Zusammenhänge auf Vektorraumbündeln

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Zusammenhänge auf Vektorraumbündeln

Zusammenhänge auf Vektorraumbündeln

Florian Modler

23. Dezember 2009

Abstract

In diesem kleinen Paper wollen wir verschiedene Zusammenhänge auf den verschiedensten Vektorraumbündeln

erklären. Zunächst werden wir die Definition eines Zusammenhangs anführen

und danach zeigen, dass der Levi-Civita-Zusammenhang der einzige metrische und torsionsfreie

Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ist.

1 Definition eines Zusammenhangs

Definition eines Zusammenhangs: Ein Zusammenhang auf einem Vektorraumbündel (E, π, M)

ist eine Abbildung

▽ : Γ(E) → Γ(T ∗ M ⊗ E)

mit den folgenden Eigenschaften

▽(e 1 + e 2 ) = ▽e 1 + ▽e 2 ∀e 1 , e 2 ∈ Γ(E) Linearität (1)

▽(fe) = df ⊗ e + f▽e∀f ∈ C ∞ (M), ∀e ∈ Γ(E) Leibniz-Regel. (2)

Ist V ∈ χ(M) ein glattes Vektorfeld und e ∈ Γ(E) ein Schnitt, so setzen wir ▽ V e :=

V ¬▽e ∈ Γ(E). Hierbei ist ¬ die Kontraktion der T M und T ∞ M-Anteile von V bzw. ▽e. Für

V, W ∈ χ(M) und e, e 1 , e 2 ∈ Γ(E) und f, g ∈ C ∞ (M) gilt dann wegen der Linearität, Gleichung

(1):

▽ V +W e = ▽ V e + ▽ W e, ▽ fV e = f▽ V e (3)

▽ V (e 1 + e 2 ) = ▽ V e 1 + ▽ V e 2 , ▽ V (fe) = df(V )e + f▽ V e (4)

2 Verschiedene Zusammenhänge

∙ Levi-Cevita-Zusammenhang: Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemannscher

Metrik g. Wir erklären nun einen wichtigen Zusammenhang auf dem Tangentialbündel

T M. Zu V, W ∈ χ(M) sei ▽ V W ∈ χ(M) das eindeutig bestimmte Vektorfeld

mit den beiden Eigenschafen

– Es gilt

⟨▽ V W, Z⟩ = 1 { V ⟨W, Z⟩ −Z ⟨V, W ⟩ + W ⟨Z, V ⟩

2 } {{ }

d()(V )

− ⟨V, [W, Z]⟩ + ⟨Z, [V, W ]⟩ + ⟨W, [Z, V ]⟩}.

– Es ergibt sich, dass dieser Zusammenhang metrisch ist, das heißt:

V ⟨W, Z⟩ = ⟨▽ V W, Z⟩ + ⟨W, ▽ V Z⟩

1


Wir haben hier jetzt schon beachtet, dass dies, was wir definiert haben, wirklich ein Zusammenhang

ist. Dies müssen wir nur natürlich erst einmal zeigen! Wir erinnern an die

folgenden Definitionen und Regeln für glatte Vektorfelder V, W, Z ∈ χ(M) und glatte

Funktionen f ∈ C ∞ (M):

Es gilt nun

V (⟨W, Z⟩) = d(⟨W, Z⟩)(V )

L V (W ) = [V, W ] = V W − W V

L fV (W ) = [fV, W ] = f[V, W ] − df(W )(V )

V ⟨fW, Z⟩ = d(⟨fW, Z⟩)(V ) = fV ⟨W, Z⟩ + df(V ) ⟨W, Z⟩

⟨▽ V (fW ), Z⟩ = ⟨f▽ V W, Z⟩ + 1 {df(V ) ⟨W, Z⟩ − df(Z) ⟨V, W ⟩

2

+ df(Z) ⟨V, W ⟩ + df(V ) ⟨Z, W ⟩}

= ⟨f▽ V W, Z⟩ + 1 ⋅ 2df(V ) ⟨W, Z⟩

2

= ⟨f▽ V W, Z⟩ + df(V ) ⟨W, Z⟩

= ⟨f▽ V W + df(V )W, Z⟩

= ⟨▽ V fW, Z⟩ .

Diese Rechnung zeigt, dass ▽ derivativ im 2. Argument ist. Können wir jetzt noch die

tensorielle Eigenschaft im 1. Argument zeigen, so sind wir fertig. Rechnen wir also munter

drauf los:

⟨▽ fV W, Z⟩ = ⟨f▽ V W, Z⟩ + 1 {−df(Z) ⟨V, W ⟩ + df(W ) ⟨Z, V ⟩

2

− df(W ) ⟨Z, V ⟩ + df(Z) ⟨W, V ⟩}

= ⟨f▽ V W, Z⟩ .

Dies zeigt das tensorielle Verhalten im 1. Argument.

