21.10.2014 Aufrufe

T - Universität Konstanz

T - Universität Konstanz

T - Universität Konstanz

MEHR ANZEIGEN
WENIGER ANZEIGEN

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.

Universität <strong>Konstanz</strong>, FB Sportwissenschaft<br />

Proseminar Biomechanik<br />

Thema: Dynamik der menschlichen Bewegung II<br />

Trägheitsmoment, Drehmoment, Drehimpuls<br />

Die folgende Präsentation ist mit geringfügigen Änderungen übernommen aus<br />

dem Seminarvortrag des PS Biomechanik aus dem SS 2006 von Julian Gangl


„Bisher haben wir uns mit den dynamischen<br />

Begriffen bei Translationen, also geradlinigen<br />

Bewegungen, befasst.“<br />

= Masse, Kraft & Impuls<br />

„Die dazu analogen Grundbegriffe bei<br />

Rotations- bzw. Drehbewegungen sind<br />

Thema des heutigen Vortrags!“


Heutiges Thema: die dynamischen Grundbegriffe bei Rotationen<br />

Trägheitsmoment, Drehmoment, Drehimpuls<br />

Aus www.dotnet-magazin.de


Bisherige Erkenntnis:<br />

Bei translatorischen Bewegungen ist der Widerstand, den ein Körper<br />

einer Bewegung(sänderung) entgegensetzt, als Trägheit definiert<br />

worden. Gemessen wurde durch die Masse m.


1. Das Trägheitsmoment (engl.: moment of inertia)<br />

Beispiele für<br />

Rotationen aus<br />

dem Bereich des<br />

Turnens.<br />

Führt ein Körper eine Rotation um eine bestimmte Achse aus, dann setzt er der<br />

Erzeugung oder der Veränderung dieser Bewegung einen Widerstand entgegen.<br />

Diesen Widerstand bezeichnet man als Trägheitsmoment (Symbol I).<br />

Das Trägheitsmoment ist also die für Rotationen analoge Größe zur Masse bzw. Trägheit<br />

bei Translationen.


Das Trägheitsmoment ist von der Masse m und dem Abstand r von der<br />

Drehachse A abhängig. Die Maßeinheit ist [kg·m²].<br />

Für ein Masseteilchen der Masse m mit dem Abstand r<br />

zur Drehachse A ergibt sich somit:<br />

I = m · r²<br />

Trägheitsmoment Masse mal Rotationsradius<br />

Aus Bäumler/ Schneider,<br />

Sportmechanik.


Problem:<br />

Lösung:<br />

„Ein Körper besteht aus vielen Masseteilchen!!!“<br />

die Trägheitsmomente der einzelnen Teilchen ITeil werden aufsummiert<br />

zu IGesamt:<br />

I = ∑<br />

Gesamt<br />

I<br />

Teil<br />

= ∑ Δm ⋅<br />

i<br />

i<br />

r<br />

2<br />

i<br />

Aus Bäumler/ Schneider, Sportmechanik.<br />

Δmi besagt, dass es sich<br />

um das i-te<br />

Massenteilchen mit dem<br />

Abstand ri zur Drehachse<br />

A handelt


Berechnung des Trägheitsmoments für einfache Körper:<br />

i) Berechnung von I für eine Scheibe<br />

(Rotationsachse durch Mittelpunkt und senkrecht auf der Oberseite)<br />

I<br />

Sch<br />

=<br />

1<br />

2<br />

m<br />

Sch<br />

⋅ r<br />

Sch<br />

²<br />

Beispiel 1: Für mSch=2kg und rSch=0.1m ergibt sich:<br />

ISch=0.01kg m²<br />

Aus Bäumler/ Schneider,<br />

Sportmechanik.<br />

ii) Berechnung von I für eine Kugel<br />

(Rotationsachse durch Mittelpunkt)<br />

I<br />

K<br />

=<br />

2<br />

5<br />

m<br />

K<br />

⋅ r<br />

K<br />

²<br />

Beispiel 2: Für mK=7kg und rK=0.1m ergibt sich:<br />

IK=0.028kg m²<br />

Aus Bäumler/ Schneider,<br />

Sportmechanik.


