Eine EinfÃ¼hrung in die elementare Zahlentheorie

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Kapitel 2 Teilbarkeit Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist genau dann durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt- Rechnung“aufgeht. Mathematisch definiert man dies wie folgt. Definition 2.1 (Teilbarkeit) Seien a, b ∈ N. Man sagt b teilt a (geschrieben b|a), wenn es ein c ∈ N gibt, so dass a = b · c. b heißt Teiler von a und a heißt Vielfaches von b. Ab und an bezeichnen wir c als Komplementärteiler von a bezüglich b. Beispiel: Beispielsweise ist die Zahl 8 durch 4 teilbar, da 8 : 4 genau 2 ergibt. In diesem Fall ist c = 2. Die Zahl 9 dagegen ist nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 passt, aber der Rest 1 übrig bleibt. Oder mathematisch formuliert. Es existiert kein c ∈ N, sodass 9 = c · 4 gilt. 2.1 Eigenschaften der Teilbarkeit Wir wollen ein paar Eigenschaften der Teilbarkeit zusammenstellen. Zuvor eine Definition. Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind 1 und −1 Teiler jeder ganzen Zahl. Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der Null) ist ein Teiler der 0. Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der Null) teilt sich selbst. Der kleinste positive Teil ≠ 1 einer ganzen Zahl ist ein Primteiler. Seien a, b, c und d ganze Zahlen. Dann gelten die folgenden Aussagen Gilt a|b, so gilt auch −a|b und a| − b. Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffes auf natürliche Zahlen beschränken. Gilt a|b und b|c, so folgt a|c. Für k ∈ Z \ {0} gilt a|b ⇔ ka|kb. Gilt a|b und c|d, so gilt auch ac|bd. Gilt a|b und a|c, so gilt auch a|kb + lc für alle ganzen Zahlen k und l. Gilt a|b und b|a, so ist a = b oder a = −b. Ein paar Beispiele. Beispiel: Teilt beispielsweise die 2 die 4 und die 4 die 8, so teilt 2 auch die 8. 6
2.2 Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem 2.2 Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem Zweierpotenzen Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist. Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist. Allgemein ist eine Zahl genau dann durch 2 n teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird, durch 2 n teilbar ist. Fünferpotenzen Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5). Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist. Allgemein ist eine Zahl genau dann durch 5 n teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird, durch 5 n teilbar ist. Zehnerpotenzen Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet. Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbarm, wenn die Zahl mit 000 endet. Allgemein ist eine Zahl genau dann durch 10 n teilbar, wenn ihre letzten n Ziffern jeweils 0 sind. Produkte aus Zweier- und Fünferpotenzen Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist und ihre letzte Ziffer eine Null ist. Eine Zahl ist genau dann durch 40 teilbar, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet. Allgemein ist eine Zahl genau dann durch 2 m 5 n teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten max(m, n) Ziffern gebildet wird, durch 2 m 5 n teilbar ist. 7
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Seite 3 und 4: Inhaltsverzeichnis 4.7 Ausblick: De
Seite 5: Kapitel 1 Einführung In der Zahlen
Seite 9 und 10: 2.3 Weiter in der Teilbarkeitstheor
Seite 11 und 12: 2.5 Diophantische Gleichungen Das G
Seite 13 und 14: 2.6 Teilbarkeit mittels vollständi
Seite 15 und 16: 3.2 Fundamentalsatz der Zahlentheor
Seite 17 und 18: Kapitel 4 Kryptographie 4.1 Einfüh
Seite 19 und 20: 4.3 Grundlagen und erste Erkentniss
Seite 21 und 22: 4.4 Klassische Kryptographie 4.4.1
Seite 23 und 24: 4.4 Klassische Kryptographie Multip
Seite 25 und 26: 4.4 Klassische Kryptographie Abbild
Seite 27 und 28: 4.4 Klassische Kryptographie Pad ge
Seite 29 und 30: 4.5 Kryptoanalyse 4.5.3 Known Plain
Seite 31 und 32: 4.6 Moderne Kryptographie 4.6.1 DES
Seite 33 und 34: 4.6 Moderne Kryptographie Schlüsse
Seite 35 und 36: 4.7 Ausblick: Der Quantencomputer -
Seite 37 und 38: Kapitel 5 Abschluss Dies soll es nu

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