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Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen - 10 ...

Vorlesung

Numerische

Berechnung

von Leichtbaustrukturen

Dr.-Ing. H.

Köppe

Vorlesung Numerische Berechnung von

Leichtbaustrukturen

10. Vorlesung

Dr.-Ing. H. Köppe

Institut für Mechanik

20. Januar 2013


Wölbkrafttorsion dünnwandiger gerader Stäbe mit

oenem Querschnitt

Vorlesung

Numerische

Berechnung

von Leichtbaustrukturen

Dr.-Ing. H.

Köppe

Allgemeine Denitionen

Schalen, Scheiben und Platten sind zweidimensionale ächenhafte

Konstruktionen.

• Zwei Abmessungen sind gegenüber einer dritten Abmessung (z. B.

Dicke h) groÿ.

Berechnung erfolgt in Abhängigkeit von der Krümmung der Flächen

und der Belastung nach der Scheiben-, Platten-, oder Schalentheorie.

Stäbe und Stabtragwerke sind eindimensionale Konstruktionen.

• Eine Abmessung (z.B. Länge l) ist gegenüber zweier

Querschnitssabmessungen (z. B. Höhe h und Breite b) groÿ.

Berechnung erfolgt in Abhängigkeit von der Querschnittsgestalt und

von der Belastung.

⇒ klassische Biegeteorie oder Saint Venantsche Torsion

⇒ Bei Verletzung spezieller Voraussetzungen an die Belastung und

Querschnittsform entsehen groÿe Fehler bei der Spannungs- und

Verformungsberechnung


Wölbkrafttorsion dünnwandiger gerader Stäbe mit

oenem Querschnitt

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Berechnung

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Dr.-Ing. H.

Köppe

Allgemeine Denitionen

Bei Torsionsbeanspruchungen spielt die Querschnittsform eine

entscheidende Rolle bei der Berechnung des Verformungs- und

Spannungszustandes.

Stäbe mit Vollquerschnitt:

• Die Berechnung der Verformungen und Spannungen kann nur für

Kreisquerschnitte mit einer elementaren Theorie erfolgen.

• Für alle anderen Vollquerschnitte muss die Torsionsbelastung mit

Methoden der klassischen Elastizitätstheorie behandelt werden.

Dünnwandige Stäbe (oene und geschlossene Querschnitte):

• Dünnwandige Stäbe zeichnen sich dadurch aus, dass bei ihnen die

Abmessungen in drei Stufen sehr unterschiedlich groÿ sind.

s

s ≪ H ≪ l Richtwerte:

H ≤ 0.1 und H

≤ 0.1

l

• Die Berechnung dünnwandiger Stäbe, insbesondere mit oenen

Querschnitten, erfordert bei allgemeinen Belastungen die

Berücksichtigung spezieller Eekte, die in der klassischen

Balkentheorie nicht enthalten sind.


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Allgemeine Denitionen

Mögliche Eekte:

• Torsion kann zusätzlich Längsdehnungen hervorrufen, die zu

zusätzlichen Normalspannungen führen

• Querkraftbeanspruchungen führen zu einer Torsionsbelastung wenn

sie nicht durch den Schubmittelpunkt laufen.

• Längskraftbelastungen können ebenfalls zu Torsionsbelastungen

führen.

Typische dünnwandige Querschnitte:

• Dünnwandige oenen Querschnitte:

• Dünnwandige geschlossene Querschnitte:


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oenem Querschnitt

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Allgemeine Denitionen

Typische dünnwandige Querschnitte:

• Dünnwandige geschlossene mehrzellige Querschnitte:

• Dünnwandige gemischte Querschnitte:

Denition

Verwölbung ist eine Verschiebung der Querschnittspunkte aus

der Querschnittsäche heraus in Stablängsrichtung infolge einer

Torsionsbelastung.


