Lösung zum 3. Hausübungsblatt

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Lösung zum 3. Hausübungsblatt

Hausübungsblatt 3 - Lösungen

Ferientutorium 2009 - Lineare Algebra I

Aufgabe H8: (Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit)

Es sei K ein Körper, A ∈ Mat(n, n; K). Eine Zahl λ ∈ K heißt Eigenwert von A, wenn es einen Vektor

v ∈ K n , v ≠ 0 gibt mit Av = λv. Der Vektor v heißt dann Eigenvektor zum Eigenwert λ.

(a) Es sei v ≠ 0 Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Zeige (mit Hilfe der Definition), dass v dann auch

Eigenvektor der Matrizen A −1 und 2A − E ist. Wie lauten jeweils die zugehörigen Eigenwerte?

Lösung: Nach Voraussetzung gilt Av = λv. Ist A invertierbar (das muss natürlich vorausgesetzt

werden!), gilt insbesondere λ ≠ 0, und wir können obige Gleichung umformen:

Av = λv ⇔ v = A −1 λv ⇔ 1 λ v = A−1 v.

Die letzte Gleichung zeigt, dass v Eigenvektor von A −1 zum Eigenwert 1 λ ist.

Außerdem ist v Eigenvektor von 2A − E, denn es gilt

(2A − E)v = 2Av − Ev = 2λv + v = (2λ − 1)v.

Der zugehörige Eigenwert von 2A − E ist demnach 2λ − 1.

(b) Man berechnet Eigenwerte und Eigenvektoren einer (n × n)-Matrix A mit folgenden Kriterien:

• v ≠ 0 ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ⇔ v ∈ Kern(A − λE)

• λ ist Eigenwert von A ⇔ det(A − λE) = 0

Dabei bezeichnet E wie gewohnt die (n × n)-Einheitsmatrix. Beweise diese Äquivalenzen. Waum ist

eine (n × n)-Matix genau dann invertierbar, wenn 0 kein Eigenwert von ihr ist?

Lösung: Es gelten die folgenden Äquivalenzen:

λ ist EW von A zum EV v ≠ 0 ⇔ Av = λv = λEv ⇔ (A − λE)v = 0 ⇔ v ∈ Kern(A − λE).

Damit ist die erste Aussage bewiesen. Die zweite Aussage folgt mit weiteren Äquivalenzen:

v ≠ 0 ∈ Kern(A−λE) ⇔ dim(Kern(A−λE)) > 0 ⇔ A−λE nicht invertierbar ⇔ det(A−λE) = 0

Ist 0 ein Eigenwert von A, gilt nun det(A − 0E) = det a = 0, was gleichbedeutend damit ist, dass A

nicht invertierbar ist.

(c) Bestimme das charakteristische Polynom und berechne alle Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren

der Matrizen


2 2


3


−1 0


0

A = ⎝1 2 1⎠ ∈ Mat(3, 3; C) und B = ⎝ 0 3 −4⎠ ∈ Mat(3, 3; C).

2 −2 1

0 4 3

Lösung: Für das charakteristische Polynom von A gilt


2 − t 2 3

⎞ ⎛

4 − t 0


4 − t


4 − t 0 0


χ A (t) = det ⎝ 1 2 − t 1 ⎠ = det ⎝ 1 2 − t 1 ⎠ = det ⎝ 1 2 − t 0 ⎠

2 −2 1 − t

2 −2 1 − t

2 −2 −1 − t

= (4 − t)(2 − t)(−1 − t)

Dabei haben wir in den ersten beiden Schritten ausgenutzt, dass die Determinante einer Matrix ihren

Wert nicht ändert, wenn man das λ-fache einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte addiert. Mit

dieser eleganten Form der Determinatenberechnung können wir die Nullstellen des charakteristischen

Polynoms (und somit die Eigenwerte) sofort ablesen: Es gilt λ 1 = 4, λ 2 = 2 und λ 3 = −1.

