θ (0) ) − l n (ˆθ n )],
so gilt für den dritten Term nach Lemma 6.3
und folglich
[l n (θ (0) ) − l n (ˆθ n )] = O p (1)
1
√ n
[l n (θ (0) ) − l n (ˆθ n )] = o p (1).
Zusammen mit der Voraussetzung (6.2)
l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n) = o p ( √ n)
erhält man
( )
√ 1 n
n log λ n + K(θ (0) , θ ∗ )
= √ n 1 n
n∑
i=1
[
log f(X i, θ ∗ ]
)
f(X i , θ (0) ) + K(θ(0) , θ ∗ )
+ o p (1). (6.3) .
Es gilt
[
E log f(X i, θ ∗ ]
)
f(X i , θ (0) = −K(θ (0) , θ ∗ )
)
für alle i = 1, . . . , n. Somit schließt man mit dem zentralen Grenzwertsatz (siehe A.2), dass
die rechte Seite von 6.3 und folglich auch die linke asymptotisch normalverteilt sind mit
Erwartungswert null und Varianz
[
]
σ 2 (θ (0) , θ ∗ ) = Var θ (0) log f(X 1 , θ (0) ) − log f(X 1 , θ ∗ ) .
Bedingung B1 und B2 sichern die Existenz von K(θ (0) , θ ∗ ) und σ 2 (θ (0) , θ ∗ ) und somit auch
die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes.