Eine Einführung in die systolische Geometrie

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Eine Einführung in die systolische Geometrie

Eine Einführung in die systolische Geometrie

Florian Modler

2. März 2011


Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 4

2 Isoperimetrische Ungleichung und Geodäten 6

2.1 Die isoperimetrische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Geodäten auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Systolische Ungleichungen für Kurven in Flächen 9

3.1 Loewner, Pu und Blatter-Bavard-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Flächen mit größerem Geschlecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Die Sphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Systolische Ungleichungen in höher dimensionalen Mannigfaltigkeiten 13

4.1 Das Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Einige Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Index 15

Literaturverzeichnis 16

2


Vorwort

Dieser Vortrag soll eine Einführung in die systolische Geometrie geben. Wir werden hierbei zunächst

eine kleine Einführung geben, um was es in der systolischen Geometrie überhaupt geht, um dann

weiter in Materie einzusteigen. Dabei gibt es zunächst einen kleinen Exkurs zu der isoperimetrischen

Ungleichung und in die Theorie der Geodäten auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Weiter geht es

dann mit isosystolischen Ungleichungen von Loewner und Pu, die wir beweisen und uns an Beispielen

klar machen werden. Diese Ungleichungen werden wir in den kommenden Kapiteln versuchen, zu

verallgemeinern und auf Mannigfaltigkeitn beliebiger Dimension zu übertragen. Hierzu müssen wir

uns aber zunächst die systolische Geometrie im 2-Dimensionalen anschauen.

3


Kapitel 1

Einführung

Die folgenden Ausführungen basieren auf [Ber08]. Wir betrachten die Abbildung 1.1. Die rote Kurve

Abbildung 1.1: Die geschlossene Geodäte rechts ist keine Systole, da sie zusammenziehbar ist.

nennen wir im Folgenden eine Systole. Was dies genau ist, werden wir gleich definieren. Die blaue

Kurve, in diesem Fall eine geschlossene Kurve, in Abbildung 1.1 dagegen ist keine Systole.

Definition 1.1 (Systole) Eine Systole ist eine geschlossene Kurve auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit

(M, g) kleinster Länge, welche nicht zusammenziehbar ist. Wir bezeichnen diese mit Sys(M).

Bemerkung Das Wort „Systole“ kommt vom Griechischen „Zusammenziehbar“.

In dem Fall des Torus in Abbildung 1.1 sehen wir, dass die Fläche nicht zu klein sein darf. Die

systolische Geometrie fragt nun:

In welcher Beziehung stehen Sys(M) und Area(M) (oder allgemeiner Vol(M))?

1949 wurde die systolische Geometrie mit einer Ungleichung von Loewner geboren. Er bewies die

folgende Ungleichung.

Satz 1.2 (Loewner, 1949) Für jede Fläche S vom topologischen Typs eines Torus gilt

Area(S) ≥


3

2 Sys2 (S).

Gleichheit gilt genau dann, wenn die Riemannsche Metrik g auf S flach ist.

Diese Ungleichung läuft in der Literatur unter dem Namen der isosystolischen Ungleichung. Man

kann sich nun fragen, wie man diese Ungleichung auf beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinern

kann. Dies ist genau das, was wir in diesem Vortrag teilweise beantworten wollen.

Ein Doktorrand von Loewner, Pu, hat im Jahr 1952 Flächen, nicht unbedingt vom Typ eines Torus,

betrachtet und folgende Ungleichung bewiesen.

Satz 1.3 (Pu, 1952) Sei (S, g) eine Fläche. Dann gilt

Area(S) ≥ 2 π Sys2 (S).

Gleichheit gilt genau dann, wenn auf S die Standardmetrik lebt.

4


Einführung

In der systolischen Geometrie sind noch eine Menge elementarer Fragen offen. Faszinierend für Riemannsche

Geometer ist der Fakt, dass wir Ungleichungen auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit

erhalten, welche unabhängig von der Riemannschen Krümmung wahr sind; sie hängen also nicht von

der Riemannschen Struktur auf der Mannigfaltigkeit ab.

Für Flächen mit mehreren Löchern haben Accola und Blatter im Jahr 1960 eine Ungleichung bewiesen,

welche eine Konstante besitzen, welche kleiner und kleiner wird, wenn die Fläche mehr und

mehr Löcher besitzt. Die Frage ist also, was mit der Systole passiert, wenn die Löcher gegen Unendlich

streben.

5


Kapitel 2

Isoperimetrische Ungleichung und Geodäten

Wir wollen in diesem Kapitel einige bekannte Dinge zur isoperimetrischen Ungleichung und Geodäten

auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten zusammenfassen.

2.1 Die isoperimetrische Ungleichung

Eine wichtige Aussage in der globalen Kurventheorie ist die isoperimetrische Ungleichung. Die Fragestellung

beim isoperimetrischen Problem ist die folgende:

Sei Ω ⊂ R 2 ein beschränktes Gebiet, so dass ∂ Ω eine einfach geschlossene Kurve ist. Welche Gestalt

hat Ω, wenn wir bei fester Länge L des Randes ∂ Ω den eingeschlossenen Flächeninhalt A von Ω

maximieren wollen.

Die Antwort auf diese Frage gibt der folgende Satz.

Satz 2.1 (Isoperimetrische Ungleichung) Sei c : R → R 2 eine einfach geschlossene parametrisierte Kurve,

die ein Gebiet Ω ⊂ R 2 berandet. Damit gilt

4πA ≤ L 2 ,

wobei A die Fläche von Ω und L die Länge des Randes ∂ Ω bezeichnet. Gleichheit gilt genau dann, wenn

∂ Ω ein Kreis ist.

Diese Ungleichung lässt sich auf eine Riemannsche Mannigfaltigkeit M verallgemeinern. 1980 wurde

folgender Satz bewiesen.

Satz 2.2 Sei (M, g) eine vollständige, einfach zusammenhängende, n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit

mit Riemannscher Metrik g, deren Schnittkrümmung κ M ≤ k < 0 erfüllt. Für ein kompaktes

Gebiet Ω ⊂ M mit glattem Rand ∂ Ω gilt

Vol n−1 (∂ Ω) ≥ (n − 1) √ −kVol(Ω). (2.1)

Bemerkung Ist B ⊂ R n die n-dimensionale Einheitskugel, so impliziert (2.1) für genügend großes Volumen

Vol(Ω) die euklidische isoperimetrische Ungleichung

Vol n−1 (∂ Ω) ≥ c n Vol(Ω) (n−1)/n (2.2)

mit der positiven Konstanten c n = Vol n−1(∂ B)

Vol(B) (n−1)/n . Hoffmann und Spruck haben ein der isoperimetrischen

Ungleichung (2.2) ähnliches Resultat bewiesen, das unabhängig davon von Croke im Jahr 1980 bestätigt

wurde. Sie zeigten, dass für alle vollständigen, einfach zusammenhängenden, n-dimensionalen Riemann-

6


2.2 Geodäten auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten

schen Mannigfaltigkeiten (M, g) mit nichtpositiver Schnittkrümmung und alle kompakten Ω ⊂ M mit

glattem Rand eine Konstante ˜c n mit 0 < ˜c n < c n existiert, so dass

Vol n−1 (∂ Ω) ≥ ˜c n Vol(Ω) (n−1)/n

erfüllt ist.

Dies lässt vermuten, dass die euklidische isoperimetrische Ungleichung (2.2) für alle kompakten Gebiete

mit glattem Rand in einer vollständigen, einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit

(M, g) nichtpositiver Schnittkrümmung richtig ist. Im zwei- und vier-dimensionalen Fall wurde dies von

Weil und Croke bewiesen. Auch der drei-dimensionale Fall ist seit 1992 bekannt. Für Dimensionen n ≥ 5

ist die isoperimetrische Ungleichung auf Mannigfaltigkeiten noch offen.

2.2 Geodäten auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten

Definition 2.3 (Kurve auf einer Mannigfaltigkeit) Sei M eine Mannigfaltigkeit. Eine Kurve in M ist eine

stetige Abbildung

γ : [a, b] → M.

Sei nun (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik g = 〈·, ·〉. Für eine stetig differenzierbare

Kurve γ : [a, b] → M setzen wir

∫ b

L(γ) := | ˙γ(t)| dt.

a

Hierbei ist

und

˙γ(t) := ∂ γ

( ) ∂

∂ t (t) := (Dγ(t)) ∈ T

∂ t γ(t) M

| ˙γ(t)| 2 = 〈 ˙γ(t), ˙γ(t)〉 = g γ(t) ( ˙γ(t), ˙γ(t)).

Definition 2.4 (Länge) L(γ) heißt Länge der Kurve.

Bemerkung Man zeigt leicht, dass Umparametrisierungen die Länge der Kurve nicht verändern.

Definition 2.5 (Energie) Die Energie einer regulär parametrisierten Kurve γ : [a, b] → M ist

∫ b

E(γ) := 1 | ˙γ(t)| 2 dt.

2

a

Lemma 2.6 Zwischen Länge und Energie einer regulär parametrisierten Kurve γ : [a, b] → M gilt die

Ungleichung

(L(γ)) 2 ≤ 2|b − a|E(γ).

Beweis: Dies folgt im Wesentlichen aus der Hölderungleichung.

7


2.2 Geodäten auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten

Es seien p, q ∈ M, p ≠ q zwei fest Punkte und M zusammenhängend. Dann ist der Raum aller

regulär parametrisierten Kurven γ : [a, b] → M mit γ(a) = p und γ(b) = q nichtleer. Wir interessieren

uns nun für diejenigen Kurven γ : [a, b] → M von p nach q, die die Länge minimieren. Da man regulär

parametrisierte Kurven stets proportional zur Bogenlänge parametrisieren kann, existiert in der Klasse

aller Umparametrisierungen ˜γ von γ auch eine, für die L(˜γ) 2 = |b − a|E(˜γ). Daher können wir ach

gleich die Energie minimieren, um die Gestalt von γ zu ermitteln.

Definition 2.7 (Geodäte) Sei (M, g) eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit und p, q ∈

M. Eine differenzierbare Kurve γ : [a, b] → M mit γ(a) = p und γ(b) = q, die ein kritischer Punkt des

Energiefunktionals

E(γ) = 1 2

heißt Geodäte von p nach q.

∫ b

a

| ˙γ(t)| 2 dt

Satz 2.8 (Existenz und Eindeutigkeit) Sei (M, g) wie in Definition 2.7. Dann existiert zu jedem p ∈ M

und jedem V ∈ T p M genau eine Geodäte mit γ(0) = p und ˙γ(0) = V , welche auf einem genügend

kleinen Intervall [0, ε] ⊂ R definiert ist.

Beweis: Dies folgt aus den Euler-Lagrange-Gleichungen und der Theorie partieller Differentialgleichungen.

8


Kapitel 3

Systolische Ungleichungen für Kurven in Flächen

In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über systolische Ungleichungen für Kurven in Flächen.

3.1 Loewner, Pu und Blatter-Bavard-Sätze

Wie in der Einführung schon angedeutet, machte Loewner 1949 eine wundervolle Entdeckung. Wir

betrachten den zweidimensionalen Torus (T 2 , g) aus Abbildung 1.1 nochmals ein wenig genauer. Dort

gibt es geschlossene Kurven auf dem Tours, welche nicht zusammenziehbar sind. Dies liegt im Wesentlichen

daran, dass der Torus nicht einfach zusammenhängend ist.

Eine Systole von unserem Torus ist die kleinste Länge aller nicht zusammenziehbaren geschlossenen

Kurven. Wir notieren dies mit Sys(T 2 , g). Man sieht: Ist Sys(T 2 , g) zu groß, so kann die Fläche des

Torus nicht zu klein sein.

Satz 3.1 (Loewner, 1949) Jede Riemannsche Metrik g auf (T 2 , g) erfüllt die Ungleichung

Area g (T 2 ) ≥


3

2 Sys(g)2 .

Gleichheit gilt genau dann, wenn g flach ist.

Abbildung 3.1: Kürzeste Kurve auf einem Torus.

Diese Ungleichung kann als globale isoperimetrische Ungleichung interpretiert werden: In dem Satz

3.1 gibt es keinen Bereich mit Rand. Der Bereich ist die gesamte Mannigfaltigkeit und die Systole spielt

die Rolle des Randes. Solch eine Ungleichung nennen wir isosystolische Ungleichung.

Der Beweis folgt aus folgendem Satz.

Satz 3.2 Sei (T 2 , g) ein Torus mit beliebiger Metrik g. Dann existiert eine flache Metrik g ′ auf T 2 und eine

positive Funktion f : T 2 → R mit g = fg ′ .

9


3.2 Flächen mit größerem Geschlecht

Beweis von Satz 3.1: Sei (T 2 , g) ein Torus mit Metrik g. Nach Satz 3.2 existiert eine Metrik g ′ , so dass

(T 2 , g ′ ) flach ist. Es folgt, dass (T 2 , g ′ ) eine transitive Gruppe G mit Isometrien ξ besitzt.


(f ∗ ) 1/2 = f(ξ) 1/2 dξ

ξ

liefert eine Metrik f ∗ g ′ . Daraus ergibt sich

Sys(f ∗ g ′ ) ≥ Sys(g). (3.1)

Die Schwarz-Ungleichung impliziert

Area(T 2 , f ∗ g ′ ) ≤ Area(T 2 , g). (3.2)

Aus den Gleichungen (3.1) und (3.2) folgt nun insgesamt

Area(T 2 , g)

Sys 2 (g)

≥ Area(T 2 , f ∗ g ′ )

Sys 2 (f ∗ g ′ .

)

f ∗ ist konstant, da G transitiv operiert. Demnach ist f ∗ g ′ flach.

Bemerkung Das Interessante an der Loewner-Ungleichung ist vor allem ihre Allgemeinheit: die Ungleichung

ist unabhängig von der Wahl der konkreten Metrik g, zudem kann die Konstante nicht verkleinert

werden.

Ein weiterer recht einfacher, aber sehr interessanter Raum ist der reell 2-dimensionale projektive

Raum RP 2 . Pu, ein Doktorand Loewners, untersuchte ihn im Jahr 1952.

Satz 3.3 (Pu, 1952) Gegeben sei der reell projektive Raum (RP 2 , g) mit beliebiger Metrik g. Dann gilt

Area(RP 2 , g) ≥ 2 π Sys2 (RP 2 , g).

Gleichheit gilt genau dann, wenn g die Standardmetrik auf RP 2 ist.

Satz 3.4 Es bezeichne (K, g) die Kleinsche Flasche. Dann gilt

3.2 Flächen mit größerem Geschlecht

Area(K, g) ≥ 2√ 2

π

Sys2 (K, g).

Die nächste naheliegende Fragestellung ist nun die Verallgemeinerung auf Flächen mit höherem Geschlecht.

Das Geschlecht einer Fläche ist die Anzahl der Löcher.

Satz 3.5 (Hebda, Burago, 1980) Sei (M, g) eine beliebige Fläche. Dann gilt

Area(M, g)

Sys 2 (M, g) ≥ 1 2 . 10


3.3 Die Sphäre

Beweis: Sei γ eine periodische Geodäte mit Länge L(γ) = Sys(M, g). Weiter sei m ∈ γ ein Punkt auf

der Kurve γ.

Wir behaupten, dass

( (

Vol B m, L ))

≥ L2

2 2 .