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Allgemeine Denitionen

Saint Venantsche Torsion (Reine Torsion):

Man spricht von der Saint Venantschen Torsion, wenn keine

Querschnittsverwölbungen auftreten oder vorhandene

Querschnittsverwölbungen sich ungehindert ausbreiten können.

Es gibt keine zusätzlichen Normalspannungen

Neben der Saint Venantschen Schubbeanspruchung treten keine

weiteren Torsionsbelastungen auf.

Reine Torsion liegt somit nur für wölbfreie Querschnitte vor (z. B.

Kreis- und Kreisringquerschnitte).

Bei Querschnitten, die sich nur gering verwölben (z. B. allgemeine

Vollquerschnitte, dünnwandige geschlossene Prole) und die

Wölbbehinderung gering ist, kann als Näherung mit der Theorie der

reinen Torsion gerechnet werden.


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Allgemeine Denitionen

Wölbkrafttorsion:

Querschnitte verwölben sich bei einer Torsionsbelastung und diese

Verwölbungen werden behindert.

Dadurch entstehen zusätzliche Normal- und Schubspannungen, die in

der Regel nicht vernachlässigt werden dürfen

Eine Behinderung der Verwölbung kann auch durch die Einleitung

eines Torsionsmomentes bzw. durch das Erzwingen einer Drehachse,

die nicht mit der natürlichen Drehachse identisch ist, hervorgerufen

werden.

Systeme mit Wölbbehinderung sind steifer als analoge Systeme

ohne Wölbbehinderung.

Besonders dünnwandige oene Querschnitte weisen eine starke

Verwölbung bei einer Torsionsbelastung auf

Solche Prole werden sehr häug in Leichtbaukonstruktionen zur

Erhöhung der Steigkeiten eingesetzt.


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Allgemeine Denitionen

Wölbkrafttorsion:

Werden die auftretenden Verwölbungen durch Lagerungen oder

Anschluÿkonstruktionen behindert, entstehen sogenannte

Wölbnormalspannungen σ zw , die im Querschnitt eine

Gleichgewichtsgruppe bilden.

Die mit der Wölbnormalspannung σ zw gekoppelten zusätzlichen

Schubbeanspruchungen führen zu Schubspannungen τ ω ,die einen

Beitrag zum Torsionsmoment liefern.

Dieser Anteil ist von der gleichen Gröÿenordnung wie das

Torsionsmoment aus der reinen Torsion.

Hinsichtlich der Festigkeit sind die Zusatzspannungen bei

dünnwandigen Prolen unbedingt zu berücksichtigen.


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Allgemeine Denitionen

Wölbkrafttorsion:

• Geometrische und statische Hypothesen:

1.) Die Querschnittsform eines Stabes bleibt bei der

Stabverformung erhalten

2.) Die Verwölbung wird auf die Prolmittellinie bezogen.

⇒ Auf Grund der Dünnwandigkeit wird diese als konstant über

die Proldicke t(s) angesehen.

3.) Die Schubverzerrungen in der Stabmitteläche werden

vernachlässigt.

4.) Es gibt im Stab nur Normalspannungen σ z in Richtung der

Stabachse.

⇒ Diesen Normalspannungen werden als konstant über die

Proldicke t(s) angenommen.


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Allgemeine Denitionen

Wölbkrafttorsion:

• Geometrische und statische Hypothesen:

5.) Es gibt im Stab nur Schubspannungen τ zs in Richtung der

Tangente an die Prolmittellinie s.

⇒ Diese Schubspannungen sind über die Proldicke t(s) linear

verteilt.

⇒ Die Schubspannungen τ zs stellen die vektorielle Summe aus

den Saint Venantschen Schubspannungen τ v (Primäre

Schubspannungen) und den Wölbschubspannungen τ ω

(Sekundäre Schubspannungen) dar.


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Allgemeine Denitionen

Wölbkrafttorsion:

• Geometrische und statische Hypothesen:

6.) Es werden kleine Verformungen vorausgesetzt.

