Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

6.2. Asymptotik im k-Stichprobenfall 55
6.2 Asymptotik im k-Stichprobenfall
Die Ergebnisse des 1-Stichprobenfalls werden auf den k-Stichprobenfall mit ungleichen Fallzahlen
übertragen. Es wird somit der k-Stichprobenfall mit Regularitätsbedingungen R und
Bedingung F betrachtet. Sei c = (c 1 , . . . , c k ) mit n i /n → c i .
Der Kullback-Leibler Abstand ist für den k-Stichprobenfall zu modifizieren.
Definition 6.6. Seien (f i,0 , f i,1 ), i = 1, . . . , k Paare von Dichten bezüglich einem σ-endlichen
Maß ν und w = (w 1 , . . . , w k ), w i > 0, ein Gewichtungsvektor, dann ist der gewichtete
Kullback-Leibler Abstand für f 0 = (f 1,0 , . . . , f k,0 ) und f 1 = (f 1,1 , . . . , f k,1 ) definiert als
K(f 0 , f 1 , w) =
k∑
w i K(f i,0 , f i,1 ),
i=1
wenn f i,0 ≪ f i,1 für alle i = 1, . . . , k und unendlich sonst.
Für f θ (·) = (f 1 (θ 1 , ·), . . . , f k (θ k , ·)) und f˜θ(·) = (f 1 (˜θ 1 , ·), . . . , f k (˜θ k , ·)) wird
gesetzt.
K(θ, ˜θ, c) = K(f θ , f˜θ,
c)
Bedingung B3: Für i = 1, . . . , k existiert E (0) θ
log f i (X i1 , θ (0)
i
) und es existiert eine Funktion
i
K i (x) mit E (0) θ
K i (X i1 ) < ∞, so dass log f i (x, θ i ) gleichmäßig in Θ 0 im Betrag durch K i (x)
i
beschränkt ist.
Bedingung B4: E (0) θ i
für alle i = 1, . . . , k.
[log f i (X i1 , θ i )] 2 existiert für θ i ∈ {θ i : θ = (θ 1 , . . . , θ k ) ∈ Θ 0 } ∪ {θ (0)
i
}
Bedingung B3 stellt die zu Bedingung B1 entsprechende k-Stichprobenbedingung dar und
sichert die Wohldefiniertheit des gewichteten Kullback-Leibler Abstands zwischen der wahren
Verteilung und denen zur Hypothese gehörigen Verteilungen. Entsprechend sichert Bedingung
B4 die Existenz von
k∑
i=1
c i Var θ
(0)
i
[
]
log f(X i1 , θ (0)
i
) − log f(X i1 , θ i )
für θ ∈ Θ 0 . Im Folgenden wird erneut ˆθ n r = ˆθ Θ 0
n für den auf die Hypothese Θ 0 eingeschränkten
ML-Schätzer geschrieben. ˆθ n r wird als restringierter ML-Schätzer bezeichnet.
So kann das Theorem 6.2 entsprechend für den k-Stichprobenfall formuliert werden. Die Rolle
von θ ∗ wird auch hier anschließend diskutiert.
Theorem 6.7. Der k-Stichprobenfall sei mit nachstehenden Bedingungen gegeben:
(i) Die Regularitätsbedingungen R sind für alle f i , i = 1, . . . , k erfüllt.