Kapitel 3 Nichtlineare Systeme

3.1. LOGISTISCHE GLEICHUNG 5
3.1.5 Lyapunov Exponent
Der Lyapunov Exponent ist eine dimensionslose Zahl, welche ein gewisses Maß des chaotischen
Verhaltens ermöglicht. Bei einer Abbildung werden (zumindest innerhalb des chaotischen
Bereichs) benachbarte Punkte getrennt Das Intervall [x 0 , x 0 + ɛ] geht nach N
Iterationen über in [f(x N 0 ) , f (x N 0 +ɛ)
]. Die Länge des gestreckten Ursprungintervalls nach N
Iteration sei definiert durch
ɛ e Nλ(x0) := ∣ f
N
(x0 +ɛ) − f(x N ∣
0 )
(3.24)
Also gibt e λ die mittlere Entfernungsrate zweier Punkte pro Iteration an. Für ɛ → 0 und
N → ∞ wird
∣
λ(x 0 ) = lim
N→∞ lim
ɛ→0
Unter Verwendung der Kettenregel folgt
∣ ∣∣f N
1
N log (x0 +ɛ) − f (x N 0 )
ɛ
λ(x 0 ) = lim
N→∞
= lim
N→∞
( N−1
)
1
N log f ′ (x i )
∏
i=0
1
N log ∣ ∣∣∣ df N (x 0 )
dx 0
∣ ∣∣∣
(3.25)
(3.26)
wobei gilt f ′ = df/dx (man vergleiche hierzu g = f(f(x)) und g ′ = f ′ (f(x)) f ′ (x) ). Der
Logarithmus des Produkts lässt sich weiter vereinfachen zu
N−1
1 ∑
λ(x 0 ) = lim log |f ′ (x i )| (3.27)
N→∞ N
Die Bezeichnung ’log’ steht hier immer für den natürlichen Logarithmus. Diese letzte Form
der Gleichung für den Lyapunov Exponenten Gl. (3.27) ist besonders günstig für numerische
Rechnungen (Vermeidung von Overflow/Underflows). Für die logistische Abbildung
ist λ also Funktion des Parameters r (auf Seite 28 im Online-Material angegeben).
Für den Lyapunov-Exponenten gilt bei der logistischen Abbildung:
= 0 bei Perdiodenverdopplungen r i
= −∞ bei Superzyklen (d.h. mit x i = 1/2 als Element) wegen f ′ (1/2) = 0
> 0 für r ∞ < r < 4 mit Ausnahme der Fenster
= ln(2) bei r = 4
3.1.6 Definition von chaotischem Verhalten
Um eine Abbildung als chaotisch zu bezeichnen, bedarf es im wesentlichen 3 Bedingungen
i=0
1. Sensitive Abhängigkeit von Anfangsbedingungen
Hier sind alternative Formulierungen möglich
(a) Ein kleines Intervall wird durch Iterationen vergrößert
Dies impliziert, dass der Lyapunov-Exponent größer als Null ist, λ(x 0 ) > 0.
Dies allein ist aber noch nicht unbedingt chaotisch, wie das Bspl. f c (x) = cx
mit c > 1 zeigt. Diese Funktion ist linear und hängt sensitiv von Anfangsbed.
ab wegen
λ c (x 0 ) = lim
N→∞
ist aber eindeutig nicht chaotisch.
N−1
1 ∑
N
i=0
log |c| = log c > 0,
c○ W. Kley; Skript: Analytische Mechanik