Hyperelliptische Flächen I

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Hyperelliptische Flächen I

Hyperelliptische Flächen I

Elisabeth Dönges & Martin Dahmen

31.05.2011

Das Ziel dieses Vortrags ist eine Hinführung zu hyperelliptischen Flächen.

Zur Vorbereitung werden wir uns zunächst mit mehrdeutigen Funktionen

beschäftigen und anhand von Beispielen sehen, wie man aus ihnen verzweigte

Überlagerungsflächen (der komplexen Ebene) erhält (Referent: Martin

Dahmen). Im Anschluss daran werden die hyperelliptischen Flächen eingeführt,

die aus verschiedenen Sichtweisen betrachtet werden können. In

einigen Beispielen werden wir insbesondere sehen, inwiefern sie eine Überlagerungsfläche

der Sphäre darstellen und was über die Punkte ausgesagt

werden kann, an denen diese Überlagerung eine Verzweigung aufweist (Referentin:

Elisabeth Dönges).

1 Mehrdeutige Funktionen und verzweigte Überlagerungen

Zunächst führen wir einige grundlegende Begriffe ein, die für die Behandlung der hyperelliptischen

Flächen von Bedeutung sind.

Dafür brauchen wir als erstes den Begriff einer Überlagerungsfläche.

Definition 1.1 (Überlagerung). Seien X, Y topologische Räume. Eine stetige, surjektive

Abbildung p : Y → X wird eine Überlagerung genannt, falls ∀x ∈ X ∃ U ⊂ X

offene Umgebung von x und ein Homöomorphismus ϕ, sodass das folgende Diagramm

kommutiert:

p −1 (U)


ϕ

U × T

p

pr 1


U

Dabei sei T ein diskreter topologischer Raum.

Im Folgenden betrachten wir Funktionen in der Form y = f(x), so dass für ein x

mehrere Werte für y existieren, wie z.B. die Wurzelfunktion y 2 = x. Für x, y ∈ C wird

Seminar ”

Systolische Geometrie“, SS 2011, Universität Göttingen

1


2 1 Mehrdeutige Funktionen und verzweigte Überlagerungen

Abbildung 1: Der komplexe Logarithmus als Riemannfläche im R 3

(Quelle: http://wikipedia.org)

durch die Nullstellenmenge f(x, y) = 0 eine affine Kurve in C 2 beschrieben. Diese

Kurven wollen wir im Folgenden betrachten, und dabei sehen, dass es sinnvoll ist sich

diese Kurven als Flächen im R 3 vorzustellen, auch wenn ihre Einbettung in den R 3

nicht immer möglich ist.

Beispiel 1.2 (Komplexer Logarithmus). Eine weitere wichtige mehrdeutige Funktion

ist der komplexe Logarithmus ω = ln(z) mit ω, z ∈ C\{0}. Diese Funktion beschreibt

eine affine Kurve in C 2 , wobei ω für ein z mehrere Werte annimmt. Hierzu betrachte

z = r · exp(iϕ). Dann ergibt sich ω = ln(z) = ln(|r|) + i(ϕ + 2kπ), k ∈ Z. Für jedes

k ∈ Z nimmt die Funktion einen anderen Wert an.

Um das Problem der Nichteindeutigkeit zu lösen brauchen wir nun das Konzept der

Überlagerung.

Für jedes k ∈ Z betrachten wir eine Kopie der komplexen Ebene C\{0}. Diese Kopien,

die zu den verschiedenen Ästen unserer Funktion gehören, nennen wir Blätter unserer

Überlagerungsfläche. Betrachtet man einen Kreis |z| = r mit dem Argument von z,

ϕ ∈ [−π, π], so entsteht an der negativen reellen Achse {z ∈ R, z ≤ 0} ein Sprung von

einem auf das nächste Blatt. An dieser Achse werden die Blätter aufgeschnitten und

an das jeweils nächste angeklebt. Auf diese Art entsteht eine mehrfache Überlagerung

der komplexen Ebene, von der wir einen Ausschnitt in Abb.1 sehen.

Auf dieser Überlagerungsfläche lässt sich nun eine eindeutige Wahl von ω für jedes z

finden.

Ein weiterer Teil zur Vorbereitung auf die hyperelliptischen Flächen ist die verzweigte

Überlagerung. Diese entsteht im Allgemeinen dadurch, dass nicht bei jeder

mehrdeutigen Funktion die Anzahl der Punkte im Bild an jeder Stelle dieselbe ist.

Definition 1.3 (Verzweigte Überlagerung). Eine verzweigte Überlagerung ist eine

Überlagerung, bei der die Überlagerungseigenschaft aus Def.1.1 für endlich viele x ∈ X

nicht erfüllt ist.


1 Mehrdeutige Funktionen und verzweigte Überlagerungen 3

Ein klassisches Beispiel hierfür ist die Funktion ω 2 = z, ω, z ∈ C. Es lässt sich

schnell einsehen, dass für z = 0 die Funktion eindeutig ist.

Bevor wir auf das Beispiel näher eingehen, brauchen wir noch eine weitere Definition

um den kritischen Punkten solcher Funktionen einen Namen zu geben.

Definition 1.4 (Ramifizierungsindex). Seien X,Y Riemannsche Flächen und F : X →

Y eine holomorphe Abbildung. Sei B(z 0 , r) eine Scheibe auf X mit Mittelpunkt z 0

und kleinem Radius r. Sei ν die Kurve, die den Rand von B(z 0 , r) beschreibt. Dann

bezeichnet die Anzahl der Umdrehungen von F (ν) um F (z 0 ) den Ramifizierungsindex

von z 0 . Bei einem Ramifizierungsindex ≥ 2 wird z 0 ein Ramifizierungspunkt genannt.

Beispiel 1.5 (Wurzelfunktion). Betrachte die komplexe Wurzelfunktion ω 2 = z mit

ω, z ∈ C. Diese Funktion verzweigt sich an z = 0 und hat daher einen Ramifizierungspunkt

bei ω = 0. Dazu wählen wir X := {(z, ω) ∈ C 2 |z = ω 2 } und die Abbildung

F : X → C, (z, ω) ