Eine Einführung in die systolische Geometrie

Kapitel 2
Isoperimetrische Ungleichung und Geodäten
Wir wollen in diesem Kapitel einige bekannte Dinge zur isoperimetrischen Ungleichung und Geodäten
auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten zusammenfassen.
2.1 Die isoperimetrische Ungleichung
Eine wichtige Aussage in der globalen Kurventheorie ist die isoperimetrische Ungleichung. Die Fragestellung
beim isoperimetrischen Problem ist die folgende:
Sei Ω ⊂ R 2 ein beschränktes Gebiet, so dass ∂ Ω eine einfach geschlossene Kurve ist. Welche Gestalt
hat Ω, wenn wir bei fester Länge L des Randes ∂ Ω den eingeschlossenen Flächeninhalt A von Ω
maximieren wollen.
Die Antwort auf diese Frage gibt der folgende Satz.
Satz 2.1 (Isoperimetrische Ungleichung) Sei c : R → R 2 eine einfach geschlossene parametrisierte Kurve,
die ein Gebiet Ω ⊂ R 2 berandet. Damit gilt
4πA ≤ L 2 ,
wobei A die Fläche von Ω und L die Länge des Randes ∂ Ω bezeichnet. Gleichheit gilt genau dann, wenn
∂ Ω ein Kreis ist.
Diese Ungleichung lässt sich auf eine Riemannsche Mannigfaltigkeit M verallgemeinern. 1980 wurde
folgender Satz bewiesen.
Satz 2.2 Sei (M, g) eine vollständige, einfach zusammenhängende, n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit
mit Riemannscher Metrik g, deren Schnittkrümmung κ M ≤ k < 0 erfüllt. Für ein kompaktes
Gebiet Ω ⊂ M mit glattem Rand ∂ Ω gilt
Vol n−1 (∂ Ω) ≥ (n − 1) √ −kVol(Ω). (2.1)
Bemerkung Ist B ⊂ R n die n-dimensionale Einheitskugel, so impliziert (2.1) für genügend großes Volumen
Vol(Ω) die euklidische isoperimetrische Ungleichung
Vol n−1 (∂ Ω) ≥ c n Vol(Ω) (n−1)/n (2.2)
mit der positiven Konstanten c n = Vol n−1(∂ B)
Vol(B) (n−1)/n . Hoffmann und Spruck haben ein der isoperimetrischen
Ungleichung (2.2) ähnliches Resultat bewiesen, das unabhängig davon von Croke im Jahr 1980 bestätigt
wurde. Sie zeigten, dass für alle vollständigen, einfach zusammenhängenden, n-dimensionalen Riemann-
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