Zum Bestimmen der Eigenräume berechnen wir für i = 1, 2, 3 jeweils Kern(A − λ i E):


• Eig A (4) = Kern(A − 4E) = Kern ⎝ −2 2 3 ⎞ ⎛

⎞ ⎛ ⎞

−2 2 3

4

1 −2 1 ⎠ = Kern ⎝

5

0 −1 ⎠

2

= span( ⎝ 5

2

⎠)

2 −2 −3

0 0 0

1

1



• Eig A (2) = Kern(A − 2E) = Kern ⎝ 0 2 3 ⎞ ⎛

1 0 1 ⎠ = Kern ⎝ 1 0 1 ⎞ ⎛ ⎞

−1

0 2 3⎠ = span( ⎝− 3 2

⎠)

2 −2 −1

0 0 0

1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

3 2 3

1 3 1

−1

• Eig A (−1) = Kern(A + E) = Kern ⎝1 3 1⎠ = Kern ⎝0 −7 0⎠ = span( ⎝ 0 ⎠)

2 −2 2

0 −8 0

1

Um das charaktersitische Polynom und die Eigenwerte von B zu bestimmen betrachten wir wieder


χ A (t) = det(B − tE) = det ⎝ −1 − t 0 0 ⎞

0 3 − t −4 ⎠

0 4 3 − t

( )

3 − t −4

= (−1 − t) det

= (−1 − t)((3 − t) 2 + 16) = (−1 − t)(t 2 − 6t + 25)

4 3 − t

und erkennen, dass die Nullstellen von χ A (t) (und somit die Eigenwerte von A) die komplexen Zahlen

λ 1 = −1, λ 2 = 3 + 4i und λ 3 = 3 − 4i sind. Wir bestimmen nun die Eigenvektoren unter Berücksichtigung

der Rechenregeln für komplexe Zahlen (im Wesentlichen i 2 = −1):

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

• Eig A (−1) = Kern(A + E) = Kern ⎝ 0 0 0

0 4 −4⎠ = span(

0 4 4

• Bei folgender Rechnung haben wir im letzten Schritt das −i-fache der zweiten Zeile zur dritten

addiert:



−4 − 4i 0 0

Eig A (3 + 4i) = Kern(A − (3 + 4i)E) = Kern ⎝ 0 −4i −4 ⎠

0 4 −4i


⎞ ⎛ ⎞

−4 − 4i 0 0

0

= Kern ⎝ 0 −4i −4⎠ = span( ⎝i⎠)

0 0 0

1

• Bei folgender Rechnung haben wir im letzten Schritt das i-fache der zweiten Zeile zur dritten

addiert:



−4 + 4i 0 0

Eig A (3 − 4i) = Kern(A − (3 − 4i)E) = Kern ⎝ 0 4i −4⎠

0 4 4i


⎞ ⎛ ⎞

−4 + 4i 0 0

0

= Kern ⎝ 0 4i −4⎠ = span( ⎝−i⎠)

0 0 0

1

(d) Was ist es definiert, dass eine (n × n)-Matrix diagonalisierbar ist? Welche Kriterien zur Überprüfung

der Diagonalisierbarkeit kennst du?

Überprüfe dann, ob die Matrizen A und B aus Aufgabenteil (c) über R und über C diagonalisierbar

sind und gib, wenn möglich, invertierbare Matrizen S, T ∈ GL n (C) an, so dass S −1 AS und T −1 BT

Diagonalgestalt haben. Gib auch die Diagonalmatrizen D A := S −1 AS und D B := T −1 BT an.

Lösung: Nach Definition der Vorlesung ist eine (n × n)-Matrix A diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare

(n × n)-Matrix T gibt, so dass T −1 AT eine Diagonalmatrix ist (alle Einträge außerhalb

der Diagonalen sind 0). Das wesentliche Kriterium zur Diagonalisierbarkeit einer (n × n)-Matrix A

über einem Körper K ist, dass es eine Basis des K n gibt, die aus Eigenvektoren von A besteht. Da

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten auf jeden Fall linear unabhängig sind, ist das genau

dann erfüllt, wenn die Dimension jedes Eigenraumes von A mit der Vielfachheit des entsprechenden

Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms übereinstimmt. Auf jeden Fall ist A diagonalisierbar,

wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat; beachte aber, dass (nach obigen Kriterien)

auch Matrizen mit weniger unterschiedlichen Eigenwerte diagonalisierbar sein können.

