Kategorientheorie

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Kategorientheorie

Kategorientheorie

1 Kategorien

Eine Kategorie C besteht aus den folgenden Daten:

(1) Einer Klasse (Menge) Ob(C) von Objekten.

(2) Einer Menge Mor(C, D) zu jedem geordneten Paar (C, D) von Objekten

C, D von C. Die Elemente von Mor(C, D) heißen Morphismen der Kategorie

von C nach D. Ein Morphismus von C nach D wird oft in der

Form f: C → D geschrieben und Pfeil der Kategorie genannt. In diesem

Fall heißt C die Quelle und D das Ziel von f. Ein Morphismus bestimmt

Quelle und Ziel, das heißt aus Mor(C, D) ∩ Mor(E, F ) ≠ ∅ folgt C = E

und D = F .

(3) Einem Morphismus id(C) = id C = 1 C ∈ Mor(C, C) für jedes Objekt C,

genannt Identität von C.

(4) Einer Abbildung Mor(B, C) × Mor(A, B) → Mor(A, C), (g, f) ↦→ g ◦ f =

gf für jedes geordnete Tripel (A, B, C) von Objekten, genannt Komposition,

Verknüpfung oder Verkettung von Morphismen.

Diese Daten sollen die folgenden Axiome erfüllen:

(5) Für Morphismen f: A → B, g: B → C und h: C → D gilt (hg)f = h(gf).

(6) Für jeden Morphismus f: A → B gilt f = f ◦ id(A) = id(B) ◦ f.

Statt Mor(C, D) wird zur Verdeutlichung auch Mor C (C, D) oder C(C, D) geschrieben.

Auch Hom(C, D) oder Hom C (C, D) ist für diese Menge in Gebrauch, in

Anlehnung an die Homomorphismenmengen der Algebra. Ist Ob(C) eine Menge,

so sprechen wir von einer kleinen Kategorie.

Das Musterbeispiel einer Kategorie ist die Kategorie MEN der Mengen. Die

Objekte sind die Mengen. Die Morphismen sind die Mengenabbildungen. Die

Identität ist die identische Abbildung. Die Komposition ist die Nacheinanderausführung

von Abbildungen. Viele weitere Kategorien werden aus Mengen mit

zusätzlichen Strukturen gewonnen.

Die Kategorie GRU der Gruppen (Objekte) und Gruppenhomomorphismen

(Morphismen). Die Kategorie K-Vek der Vektorräume über einem Körper K

(Objekte) und K-linearen Abbildungen (Morphismen). Die Kategorie AB der

abelschen Gruppen und Homomorphismen. Die Kategorie R-Mod der linken R-

Moduln über dem Ring R. Die Kategorie TOP der topologischen Räume und

stetigen Abbildungen.

In allen vorstehend genannten Kategorien und weiteren analogen, denen Mengen

mit weiterer Struktur zugrundeliegen, ist, wenn nichts anderes gesagt wird,

die Komposition diejenige der Mengenabbildungen.

Ein Morphismus f: C → D einer Kategorie heißt Isomorphismus, wenn er

einen Umkehrmorphismus g: D → C besitzt, g ◦ f = id(C) und f ◦ g = id(D).

Dieser ist dann eindeutig durch f bestimmt und wird auch mit f −1 bezeichnet.

Gibt es einen Isomorphismus f: C → D, so heißen die Objekte C und D

isomorph. Ein Morphismus f: C → C heißt Endomorphismus von C. Ein Isomorphismus

f: C → C heißt Automorphismus von C.


(1.1) Monoide und Gruppen. Eine Kategorie mit einem einzigen Objekt

C ist durch die Menge M = Mor(C, C) und eine assoziative Verknüpfung mit

neutralem Element auf M gegeben. Eine Menge M zusammen mit einer assoziativen

Verknüpfung mit neutralem Element heißt Monoid. Eine Kategorie mit

einem Objekt C, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, wird durch

eine Gruppenstruktur auf M = Mor(C, C) gegeben, denn die Existenz des Umkehrmorphismus

besagt die Existenz des Inversen. Eine Kategorie, in der jeder

Morphismus ein Isomorphismus ist, heißt Gruppoid. Für jede Kategorie und jedes

ihrer Objekte A ist Hom(A, A) mit der Komposition ein Monoid.


