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Einbettung eines kommutativen Rings in einen Körper

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1<br />

Gruppen, R<strong>in</strong>ge, Körper und Vektorräume, Autor: Florian Modler<br />

(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />

<strong>E<strong>in</strong>bettung</strong> <strong>e<strong>in</strong>es</strong><br />

<strong>kommutativen</strong> <strong>R<strong>in</strong>gs</strong> <strong>in</strong><br />

e<strong>in</strong>en Körper<br />

Der Quotientenkörper<br />

Florian Modler<br />

08.02.2008<br />

Stand: 8. Februar 2008


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Gruppen, R<strong>in</strong>ge, Körper und Vektorräume, Autor: Florian Modler<br />

(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />

Wir wollen nun versuchen e<strong>in</strong>en allgeme<strong>in</strong>en <strong>kommutativen</strong> R<strong>in</strong>g <strong>in</strong> e<strong>in</strong>en Körper<br />

e<strong>in</strong>zubetten. Jeder kennt e<strong>in</strong> Beispiel: Denn so erweitert man die Mengen der ganzen<br />

Zahlen, da sie ja ke<strong>in</strong> multiplikatives Inverse besitzen, also ke<strong>in</strong> Körper (sondern nur e<strong>in</strong><br />

nullteilerfreier, kommutativer R<strong>in</strong>g mit E<strong>in</strong>selement) s<strong>in</strong>d, und man mit ihnen nicht alle<br />

möglichen Gleichungssysteme lösen kann, zu der Menge der rationalen Zahlen.<br />

Sei also R e<strong>in</strong> nullteilerfreier, kommutativer R<strong>in</strong>g mit E<strong>in</strong>selement (z.B. Z ).<br />

Da wir ja den R<strong>in</strong>g Z zum Körper Q konstruieren können, liegt folgende „Pseudodef<strong>in</strong>ition“<br />

nahe:<br />

Pseudodef<strong>in</strong>ition<br />

a<br />

( i) K = { | a, b∈ R, b ≠ 0}<br />

b<br />

a c ad + bc a c ac<br />

( ii) + = ; + = (Es liegt auch nahe die Addition und Multiplikation so<br />

b d bd b d bd<br />

wie <strong>in</strong> Q zu def<strong>in</strong>ieren)<br />

0R<br />

1<br />

( iii) 0<br />

K<br />

: = ,1K<br />

=<br />

1 1<br />

R<br />

R<br />

R<br />

Man beachte noch, dass aus b ≠ 0 und d ≠ 0 auch bd ≠ 0 folgt, weil wir annehmen, dass<br />

der R<strong>in</strong>g R nullteilerfrei ist. Jetzt müssen wir noch zeigen, dass man mit solchen Brüchen so<br />

rechnen kann, wie man es gewohnt ist.<br />

Die obige „Pseudodef<strong>in</strong>ition“ ist vom mathematischen Standpunkt aber sehr unbefriedigend,<br />

da man nicht präzise formuliert hat, was e<strong>in</strong> „Bruch“ denn nun wirklich ist. Für e<strong>in</strong>e wirklich<br />

mathematisch wasserdichte Def<strong>in</strong>ition benötigt man das nun folgende Konzept:<br />

Def<strong>in</strong>ition:<br />

Sei M e<strong>in</strong>e nichtleere Menge.<br />

a) E<strong>in</strong>e Relation auf M ist e<strong>in</strong>e Teilmenge R ⊂ M × M .<br />

Schreibweise: a ∼ b ⇔ aRb ⇔ ( a, b)<br />

∈ R .<br />

b) Die Relation ∼ heißt Äquivalenzrelation, falls für a, b,<br />

c ∈ R gilt:<br />

(i) a ∼ a (Reflexivität)<br />

(ii) a ∼ b ⇒ b ∼ a (Symmetrie)<br />

(iii) a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ c (Transitivität)<br />

Wenn ∼ e<strong>in</strong>e Äquivalenzrelation ist, sagt man a ist äquivalent zu b.<br />

c) E<strong>in</strong>e Äquivalenzklasse bezüglich e<strong>in</strong>er Äquivalenzrelation ist e<strong>in</strong>e Teilmenge:<br />

A ⊂ M : ∃a ∈ A: A = { b ∈ M | a ∼ b}<br />

.<br />

Man schreibt M modulo ∼ (also die Menge aller Äquivalenzklassen):<br />

M<br />

/ ∼<br />

: = { A ⊂ M | A ist Äquivalenzklasse} .<br />

Stand: 8. Februar 2008


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Gruppen, R<strong>in</strong>ge, Körper und Vektorräume, Autor: Florian Modler<br />

(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />

Mit Worten bedeutet das: Diese nichtleere Teilmenge heißt Äquivalenzklasse, wenn es e<strong>in</strong><br />

Element a ∈ M gibt so, dass A genau die Elemente von M enthält, die äquivalent zu a s<strong>in</strong>d.<br />

Noch e<strong>in</strong> paar Bemerkungen:<br />

Sei ∼ e<strong>in</strong>e Äquivalenzrelation auf M.<br />

a)<br />

∪<br />

M : = A (M ist die Vere<strong>in</strong>igung aller Äquivalenzklassen)<br />

A∈M<br />

/ ∼<br />

b) Aus A,<br />

B ∈ M<br />

/ ∼<br />

folgt entweder A=B oder A∩ B = ∅ .<br />

c) Für a ∈ M schreiben wir [ a] ∼<br />

: = { b ∈ M | a ∼ b}<br />

.<br />

Und nennen a e<strong>in</strong>en Repräsentanten von [ a]<br />

= A∈<br />

M<br />

/<br />

Daraus folgt: a ∼ b ⇔ [ a] = [ b]<br />

∼<br />

∼<br />

∼ ∼ .<br />

a und b s<strong>in</strong>d also genau dann gleich wenn die Äquivalenzklassen gleich s<strong>in</strong>d.<br />

Beim Übergang von der Menge M zur Menge M<br />

/ ∼<br />

geht also die Relation ∼ <strong>in</strong> die die<br />

Relation = über.<br />

a c<br />

E<strong>in</strong>e kle<strong>in</strong>e Anmerkung sei noch gegeben: Wir def<strong>in</strong>ieren = : ⇔ ad = bc . Dieses ist<br />

b d<br />

legitim, da wir uns <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em nullteilerfreien R<strong>in</strong>g bewegen. Bzw. anders formuliert:<br />

( a, b) ∼ ( c, d) : ⇔ ad = bc . Außerdem setzen wir noch M = {( a, b) | a, b∈ R, b ≠ 0} .<br />

a<br />

Vergleiche dazu unsere „ursprüngliche“ Def<strong>in</strong>ition: K = { | a, b∈ R, b ≠ 0} .<br />

b<br />

Nun zurück zu unserem eigentlichen Problem:<br />

Wir müssen zuerst zeigen, dass unsere Relation ∼ e<strong>in</strong>e Äquivalenzrelation ist.<br />

Lemma: Die Relation ∼ ist e<strong>in</strong>e Äquivalenzrelation.<br />

Beweis:<br />

Wir müssen die drei Eigenschaften. Nämlich die Reflexivität, die Symmetrie und die<br />

Transitivität.<br />

• Reflexivität: ( a, b) ∼ ( a, b) : ⇔ ab = ab , was offenbar richtig ist.<br />

• Symmetrie: Wir müssen zeigen, dass ( a, b) ∼ ( c, d) ⇒ ( c, d) ∼ ( a, b)<br />

Nehme an<br />

( a, b) ∼ ( c, d) : ⇔ ad = bc . Daraus folgt mit Hilfe des Kommutativgesetzes im R<strong>in</strong>g und<br />

dass die Gleichheit e<strong>in</strong>e Äquivalenzrelation ist: cb = da und daraus nach Def<strong>in</strong>ition<br />

( c, d) ∼ ( a, b)<br />

. In e<strong>in</strong>er logischen Schlusskette folgt also:<br />

( a, b) ∼ ( a, b) : ⇔ ab = ab<br />

.<br />

( a, b) ∼ ( c, d) ⇒ ad = bc ⇒ cb = da ⇒ ( c, d) ∼ ( a, b)<br />

• Transitivität: Zu zeigen ist, dass aus ( a, b) ∼ ( c, d),( c, d) ∼ ( e, f ) folgt ( a, b) ∼ ( e, f ) .<br />

Das Beste ist, man rollt den Beweis von h<strong>in</strong>ten auf. Zu zeigen ist ( a, b) ∼ ( e, f ) . Daraus<br />

folgt af = be . Daraus ergibt sich, da d ungleich 0 und R e<strong>in</strong> nullteilerfreier R<strong>in</strong>g ist:<br />

