Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

6.3. Beispiel 63
Somit gilt
K(θ) := K(0, θ, (c 1 , 1 − c 1 )) = c 1 θ 2 1 + (1 − c 1) θ 2 2
2σ 2 . (6.8)
Das Minimum von K(θ) in Θ 0 wird auf dem Rand von Θ 0 angenommen. Folglich ist
in θ 2 zu minimieren. Aus
G(θ 2 ) := K((θ 2 + ∆, θ 2 )) = c 1 (θ 2 + ∆) 2 + (1 − c 1 ) θ 2 2
2σ 2
d
dθ 2
G(θ ∗ 2) = 2c 1(θ ∗ 2 + ∆) + 2(1 − c 1)θ ∗ 2
σ 2 = 2(c 1∆ − θ ∗ 2 )
σ 2 !
= 0
schließt man θ ∗ 2 = −c 1∆ und somit θ ∗ 1 = θ∗ 2 + ∆ = −c 1∆ + ∆ = ∆(1 − c 1 ). Also ist
θ ∗ = ∆(1 − c 1 , −c 1 ) der Punkt in der Hypothese, der den gewichteten Kullback-Leibler Abstand
mit Gewichten (c 1 , 1 − c 1 ) zu θ (0) = (0, 0) minimiert. Einsetzen in 6.8 liefert
Mit
µ := K(0, θ ∗ , (c 1 , 1 − c 1 )) = c 1 ∆ 2 (1 − c 1 ) 2 + (1 − c 1 ) ∆ 2 c 2 1
2σ 2 = c 1(1 − c 1 )∆ 2
2σ 2 .
Var [ log f(X i , 0, σ 2 ) − log f(X i , θ i , σ 2 ) ] = 1
4σ 4 Var [ (X i − θ i ) 2 − Xi
2 ]
= 1
4σ 4 Var [ −X i θ i + θi
2 ]
für i = 1, 2 und X i ∼ N (θ i , σ 2 ) erhält man
= θ2 i
4σ 4 Var [X i] = θ2 i
4σ 2
τ 2 := c 1 Var [ log f(X, 0, σ 2 ) − log f(X, θ ∗ 1, σ 2 ) ]
+(1 − c 1 ) Var [ log f(X, 0, σ 2 ) − log f(X, θ ∗ 2, σ 2 ) ]
= c 1(1 − c 1 ) 2 ∆ 2 + (1 − c 1 )c 2 1 ∆2
4σ 2
= c 1(1 − c 1 )∆ 2
4σ 2 .
Nach Theorem 6.7 ist dann die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten λ n unter
der Alternative θ (0) = (0, 0) gegeben durch
( )
√ 1 n
n log λ D
n + µ −→ N (0, τ 2 ) (6.9)
6.3.1 Simulation
Die Güte der Approximation (6.9) hängt vom Stichprobenumfang n ab. Die Frage ist, für
welche Stichprobenumfänge die Approximation zu zufrieden stellenden Ergebnissen führt.
Hierfür wird für n = 50, 100, 200, σ = 1, c 1 = 0.5, ∆ = 0.1, 0.5
( )
√ 1 n
n log λ n + µ
(6.10)