Die beiden (3 × 3)-Matrizen aus Teil (b) sind auf jeden Fall über C diagonalisierbar, da sie jeweils 3

verschiedene (komplexe) Eigenwerte haben. Die Matrix A ist auch über R diagonalisierbar, da ihre

Eigenwerte reell sind. Die Matrix B ist doch nicht über R diagonalisierbar, da zwei ihrer Eigenwerte

keine reellen Zahlen sind.

⎝ 1 0

0

⎠)

2


Nach der Transformationsformel ist klar, dass die Spalten der gesuchten Matrizen S und T gerade

die Basisvektoren der Eigenräume sind. Daher gilt


⎞ ⎛

4 −1 −1

S = ⎝ 5

2

− 3 2

0 ⎠ und T = ⎝ 1 0 0


0 i −i⎠ .

1 1 1

0 1 1

Bei den entsprechenden Diagonalmatrizen ist darauf zu achten, dass die Reihenfolge der Eigenwerte

auf der Diagonalen mit der Reihenfolge der Eigenvektoren in den Basiswehselmatrizen übereinstimmt.

Folglich gilt

D A =


⎝ 4 0 0

0 2 0

0 0 −1


⎠ und D B =


⎝ −1 0 0

0 3 + 4i 0

0 0 3 − 4i


⎠ .

Aufgabe H9: (Ähnlichkeit von Matrizen)

Zeige, dass die folgenden 2 × 2-Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben, und überprüfe sie

auf Ähnlichkeit:

( ) ( )

4 −1

2 0

A 1 = , A

4 0 2 =

0 2

Gibt im Falle von Ähnlichkeit eine Matrix S ∈ GL 2 (R) an, so dass A 1 = S −1 A 2 S.

Lösung: Wir berechnen die charakteristischen Polynome der Matrizen:

( )

4 − t −1

• det(A 1 − tE) = det

= −4t + t

4 −t

2 + 4 = (t − 2) 2

( )

2 − t 0

• det(A 2 − tE) = det

= (2 − t)

0 2 − t

2

Beide charakteristischen Polynome sind also gleich, und beide Matrizen haben 2 als zweifachen Eigenwert.

Die Matrizen sind dennoch nicht ähnlich, da die Matrix A 1 nicht diagonalisierbar ist. Es gilt nämlich

( ) (

2 −1

1

Eig A1

(2) = Kern = span( ),

4 −2

2)

also kann A 1 keine Basis aus Eigenvektoren besitzen. A 1 ist folglich nicht diagonalisierbar und kann daher

nicht ähnlich zu der Diagonalmatrix A 2 sein.

Aufgabe H10: (Determinanten)

(a) Sei A ∈ Mat(3, 3; (R) mit det A = a. Die (3 × 3)-Matrix B gehe aus A hervor, indem man zunächst

die 2. Zeile von A mit 2 multipliziert, dann die 2. und 3. Spalte von A vertauscht und anschließend

das 3-fache der 3. Zeile von der 1. abzieht. Welchen Wert hat det B?

Lösung: Die beschriebenen Zeilen- und Spaltenoperationen haben folgende Einflüsse auf die Determinante:

• Durch Multiplikation einer Zeile mit 2 wird der Wert der Determinanten verdoppelt.

• Durch Vertauschen zweier Spalten wechselt der Wert der Determinante das Vorzeichen.

• Durch Addition des −3-fachen der dritten Zeile zur ersten Zeile bleibt der Wert der Determinante

unverändert.

Insgesamt gilt damit det B = −2 det A.

(b) Betrachte die (4 × 4)-Matrizen





0 2 0 0

4 −2 4 2

A = ⎜0 0 0 −3


⎝1 0 0 0 ⎠ und B = ⎜ 4 2 1 3


⎝−1 3 1 −1⎠ .

0 0 −2 0

1 1 2 1

Berechne det A, det B, det A −1 , det(A · B), det(A + B) und det( 1 2 B).

