Handout zum Vortrag

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Handout zum Vortrag

Pseudodifferentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

Benjamin Kirwa und Florian Modler

22. November 2010

Handout

1 Grundlegendes zu Mannigfaltigkeiten

1.1 Topologische Mannigfaltigkeiten

Definition (topologische Mannigfaltigkeit): Eine topologische Mannigfaltigkeit M

der Dimension m ist ein zusammehängender, parakompakter Hausdorff-Raum, welcher lokal

euklidisch ist, das heißt zu jedem Punkt p ∈ M existiert eine Umgebung U mit p ∈ U, eine

offene Umgebung Ω ⊂ R m und ein Homöomorphismus x : U → Ω (siehe Abbildung 1). Jede

offene Umgebung x : U → Ω heißt eine lokale Karte (lokales Koordinatensystem) von M

um p.

U

• p

M

x

Ω ⊂ R m

• x(p)

Abbildung 1: Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension m entspricht lokal dem R m . Wir

sagen, M ist lokal euklidisch.

1.2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Es sei f : M → R eine Funktion auf einer topologischen Mannigfaltigkeit M. Können wir

definieren, wann f in einem Punkt p ∈ M differenzierbar ist? Ein naheliegender Gedanke ist

der Folgende: Sei x : U → Ω ⊂ R m eine lokale Karte um p. Dann erhalten wir durch

f ◦ x −1 : Ω → R eine Funktion auf Ω. Wir können jetzt festlegen, dass f in p differenzierbar ist,

wenn f ◦ x −1 in x(p) differenzierbar ist. Hier haben wir nur ein kleines, aber entscheidenes

Problem: Diese Definition wäre abhängig von der Wahl der Koordinaten (der Karte). Wäre

also noch eine beliebige zweite Karte ˜x : Ũ → ˜Ω um p gegeben, so sollte f ◦ x −1 genau dann in

x(p) ∈ Ω differenzierbar sein, wenn f ◦ ˜x −1 in ˜x(p) ∈ ˜Ω differenzierbar ist. Wann ist das der

Fall? Wir betrachten hierzu die sogenannte Übergangsabbildung (Kartenwechsel)

x ◦ ˜x −1 : ˜x(U ∩

} {{ Ũ) → x(U ∩

} Ũ) .

} {{ }

⊂˜Ω

⊂Ω

1


Wäre x ◦ ˜x −1 und ˜x ◦ x −1 differenzierbar, so würde aus der Kettenregel folgen, dass

f ◦ ˜x −1 = (f ◦ x −1 ) ◦ (x ◦ ˜x −1 )

genau dann in ˜x(p) differenzierbar ist, wenn f ◦ x −1 in x(p) differenzierbar ist. Wir definieren

also:

Definition (C k -Atlas): Sei M eine m-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Eine

Menge A von Karten heißt C k -Atlas für M, wenn gilt

a) Jeder Punkt von M liegt im Definitionsbereich mindestens einer Karte.

b) Für je zwei Karten x, ˜x ∈ A ist der Kartenwechsel ˜x ◦ x −1 differenzierbar von der Klasse

C k .

Sei A ein C k -Atlas von M. Eine Karte x von M heißt mit A verträglich, wenn auch A ∪ {x}

ein C k -Atlas ist.

Definition (C k -Struktur): Ist M eine Menge von Karten, die mit A verträglich sind, so ist

A ∪ M ein C k -Atlas. A heißt C k -Struktur für M, wenn jede mit A verträgliche Karte bereits

zu A gehört. Der Atlas ist also quasi ”

maximal“.

Jeder C k -Atlas bestimmt eindeutig eine C k -Struktur, nämlich die Menge aller Karten, die mit

A verträglich sind.

Definition (differenzierbare Mannigfaltigkeit): Eine topologische Mannigfaltigkeit mit

einer C k -Struktur heißt C k -Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist

eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. In diesem Fall sagt man auch, dass M glatt ist.

Definition (differenzierbare Abbildung): Es seien (M, A M ) und (N, A N ) zwei

differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n mit differenzierbaren Strukturen

A M bzw. A N . f : M → N heißt stetig differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt p ∈ M

differenzierbar ist und wenn die Abbildung y ◦ f ◦ x −1 : Ω → Λ jeweils stetig differenzierbar ist.

Abbildung 2 verdeutlicht dies.

