V10 Typisierung von Körpern

Vorlesungsübersicht WS 2013/14 Mi 10-12 HS 1
Renate Rasch
Geometrie Modul 4b
benötigte Materialien: Geometrieheft – DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches
Faltpapier/Zettelblock; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
• 23.10. V1 Geometrische Grundbegriffe
• 30.10. V2 Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien
• 06.11. V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze,
Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
• 13.11. V4 Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke,
Haus der Vierecke, Symmetrien)
• 20.11. V5 Dreiecke (Flächensätze)
• 27.11. V6 Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis)
• 04.12. V7 Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
• 11.12. V8 Kongruenzabbildungen - Symmetrie
• 18.12. V9 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen
• 08.01. V10 Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische
Körper, Kugel)
• 15.01. V11 Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern,
Rauminhalt und Oberfläche der Kugel)
• 22.01. V12 Ähnliche Figuren
• 29.01. V13 Zusammenfassung
• 05.02. Klausur (Gruppe 1, 8-10 Audimax, Gruppe 2, 10-12 HS 1)
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V10 Typisierung von Körpern
• 1 Begriffe und Bezeichnungen
• 2 Geometrische Körper gruppieren
• 3 Symmetrien in Körpern
• 4 Körpernetze
• 5 Zeichnerische Darstellung von Körpern
Quellen: S. Krauter; A. Mitschka;
M. Stein
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1 Begriffe und Bezeichnungen
Körper – dreidimensionale
Punktmengen oder Figuren
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• Ebene Figuren haben
Strecken oder
gekrümmte Linien als
Begrenzungen, als
Abgrenzungen von der
Ebene, in der sie liegen.
• Geometrische Körper
sind allseitig durch
ebene oder gekrümmte
Flächen von dem Raum
abgegrenzt, in dem sie
liegen.
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Körper mit Grund- und
Deckfläche
Ordnungskriterien; Begriffe
Seitenflächen
oder
Mantelfläche
Flächen gesamt: Oberfläche
spitze Körper/stumpfe Körper
gerade Körper/schiefe Körper
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2 Körper gruppieren
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a) Quader
Man kann Quader als Schicht- oder
Schiebekörper erzeugen:
Legen Sie ein Faltquadrat (Rechteck) auf
den Tisch und schichten Sie für die
Lernenden sichtbar einen Körper auf
(ursprünglich Fläche, jetzt Körper).
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• Eine Rechteckfläche wird
senkrecht zu sich selbst
um eine bestimmte
Strecke verschoben bzw.
es werden mehrere
solcher Schichten
aufeinandergestapelt.
• Die dabei von dem
aufgeschichteten
Raumteil überstrichene
Punktmenge ist ein
Quader.
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) Säulen
Quader
Zylinder
• Eine erste
Verallgemeinerung der
Körperform Quader
erhalten wir, wenn wir als
Grundfläche ein beliebiges
Vieleck oder einen Kreis
zulassen, aber sonst an der
eingeschlagenen
Erzeugungsweise
(Verschiebung senkrecht
zur Grundfläche bzw.
kongruente Schichten)
festhalten.
• Alle Körper, die auf diese
Weise erzeugt werden,
sind Säulen.
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• schiefe Säulen
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• Auch Prismen lassen sich den Säulen zuordnen.
Bei einem Prisma liegen Grund- und Deckfläche in
parallelen Ebenen und sind zueinander kongruent.
Die seitlichen Begrenzungsflächen sind Rechtecke.
Quader gehören demzufolge zu den Prismen.
Prismen unterscheidet man nach der Anzahl ihrer
Seitenflächen. In der obigen Abbildung sind dreiseitige,
vierseitige und sechsseitige Prismen dargestellt.
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c) Spitzkörper (Pyramiden und Kegel)
• Die nächste Klasse
entsteht aus den
senkrechten (oder
schiefen) Säulen, indem
man die Deckfläche zu
einem Punkt, also zu
einer Spitze,
zusammenschrumpfen
lässt.
• Man erhält die Gruppe
der Spitzkörper.
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Auch Pyramiden (wie die Prismen) werden nach der Anzahl ihrer
Seitenflächen unterschieden.
Eine dreiseitige
Pyramide, deren
Kanten alle
gleichlang sind, heißt
Tetraeder.
eine Pyramide
mit einem
Quadrat bzw.
Rechteck als
Grundfläche
Eine Pyramide heißt regelmäßig
(regulär), wenn die Grundfläche ein
regelmäßiges n-Eck ist.
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• Mit der Eulerschen Polyederformel kann man
die Anzahl der Ecken (E), Flächen (F), Kanten
(K) bestimmen bzw. bestätigen: E+F-K = 2
Eckenzahl E Flächenzahl F Kantenzahl K E + F - K
Tetraeder 4 4 6 2
Würfel 8 6 12 2
dreiseitiges
Prisma
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d) Reguläre Körper (Platonische Körper)
Eigenschaften:
• Alle begrenzenden
Seitenflächen sind
untereinander
kongruente
regelmäßige n-Ecke
• An jeder Ecke treffen
gleichviele Flächen und
Kanten zusammen.
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Die fünf Platonischen Körper
sind nach der Anzahl ihrer
Seitenflächen benannt:
• Tetraeder (Vierflächner)
• Hexaeder (Sechsflächner)
• Oktaeder (Achtflächner)
• Dodekaeder (Zwölfflächner)
• Ikosaeder (Zwanzigflächner)
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e) Kugeln
• Eine Kugel mit dem
Mittelpunkt M und dem
Radius r ist die Menge
all der Punkte des
Raumes, deren Abstand
kleiner oder gleich r ist.
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Körper mit und ohne Spitze
Quelle: Kusch, Geometrie
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3 Symmetrien in Körpern
Ebenenspiegelung
• Zerlegung eines Körpers durch
einen ebenen Schnitt
• Entsprechende Punkte der
linken und rechten Seite liegen
dann spiegelbildlich
zueinander.
• Die Abbildung, die jedem
Punkt der einen Seite genau
einen Punkt der anderen Seite
zuordnet, heißt in Analogie zur
Achsen- bzw.
Geradenspiegelung
Ebenenspiegelung.
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• Viele Gegenstände haben
nicht nur eine
Symmetrieebene sondern
drei und mehr.
• Ein Giebeldach hat zum
Beispiel zwei
Spiegelebenen – eine
verläuft längs des Firstes,
die andere senkrecht zum
First.
• Herleiten der
Spiegelebenen über die
Grundfläche „Rechteck“.
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Drehsymmetrie
• Die beiden Spiegelebenen des
Giebeldaches schneiden sich in
einer vertikalen Geraden, der
Mittelachse des Dachkörpers.
Man kann den ganzen Körper
durch eine Halbdrehung um
diese Achse mit sich selbst zur
Deckung bringen.
• Der Drehung um einen Punkt
in der ebenen Geometrie
entspricht die Drehung um
eine Achse in der räumlichen
Geometrie.
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Das gleichseitige
Dreieck, die Grundfläche
des Prismas, hat 3
Spiegelachsen.
Ausgehend von
den Achsen könnte
man sich vertikale
Symmetrieebenen
vorstellen.
Die
Symmetrieebenen
schneiden sich in
einer Achse, um die
man den Körper
drehen kann.
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• Im Würfel, einem Vertreter
der Platonischen Körper ,
stecken schon recht viele
Symmetrien.
• Der Würfel hat 9
Spiegelebenen (3
Mittelebenen und 6
Diagonalebenen)
und
• 13 Drehachsen (3
Seitenmittellinien, 6
Kantenmittellinien, 4
Körperdiagonalen)
und
• einen Mittelpunkt.
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4 Körpernetze
Als Netz eines Körpers bezeichnet
man eine vollständige Abwicklung
seiner Oberfläche in die Ebene.
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Netz des Zylinders
Netz des Kegels
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Netze einer quadratischen
Pyramide
weitere
Pyramidennetze
Netze der Platonischen
Körper Dodekaeder und
Isokaeder
Die Oberfläche der
Kugel kann man
durch die
gleichmäßige
Krümmung nicht als
Netz in die Ebene
legen.
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Die systematische Suche
nach den 11
Würfelnetzen:
• Netze mit 4 Quadraten
senkrecht übereinander
oder waagrecht
nebeneinander
• Würfelnetze mit genau 3
Quadraten über- oder
nebeneinander
• Würfelnetze mit 2
Quadraten über- oder
nebeneinander
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1) 6 Würfelnetze, bei denen 4
Quadrate übereinander liegen
2) 4 Würfelnetze, bei denen 3
Quadrate übereinander liegen
3) 1 Würfelnetz, bei dem 2
Quadrate übereinander liegen
Entwicklung von
Würfelnetzen durch
weiteres Anlegen von
Quadraten: Position 1 ist
mit Modell H schon
gegeben, also bleiben noch
die Positionen 2 oder 3 für
das 6. Quadrat (Netz I, J)
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Es gibt 35 Sechslinge. Nur aus 11 Sechslingen
kann man einen Würfel bauen. Findet diese.
Zahlenbuch 3
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5 Zeichnerische Darstellung von
Am häufigsten gebraucht:
Schrägbild in Form der
Kavalierperspektive
• Frontkanten werden in wahrer
Größe und Richtung
abgebildet.
• Tiefenkanten werden unter
einem vereinbarten
Verzerrungswinkel α (meistens
45°) und dem
Verkürzungsverhältnis v
(meistens ½) abgebildet.
• Üblich ist auch: α = 30° und v =
⅓; α = 60° und v = ⅔.
Körpern
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Körper in der Grundschule
Würfel
Quader
quadrum (lat.) - viereckig
Pyramiden
Zylinder
Kugel
Kegel
und ausgewählte
Platonische Körper
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Schülern bietet man das Darstellen
räumlicher Figuren häufig auch auf Kästchenoder
Punktgitterpapier an.
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• Praxiskurs Körper
– Pyramide
– Würfel
– „schnelle“ Körper
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• Aufgabenstellung zur Übung
Woche vom 13. -17. 01. 2014
– Skizzieren Sie Prismen, Spitzkörper, Säulen mit
gekrümmten Flächen und die Kugel (Handskizzen).
Wiederholen Sie die begriffsbestimmenden
Merkmale der Körper.
– Versuchen Sie sich die 11 Würfelnetze
einzuprägen. Nutzen Sie eine Systematisierung.
Skizzieren Sie die 11 Würfelnetze aus dem Kopf.
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