Einstein-Sasaki-Mannigfaltigkeiten

Einstein-Sasaki-Mannigfaltigkeiten
Florian Modler
20. Oktober 2010

Inhaltsverzeichnis
1 Kontaktgeometrie und symplektische Geometrie 4
1.1 Kontaktgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Symplektische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Sasaki-Geometrie 7
2.1 Grundlegende Dinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Kontaktstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Sasaki-Einstein-Geometrie 11
3.1 3-Sasaki-Mannigfatigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Index 13
Literaturverzeichnis 14
2

Vorwort
In diesem Vortrag wollen wir eine kleine Einführung in die Einstein-Sasaki-Mannigfaltigkeiten geben.
Dazu werden wir zunächst einen Überblick über die Geometrie von Sasaki-Mannigfaltigkeiten durchführen
und wichtige Beispiele betrachten.
Eine Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (S, g), welche sowohl
eine Sasaki- als auch eine Einstein-Mannigfaltigkeit ist. Die Sasaki-Geometrie könnte man auch als
ungerade-dimensionale Kähler-Geometrie bezeichnen. Während die Kähler-Geometrie die Beziehungen
zwischen komplexer, symplektischer und Riemannscher Geometrie untersucht, durchleutet die
Sasaki-Geometrie die natürliche Beziehung zwischen Kontakt- und Riemannscher Geometrie.
Das einfachste und kanonische Beispiel einer Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeit ist die ungerade Sphäre
S 2n−1 , ausgestattet mit der Standard-Einsteinmetrik. In diesem Fall ist der Kählerkegel gegeben
durch C n \ {0}, ausgestattet mit seiner flachen Metrik.
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Kapitel 1
Kontaktgeometrie und symplektische Geometrie
Wir wollen in diesem ersten Kapitel einige Grundlagen aus der Kontaktgeometrie und der symplektischen
Geometrie wiederholen.
1.1 Kontaktgeometrie
Definition 1.1 (Kontaktmannigfaltigkeit, Kontaktform) Eine Kontaktmannigfaltigkeit (M 2n+1 , η) ist
eine glatte Mannigfaltigkeit M der Dimension 2n + 1, versehen mit einer 1-Form η, so dass die Bedingung
η ∧ (dη) n ≠ 0
erfüllt ist. Man nennt η eine Kontaktform von (M 2n+1 , η).
Bemerkung Ein paar kleine Bemerkungen:
Für eine Kontaktmannigfaltigkeit (M 2n+1 , η) definiert η eine Volumenform.
Für alle p ∈ M besitzt dη p den Rang 2n als Element der Grassmanschen Mannigfaltigkeit ∧ Tp ∗ M.
Daher existiert ein 1-dimensionaler Vektorraum
V = {x ∈ T p M : dη(x, y) = 0 ∀y ∈ T p M},
sodass η |V ≠ 0 und T p M = ker η p ⊕V . Wir wählen ein Vektorfeld ξ, so dass ξ p ∈ V und η(ξ p ) = 1
für alle p ∈ M. Dann gilt
dη(ξ, x) = 0, η(ξ) = 1 für x ∈ T M.
Definition 1.2 (Reeb-Vektorfeld) Das Vektorfeld ξ aus obiger Bemerkung heißt charakteristisches Vektorfeld
oder Reeb-Vektorfeld.
Lemma 1.3 Das Reeb-Vektorfeld erfüllt
L ξ η = 0 und L ξ dη = 0.
Beweis: Es gilt
und ebenso
L ξ η = ξ¬ dη + d(ξ¬η)
L ξ ◦ d = d ◦ L ξ ⇒ L ξ dη = ξ¬ d 2 η + d(ξ¬ dη) = d(L
}{{}
ξ η) = 0.
=0
4

1.1 Kontaktgeometrie
Die Kontaktform η definiert mittels
D p := {x ∈ T p M : xη p = 0}
eine Distribution, die sogenannte Kontaktdistribution.
Das Reeb-Vektorfeld kann auch noch auf eine etwas andere Art eingeführt werden. Wir führen dies
in Abschnitt 2.2 aus.
Wir geben nun ein Beispiel einer Kontaktmannigfaltigkeit, das das lokale Modell solch einer Mannigfaltigkeit
beschreibt.
