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Singuläre Diffusionsgleichung - Universität zu Köln

Singuläre Diffusionsgleichung - Universität zu Köln

Erstgutachter: Prof. Dr.

Erstgutachter: Prof. Dr. Achim Rosch Zweitgutachter: Priv.-Doz. Dr. Markus Garst

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Grundlagen 3 2.1 Kühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1 Laserkühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2 Evaporatives Kühlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Optisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.1 Optische Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.2 Optisches Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Streuung an ultrakalten Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 Feshbachresonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.5 Hubbard-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.6 Umklappstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7 Boltzmanngleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7.1 Relaxationszeitnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.8 Experimentelle Realisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Singuläre Diffusionsgleichung 13 3.1 Motivation der singulären Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Änderung der Teilchenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.1 Lösungen im eindimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.2 Universelle Verlustrate im zweidimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . . 17 4 Regularisierung der singulären Diffusionsgleichung 19 4.1 Annahme einer maximalen Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Annahme einer maximalen Geschwindigkeit ohne Rückwärtsbewegung . . . . . 20 5 Telegraphengleichungen 23 5.1 Grenzfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.2 Änderung des Radius mit der Zeit in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . 25 5.3 Numerische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.4 Negative Dichten im zweidimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6 Kreisförmige Verteilungsfunktion 33 6.1 Ballistischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2 Diffusiver Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.3 Numerische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.4 Vergleich mit den Telegraphengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7 Zusammenfassung 43 Literaturverzeichnis I

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