Eine Einführung in die systolische Geometrie

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Eine Einführung in die systolische Geometrie

Kapitel 2

Isoperimetrische Ungleichung und Geodäten

Wir wollen in diesem Kapitel einige bekannte Dinge zur isoperimetrischen Ungleichung und Geodäten

auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten zusammenfassen.

2.1 Die isoperimetrische Ungleichung

Eine wichtige Aussage in der globalen Kurventheorie ist die isoperimetrische Ungleichung. Die Fragestellung

beim isoperimetrischen Problem ist die folgende:

Sei Ω ⊂ R 2 ein beschränktes Gebiet, so dass ∂ Ω eine einfach geschlossene Kurve ist. Welche Gestalt

hat Ω, wenn wir bei fester Länge L des Randes ∂ Ω den eingeschlossenen Flächeninhalt A von Ω

maximieren wollen.

Die Antwort auf diese Frage gibt der folgende Satz.

Satz 2.1 (Isoperimetrische Ungleichung) Sei c : R → R 2 eine einfach geschlossene parametrisierte Kurve,

die ein Gebiet Ω ⊂ R 2 berandet. Damit gilt

4πA ≤ L 2 ,

wobei A die Fläche von Ω und L die Länge des Randes ∂ Ω bezeichnet. Gleichheit gilt genau dann, wenn

∂ Ω ein Kreis ist.

Diese Ungleichung lässt sich auf eine Riemannsche Mannigfaltigkeit M verallgemeinern. 1980 wurde

folgender Satz bewiesen.

Satz 2.2 Sei (M, g) eine vollständige, einfach zusammenhängende, n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit

mit Riemannscher Metrik g, deren Schnittkrümmung κ M ≤ k < 0 erfüllt. Für ein kompaktes

Gebiet Ω ⊂ M mit glattem Rand ∂ Ω gilt

Vol n−1 (∂ Ω) ≥ (n − 1) √ −kVol(Ω). (2.1)

Bemerkung Ist B ⊂ R n die n-dimensionale Einheitskugel, so impliziert (2.1) für genügend großes Volumen

Vol(Ω) die euklidische isoperimetrische Ungleichung

Vol n−1 (∂ Ω) ≥ c n Vol(Ω) (n−1)/n (2.2)

mit der positiven Konstanten c n = Vol n−1(∂ B)

Vol(B) (n−1)/n . Hoffmann und Spruck haben ein der isoperimetrischen

Ungleichung (2.2) ähnliches Resultat bewiesen, das unabhängig davon von Croke im Jahr 1980 bestätigt

wurde. Sie zeigten, dass für alle vollständigen, einfach zusammenhängenden, n-dimensionalen Riemann-

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