7.) Das Material ist homogen und isotrop.

8.) Es gilt das Hookesche Gesetz.

9.) Die Balken bzw. Stäbe sind gerade und haben einen konstanten

Querschnitt.

10.) Die Drehachse ist die Schubmittelpunktachse M.

11.) Es sind alle Balken- und Stabschnittgröÿen zugelassen.

• Aus der Annahme, dass die Querschnittsgeometrie erhalten bleiben

soll, folgt für Belastungen in der Querschnittsebene eine mögliche

Aufteilung in statisch äquivalente Belastungen.


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Allgemeine Denitionen

Wölbkrafttorsion:

• Die durch die statisch äquivalente Ersetzung der Belastung in der

Querschnittsebene treten nur lokale Störungen auf, die relativ schnell

abklingen

• Auf Grund der Möglichkeit einer Verwölbung der Querschnitte darf

eine statisch äquivalente Ersetzung einer Belastung in Längsrichtung

(z-Achse) nicht durchgeführt werden.

⇒ Unterschiedliche statisch äquivalente Ersetzungen führen zu

anderen Querschnittsverwölbungen.

⇒ Verwölbungen stellen keine örtliche Störung dar, sondern

beeinussen den gesamten Spannungs- und Verformungszustand.


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Allgemeine Denitionen

Wölbkrafttorsion:

• Beispiel einer mögliche Aufteilung einer Längskraft in statisch

äquivalente Kräftegruppen:


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Anmerkung

Die vorgenommene statisch äquivalente Zerlegung der Belastung 4F führt

auf vier Teillastfälle.

• Beispiel einer mögliche Aufteilung einer Längskraft in statisch

äquivalente Kräftegruppen:

⇒ 3 Teillastfälle (F L , M bx , M by ) erzeugen eine Zug-

Druckbeanspruchung um zwei Achsen, wobei der Querschnitt

eben bleibt.

⇒ 4. Teillastfall stellt eine Gleichgewichtsgruppe dar, deren

zugehörige Schnittgröÿe als Bimoment B bezeichnet wird.

• Das Bimoment B führt zu einer Biegung der Flansche.

⇒ Auf Grund des Erhaltes der Querschnittsgeometrie äuÿert sich

diese Verformung in einer Verdrehung des Querschnittes

um den Winkel ϕ und einer Verwölbung des Querschnittes

⇒ Die Behinderung der Verwölbungen bestimmt die Gröÿe der

zusätzlich auftretenden Norrmalspannungen.


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Allgemeine Denitionen

Verformungen durch das Bimoment B

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Koordinatensysteme

S, M - Schwerpunkt, Schubmittelpunkt

¯x, ȳ, ¯z - beliebiges Koordinatensystem

¯x, ȳ, ¯z - Schwerpunktkoordinatensystem

x, y, z - Hauptachsensystem in S

x ∗ , y ∗ , z ∗ - Hauptachsensystem in M

c - Prolmittellinienkoordinate

s(c) - Dicke des Prols


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Allgemeine Denitionen

Verformungen

u, v, w - Verschiebungen in Richtung x, y, z (positiv in positiver

Koordinatenrichtung)

ϕ

- Verdrehung des Querschnittes um die z-Achse

Querschnittswerte

s(c)

A = ∫ dA = ∫

(A) (c)

Dicke des Prols in mm

s(c)dc Querschnittsäche in mm 2

ξ=c ∫

A(c) = s(ξ)dξ Bei c abgeschnittene Teiläche in mm 2

ξ=0

S¯x = ∫ ȳd = ∫

(A) (c)

ȳ(c)s(c)dc

Statisches Moment der Gesamtäche

bezogen auf ¯x in mm 3


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Allgemeine Denitionen

Querschnittswerte

S ȳ = ∫ ¯xdA = ∫ ¯x(c)s(c)dc

(A)

(c)