(1.2) Duale Kategorie. Sei C eine Kategorie. Die duale Kategorie C ◦ entsteht

aus C durch Umkehren der Pfeile“. Das bedeutet: Die Objektklassen beider Kategorien

sind gleich. Es ist C ◦ (C, D) = C(D, C). Die Identitäten bleiben dieselben.


Die Komposition ∗ in C ◦ ist durch Umkehrung der Reihenfolge definiert: f ∗ g

ist genau dann definiert, wenn g ◦ f definiert ist, und gleich dem zu g ◦ f in C ◦

gehörenden Morphismus.


(1.3) Produktkategorie. Seien C und D Kategorien. Die Produktkategorie C ×

D hat als Objekte die Paare (C, D) von Objekten C aus C und D aus D. Die

Morphismen (C 1 , D 1 ) → (C 2 , D 2 ) sind die Paare von Morphismen f: C 1 → C 2 ,

g: D 1 → D 2 . ✸

(1.4) Kategorie der Pfeile. Sei C eine Kategorie. Die Kategorie P C der Pfeile

von C hat als Objekte die Morphismen von C. Ein Morphismus von f: C 1 → C 2

nach g: D 1 → D 2 ist ein Paar von Morphismen ϕ j : C j → D j , die gϕ = ϕ 2 f

erfüllen.


(1.5) Kategorie der Endomorphismen. Die Objekte von END(C) sind die

Endomorphismen f: C → C in C. Ein Morphismus von f nach g: D → D ist ein

Morphismus ϕ: C → D, der gϕ = ϕf erfüllt.


(1.6) Objekte über und unter B. Sei B ein Objekt aus C. Ein Morphismus

f: E → B heißt Objekt über B. Die Kategorie C B habe als Objekte die Objekte

über B. Ein Morphismus von f: E → B nach g: F → B ist ein Morphismus

ϕ: E → F , der gϕ = f erfüllt. Ebenso für Objekte f: B → E unter B. ✸

Allgemein kann man in analoger Weise offenbar aus Diagrammen fester Form

Kategorien bilden.

2 Funktoren. Natürliche Transformationen

Seien C und D Kategorien. Ein Funktor F : C → D von C nach D ist eine Vorschrift,

die jedem Objekt C von C ein Objekt F (C) von D und jedem Morphismus

f: C → D von C einen Morphismus F (f): F (C) → F (D) von D zuordnet. Diese

Daten sollen die folgenden Eigenschaft haben:

(2.1) F (id(C)) = id(F (C)), F (g ◦ f) = F (g) ◦ F (f).

Ein kontravarianter Funktor U: C → D ist eine Vorschrift, die jedem Objekt C

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von C ein Objekt U(C) von D zuordnet und jedem Morphismus f: C → D von C

einen Morphismus U(f): U(D) → U(C) von D. Diese Daten sollen die folgende

Eigenschaft haben:

(2.2) U(id(C)) = id(U(C)), U(g ◦ f) = U(f) ◦ U(g).

Funktoren nennt man zur Unterscheidung auch kovariante Funktoren.

Man sagt: Ein kontravarianter Funktor dreht die Richtung der Pfeile um. Eine

unmittelbare Folgerung aus den Axiomen (2.1) und (2.2) ist: Ein (kontravarianter)

Funktor bildet Isomorphismen auf Isomorphismen ab.

Ein kontravarianter Funktor F : C → D ist im wesentlichen dasselbe wie ein

Funktor C → D ◦ in die duale Kategorie oder wie ein Funktor C ◦ → D. Ein

Funktor F : C × D → E von einer Produktkategorie wird auch als Funktor in zwei

Variablen angesehen.