Veränderung des Trägheitsmoments durch unterschiedliche Körperhaltung<br />

am Beispiel „Turmspringen“<br />

I<br />

„eher groß“:<br />

I<br />

„eher klein“:<br />

Körperteile weit von der Rotationsachse<br />

entfernt<br />

Körperteile nahe an der Rotationsachse<br />

gelegen


STEINER‘scher Satze: Berechnung von I wenn die Rotationsachse nicht durch<br />

den Körperschwerpunkt fällt:<br />

I = I + d ² ⋅<br />

KSP<br />

m<br />

Aus Ballreich/ Baumann, Grundlagen der<br />

Biomechanik des Sports.


Das Trägheitsmoment eines Körpers ist abhängig von<br />

a) der unterschiedlichen Körperform,<br />

b) der Körperhaltung und<br />

c) der Lage der Rotationsachse.<br />

Unterschiedliche Körperhaltungen und unterschiedliche Lagen der<br />

Rotationsachse:<br />

Aus Bäumler/ Schneider, Sportmechanik.


Merke: Je geringer die Körpermasse ist,<br />

je enger die Körperteile an der Rotationsachse liegen und<br />

je näher die Rotationsachse am KSP liegt,<br />

desto geringer ist der Widerstand = das Trägheitsmoment.


„Wie kommt eine Rotation überhaupt zustande?“<br />

„Durch das Einwirken von Drehmomenten!!“


Die Verallgemeinerung des<br />

Trägheitsmoments ist der<br />

Trägheitstensor<br />

• Dies ist eine Größe, die als 3x3-Matrix<br />

dargestellt wird.<br />

• Diese Größe ist unabhängig von der<br />

aktuellen Richtung der Drehachse durch<br />

den KSP.


2. Das Drehmoment (engl.: torque)<br />

Ein drehbarer Körper vollzieht dann eine Rotationsbewegung, wenn der<br />

Kraftangriffspunkt nicht mit dem Körperschwerpunkt zusammenfällt.<br />

Es entsteht ein Drehmoment (Symbol T), das dem Körper eine<br />

Winkelbeschleunigung erteilt.<br />

Das Drehmoment ist das Produkt aus dem Trägheitsmoment I und der<br />

Winkelbeschleunigung α, gemessen in Newtonmeter [Nm] bzw. [kg·m²/s²].<br />

<br />

T<br />

<br />

= I⋅α<br />

Drehmoment = Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung


Das Drehmoment T ist die für rotierende Körper analoge Größe zur Kraft F<br />

bei Translationen.<br />

Die Größe des Drehmoments lässt sich somit auch berechnen aus:<br />

T = r · F<br />

Das Drehmoment ist somit das<br />

Produkt der Kraft F und dem senkrechten<br />

Abstand r ihrer Wirkungslinie<br />

von der Drehachse.<br />

r wird auch als Hebelarm bezeichnet.<br />

r ⊥<br />

F<br />

Aus Baumann, Grundlagen der Biomechanik.<br />

Streng genommen ist das Drehmoment eine vektorielle Größe, die sich aus dem<br />

Vektorprodukt des Abstandsvektors mit dem Kraftvektor ergibt: <br />

<br />

T = r×<br />

F<br />

Beschränkt man sich aber auf senkrecht angreifende Kräfte, so kann man die oben<br />

angeführte einfachere Formel benutzen.


Das Drehmoment in der Form T = r · F ist entscheidend für das Verständnis des<br />

sogenannten Hebelgesetzes.<br />

Hebel = eine um eine Achse drehbare<br />

Stange, an der zwei oder mehrere<br />

Kräfte wirken.<br />

Zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht (eigene Grafik)<br />

(Wippe als Beispiel für einen zweiseitigen Hebel)<br />

Wenn gilt: F1 · r1 = F2 · r2 ,<br />

dann befindet sich der Hebel im Gleichgewicht.


Das Hebelgesetz lautet somit: Last mal Lastarm = Kraft mal Kraftarm<br />

und umgeformt: Last = Kraft · (Kraftarm : Lastarm)<br />

In der Praxis:<br />

Je größer das Verhältnis von Kraftarm und<br />

Lastarm ist, desto geringer die benötigte<br />

Kraft, um am Kraftarm zu ziehen bzw. zu<br />

drücken.<br />

(Praktische Anwendung des<br />

Hebelgesetzes)


Auch in des sportlichen Praxis haben wir es mit Hebeln zu tun: z.B. beim Rudern<br />

An einem Ruder wirken auf der einen Seite die Muskelkraft, auf der anderen<br />

Seite die Kraft des Ruderblatts. Die Drehachse befindet sich in der Dolle.


Wann ist beim Rudern die Kraftausübung optimal?<br />

a) Die Kräfte F1 an den Ruderblättern wirken<br />

parallel zum Boot. Also ist auch die<br />

Triebkraft des Bootes 2 mal F1. Die<br />

Kraftausübung ist optimal.<br />

b) Die Kräfte F1 wirken nun nicht mehr parallel. Es<br />

entstehen Vektorparallelogramme und somit die Kräfte<br />

F2 und F3 auf beiden Seiten.<br />

Die Kräfte F2 wirken nun parallel, die Triebkraft ist<br />

2 mal F2. Die beiden F3 heben sich dagegen auf.


3. Drehimpuls (engl.: angular momentum) -<br />

Drehimpulserhaltungssatz<br />

Der Drehimpuls (Symbol L) beschreibt den Bewegungszustand eines<br />

Körpers bei rotatorischen Bewegungen.<br />

(Wie der Impuls p bei translatorischen Bewegungen.)<br />

Man stelle sich den Drehimpuls als Pfeil vor, dessen Richtung die Drehachse<br />

angibt und dessen Länge den Schwung darstellt.<br />

Mathematisch betrachtet erhält man somit den Drehimpulsvektor :<br />

Der Drehimpuls berechnet sich als Produkt von Trägheitsmoment I und<br />

Winkelgeschwindigkeit ω und wird in [kg·m²/s] gemessen:<br />

<br />

L<br />

= I<br />

⋅ ω <br />

Drehimpuls = Trägheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit<br />

L


Die Richtung des Drehimpulsvektors stimmt bei Drehung um eine feste Achse<br />

mit der Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors und mit der Richtung der<br />

Drehachse überein.<br />

Aus Bäumler/ Schneider, Sportmechanik.<br />

Zur Veranschaulichung:<br />

Aus www.wikipedia.de<br />

Die gekrümmten Finger zeigen die<br />

Richtung der Drehung,<br />

der Daumen die Richtung des Dreh-<br />

Impulses.


„Wie kommt es, dass eine Frisbeescheibe, der<br />

ein Drehimpuls erteilt wird, eine gleichmäßige<br />

Flugbahn vollzieht?“<br />

Angenommen es greifen keine Drehmomente von außen an, so verändern<br />

sich weder Betrag noch Richtung des Drehimpulses, der Drehimpuls bleibt<br />

also erhalten.<br />

Der Drehimpulserhaltungssatz lautet:<br />

„Wenn keine äußeren Drehmomente angreifen, bleibt der gesamte Drehimpuls<br />

zeitlich konstant.“<br />

(Bäumler/ Schneider, S. 76)<br />

(Der Drehimpulserhaltungssatz gilt streng genommen nur in einem „abgeschlossenen<br />

System“, in dem zwischen einem Körper und seiner Umwelt keine Wechselbeziehungen<br />

stattfinden.)