S¯x = Sȳ = S x = S y = 0

ξ=c ∫

S¯x (c) = ȳ(ξ)s(ξ)dξ

ξ=0

ξ=c ∫

S ȳ (c) = ¯x(ξ)s(ξ)dξ

ξ=0

Statisches Moment der Gesamtäche

bezogen auf ȳ in mm 3

Statisches Moment der bei c abgeschnittenen

Teiläche bezogen auf

¯x in mm 3

Statisches Moment der bei c abgeschnittenen

Teiläche bezogen auf

ȳ in mm 3

Analog lassen sich die statischen Momente der bei c abgeschnittenen

Teiläche bezogen auf die Koordintaten ¯x, ȳ, x, y aufschreiben

I¯x ¯x = ∫

(A)

ȳ 2 dA = ∫

(c)

ȳ 2 (c)s(c)dc Flächenträgheitsmoment bezogen

auf ¯x in mm 4


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Allgemeine Denitionen

Querschnittswerte

I ȳȳ = ∫ ¯x 2 dA = ∫ ¯x 2 (c)s(c)dc

(A)

(c)

I¯xȳ = − ∫ ¯xȳdA = − ∫

(A)

(c)

¯x s =

ȳ s =


¯xdA

(A)

A


ȳdA

(A)

A

= S ȳ

A

= S¯x

A

¯x(c)ȳ(c)s(c)dc

Flächenträgheitsmoment

bezogen auf ȳ in mm 4

Deviations- oder Zentrifugalmoment

bezogen auf ȳ in mm 4

Schwerpunktkoordinate ¯x s

in mm 4

Schwerpunktkoordinate ȳ s

in mm 4

Flächen- und Deviationsmomente bezogen auf ¯x, ȳ und x, y,

Haupttraägheitsmomente und Lage der Hauptachsen

I¯x ¯x = I¯x ¯x − ȳ 2 s A, Iȳȳ = I ȳȳ − ¯x 2 s A, I¯xȳ = I¯xȳ + ¯x s ¯x sA


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Allgemeine Denitionen

Querschnittswerte


I max = I xx = I¯x ¯x +Iȳȳ

+ ( I¯x ¯x −Iȳȳ

)

2 2 2 + I 2¯xȳ


I min = I yy = I¯x ¯x +Iȳȳ

− ( I¯x ¯x −Iȳȳ

)

2 2 2 + I 2¯xȳ

I xy = 0

tan α 0 =

I¯xȳ

I xx −Iȳȳ

= Ixx +I¯x ¯x

I¯xȳ


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Allgemeine Denitionen

Spannungen

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Analoge Zusammenhänge gelten auch für die Koordinaten ¯x, ȳ, ¯z und ¯x, ȳ, ¯z

Schnittgröÿen


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Anmerkung

Die Schnittgröÿen als Resultierende der Spannungen σ z (c) und τ zc(c)

werden so deniert, dass ihre Wirkungslinien durch folgende Punkte gehen:

Schwerpunkt S

Längskraft F L , Biegemomente M bx und M by

Schubmittelpunkt M

Querkräfte F Qx und F Qy , Torsionsmoment M t

Zwischen den Spannungen und den Schnittgröÿen bestehen folgende

Zusammenhänge:

F L = ∫

σ z dA = ∫

σ z (c)s(c)dc

(A)

(c)

F Qx = ∫

τ zx dA = ∫

(A)

(c)

F Qy = ∫

τ zy dA = ∫

(A)

(c)

τ zc(c) cos α s(c)dc

τ zc(c) sin α s(c)dc


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Allgemeine Denitionen

Zwischen den Spannungen und den Schnittgröÿen bestehen folgende

Zusammenhänge:

M bx = ∫

σ z ydA = ∫

σ z (c) y(c) s(c)dc

(A)

(c)

M by = ∫

σ z xdA = ∫

(A)

(c)

(A)