Es ist r < L 2

mit S(m, r) = ∂ B(m, r). Insgesamt ist damit L(S(m, r)) ≥ 4r. Insgesamt berechnen

wir

( (

Area B m, L )) ∫L/2

∫L/2

= L(S(m, r)) dr ≥ 4r dr = [ 2r 2] L/2

= L2

2

0 2 .

und daraus folgt letztendlich die Behauptung.

0

Satz 3.6 Sei (M, g) eine beliebige Riemannsche Fläche mit Geschlecht y. Dann gilt

Bemerkung Es gilt sogar mehr, genauer

Area(M, g)

Sys 2 (M, g) ≥ a√ y.

Area(M, g)

Sys 2 (M, g) ≥ a y

log 2 y .

Beweis: Der Beweis verläuft ähnlich zum Beweis von Satz 3.5.

Satz 3.7 (Überdeckungstrick) Sei X ein metrischer Raum. Nehme ein System von disjunkten metrischen

Bällen mit gegebenem Radius r (so groß wie möglich). Dann überdeckt das System von Bällen den gesamten

Raum, wenn wir diese Bälle nehmen und die Radien verdoppeln.

0

3.3 Die Sphäre

Eine weitere einfache Gestalt besitzt die Sphäre S 2 . Was passiert dort? Zunächst einmal bemerken wir:

Die Definition 1.1 der Systole macht auf einer Sphären keinen Sinn, da alle Kurven auf einer Sphäre zusammenziehbar

sind. Der systolische Wert ist aber durch periodische Geodäten gegeben. Wir nehmen

also eine Sphäre S 2 mit beliebiger Riemannscher Metrik g und nehmen die kleinste periodische Geodäte.

Es ist natürlich nicht sicher, dass es eine gibt. Aber man kann (etwas schwieriger) beweisen, dass

es tatsächlich eine gibt. Mit Λ(S 2 , g) notieren wir die Länge dieser kleinsten periodischen Geodäte. Es

gibt eine Vermutung, die Gromov 1980 aufgestellt hat.

Vermutung 1 Sei (S 2 , g) die Sphäre mit beliebiger Metrik g. Dann gilt

Λ(S 2 , g) bezeichnet hierbei

Area(S 2 , g)

Λ 2 (S 2 , g) ≥ 1

2 √ 3 .

11


3.4 Übersicht

Es gibt bis jetzt nur eine Teilantwort auf diese Vermutung. Croke hat 1988 die Konstante 1/961

ins Spiel gebracht. Für Sphären höhrer Dimensionen gibt es nur Aussagen, die von der Krümmung

abhängen.

3.4 Übersicht

Als Übersicht geben wir nun noch eine Beispiele und die entsprechenden systolischen Quotienten

SR(M) = Area(M)

Sys 2 (M) an.

Ist M = RP 2 , so gilt SR(M) = 2 π .

Ist M = T 2 , so gilt SR(M) <


3

2 .

Ist M = RP 2 #RP 2 , so gilt SR(M) = 23/2

π .

Ist M eine Fläche vom Geschlecht 2, so gilt SR(M) >

1

1

3 (√ 2+1) .

Ist M eine Fläche vom Geschlecht 3, so gilt SR(M) ≥ 7√ 3

8 . 12


Kapitel 4

Systolische Ungleichungen in höher dimensionalen

Mannigfaltigkeiten

Wir wollen hier einige Sätze zusammenfassen, ohne groß auf die Beweise einzugehen.

4.1 Das Problem

Es gibt keine universale untere Grenze für

Vol(M)

Sys d (M) ,

welche unabhängig von der Mannigfaltigkeit M (Dimension d) ist. Wir betrachten die Mannigfaltigkeit

M = S 1 × S d−1 .