(2.3) Dualraum. Jedem Vektorraum V über dem Körper K werde der Dualraum

V ∗ = Hom K (V, K) der K-linearen Abbildungen V → K zugeordnet und jeder

linearen Abbildung f: V → W die duale Abbildung f ∗ : W ∗ → V ∗ , α ↦→ α◦f.

Dadurch wird ein kontravarianter Funktor Dualraum von der Kategorie K-Vek

in sich definiert. Zweimalige Anwendung liefert den Funktor Bidualraum. ✸

(2.4) Vergißfunktoren. Die in Rede stehenden Funktoren lassen Struktur weg

(vergessen sie). Wird einer Gruppe G die ihr zugrundeliegende Menge G und

jedem Homomorphismus dieselbe Mengenabbildung zugeordnet, so erhalten wir

einen Vergißfunktor GRU → MEN.


(2.5) Gruppen. Wir fassen eine Gruppe als Kategorie mit einem Objekt auf.

Ein Funktor G → H ist dann dasselbe wie ein Gruppenhomomorphismus f: G →

H. Durch g ↦→ g −1 wird ein kontravarianter Funktor G → G definiert. ✸

(2.6) Hom-Funktoren. Jede Kategorie produziert durch ihre Morphismenmengen

Funktoren. Sei D ein Objekt der Kategorie C. Der kontravariante Hom-

Funktor

Hom(−, D) = Hom(?, D): C → MEN

ordnet einem Objekt C die Morphismenmenge Hom(C, D) zu und einem Morphismus

ϕ: C 1 → C 2 die Abbildung

Hom(ϕ, D): Hom(C 2 , D) → Hom(C 1 , D), f ↦→ f ◦ ϕ.

Die Funktoraxiome sind leicht nachzurechnen. Analog gibt es zu jedem Objekt

C den kovarianten Hom-Funktor Hom(C, −): C → MEN. Betrachtet man beide

Variablen gleichzeitig, so wird der Hom-Funktor ein Funktor Hom(−, −): C ◦ ×

C → MEN in zwei Variablen.


Sind F : A → B und G: B → C Funktoren, so ist die Komposition G ◦ F der

Funktor A → C, der durch

(2.7) (G ◦ F )(C) = G(F (C)), (G ◦ F )(f) = G(F (f))

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auf Objekten C und Morphismen f definiert ist. Es gibt den identischen Funktor

Id C : C → C, der auf Objekten und Morphismen die Identität ist. Komposition

von Funktoren ist assoziativ. Sind A und B kleine Kategorien, so bilden die

Funktoren von A nach B eine Menge, denn ein Funktor ist durch eine Abbildung

der Objektmengen und Morphismenmengen gegeben. Deshalb bilden die kleinen

Kategorien zusammen mit den Funktoren zwischen ihnen und der eben genannten

Komposition selbst wieder eine Kategorie KAT.

Die Komposition zweier kontravarianter Funktoren ist analog definiert und

liefert einen kovarianten Funktor. Auch lassen sich ko- und kontravariante Funktoren

komponieren.

Da KAT eine Kategorie ist, haben wir den Begriff einer Isomorphie von (kleinen)

Kategorien. Es stellt sich jedoch heraus, daß dieser Begriff zum Vergleich

zweier Kategorien zu starr ist. Wir werden alsbald den Begriff einer Äquivalenz

von Kategorien erklären.

(2.8) Natürliche Transformation. Seien F, G: C → D Funktoren. Eine

natürliche Transformation Φ: F → G von F nach G besteht aus einer Familie

Φ C : F (C) → G(C) von Morphismen in D, indiziert durch die Objekte C von

C, so daß für jeden Morphismus f: C → D in C das Diagramm

F (C)

F (f) ❄

F (D)

Φ C


Φ D


G(C)

G(f) ❄

G(C)

in D kommutativ ist. Sind alle Φ C Isomorphismen in D, so heißt Φ natürlicher

Isomorphismus, in Zeichen Φ: F ≃ G. Analog wird eine natürliche Transformation

und ein natürlicher Isomorphismus zwischen kontravarianten Funktoren definiert.