σ z (c) x(c) s(c)dc

M t = ∫

(τ zy x ⋆ − τ zx y ⋆ )dA = ∫

τ zc(c) r t(c) s(c)dc

Belastungen:

q x (z), q y (z), q z (z)

(c)

Linienlasten in positiver x, y, z− Richtung

p x (c, z), p y (c, z), p z (c, z)

Flächenlasten bezogen auf die Prolmittellinie

in positiver x, y, z− Richtung

m x (z), m y (z), m z (z)

Linienmomente bezogen auf die Achsen

x, y, z

(positiv wie Momente der Schnittgröÿen)


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Allgemeine Denitionen

Belastungen:

F x , F y , F z Einzelkräfte in positiver x, y, z− Richtung

M x , M y , M z Einzelmomente bezogen auf die x, y, z− Achsen

Verformungen:

- Ein Punkt P der Querschnittsäche unterliegt den allgemeinen

Verformungen u, v, w .

- Auf Grund der Erhaltung der Querschnittsgeometrie kann die Verformung

eines Punktes in der Querschnittsäche (z = konstant) durch 3 Angaben

eindeutig beschrieben werden.

- Ausgehend von der Verschiebung eines willkürlichen Punktes D(x D , y D )

und einer Drehung des Gesamtquerschnittes um den Drehpol D kann man

die Verschiebung eines beliebigen Punktes darstellen.


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Allgemeine Denitionen

Verformungen:

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u = u D − r D ϕ sin β = u D − (y − y D )ϕ

v = v D − r D ϕ cos β = v D − (x − x D )ϕ

mit

sinβ = (y − y D )/r D ; cosβ = (x − x D )/r D

Zerlegung der Verschiebungen in tangentiale und radiale Richtung

⇒ Diese Richtungen sind um den Winkel α gegenüber u und v gedreht.

ξ = u cos α + v sin α

η = −u sin α + v cos α


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Allgemeine Denitionen

Verformungen:

Einsetzen der Verschiebungen u, v in die Transformationsgleichung:

ξ = u D cos α + v D sin α + [(x − x D ) sin α − (y − y D ) cos α]ϕ

} {{ }

r nD

η = −u D sin α + v D cos α + [(x − x D ) cos α − (y − y D ) sin α]ϕ

} {{ }

r tD

r tD

r nD

Länge des Lotes von D auf die Tangente in P

Länge des Lotes von D auf die Normale in P

und somit

ξ = u D cos α + v D sin α + r nD ϕ

η = −u D sin α + v D cos α + r tD ϕ


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Allgemeine Denitionen

Verformungen:

Die noch fehlende Verschiebung w (Verwölbung) der Querschnittspunkte in

z-Richtung lässt sich aus der Annahme, dass die Gleitung der

Prolmittellinie γ zc = 0 ist, ermitteln.

γ zc = ∂η

∂z + ∂w

∂c = 0

∂w

∂c

= − ∂η

∂z

w(z, c) = w 0 (z) − ∫ ∂η

∂z dc

Für die Verschiebung w(z, c) erhält man:

⇒ w(z, c) = w 0 − ∫ [− ∂u D

∂z

sin α + ∂v D

∂z

cos α + r tD ∂ϕ

∂z ]dc


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Verformungen:

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dc sin α = −dx,

r tD dc = dω D ,

dc cos α = dy

(...) ′ = ∂(...)

∂z

Die Gröÿe dω D ist geometrisch die

doppelte Fläche (Sektoräche),

die von DPP' eingeschlossen wird.