Beispiel 1 Sei (M, η 0 ) = (R 2n+1 , η 0 ) mit Koordinanten (x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n , z) und
n∑
η 0 = dz − y k ∧ dx k .
k=1
Dann ist (M, η 0 ) eine Kontaktmannigfaltigkeit. Behaupten wir jedenfalls. Rechnen wir es nach: Einerseits
ist
dη 0 =
und andererseits gilt
n∑
dx k ∧ dy k , (dη 0 ) n = const. · dx 1 ∧ dy 1 ∧ . . . ∧ dx n ∧ dy n
k=1
η 0 ∧ (dη 0 ) n = const. · dz ∧ dx 1 ∧ dy 1 ∧ . . . ∧ dx n ∧ dy n ≠ 0.
Das Reeb-Vektorfeld ist ξ = ∂
∂ z und die Kontaktdistribution ist gegeben durch D p = { ∂
∂ x i + y i ∂
∂ z , ∂
∂ y i }.
Bevor wir zu einem wichtigen Theorem kommen, noch ein kleines Beispiel einer Kontaktmannigfaltigkeit.
Beispiel 2 Sei M = S 2n+1 ⊂ R 2n+2 ∼ = C n+1 . Mit (x 1 , . . . , x n+1 , y 1 , . . . , y n+1 ) bezeichnen wir die
kartesischen Koordinaten. J sei die komplexe Struktur von C n+1 , das heißt
J ∂
∂ x i =
∂
∂ y i , J ∂
∂ y i = − ∂ , i = 1, . . . , n.
∂ xi Sei ν das nach außen gerichtete Normalenvektorfeld von S 2n+1 der Länge 1. Dann ist Jν ein tangentiales
Vektorfeld der Länge 1, da J eine Drehung um 90 Grad darstellt. Bezeichne mit g die von 〈·, ·〉 R 2n+1 die
induzierte Metrik auf S 2n+1 . Wir definieren η(X) = 〈Jν, X〉 als 1-Form auf S 2n+1 . Mit ξ = Jν gilt
η(ξ) = 1, denn
η(ξ) = 〈Jν, Jν〉 = −J 2 〈ν, ν〉 = ||ν|| = 1.
Es ist η ∧ (dη) n ∼ Vol S 2n+1 und damit S 2n+1 insbesondere orientierbar.
Ein wichtiges Theorem ist das folgende, was wir ohne Beweis erwähnen werden.
Satz 1.4 (Theorem von Darboux für Kontaktmannigfaltigkeiten) Sei (M 2n+1 , η) eine Kontaktmannigfaltigkeit.
Dann existiert zu jedem Punkt p ∈ M eine Umgebung U ⊂ M und lokale Koordinaten
5

1.2 Symplektische Geometrie
ϕ = (x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n , z) : U → ϕ(U) ⊂ R 2n+1 , so dass
n∑
ϕ ∗ η = η 0 = dz − y k ∧ dx k .
Lemma 1.5 Es gibt keine lokalen Invarianten von Kontaktmannigfaltigkeiten.
Dies ist in der Riemannschen Geometrie anders, man bedenke beispielsweise an den Riemannschen
Krümmungstensor.
k=1
1.2 Symplektische Geometrie
Definition 1.6 (symplektische Mannigfaltigkeit) Eine symplektische Mannigfaltigkeit (M 2n , ω) ist
eine glatte Mannigfaltigkeit, welche mit einer nicht-entarteten geschlossenen 2-Form ω ausgestattet ist,
das heißt
dω = 0 und ω n ≠ 0.
Wie auch bei Kontaktmannigfaltigkeiten gibt es ein lokales Modell für symplektische Mannigfaltigkeiten,
wie folgendes Beispiel zeigt.
Beispiel 3 (R 2n , ω 0 ) ist eine symplektische Mannigfaltigkeit, wobei
n∑
ω 0 = dx k ∧ dy k .
k=1
Hierbei sind (x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ) die Standardkoordinaten des R 2n .
Ohne Beweis erwähnen wir auch hier einen sehr wichtigen Satz.
Satz 1.7 (Theoriem von Darboux für symplektische Mannigfaltigkeiten) Sei (M 2n , ω) eine symplektische
Mannigfaltigkeit. Dann gibt es zu jedem p ∈ M eine Umgebung U ⊂ M und lokale Koordinanten
ϕ = (x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ) : U → ϕ(U) ⊂ R 2n , so dass
n∑
ϕ ∗ ω = ω 0 = dx k ∧ dy k .
k=1
6

Kapitel 2
Sasaki-Geometrie
Dieses Kapitel gibt einen Überblick über die Geometrie, die Sasaki aufgestellt hat. Wir wollen uns
anschauen, wie Sasaki-Mannigfaltigkeiten definiert sind und geben ein paar grundlegende Beispiele
dazu an.
2.1 Grundlegende Dinge
Definition 2.1 (Sasaki-Mannigfaltigkeit) Eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit (S, g) der Dimension
m heißt Sasaki-Mannigfaltigkeit genau dann, wenn sein Metrikkegel
(C(S) := R >0 × S, ˜g = dr 2 + r 2 g)
Kähler ist. r ist ein Parameter in R >0 .
Bemerkung Ein paar Bemerkungen hierzu.
Eine Sasaki-Mannigfaltigkeit ist also eine Kontaktmannigfaltigkeit mit einer speziellen Art einer
Riemannschen Metrik g, genannt Sasaki-Metrik.
Eine Sasaki-Metrik ist definiert durch eine Konstruktion eines Riemannschen Kegels.
Die Kählerbedingung für dem Metrikkegel bedeutet, dass sich die Holonomiegruppe zu einer Untergruppe
von U(n) reduziert, hierbei ist n = dim C(S), genauer ist n = (m + 1)/2. Weiterhin
bedeutet dies, dass eine parallele komplexe Struktur J, ∇ C(s) J = 0 existiert.
Ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, so ist der Riemannsche Kegel ein Produkt R >0 × M
mit einer Kugelmetrik dr 2 + r 2 g, wobei r ein Parameter in R >0 ist.
Eine Mannigfaltigkeit (M, θ) mit einer 1-Form θ ist eine Kontaktmannigfaltigkeit genau dann,
wenn die 2-Form
r 2 dθ + 2r dr · θ (2.1)
auf dem Riemannschen Kegel symplektisch ist. Eine Kontakt-Riemannsche Mannigfaltigkeit ist also
eine Sasaki-Mannigfaltigkeit, falls eine Kugelmetrik sie Kähler mit der Kählerform unter Gleichung
(2.1) macht.
(S, g) besitzt die ungerade Dimension 2n − 1, wobei n die komplexe Dimension des Kählerkegels
bezeichnen soll. Was ist der Kählerkegel? Sei (M, J, g, ω g ) eine kompakte Kählermannigfaltigkeit.
Der Kählerkegel von M
K(M) = {[ω] ∈ H 1,1 (M, C) ∩ H 2 (M, R) : [ω] = [ω h ]}
für eine Kählermetrik h ist die Menge aller möglichen Kählerklassen von M.
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2.2 Kontaktstrukturen
Eine Metrik g ist Einstein, falls Ric g = λg für eine Konstante λ. Hierbei soll Ric g für die Ricci-
Krümmung bezüglich der Metrik g stehen. Es folgt sofort, dass eine Sasaki-Mannigfaltigkeit nur für
λ = 2(n − 1) Einstein sein kann, also besistzt g eine positive Ricci-Krümmung.
Nehmen wir an, dass S vollständig ist, so ist S automatisch kompakt mit endlicher Fundamentalgruppe
(Theorem of Myer).
Eine einfache Rechnung zeigt, dass eine Sasaki-Metrik g Einstein mit Ricci-Krümmung Ric g = 2(n−
1)g genau dann ist, wenn die Kegelmetrik ˜g Ricci-flach ist, das heißt Ric g = 0.
Eine Sasaki-Mannigfaltigkeit (S, g) erbt eine Reihe geometrischer Strukturen der Kähler-Struktur
von seinem Kegel. Es gibt eine kanonische Projektion p : C(S) → S, welche das r „vergisst“. Wenn
diese Kähler ist, so ist der Kegel (C(S), ˜g) mit einer integrablen komplexen Struktur J und eine Kähler
2-Form ω ausgestattet. Beide sind bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs ˜∇ von ˜g parallel. Die
Kähler-Struktur von (C(S), ˜g), komibiniert mit seiner Kegelstruktur, induziert eine Sasaki-Struktur
auf S = {1} × S ⊂ C(S).
Beispiel 4 Wir geben ein paar Beispiele von Sasaki-Mannigfaltigkeiten.
a) Als ein Beispiel einer Sasaki-Mannigfaltigkeit betrachte S 2n−1 ⊂ R 2n = C n , wobei die rechte Seite
eine natürliche Kählermannigfaltigkeit ist. Wir lesen dies als den Kegel über die Spḧare (ausgestattet
mit der eingebetteten Metrik). Die Kontakt 1-Form auf S 2n−1 ist die Form, die durch den Tangentenvektor
i⃗n assoziiert wird, konstruiert von Einheitsnormalenvektor ⃗n zur Sphäre. i ist hierbei die
komplexe Struktur auf C n ).
b) Ein weiteres Beispiel ist der R 2n+1 mit Koordinaten (⃗x, ⃗y, z), ausgestattet mit der Kontaktform
θ = 1 2 dz + ∑ i
y i ∧ dx i
und Riemannscher Metrik
g = ∑ i
(dx i ) 2 + (dy i ) 2 + θ 2 .
2.2 Kontaktstrukturen
Wir wollen in diesem Abschnitt das Reeb-Vektorfeld noch ein wenig anders einführen und zwar so,
wie wir es brauchen.. Hierbei ist ˜∇ der Levi-Civita-Zusammenhang der Metrik g. Die folgenden Gleichungen
sind ab und an sehr nützlich bei den Beweisen der kommenden Formeln.
˜∇ r
∂ (r ∂
∂ r ∂ r ) = r ∂
∂ r , ˜∇r ∂ X = ˜∇ X (r ∂ ) = X, (2.2)
∂ r ∂ r
˜∇ X Y = ∇ X Y − g(X, Y )r ∂
∂ r .
Hier sind X und Y Vektorfelder auf S (diese können ebenso als Vektorfelder auf C(S) interpretiert
werden), ∇ ist der Levi-Civita-Zusammenhang von g.
Definition 2.2 (Euler-Vektorfeld) Das kanonische Vektorfeld r ∂
∂ r heißt Einstein-Vektorfeld. 8

2.2 Kontaktstrukturen
reell holo-
Da J parallel ist ( ˜∇J = 0) und die Beziehungen unter (2.2) gelten, zeigt dies, dass r ∂
∂ r
morph ist, das heißt
Die folgende Definition 2.3 ist jetzt nur natürlich.
L r
∂ J = 0.
∂ r
Definition 2.3 (charakteristisches Vektorfeld) Das sogenannte charakteristische Vektorfeld ist gegeben
durch
ξ = J(r ∂
∂ r ).
Eine elementare Rechnung liefert nun wieder, dass ξ reell holomorph und gleichzeitig ein Killing-
Vektorfeld ist, das heißt L ξ˜g = 0.
Auf ähnliche Weise definieren wir eine 1-Form
η = d c log r = i(∂ − ∂) log r,
wobei d c
Definition folgt nun
= J ◦ d. ∂ und ∂ sind die gewöhnlichen Dolbeault Operatoren mit d = ∂ +∂. Aus der
η(ξ) = 1 und i ξ dη = 0. (2.3)
Hier haben wir benutzt: Ist α eine (p + 1)-Form und X ein Vektorfeld, so ist i X α die p-Form, die durch
definiert ist. Eine Rechnung zeigt
i X α(X 1 , . . . , X p ) = α(X, X 1 , . . . , X p )
η(X) = 1 r 2 ˜g(J(r ∂
∂ r ), X) = 1 ˜g(ξ, X). (2.4)
r2 Benutzen wir diese Formel, so erhalten wir die Kähler 2-Form auf C(S) als
ω = 1 2 d(r2 η) = 1 2 i ∂ ∂r2 . (2.5)
Die 1-Form η wird eingeschränkt auf S ⊂ C(S) zu einer 1-Form η |S . Aus L r
∂ η = 0 folgt dann,
∂ r
dass wirklich η = p ∗ (η |S ). Wir werden im Folgenden nicht zwischen der 1-Form η auf dem Kegel und
seiner Einschränkung η |S auf der Sasaki-Mannigfaltigkeit unterscheiden. Aus Gleichung (2.4) ergibt
sich, dass η(X) = g(ξ, X) für alle Vektorfelder X auf S. Da die Kähler 2-Form ω symplektisch ist,
folgt aus (2.5), dass η ∧ (dη) n−1 auf S nirgendwo verschwindet. Es ist also eine Volumenform auf
S. Nach Definition ist η also eine Kontakt 1-Form auf S. Aus Gleichung (2.3) folgt schließlich, dass
η(ξ) = 1 und i ξ dη = 0. Demnach ist ξ das eindeutige Reeb Vektorfeld für seine Kontaktstruktur.