( af − be) • d = 0 . Nun zeigen wir den Beweis von vorne:<br />

Annahme: ( a, b) ∼ ( c, d),( c, d) ∼ ( e, f )<br />

Stand: 8. Februar 2008


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Gruppen, R<strong>in</strong>ge, Körper und Vektorräume, Autor: Florian Modler<br />

(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />

(1) (2)<br />

<br />

<br />

⇒ ad = bc und cf = de<br />

(1) (2)<br />

<br />

⇒ adf = bcf = bde, also: adf = bde<br />

⇒ ( af − be) d = 0 Da d ≠ 0 und der R<strong>in</strong>g nullteilerfrei ist:<br />

⇒ af − be = 0<br />

⇒ af = be<br />

⇒ ( a, b) ∼ ( e, f )<br />

Jetzt können wir die formale und mathematische Def<strong>in</strong>ition des Körpers K wagen:<br />

K : M (K ist def<strong>in</strong>iert als die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich der Relation)<br />

=<br />

/ ∼<br />

Für e<strong>in</strong> Element ( a, b)<br />

∈ M schreiben wir die zugehörige Äquivalenzklasse als:<br />

a<br />

: [( a, b)]<br />

b = . ∼<br />

Nun ist also mengentheoretisch und sauber def<strong>in</strong>iert, was e<strong>in</strong> Bruch ist.<br />

Der Punkt (i) der „Pseudodef<strong>in</strong>ition“ ist also geklärt.<br />

Kommen wir zur Klärung von Punkt (ii):<br />

Wir müssen nun zeigen, dass es egal ist, welche Buchstaben wir nehmen, also dass (ii) immer<br />

gilt, egal, was a, b, c oder d ist! Dazu machen wir folgendes:<br />

Seien α, β ∈ K. Def<strong>in</strong>iere α + β und α • β wie folgt.<br />

Wähle mir dazu Repräsentanten ( a, b) von α und ( c, d) von β.<br />

a c<br />

α = , β =<br />

b d<br />

ad + bc ac<br />

Zeige, dass und ∈ K nur von α und β abhängen und nicht von der<br />

bd bd<br />

Auswahl der Repräsentanten. Wenn ich das gezeigt habe, def<strong>in</strong>iere ich<br />

ad + bc ac<br />

α + β : = (1) und α • β : = (2).<br />

bd<br />

bd<br />

Aber zunächst zeige ich es erstmal:<br />

Beweis der Wohldef<strong>in</strong>iertheit:<br />

Seien ( a ', b ') ∈ M ,( c ', d ') ∈ M , sodass ( a ', b ') ∼ ( a, b) und ( c ', d ') ∼ ( c, d)<br />

⇒ a ' b = b ' a und c ' d = d ' c.<br />

Wir rollen den Beweis wieder von h<strong>in</strong>ten auf. Dabei können wir benutzen:<br />

a ' bdd ' + bb' c ' d = a ' d ' bd + b ' c ' db da a ' b = b ' a und c ' d = d ' c . Also letzter Beweisschritt:<br />

ad + bc a ' d ' + b ' c '<br />

= .<br />

bd b ' d '<br />

Hieraus folgt aber: ( ad + bc) b' d ' = ( a ' d ' + b' c ') bd . Das ist aber:<br />

adb ' d ' + bcb' d ' = a ' d ' bd + b' c ' bd . Und dies ist gleich.<br />

Stand: 8. Februar 2008


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Gruppen, R<strong>in</strong>ge, Körper und Vektorräume, Autor: Florian Modler<br />

(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />

Schreiben wir den Beweis noch e<strong>in</strong>mal von vorne auf:<br />

a ' bdd ' + bb' c ' d = a ' d ' bd + b ' c ' db da a ' b = b ' a und c ' d = d ' c<br />