Damit erhält man für w(z, c) :

⇒ w(z, c) = w 0 (z) − ∫ u ′ D (z)dx − ∫ v ′ D (z)dy − ∫ ϕ ′ D (z)dω D(c)


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Allgemeine Denitionen

Verformungen:

⇒ w(z, c) = w 0 (z) − u ′ D (z)x(c) − v ′ D (z)y(c) − ϕ′ D (z)ω D(c)

Da die Gröÿen u ′ D , v ′ D und w 0 vom Bezugspunkt D unabhängig sind, kann

auf eine Indizierung verzichtet werden:

⇒ w(z, c) = w 0 (z) − u ′ (z)x(c) − v ′ (z)y(c) − ϕ ′ (z)ω D (c)

Es bedeuten:

w 0 (z)

u ′ (z)x(c)

v ′ (z)y(c)

Verschiebung des Querschnitts als starre Scheibe

in z-Richtung (Zug/Druck-Beanspruchung)

Verschiebung der Querschnittspunkte durch Drehung

des starren Querschnitts um die y-Achse

(Biegung um die y-Achse)

Verschiebung der Querschnittspunkte durch Drehung

des starren Querschnitts um die x-Achse

(Biegung um die x-Achse)


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Allgemeine Denitionen

Verformungen:

ϕ ′ (z)ω D (c)

Verwölbung des Querschnitts in z-Richtung für den

gewählten Bezugspunkt D

(dadurch bleibt der Querschnitt nicht mehr eben),

ω D (c)

ω D (c) ist die Wölbfunktion für den Bezugspunkt D,

die wegen der möglichen geometrischen Deutung

auch Sektorkoordinate bzw. Einheitsverwölbung,

da sie die Verwölbung für ϕ ′ (z) = ϑ = 1 repräsentiert,

genannt wird.

kann durch Integration aus der dierentiellen

Sektorkoordinate dω D berechnet werden:

ω D (c) = ∫ r tD dc + ω D0

ω D0

ist eine noch zu bestimmende Integrationskonstante


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Allgemeine Denitionen

Transformationsgleichungen für die Sektorkoordinate

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Köppe

Die Sektorkoordinate ω D ist vom Bezugspunkt D (Drehpol) und vom

Anfangspunkt der Koordinate c, für die die Sektorkoordinate zunächst zu

Null angenommen werden kann, abhängig.

Im Folgenden sollen Transformationsgleichungen für unterschiedliche Lagen

von D und Anfangspunkte c (mit ω D (c = 0) = 0) angegeben werden.


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Transformationsgleichungen für die Sektorkoordinate

a) Unterschiedliche Drehpole D bei gleichen Anfangspunkt O für die

Koordinate c:

Es gelte:

ω D1 (c) - Sektorkoordinate bezüglich D 1

ω D2 (c) - Sektorkoordinate bezüglich D 2

Annahme:

ω D1 (c = 0) = ω D2 (c = 0) = 0

Es gilt (vgl. markierte Flächen) :

dω D1 = r tD1 dc

und dω D2 = r tD2 dc


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Transformationsgleichungen für die Sektorkoordinate

Es gilt:

r tD1 = (x − x 1 ) cos α + (y − y 1 ) sin α, r tD2 = (x − x 2 ) cos α + (y − y 2 ) sin α

dc sin α = −dx;

Daraus folgt:

dc cos α = dy

dω D1 (c) = (x − x 1 )dy − (y − y 1 )dx;

dω D2 (c) = (x − x 2 )dy − (y − y 2 )dx

Bilden von dω D1 (c) − dω D2 (c):

dω D1 (c) − dω D2 (c) = d(ω D1 (c) − ω D2 (c)) = −(x 1 − x 2 )dy − (y1 − y 2 )dx

Die Integration der Gleichung liefert:

ω D1 (c) − ω D2 (c) == −(x 1 − x 2 ) − (y1 − y 2 ) + C


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Allgemeine Denitionen

Transformationsgleichungen für die Sektorkoordinate

Mit der Randbedingung:

folgt:

ω D1 (c = 0) = ω D2 (c = 0) = 0

0 = −(x 1 − x 2 )y 0 + (y 1 − y 2 )x 0 + C

C = +(x 1 − x 2 )y 0 − (y 1 − y 2 )x 0

nach dem Einsetzen von C die Transformationsvorschrift erhält man :

ω D2 = ω D1 + (x 1 − x 2 )(y − y 0 ) − (y1 − y 2 )(x − x 0 )


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Allgemeine Denitionen

Transformationsgleichungen für die Sektorkoordinate

b) Unterschiedliche Anfangspunkte für die Koordinate c bei festem Drehpol D:

Es gelte:

P Punkt für den die Sektorkoordinate ω D berechnet werden soll.