Definition 2.4 (fast Konstaktstruktur) Wir definieren einen Schnitt Φ ∈ End(T S) durch
Φ |D = J |D , Φ |Lξ = 0.
L ξ bezeichnet hierbei die Linie tangential zu ξ. Mit J 2 = −1 ergibt sich, dass die Kegelmetrik ˜g hermitesch
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2.2 Kontaktstrukturen
ist. Man kann weiter zeigen, dass
Φ 2 = −1 + η ⊗ ξ (2.6)
g(Φ(X), Φ(Y )) = g(X, Y ) − η(X)η(Y ), (2.7)
wobei X und Y beliebige Vektorfelder auf S sind. Ein Tripel (η, ξ, Φ) mit einer Kontakt 1-Form η, Reeb
Vektorfeld ξ und Φ als Schnitt von End(T S), welche Gleichung (2.6) erfüllt, heißt fast Konstaktstruktur.
Definition 2.5 (metrische Konstaktstruktur) Eine fast Konstaktstruktur (η, ξ, Φ) mit einer Metrik g, die
Gleichung (2.7) erfüllt, heißt metrische Konstaktstruktur.
Bemerkung Sasaki-Mannigfaltigkeiten sind also Spezialfälle von metric contact structures.
Da
g(X, Y ) = 1 dη(X, Φ(Y )) + η(X)η(Y ),
2
sehen wir, dass 1 2 dη |D die fundamentale 2-Form assoziiert zu g |D ist.
Bemerkung Der Tensor Φ kann auch über
Φ(X) = ∇ X ξ
definiert werden. Dies folgt aus der letzten Gleichung in (2.2), zusammen mit der Rechnung
˜∇ X ξ = ˜∇ X (J(r ∂ )) = J(X).
∂ r
Es ergibt sich
(∇ X Φ)(Y ) = g(ξ, Y )X − g(X, Y )ξ. (2.8)
Dies ergibt das folgende Lemma.
Lemma 2.6 Sei (S, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und ∇ bezeichne den Levi-Civita Zusammenhang
von g. R(X, Y ) bezeichne den Riemannschen Krümmungstensor. Dann sind die folgenden Aussagen
äquivalent.
(1) Es existiert ein Killing Vektorfeld ξ, sodass der Tensor Φ(X) = ∇ X ξ die Gleichung (2.8) für alle
Vektorfelder X, Y auf S erfüllt.
(2) Es existiert ein Killing Vektorfeld ξ, sodass der Riemannsche Krümmungstensor die Gleichung
R(X, ξ)Y = g(ξ, Y )X − g(X, Y )ξ
für alle Vektorfelder X, Y auf S erfüllt.
(3) Der Metrikkegel (C(S), ˜g) = (R >0 × S, dr 2 + r 2 g) ist über S Kähler.
Bei einer Sasaki-Mannigfaltigkeit denken wir also immer an eine Sammlung S = (S, g, η, ξ, Φ).
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Kapitel 3
Sasaki-Einstein-Geometrie
Wir beginnen mit einer etwas allgemeineren Definition.
Definition 3.1 (Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeit, 1. Version) Eine Sasaki-Mannigfaltigkeit S = (S, g, η, ξ, Φ)
ist eine Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeit, falls Konstanten λ und ν existieren, so dass
Ric g = λg + νη ⊗ η
Aus dem zweiten Teil (2) von Lemma 2.6 folgt, dass λ + ν = 2(n − 1) ist. Dies impliziert, dass für
eine Sasaki-Mannigfaltigkeit Ric g (ξ, ξ) = 2(n − 1) gelten muss. Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeiten
mit ν = 0 erfüllen demnach λ = 2(n − 1). Wir können eine Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeit also
auch wie folgt definieren:
Definition 3.2 (Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeit, 2. Version) Eine Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeit
ist eine Sasaki-Mannigfaltigkeit (S, g) mit
Ric g = 2(n − 1)g.
Anders formuliert: Eine Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeit ist eine Sasaki-Mannigfaltigkeit, wenn diese
noch Einstein (Ric g = λg).