Wir wählen auf M eine Produktmetrik, so dass der Kreis S 1 eine Länge kleiner als 1 besitzt und

das Volumen von S d−1 gegen 0 konvergiert. Die Systole ist dann 1. Was hindert uns nun aber, diese

Technik auf Riemannsche Flächen anzuwenden? Dies folgt aus algebraischer Topologie: Auf jeder

Riemannschen Fläche, welche nicht die Sphäre S 2 ist, generiert die Fundamentalgruppe (oder die erste

Homologiegruppe) die Fundamentalklasse. Die Systole repräsentiert die erste Homologie und das Volumen

die Fundamentalklasse. Sind diese unabhängig, so brauchen wir nicht hoffen, eine Ungleichung

zu erhalten.

Die einfachsten Beispiele, die wir betrachten könnten, ist der Torus T d und der reell projektive Raum

RP d . In diesen Beispielen generiert die erste Homologieklasse die Fundamentalklasse. Niemand konnte

irgendeine systolische Ungleichung für diese Räume beweisen, bevor Gromov 1983 ein fundamentales

Paper veröffentlicht.

Gromov bewies die Existenz einer positiven oberen Grenze des systolischen Quotients

Vol(M)

Sys d (M) .

Satz 4.1 (Gromov, 1983) Es existiert eine positive Konstante c(d), sodass für jede d-dimensionale Riemannsche

Mannigfaltigkeit

Vol(M)

Sys 1 (M) > c(d)

gilt. Hierbei bezeichnet Sys 1 (M) die homotop 1-Systole.

4.2 Einige Fragen

Wir beenden den Vortrag mit einigen Fragen und entsprechenden Antworten:

13


4.2 Einige Fragen

Was charakterisiert kompakte Mannigfaltigkeiten, für welche wir eine universale Ungleichung

besitzen?

Vol(M, g)

> c(d)

Sys 1 (M, g) dim(M)

Diese Frage wurde im Jahr 1992 von Babenko für Sys 1 (M) studiert.

Was ist der optimale Wert und falls solche Metriken existieren, wie sehen diese aus?

Antworten auf diese Fragen geben Gromov in seinem „Filling Paper“ und Calabi im Jahr 1992. In

Dimension 3 dagegen gibt es (noch) ein Resultat über eine optimale systolische Metrik für jeden

Typ einer Mannigfaltigkeit. Betrachten wir den Torus T 3 und den reell projektiven Raum RP 3 .

Eine klassische Idee ist, die Standardmetrik g für RP 3 und eine flache Metrik g für T 3 zu fixieren

und zu versuchen, eine Voration des systolischen Quotienten

Vol(M, g)

Sys 3 (M, g)

zu berechnen. Dies ist allerdings schwierig, da man die Systole nicht direkt berechnen kann. Das

Volumen zu berechnen ist dagegen natürlich leicht.

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Index

Energie, 7

Geodäte, 8

isoperimetrische Ungleichung, 6

Kurve, 7

Energie, 7

Geodäte, 8

Länge, 7

Länge einer Kurve, 7

Systole, 4

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Literaturverzeichnis

[Ber03] M. Berger. A Panoramic View of Riemannian Geometry. 1. Aufl. Springer Verlag, März 2003.

[Ber08] M. Berger. What is... a Systole? 1. Aufl. Notice of the AMS, März 2008.

[Boo02]

[Jos08]

W. Boothby. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic

Pr Inc., Sep. 2002.

Jürgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis (Universitext). 5. Aufl. Springer,

Berlin, Mai 2008.

[Kat07] M. Katz. Systolic Geometry and Topology. 1. Aufl. American Mathematical Society, Jan. 2007.

[Lan02]

[Mai04]

Serge Lang. Introduction to Differentiable Manifolds (Universitext). 2 Sub. Springer, Berlin,

Sep. 2002.

R. Maier. Die isoperimetrische Ungleichung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. 1. Aufl. Diplomarbeit,

Feb. 2004.

[Mil68] J. Milnor. Morse Theory. 1. Aufl. Princeton University Press, Mai 1968.

[Spi79] Michael Spivak. Comprehensive Introduction To Differential Geometry, 2nd Edition, Volume 5.

PUBLISH OR PERISH INC, Jan. 1979.

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