Die asymptotische Verteilung des Likelihood-Quotienten-Tests für ...

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64 Kapitel 6: Asymptotische Verteilung der LQ-Statistik unter Alternative mit jeweils 10000 Wiederholungen simuliert. Die so gewonnenen empirischen Verteilungen werden mit Hilfe eines QQ-Plots mit der asymptotischen Verteilung verglichen. Die Abbildungen 6.1 und 6.2 zeigen QQ-Plots für die drei Stichprobenumfänge von n = 50, 100, 200 und für ∆ = 0.1 bzw. für ∆ = 0.5. n=50 n=100 n=200 Sample Quantiles −0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10 Sample Quantiles −0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10 Sample Quantiles −0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 Theoretical Quantiles Theoretical Quantiles Theoretical Quantiles Abbildung 6.1: P-Plots für ∆ = 0.1 In einem QQ-Plot werden die empirischen Quantile gegen die einer Standardnormalverteilten abgetragen. Liegen die Punkte auf einer Geraden, stammen die simulierten Werte aus einer Normalverteilung mit Erwartungswert gleich dem y-Achsenabschnitt der Geraden und Standardabweichung gleich der Steigung. Für den Vergleich der empirischen Verteilung mit der asymptotischen Verteilung ist somit die Ursprungsgerade mit Steigung τ in die QQ-Plots einzufügen. Liegen die Punkte auf dieser Geraden stimmen die Verteilungen überein. Weiter ist die Gerade mit y-Aschenabschnitt √ nµ und Steigung null eingefügt. n=50 n=100 n=200 Sample Quantiles −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 Sample Quantiles −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 Sample Quantiles −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 −4 −2 0 2 4 Theoretical Quantiles −4 −2 0 2 4 Theoretical Quantiles −4 −2 0 2 4 Theoretical Quantiles Abbildung 6.2: P-Plots für ∆ = 0.5 Die Abbildungen 6.1 und 6.2 zeigen, dass die empirischen Verteilungen der Verteilung von min(Z, √ nµ) mit Z ∼ N (0, τ 2 ) folgen. Die Punktmasse bei √ nµ entspricht gerade der Wahrscheinlichkeit, dass der unrestringierte ML-Schätzer in der Hypothese Θ 0 liegt. Dieses folgt aus der Tatsache, dass der Likelihood-Quotient stets kleiner als eins ist und genau dann eins
6.3. Beispiel 65 ist, wenn der restringierte ML-Schätzer in der Hypothese liegt. In Abbildung 6.2 ist die Abhängigkeit der Approximation von der Fallzahl n gut zu erkennen. Je größer die Fallzahl ist, desto besser ist die Approximation. Ein Vergleich der Abbildungen 6.1 und 6.2 zeigt die Abhängigkeit der Approximation von ∆. Je größer ∆ ist bei gleicher Fallzahl n, desto besser ist die Approximation. Bemerkung 6.15. Dass die empirische Verteilung von (6.10) wie beim oben aufgeführten Beispiel den Wahrscheinlichkeitsträger (−∞, √ nµ] besitzt, ist ein allgemein gültiges Phänomen, unabhängig von der zugrunde liegenden Verteilung der Stichprobe. Die asymptotische Verteilung von (6.10) (Normalverteilung) hat hingegen den Träger R. Dennoch ist für die Fallzahlplanung die Approximation durch die asymptotische Verteilung hinsichtlich des beschriebenen Phänomens unproblematisch, da bei der Fallzahlplanung nach Kapitel 7 der p-Wert von √ c α n µ + √ n mit c α < 0 approximiert wird, also ein Wert kleiner √ nµ betrachtet wird.
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Kapitel 1 Einleitung Ziel von klini
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5 unabhängigen Stichproben sind. E
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Kapitel 2 Notationen und Grundlagen
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2.1. Notationen 9 Matrizen Für i =
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2.2. Modelle und Bedingungen 11 (d)
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