Lemma 3.3 Sei (S, g) eine Sasaki-Mannigfaltigkeit der Dimension 2n − 1. Dann sind äquivalent:
(1) (S, g) ist Sasaki-Einstein mit Ric g = 2(n − 1)g.
(2) Der Kähler-Kegel (C(S), g) ist Ricci-flach, das heißt Ric g = 0.
Die ersten Beispiele für Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeiten schauen wir uns im nächsten Abschnitt
an.
3.1 3-Sasaki-Mannigfatigkeiten
In Dimensionen der Form n = 2p, also dim S = 4p − 1 existieren spezielle Klassen von Sasaki-
Einstein-Mannigfaltigkeiten; wir nennen diese 3-Sasaki-Mannigfaltigkeiten und definieren diese wie
folgt.
Definition 3.4 (3-Sasaki-Mannigfaltigkeit) Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (S, g) ist eine 3-Sasaki-
Mannigfaltigkeit genau dann, wenn ihr Metrikkegel hyperkähler ist.
Bemerkung Wieder ein paar Bemerkungen:
Dies impliziert, dass der Kegel komplexe Dimension n = 2p bzw. reelle Dimension n = 4p besitzt
und für die Holonomiegruppe gilt
Hol(g) ⊂ Sp(p) ⊂ SU(2p).
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3.1 3-Sasaki-Mannigfatigkeiten
Demnach sind 3-Sasaki-Mannigfaltigkeiten also automatisch Sasaki-Einstein.
Die Holonomiegruppe eines Zusammenhangs eines Vektor- oder Hauptfaserbündels über einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit bezeichnet die Gruppe linearer Transformationen, die durch den
Paralleltransport von Vektoren entlang geschlossener Kurven induziert wird. Tr¨gt eine Mannigfaltigkeit
M eine Riemannsche Metrik g, so ist deren Holonomiegruppe durch diejenige des Levi-Civita-
Zusammenhangs auf dem Tangentialbündel von M gegeben.
Eine hyperkähler Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit von Dimension 4k und
einer Holonomiegruppe, die in Sp(k) (Sp(k) denotes a compact form of a symplectic group, identified
with the group of quaternionic-linear unitary endomorphisms of an n-dimensional quaternionic
Hermitian space) enthalten ist. Hyperkähler Mannigfaltigkeiten sind spezielle Fälle von Kähler
Mannigfaltigkeiten.
Eine äquivalente Definition ist die Folgende:
Definition 3.5 (hyperkähler) Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist hyperkähler, falls
drei komplexe Strukturen I, J, K (das heißt I 2 = J 2 = K 2 = −1 und I, J, K sind parallel)
existieren, sodass
IJ = K = −JI
Beispiel 5 Der quaternionische Vektorraum H n ist eine Mannigfaltigkeit, die hyperkähler ist.
(M, g) ist genau dann hyperkähler, falls die Holonomiegruppe in Sp(k) enthalten ist.
Beispiel 6 (Weitere Beispiele für Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeiten)
Sphären S 2n−1 sind Sasaki-Einstein-Mannigfaltigkeiten
Alle ungerade-dimensionalen
Das Produkt einer 2-Sphäre mit einer 3-Sphäre und einer homogenen Metrik ist ebenfalls eine Sasaki-
Einstein-Mannigfaltigkeit.
Im Jahr 2005 wurde eine unendliche Familie von 5-dimensionalen Sasaki-Einstein Metriken konstruiert.
12

Index
almost contact structure, 9
charakteristisches Vektorfeld, 8
Darboux, 5, 6
Euler-Vektorfeld, 8
Kontaktform, 4
Kontaktmannigfaltigkeit, 4
metric contact structure, 9
Reeb-Vektorfeld, 4
Sasaki-Mannigfaltigkeit, 7
symplektische Mannigfaltigkeit, 5
13

Literaturverzeichnis
[Boo02]
[Jos08]
[Lan02]
W. Boothby. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic
Pr Inc., Sep. 2002.
Jürgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis (Universitext). 5. Aufl. Springer,
Berlin, Mai 2008.
Serge Lang. Introduction to Differentiable Manifolds (Universitext). 2 Sub. Springer, Berlin,
Sep. 2002.
[Spi79] Michael Spivak. Comprehensive Introduction To Differential Geometry, 2nd Edition, Volume 5.
PUBLISH OR PERISH INC, Jan. 1979.
14