Der Drehimpuls L hängt sowohl vom Trägheitsmoment I als auch von der<br />

Winkelgeschwindigkeit ω ab (L = I · ω).<br />

Bleibt nun L stets konstant, so muss ,wenn I sich verkleinert, ω im gleichen Maße<br />

größer werden und andersrum.<br />

Eines der gängigsten Beispiele für die Nutzung des Drehimpulserhaltungssatzes ist<br />

die Pirouettenbewegung beim Eiskunstlauf.<br />

I groß<br />

ω klein<br />

I klein<br />

ω groß<br />

Aus Ballreich/ Baumann, Grundlagen der<br />

Biomechanik des Sports.<br />

Legt der Eiskunstläufer während der Pirouette die zuvor ausgestreckten Arme<br />

eng an den Körper, so verkleinert er sein Trägheitsmoment I und erhöht im<br />

selben Ausmaß seine Winkel- bzw. Drehgeschwindigkeit ω.<br />

Die Drehung wird somit beschleunigt.


Fazit: „die Drehgeschwindigkeit ist steuerbar!!“<br />

Weitere Beispiele für die Nutzung des Drehimpulserhaltungssatzes im Sport:<br />

-Sprünge im Turnen (Salti), Turmspringen, Ballett, Kampfsport...<br />

-Diskuswerfen (beim Abwurf wird dem Diskus ein Eigendrehimpuls erteilt,<br />

bei optimaler Ausführung behält der Diskus eine stabile Lage in der Luft)<br />

-Videobeispiele-


Literatur<br />

Bäumler G., Schneider K.: Sportmechanik. Grundlagen für Studium und Praxis.<br />

München 1981.<br />

Ballreich R., Baumann W.: Grundlagen der Biomechanik des Sports.<br />

Probleme, Methoden, Modelle. Stuttgart 1996.<br />

Baumann W.: Grundlagen der Biomechanik. Schorndorf 1989.<br />

Baumann H., Reim H.: Bewegungslehre. Frankfurt am Main 1989.<br />

http://www.wikipedia.de (letzter Zugriff am 19.06.2006)


Activity 06


Activity<br />

Wir messen die Zeit T für eine Umdrehung um die Körperlängsachse auf einem<br />

Drehstuhl:<br />

T A<br />

T E<br />

= Zeit, wenn Arme gestreckt<br />

= Zeit, wenn Arme gebeugt<br />

T′<br />

A<br />

T′<br />

E<br />

= Zeit, wenn Arme gestreckt mit Gewichten<br />

= Zeit, wenn Arme gebeugt mit Gewichten<br />

aus T folgt A<br />

ω<br />

A<br />

=<br />

2π<br />

T<br />

A<br />

T′<br />

aus folgt<br />

A<br />

ω ′<br />

A<br />

=<br />

2π<br />

T ′<br />

A<br />

aus T E<br />

folgt<br />

ω<br />

E<br />

=<br />

2π<br />

T<br />

E<br />

T′<br />

aus folgt<br />

E<br />

ω ′<br />

E<br />

=<br />

2π<br />

T ′<br />

E<br />

Wir erhalten somit die jeweiligen Winkelgeschwindigkeiten ω.


Aufgrund des Drehimpulserhaltungssatzes muss gelten:<br />

L<br />

A<br />

= L E<br />

und damit auch:<br />

L ′ = ′<br />

A<br />

L E<br />

und damit auch aufgrund des Steiner‘schen<br />

Satzes:<br />

I<br />

A<br />

⋅ω<br />

A<br />

=<br />

I<br />

E<br />

⋅ω<br />

E<br />

( I<br />

A<br />

+ d ² ⋅ m)<br />

⋅ω ′ = ( I + h²<br />

⋅ m)<br />

⋅ω′<br />

A<br />

E<br />

E<br />

(es gilt h = 0)<br />

Durch weitere Umformungen lässt sich das Trägheitsmoment IA bestimmen:<br />

I<br />

A<br />

=<br />

I<br />

E<br />

ωE<br />

⋅<br />

ω<br />

A<br />

=<br />

I<br />

E<br />

T<br />

⋅<br />

T<br />

A<br />

E

Hurra! Ihre Datei wurde hochgeladen und ist bereit für die Veröffentlichung.

Erfolgreich gespeichert!

Leider ist etwas schief gelaufen!