∙ Dualer Zusammenhang: ▽ sei ein Zusammenhang auf einem Bündel E. Den zu ▽

dualen Zusammenhang ▽ ∗ definieren wir als

(▽ ∗ V ε ∗ ) (e) := V (ε ∗ (e)) − ε ∗ (▽ V e)

mit einem glatten Vektorfeld V ∈ χ(M), einem dualen Schnitt ε ∗ ∈ Γ(E ∗ ) und einem

glatten Schnitt e ∈ Γ(E). Wir beweisen nun, dass dies wirklich einen Zusammenhang

definiert, indem wir das derivative Verhalten im 2. Argument und das tensorielle Verhalten

im 1. Argument nachweisen. Es ist

(▽ ∗ V (fε ∗ )) (e) = V (fε ∗ (e)) − fε ∗ (▽ V e)

= df(V )ε ∗ (e) + fV (ε ∗ (e)) − fε ∗ (▽ V e)

= df(V )ε ∗ (e) + f (▽ ∗ V ε ∗ ) (e)

Hieraus folgt die Derivativität im zweiten Argument.

Außerdem ist

(



fV ε ∗) (e) = fV (ε ∗ (e)) − ε ∗ (▽ fV e)

= fV (ε ∗ (e)) − ε ∗ (f▽ V e)

= fV (ε ∗ (e)) − fε ∗ (▽ V e)

= f (▽ ∗ V ε ∗ ) (e)

2


Wir haben also auch das tensorielle Verhalten im ersten Argument gezeigt.

Wie kommt aber eigentlich diese Definition zu stande. Das Minuszeichen wird gewählt,

um eine Leibniz-Regel zu erzwingen:

V (ε ∗ (e)) = (▽ ∗ V ε ∗ )(e) + ε ∗ (▽ V e)

∙ Produktzusammenhang: Seien ▽ E , ▽ F zwei Zusammenhänge auf Bündeln E und F .

Wir erhalten auf E ⊗ F kanonisch den sogenannten Produktzusammenhang ▽ E⊗F , der

als

▽ E⊗F

V

:= ▽ E V e ⊗ f + e ⊗ ▽ E V f.

Zeigen wir nun noch, dass der Name des Produktzusammenhangs wirklich gerechtfertigt

ist.

▽ E⊗F

gV

(e ⊗ f) = ▽ E gV e ⊗ f + e ⊗ ▽ F gV f

= g▽ E V e ⊗ f + e ⊗ g▽ F V f

= g▽ E⊗F

V

(e ⊗ f)

Dies zeigt das tensorielle Verhalten im ersten Argument.

Folgende Rechnung beweist das derivative Verhalten im zweiten Argument.

definiert ist.

▽ E⊗F

V

(g(e ⊗ f)) = ▽ E V ge ⊗ gf + ge ⊗ ▽ F V gf

= (dg(V )e + g▽ E V e) ⊗ gf + ge ⊗ (dg(V )e + g▽ F V e)

= dg(V )(e ⊗ f) + g▽ E⊗F

V

(e ⊗ f)

∙ Zurückgezogener Zusammenhang: Sei f : M → N eine Immersion und E ein Vektorraumbündel

über N mit Zusammenhang ▽. Der mittels f zurückgezogene Zusammenhang

f −1 ▽ auf f −1 E (mit Fasern (f −1 E) p := E f(p) ist gegeben durch

(f −1 ▽) V e := ( ▽ Df(V )˜e ) ∘ f,

wobei für e ∈ Γ(f −1 e) der Schnitt ˜e ∈ Γ(E) ein beliebiger Schnitt mit e = ˜e ∘ f ist. Auch

hier beweisen wir die Zusammenhangs-Eigenschaften. Einerseits ist

(f −1 ▽) gV e = (▽ gDf(V )˜e) ∘ f

= (g▽ Df(V )˜e) ∘ f

= g(f −1 ▽) V e,

was das tensorielle Verhalten im ersten Argument zeigt. Und anderseits erhalten wir

(f −1 ▽) V ge = (▽ Df(V ) g˜e) ∘ f

= (df(Df(V ))g˜e + g▽ Df(V )˜e) ∘ f

= dg(V )e + (f −1 ▽ V e),

was das derivative Verhalten im zweiten Argument beweist.

∙ Induzierter Zusammenhang auf dem Tangentialbündel: (M, g) sei eine Riemannsche

Mannigfaltigkeit und f : M → N eine Immersion. Dann wird durch

Df : Γ(T M) → Γ(f −1 T N)

3


ein Bündelhomomorphismus gegeben. ▽ g und ▽ f ∗g seien Zusammenhänge auf (N, g) und

(M, f ∗ g). Auf ▽ T auf T M kann durch die Forderung

Df(▽ T V W ) = ( (f −1 ▽ g ) V Df(W ) ) T

ein Zusammenhang definiert werden. Hierbei ist T : f −1 T N → Df(T M) die bezüglich der

Metrik orthogonale Projektion von f −1 T N auf Df(T M).

∙ Induzierter Zusammenhang auf dem Normalenbündel: (M, g) sei eine Riemannsche

Mannigfaltigkeit und f : M → N eine Immersion. Das Normalenbündel T ⊥ M von f ist

das Vektorraumbündel über M mit Fasern

T ⊥ p M := { V ∈ T f(p) N : g(V, Df(z)) = 0 ∀z ∈ T p M } .

Es ist also f −1 T N = Df(T M) ⊗ T ⊥ M.

Der Levi-Civita-Zusammenhang auf T N induziert einen Zusammenhang ▽ ⊥ auf T ⊥ M

durch die Vorschrift

▽ ⊥ W V := ( (f −1 ▽ g ) W V ) ⊥

.

Hierbei ist ⊥ : f −1 T N → T ⊥ M die bezüglich der Metrik g orthogonale Projektion. Wir

zeigen noch schnell, dass dies wirklich einen Zusammenhang definiert.

Für s ∈ C ∞ M ist

▽ ⊥ sW = ((f −1 ▽ g ) sW V ) ⊥

= (s(f −1 ▽ g W

)V )⊥

= s ⋅ ((f −1 ▽ g W

)V )⊥

= s ⋅ ▽ ⊥ W V.

Also haben wir das tensorielle Verhalten im ersten Argument gezeigt.

Zum derivativen Verhalten:

Fertig.

▽ ⊥ W = ((f −1 ▽ g ) W (sV )) ⊥

= (ds(W )V + s(f −1 ▽ g ) W V ) ⊥

= ds(W )V + s((f −1 ▽ g ) W V ) ⊥

= ds(W )V + s▽ ⊥ W V

Ausgehend von diesen Zusammenhängen induziert eine Riemannsche Metrik g also einen kanonischen

Zusammenhang ▽ auf T M und dann auch auf sämtlichen Produktbündeln T p,q M =

T

}

M ⊗ .

{{

. . ⊗ T M

}


}

T ∗ M ⊗ .

{{

. . ⊗ T ∗ M

}

.

p

q

3 Der Levi-Civita Zusammenhang

Behauptung: Der Levi-Civita Zusammenhang ist metrisch.

Beweis: Vertauscht man W und Z in der Definition des Levi-Civita-Zusammenhangs und ad-

4


dierte die beiden Gleichungen, so ergibt sich

g(▽ V W, Z) + g(W, ▽ V Z) = 1 {V g(W, Z) − Zg(V, W ) + W g(Z, V ) + V g(Z, W )

2

− W g(V, Z) + Zg(W, V ) − g(V, [W, Z]) + g(Z, [V, W ])

+ g(W, [Z, V ]) − g(V, [Z, W ]) + g(W, [V, Z])

+ g(Z, [W, V ])

= V g(W, Z)

Behauptung: Der Levi-Civita-Zusammenhang ▽ einer Riemannschen Mannigfaltigkeit

(M, g) ist torsionsfrei.

Beweis: Nach Definition des Levi-Civita-Zusammenhangs ergibt sich

also

⟨▽ V W, Z⟩ − ⟨▽ W V, Z⟩ = 1 {V ⟨W, Z⟩ − Z ⟨V, W ⟩ + W ⟨Z, V ⟩

2

− ⟨V, [W, Z]⟩ + ⟨Z, [V, W ]⟩ + ⟨W, [Z, V ]⟩

− W ⟨V, Z⟩ + Z ⟨W, V ⟩ − V ⟨Z, W ⟩

+ ⟨W, [V, Z]⟩ − ⟨Z, [W, V ]⟩ − ⟨V, [Z, W ]⟩}

= 1 ⋅ 2 ⟨Z, [V, W ]⟩

2

= ⟨Z, [V, W ]⟩ = ⟨[V, W ], Z⟩ ,

⟨▽ V W − ▽ W V − [V, W ], Z⟩ = 0 ∀V, W, Z.

Es folgt also die Behauptung T ▽ (V, W ) = 0, und da V und W beliebig waren, folgt T ▽ = 0.

Behauptung: Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) existiert genau ein Zusammenhang

auf dem Tangentialbündel T M, der metrisch und torsionsfrei ist. Dieser ist durch den

Levi-Civita-Zusammenhang gegeben.

Beweis: Es bleibt zu zeigen, dass der Levi-Civita-Zusammenhang der einzige mit diesen Eigenschaften

ist. Die Existenz haben wir schon gezeigt. Sei ▽ metrisch und torsionsfrei. Dann folgt

aus der Eigenschaften von metrisch, dass

Die Torsionsfreiheit liefert

Z ⟨V, W ⟩ = ⟨▽ Z V, W ⟩ + ⟨V, ▽ Z W ⟩

V ⟨W, Z⟩ = ⟨▽ V W, Z⟩ + ⟨W, ▽ V Z⟩

W ⟨Z, V ⟩ = ⟨▽ W Z, V ⟩ + ⟨Z, ▽ W V ⟩ .

Z ⟨V, W ⟩ + V ⟨W, Z⟩ − W ⟨Z, V ⟩

= ⟨▽ Z V + ▽ V Z, W ⟩ + ⟨▽ Z W − ▽ W Z, V ⟩ + ⟨▽ V W − ▽ W V, Z⟩

= 2 ⟨▽ Z V, W ⟩ + ⟨[V, Z], W ⟩ + ⟨[Z, W ], V ⟩ + ⟨[V, W ], Z⟩

Der Zusammenhang ▽ entspricht also dem Levi-Civita-Zusammenhang.

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