O 1 , O 2 Anfangspunkte der Koordinaten c 1 und c 2 , für die jeweils die

Sektorkoordinaten zu Null angenommen werden:

ω D (c 1 = 0) = 0 und ω D (c 2 = 0) = 0

k konstanter Abstand entlang der Prolmittellinie von O 1 nach O 2


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oenem Querschnitt

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Allgemeine Denitionen

Transformationsgleichungen für die Sektorkoordinate

ω D (c 2 ) =

ξ 2 ∫=C2

ξ 2 =0

r tD dξ 2 =

Es gelte:

c 1 = c 2 + k und damit dc 1 = dc 2

ω D (c 1 ) =

bzw.

ξ 1 −k=C1−k ∫

ξ 1 =k

ω D (c 2 ) =

ξ 1 ∫=C1

ξ 1 =0

ξ 2 ∫=C2

ξ 2 =0

r tD dξ 1 =

r tD dξ 1

r tD dξ 2

ξ 1 ∫=C1

ξ 1 =k

r tD dξ 1

ω D (c 2 ) =

ξ 1 ∫=C1

ξ 1 =0

r tD dξ 1 −

ξ 1 ∫=k

ξ 1 =0

ω D (c 2 ) = ω D (c 1 ) −

r tD dξ 1

ξ 1 ∫=k

ξ 1 =0

r tD dξ 1


Wölbkrafttorsion dünnwandiger gerader Stäbe mit

oenem Querschnitt

Vorlesung

Numerische

Berechnung

von Leichtbaustrukturen

Dr.-Ing. H.

Köppe

Allgemeine Denitionen

Transformationsgleichungen für die Sektorkoordinate

ω D (c 1 ) = ω D (c 2 ) + ω D (c 1 = k)

Bei unterschiedlichen Anfangspunkten für c (für die jeweils

ω D (c = 0) = 0 gelten soll) und festem Drehpol D unterscheiden sich die

Sektorkoordinaten um einen konstanten Wert der Gröÿe ω D (c 1 = k).

Anmerkung

Drehpol D zunächst beliebig aber zweckmäÿig festlegen (möglichst

Schnittpunkt mehrerer Prolmittellinien)

Festlegung eines Nullpunktes O 1 auf der Prolmittellinie, für den zunächst

die Sektorkoordinate ω D zu Null angenommen wird.

⇒ Bei Symmetrie in den Schnittpunkt von Symmetrielinie und

Prolmittellinie, da hier die tatsächliche Sektorkoordinate Null wird bzw. ist.


Wölbkrafttorsion dünnwandiger gerader Stäbe mit

oenem Querschnitt

Vorlesung

Numerische

Berechnung

von Leichtbaustrukturen

Dr.-Ing. H.

Köppe

Anmerkung

Ein Anfangsradiusstrahl DO 1 bewegt sich entlang der Prolmittellinie

(c-Koordinate) über den gesamten Querschnitt.

Die dabei überstrichene Fläche vom Anfangsradiusstrahl bis zum aktuellen

Radiusstrahl ist ein Maÿ für die Sektorkoordinate (ω D = 2x

überstr. Fläche).

Dreht sich der Radiusstrahl im mathematisch positiven Sinn, dann wächst

die Sektorkoordinate positiv an. )

Mit Hilfe der obigen Transformationsformeln kann die Sektorkoordinate

auch aus abschnittsweise (für jeweils geeignete Anfangspunkte bei festem

Drehpol D) berechneten Werten für einen beliebigen Anfangspunkt O

ermittelt werden.

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