Abbildung 2: Stetig differenzierbare Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

1.3 Vektorraumbündel

Definition (differenzierbares Vektorraumbündel): Ein differenzierbares

Vektorraumbündel von Rang m ist ein Tripel (E, π, M) bestehend aus einer

differenzierbaren Abbildung (Projektion) π : E → M zwischen differenzierbaren

Mannigfaltigkeiten E (Totalraum) und M (Basis), so dass jede Faser E p := π −1 (p) ⊂ E die

2


Struktur eines m-dimensionalen reellen Vektorraums besitzt und so dass die folgende

Bedingung der lokalen Trivialität erfüllt ist: Zu jedem p ∈ M existiert eine offene Überdeckung

U ⊂ M um p und ein Diffeomorphismus ϕ : π −1 (U) → U ⊂ R m mit der Eigenschaft, dass für

alle q ∈ U die Abbildung

ϕ q := ϕ |Eq → {q} × R m

ein Isomorphismus ist. Jedes solche Paar (ϕ, U) heißt Bündelkarte.

Definition (Tangentialvektor, Tangentialraum): Ein Tangentialvektor ist (grob

gesprochen) eine lineare Abbildung v nach R mit

v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(q),

das heißt v ist eine Derivation. Die Tangentialvektoren im Punkt p ∈ M bilden einen

Vektorraum, den Tangentialraum T p M.

Definition (Tangentialbündel): Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension

m. Wir definieren

T M := ⋃

T p M.

p∈M

Mit der natürlichen Projektion π : T M → M, π(v) = p für alle v ∈ T p M und für alle p ∈ M

wird das Tripel (T M, π, M) wie folgt zu einem Vektorraumbündel von Rang 2m über M:

Ist x : U → Ω eine Karte um p ∈ M, so setzen wir T U := ⋃ p∈U T pM und dx : T U → U × R m

mit

dx(w) := Dx(π(w)) · w ∈ T x(π(w)) Ω.

Die Übergangsabbildungen d˜x ◦ (dx) −1 sind differenzierbar und die lokale Darstellung von π ist

x ◦ π ◦ (dx) −1 . Diese Abbildung bildet den Punkt (x 0 , w) ∈ T Ω auf x 0 ∈ Ω ab, das heißt

(T M, π, M) ist lokal trivial. Das Vektorraumbündel (T M, π, M) heißt Tangentialbündel.

Definition (Kotangentialbündel, Kovektor): Ein Element η ∈ T ∗ p M := (T p M) ∗ nennen

wir Kovektor. Das zum Tangentialbündel (T M, π, M) gehörende duale Bündel (T ∗ M, π, M)

heißt Kotangentialbündel von M.

1.4 Zerlegung der Eins und Pullback von Operatoren

Definition (Zerlegung der Eins): M sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine

Zerlegung der Eins auf M ist eine Familie von glatten Funktion (f α ) α∈I , f α : M → R mit

den folgenden Eigenschaften

a) Es gilt f α ≥ 0 auf M für alle α ∈ I.

b) Die Mengen (suppf α ) α∈I bilden eine lokal endliche Überdeckung von M.

c) Es gilt ∑ α∈I f α(p) = 1 ∀p ∈ M.

Es gibt ein paar interessante und wichtige Folgerungen aus der Zerlegung der Eins. Wir geben

ein paar an:

• Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit existiert eine Zerlegung der Eins.

• Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit existiert eien Riemannsche Metrik.

• Sei M eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann existiert genau eine

Volumenform µ auf M mit

µ(e 1 , . . . , e m ) = 1

für alle positiv orientierten Orthonormalbasen von T p M.

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Definition (Pullback und Pushforward von Operatoren): Seien U, V ⊂ R m offen und

χ : V → U ein C ∞ -Diffeomorphismus. Ist A : C0 ∞(U) → C∞ 0 (U), so definieren wir

durch

χ ∗ A : C ∞ 0 (V ) → C ∞ 0 (V )

(χ ∗ A)u(x) := A(u ◦ χ −1 )(χ(x))

und nennen dies den Pullback von Operatoren. Wir sagen A sei in U getragen, falls ein

ϕ ∈ C ∞ (U) mit

supp ϕ ⊂ U und A = ϕAϕ

existiert.

Analog ist der Pushforward von Operatoren definiert.

2 Pseudodifferentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

Lemma: Sei p ∈ S m 1,0 (Rn × R n × R n ) und es gelte D α y p(x, u, ξ) |y=x = 0. Dann existiert ein

q ∈ S −∞ (R n × R n ) mit op p = op q.

Lemma: Sei p ∈ S −∞ (R n × R n × R n ). Dann ist op p ein Integraloperator mit C ∞ -Kern


k(x, y) = e i(x−y)ξ p(x, y, ξ)dξ.

