Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

6.1. Asymptotik im 1-Stichprobenfall 53
ist. Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen (siehe A.1) gilt dann
( (
) )
1
n∑
P lim log g(X i , r 0 ) − 1 n∑
log f(X i , θ min ) < 0 = 1 .
n→∞ n
n
i=1
i=1
Dieses impliziert
(
P
lim
n→∞
(
)
Q n (θ min ) − inf Q n (θ)
θ∈Θ 0 : ‖θ‖≥r 0
)
< 0 = 1.
Somit schließt man θ min ∈ B r0 := {θ : ‖ θ ‖≤ r 0 } ∩ Θ 0 und
(
P
(ˆθr n − ˜θ
)
n
lim
n→∞
)
= 0 = 1 (6.5)
mit
Weiter gilt auch
˜θ n = inf
θ∈B r0
Q n (θ) .
Q(θ min ) = inf
θ∈B r0
Q(θ).
Da B r0
präkompakt ist, gilt nach Mickey’s Theorem (siehe A.4)
Q n (θ) a.s. −→ Q(θ)
gleichmäßig für alle θ in B r0 .
Wenn ˜θ n nun Q n (θ) in B r0 minimiert und θ min Q(θ) eindeutig in B r0 minimiert, so ergibt
White’s Lemma (siehe A.5), dass aus Q n (θ) a.s. −→ Q(θ) gleichmäßig in B r0
˜θ n
a.s.
−→ θ min
folgt. Mit (6.5) wird
geschlossen.
ˆθ r n
a.s.
−→ θ min .
Korollar 6.5. Seien die Bedingungen R, B1 und B3 erfüllt und das Minimum min θ∈Θ K(θ (0) , θ)
bei θ min eindeutig. Sei θ ∗ ∈ Θ 0 wie in Theorem 6.2 mit l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n) = o p ( √ n), so gilt
θ ∗ = θ min = arg min
θ∈Θ 0
K(θ (0) , θ).
Beweis. Die Notationen für Q und Q n aus dem Beweis von Theorem 6.4 werden übernommen.
Aus
folgt
l n (θ ∗ ) − l n (ˆθ r n) = o p ( √ n) = o p (n)
Q n (ˆθ r n)
P
−→ Q n (θ ∗ ).