Die Inversen Φ −1

C

eines natürlichen Isomorphismus bilden ebenfalls einen.


(2.9) Beispiel. Seien D und E Objekte einer Kategorie, und sei f: D → E ein

Morphismus. Durch Komposition mit f erhalten wir eine natürliche Transformation

f ∗ : Hom(?, D) → Hom(?, E) zwischen Hom-Funktoren, indem

f ∗C : Hom(C, D) → Hom(C, E),

g ↦→ f ◦ g

gesetzt wird, und eine natürliche Transformation f ∗ : Hom(E, ?) → Hom(D, ?),

indem

fC: ∗ Hom(E, C) → Hom(D, C), h ↦→ h ◦ f

gesetzt wird.

Sind Φ: F → G und Ψ: G → H natürliche Transformationen zwischen Funktoren

C → D, so wird durch

(2.10) (Ψ ◦ Φ) C = Ψ C ◦ Φ C

eine natürliche Transformation Ψ ◦ Φ: F → H definiert. Diese Komposition von

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natürlichen Transformationen ist assoziativ. Es gibt immer die identische natürliche

Transformation Id F : F → F .

Sind C und D (kleine) Kategorien, so bilden wir die Funktorkategorie [C, D]:

Deren Objekte sind die Funktoren C → D, und die Morphismen von F nach G

sind die natürlichen Transformationen Φ: F → G. Die Komposition haben wir

durch (2.10) definiert.

Ein Funktor F : C → D heißt Äquivalenz von diesen Kategorien, wenn es einen

Funktor G: D → C und natürliche Isomorphismen GF ≃ Id C und F G ≃ Id D

gibt. Es ist dann auch G eine Äquivalenz von Kategorien. Kategorien C und D

heißen äquivalent, wenn es eine Äquivalenz zwischen ihnen gibt. Sind F : C → D

und G: D → E Äquivalenzen von Kategorien, so ist auch G ◦ F eine Äquivalenz.

Eine Unterkategorie einer Kategorie C besteht aus einer Teilmenge von Objekten

und Morphismen, so daß mit der gegebenen Komposition diese Teilmengen

eine Kategorie bilden. Eine Unterkategorie heißt voll, wenn für je zwei ihrer

Objekte die Hom-Menge dieselbe ist wie in der großen Kategorie. Eine volle Unterkategorie

D ist genau dann äquivalent zur ganzen Kategorie C, wenn zu jedem

ihrer Objekte ein isomorphes in D existiert.

(2.11) Yoneda-Lemma. Sei C eine Kategorie. Eine natürliche Transformation

des Hom-Funktors Hom(−, D) in einen kontravarianten Funktor G: C → MEN

ist durch den Wert auf id(C) ∈ G(C) bestimmt und dieser Wert kann beliebig

vorgeschrieben werden. Die Funktoren Hom(−, D) und Hom(−, E) sind genau

dann natürlich isomorph, wenn D und E isomorph sind.


3 Summe. Produkt. Pushout. Pullback

Sei X = (X j | j ∈ J) eine Familie von Objekten der Kategorie C. Eine Familie

(p j : X → X j | j ∈ J) von Morphismen in C heißt Produkt der Familie X , wenn

für jedes Objekt Y von C die Abbildung

(3.1) Hom(Y, X) → ∏ j∈J Hom(Y, X j), f ↦→ (p j ◦ f | j ∈ J)

bijektiv ist. In (3.1) ist ∏ das mengentheoretische Produkt. Das Urbild von (f j )

bei (3.1) werde ebenfalls mit (f j ) bezeichnet. Ein Produkt bezeichnen wir häufig

wie in der Mengensprache durch das Symbol X = ∏ j∈J X j, nehmen also die p j

nicht mit in die Notation auf, und nennen p j = pr j die Projektion auf den Faktor

X j . Ebenso wird ein Produkt der Objekte X 1 , X 2 durch X 1 × X 2 bezeichnet.