Satz: Es sei χ : V → U ein Diffeomorphismus beschränkter offener Mengen im R n und

p ∈ S m 1,0 (Rn × R n ). Ferner sei opp in U getragen. Dann existiert ein q ∈ S m mit

χ ∗ (opp) = opq.

Definition (Pseudodifferentialoperator auf einer Mannigfaltigkeit): Sei M eine

kompakte Mannigfaltigkeit. Wir sagen P sei ein Pseudodifferentialoperator der Ordnung

m auf M, falls gilt: Für jede Wahl von ϕ, φ ∈ C ∞ (M) mit Träger um einer einzigen

Koordinatenumgebung U j ist der auf R n durch

(P j f)(x) = (ϕP )(φ(f ◦ x j ))(x −1

j

(x))

definierte Operator P j ein Pseudodifferentialoperator mit Symbol in S m (R n × R n ).

Lemma: Sei P ein Pseudodifferentialoperator der Ordnung m in der Koordinatenumgebung U

getragen, x j : U j → Ω j ⊂ R n diffeomorph. Ferner sei p das Symbol von x j∗ P . Sind

ϕ, φ ∈ C ∞ 0 (U j) und ϕ j = x j∗ ϕ, φ j = x j∗ ϕ, so ist

q(x, y, ξ) = ϕ j (x)p(x, ξ)φ j (y)

das Symbol von x j∗ (ϕP φ). Ist insbesondere φ ≡ 1 auf suppϕ, so stimmt das Leibnizsymbol

x j∗ (ϕP φ) bis auf ein Symbol in S −∞ mit q(x, χ, ξ) = ϕ j (x)p(x, ε) überein.

Satz: Sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit und M = ⋃ J

j=1 U j eine Überdeckung von M

durch endlivh viele Koordinatenumgebungen. Ist P ein Pseudodifferentialoperator der

Ordnung m auf M, so finden wir zu jedem U j ein p j ∈ S m (Ω j × R n ) so, dass für jede Wahl von

ϕ, φ ∈ C ∞ 0 (U j) gilt

x j∗ (ϕP φ) ≡ op(ϕ j (x)p j (x, ξ)φ j (y)) mod S −∞ .

Definition (klassischer Pseudodifferentialoperator): Wir nennen P klassischen

Pseudodifferentialoperator auf M, falls alle auf R n reduzierten

Pseudodifferentialoperatoren klassisch sind.

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3 Sobolevräume auf Mannigfaltigkeiten

Satz: Sei P ein Pseudodifferentialoperator der Ordnung m auf M. Dann ist

für alle s ∈ R stetig.

P : H s (M) → H s−m (M)

Satz: Sei T : D ′ (M) → D ′ (M) ein Operator mit der Eigenschaft, dass für beliebige s, s ′ gilt

T : H s (M) → H s′ (M).

T hat dann einen C ∞ -Kern. Insbesondere ist T ein Pseudodifferentialoperator der Ordnung

−∞. Umgekehrt hat jeder Pseudodifferentialoperator der Ordnung −∞ diese Eigenschaft.

Satz: Seien P und Q Pseudodifferentialoperatoren der Ordnung m bzw. m ′ . Dann ist auch

R = P Q ein Pseudodifferentialoperator der Ordnung m + m ′ . Für die lokalen Symbole p j , q j , r j

bzgl. einer Überdeckung M = ⋃ U j gilt

r j ∼ ∑ α

1

α! ∂α ψ p jD α x q j ∈ S m+m′ (Ω j × R n ) mod S −∞ (Ω j × R n ).

Definition (elliptischer Pseudodifferentialoperator): Sei P ein klassischer

Pseudodifferentialoperator auf M. P heißt elliptisch, falls für das homogene Hauptsymbol

p m (x, ψ) gilt, dass p m (x, ψ) für alle x ∈ M und ψ ≠ 0 invertierbar ist.

Satz: Sei P ein elliptischer Pseudodifferentialoperator auf M der Ordnung m. Dann existiert

eine Paramatrix zu P , das heißt es existiert ein Pseudodifferentialoperator Q der Ordnung m

mit

P Q − I und QP − I.

Satz: Es sei Ω kompakt, P ein elliptischer Fredholmoperator und f ∈ H s (Ω). Ist u ∈ D ′ (Ω)

eine Lösung von P u = f, so ist u ∈ H s+m . Insbesondere ist ker(P ) ⊂ C ∞ (Ω).

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