⇒ adb' d ' + bcb' d ' = a ' d ' bd + b' c ' bd<br />

⇒ ( ad + bc) b' d ' = ( a ' d ' + b' c ') bd<br />

ad + bc a ' d ' + b' c '<br />

⇒ =<br />

bd b ' d '<br />

(2) zeigt sich analog:<br />

Denn: (Die Idee des Beweises liest sich wieder von unten nach oben):<br />

⇒ abc ' d = a ' bc ' d (da ab' = a ' b und cd ' = c ' d)<br />

⇒ acb' d ' = a ' c ' bd<br />

ac a ' c '<br />

⇒ =<br />

bd b ' d '<br />

Wir können also folgenden Satz formulieren:<br />

Satz:<br />

Sei R e<strong>in</strong> kommutativer R<strong>in</strong>g mit E<strong>in</strong>selement 1 ≠ 0 .<br />

a<br />

Dann ist ( K : = { | a, b∈ R, b ≠ 0}, + ,•)<br />

e<strong>in</strong> Körper mit Nullelement<br />

b<br />

1<br />

E<strong>in</strong>selement 1 = K<br />

1<br />

.<br />

0<br />

0 = K<br />

1<br />

und<br />

Zunächst e<strong>in</strong>mal ist zu zeigen, dass ( K , + ,•) e<strong>in</strong> kommutativer R<strong>in</strong>g mit E<strong>in</strong>selement ist.<br />

Es s<strong>in</strong>d also <strong>in</strong>sbesondere die Eigenschaften <strong>e<strong>in</strong>es</strong> R<strong>in</strong>ges nachzuprüfen, plus die<br />

Kommutativitat und die Existenz der E<strong>in</strong>s. Das ist etwas mühselig, aber nicht schwierig,<br />

und sei dem Leser überlassen. Wir wollen es hier nicht extra aufführen.<br />

Def<strong>in</strong>ition: K heißt der Quotientenkörper des R<strong>in</strong>ges R.<br />

Bemerkungen:<br />

a) Wenn der R<strong>in</strong>g Z ist, so erhalten wir als Körper Q .<br />

Also: R = Z → K = Q .<br />

b) Wir haben e<strong>in</strong>e <strong>in</strong>jektive Abbildung vorgenommen:<br />

⎧R<br />

→ K<br />

⎪<br />

⎨ a<br />

⎪a<br />

⎩<br />

֏ b<br />

Wir identifizieren R mit dem Bild dieser Abbildung.<br />

a<br />

R : = { | a ∈ R}<br />

⊆ K<br />

1<br />

Nullteilerfreie R<strong>in</strong>ge kann man <strong>in</strong> Körper e<strong>in</strong>betten.<br />

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Gruppen, R<strong>in</strong>ge, Körper und Vektorräume, Autor: Florian Modler<br />

(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )<br />

a<br />

Wir beweisen jetzt als Zusatz, dass K e<strong>in</strong> Körper ist. Dazu sei α : = ∈ K e<strong>in</strong> beliebiges<br />

b<br />

b<br />

Element. Dann gilt a ≠ 0 genau dann, wenn a ≠ 0 . In diesem Fall ist<br />

a<br />

α − 1 : = e<strong>in</strong> Inverses zu<br />

1 a b ab ab 1<br />

α , wegen αα − = • = = = = 1<br />

R<br />

.<br />

b a ba ab 1<br />

Jedes von Null verschiedene Element von K ist demnach e<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>heit, also ist K e<strong>in</strong> Körper.<br />

a<br />

a b<br />

Bemerkung: Die Abbildung R → K,<br />

a ֏ ist <strong>in</strong>jektiv, denn aus = folgt a = b .<br />

1<br />

1 1<br />

Es ist üblich und nützlich, den R<strong>in</strong>g R mit dem Bild obiger Abbildung zu identifizieren und<br />

somit als Teilmenge von<br />

K aufzufassen. Mit anderen Worten: wir unterscheiden nicht zwischen dem Element<br />

a<br />

a ∈ K und ∈ K . 1<br />

Diese Konvention ist mit der Def<strong>in</strong>ition der Addition und der Multiplikation auf K verträglich,<br />

a b a + b a b a • b<br />

wegen + = , • = .<br />

1 1 1 1 1 1<br />

Mit anderen Worten: fassen wir R als Teilmenge des Körpers K auf, so ist die E<strong>in</strong>schränkung<br />

der auf K def<strong>in</strong>ierten Addition und Multiplikation auf die Teilmenge R die übliche Addition<br />

und Multiplikation des R<strong>in</strong>ges R. Diese Aussage<br />

formuliert man auch so: R ist e<strong>in</strong> Unterr<strong>in</strong>g von K.<br />

Stand: 8. Februar 2008

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