Ist Y = (Y j | j ∈ J) eine weitere Familie, (q j : Y → Y j ) ein Produkt von Y und

(f j : X j → Y j ) eine Familie von Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus

f: X → Y mit der Eigenschaft q j ◦ f = f j ◦ p j , j ∈ J. Wir wählen dafür die

Bezeichung f = ∏ j∈J f j und nennen f das Produkt der Morphismen f j . Das

übliche cartesische Produkt von Mengen ist ein Produkt im eben genannten Sinne

in MEN. Wir sagen, eine Kategorie besitzt (endliche) Produkte, wenn zu jeder

(endlichen) Familie von Objekten ein Produkt existiert. Haben je zwei Objekte

ein Produkt, so auch je endlich viele. Die Produktbildung ist assoziativ.

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Insbesondere läßt sich ein Produkt von drei Objekten durch (X 1 × X 2 ) × X 3

und X 1 ×(X 2 ×X 3 ) gewinnen, und es gibt einen eindeutigen Isomorphismus zwischen

diesen Produkten, der mit den Projektionen auf die Faktoren verträglich

ist. Das ist die Assoziativität (analog für beliebige Klammerungen).

Wird ein kategorientheoretischer Begriff nur durch Eigenschaften von Pfeilen

definiert, so erhält man einen neuen Begriff, indem man die Richtungen aller

Pfeile umkehrt (Dualitätsprinzip; Verwendung desselben Begriffs in der dualen

Kategorie). Der duale Begriff zum Produkt ist die Summe, zur Betonung der

Dualität auch Koprodukt genannt. (Ein dualer Begriff wird oft mit der Vorsilbe

Ko- gekennzeichnet.)

Eine Summe einer Familie X = (X j | j ∈ J) ist eine Familie (i j : X j → Z | j ∈

J) von Morphismen, so daß für alle Objekte Y die Abbildung

(3.2) Hom(Z, Y ) → ∏ j∈J Hom(X j, Y ), f ↦→ (f ◦ i j | j ∈ J)

bijektiv ist. Das Urbild von (f j ) bei (3.2) werde mit 〈 f j 〉 bezeichnet. Wir schreiben

Z = ∐ j∈J X j und nennen i j die Injektion des j-ten Summanden. Die Summenbildung

ist assoziativ.

Ist eine Menge X die disjunkte Vereinigung der Teilmengen (X j | j ∈ J),

so bilden die Inklusionen i j : X j ⊂ X ein Summe in MEN. Um eine Summe in

MEN einer beliebigen Familie von Mengen (X j | j ∈ J) zu erhalten, muß man

die


Mengen künstlich disjunkt machen und sie dann vereinigen, etwa wie durch

j∈J {j} × X j angedeutet.

Seien f: X → B und g: Y → B Morphismen einer Kategorie C. Ein kommutatives

Diagramm in C

F

P ✲ Y

(3.3)

❄ G g


f

X ✲ B

heißt Pullback von (f, g) (oder cartesisches Quadrat), wenn es die folgende universelle

Eigenschaft hat: Zu jedem Paar von Morphismen F ′ : Z → Y , G ′ : Z → X

mit gF ′ = fG ′ gibt es genau einen Morphismus ϕ: Z → P mit den Eigenschaften

Gϕ = G ′ und F ϕ = F ′ .

Die Definition eines Pushout ergibt sich durch Dualisierung (Umdrehen der

Pfeile): Das kommutative Quadrat (3.3) heißt Pushout (oder kocartesisches Quadrat)

von (G, F ), wenn es die folgende universelle Eigenschaft hat: Zu jedem Paar

g ′ : Y → T und f ′ : X → T von Morphismen mit f ′ G = g ′ F gibt es genau einen

Morphismus Ψ: B → T mit Ψf = f ′ und Ψg = g ′ .

Seien f: X → B und g: Y → B Mengenabbildungen. Sei P = X × B Y =

{(x, y) ∈ X × Y | f(x) = g(y)}. Wir haben Abbildungen F : P → Y, (x, y) ↦→ y

und G: P → X, (x, y) ↦→ x. Mit diesen Daten ist (3.3) ein Pullback in MEN.

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