3


Lösung: Wir berechnen det A, indem wir sukzessive nach den Zeilen entwickeln (Vorzeichen beachten!):



0 2 0 0



det ⎜0 0 0 −3

0 0 −3

( )


⎝1 0 0 0 ⎠ = −2 · det ⎝1 0 0 ⎠ 1 0

= (−2) · (−3) · det = 6 · (−2) = −12

0 −2

0 −2 0

0 0 −2 0

Ebenso können wir det B durch Entwickelung nach den Zeilen ausrechnen, allerdings sind wir hier

nicht in in der glücklichen Situation, mehrere Nullen zu haben. Eleganter (und wesentlich kürzer) ist

es daher, zunächst mit dem Gauss-Algorithmus ein paar Umformungen vorzunehmen (evt. Wertänderung

der Determinante beachten!), um Nullen zu erzeugen.


⎞ ⎛


4 −2 4 2

0 −6 −4 −2 ⎛


det B = det ⎜ 4 2 1 3


⎝−1 3 1 −1⎠ = det ⎜0 −2 −7 −1

−6 −4 −2


⎝0 4 3 0 ⎠ = − det ⎝−2 −7 −1⎠

4 3 0

1 1 2 1

1 1 2 1



−2 10 0 ( )

= − det ⎝−2 −7 −1⎠ −2 10

= det = −6 − 40 = −46

4 3

4 3 0

Die meisten der weiteren Determinanten können wir nun mit den Eigenschaften der Determinantenfunktion

sofort angeben: Es gilt det A −1 = 1

det A = − 1 12

und nach dem Determinantenmultiplikationssatz

det(A · B) = (det A) · (det B) = 552. Da B eine (4 × 4)-Matrix ist, gilt det( 1 2 B) = ( 1 4

2)

det B =

− 23

8

. Es gilt allerdings nicht det(A + B) = det A + det B, weswegen wir diese Determinate doch zu

Fuß ausrechnen müssen:


⎞ ⎛


4 0 4 2

2 −2 4 0 ⎛

det(A + B) = det ⎜4 2 1 0


⎝0 3 1 −1⎠ = det ⎜4 2 1 0


⎝1 4 1 0⎠ = det ⎝ 2 −2 4


4 2 1⎠

1 4 1

1 1 0 1

1 1 0 1



0 −10 2 ( )

= det ⎝0 −14 −3⎠ −10 2

= det = 30 + 28 = 58

−14 −3

1 4 1

(c) Mit α, β ∈ R sei eine Matrix A n = (a i,j ) ∈ Mat(n, n; R) definiert durch


⎪⎨ α falls j = i + 1

a i,j = β falls j = i − 1

⎪⎩

0 sonst

Gib für n = 2, 3, 4 die Matrix A n an und berechne jeweils det(A n ). Welchen Wert hat det(A n ) für

allgemeines n ∈ N?

Lösung Die Vorschrift bedeutet gerade, dass auf der Diagonalen oberhalb der Hauptdiagonalen alle

Einträger den Wert α und auf der Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen alle Einträge den Wert

β haben. Wir geben zunächst die geforderten Matrizen explizit an:

A 2 =

( ) 0 α

, A

β 0 3 =



⎛ ⎞ 0 α 0 0

0 α 0

⎝β 0 α⎠ , A 4 = ⎜β 0 α 0


⎝0 β 0 α⎠

0 β 0

0 0 β 0

Die Determinanten dieser Matrizen sind demnach det A 2 = −αβ, det A 3 = 0 und det A 4 = α 2 β 2 .

Allgemein gilt det A 2k+1 = 0 für ungerade Indizes und det A 2k = (−1) k α n β k für gerade Indizes. Das

kann man sich wie folgt überlegen: In jeder Matrix A n können wir berechnen, indem wir zunächst

nach der ersten Zeile und dann nach der ersten Spalte entwicken, was uns (da dann insgesamt die

ersten beiden Zeilen und die ersten beiden Spalten aus einer Matrix A n gestrichen wurden) det A n =

−αβ det A n−2 liefert. Daraus folgt induktiv die Behauptung. Formal kann diese Aussage dann per

vollständiger Induktion gezeigt werden.

4

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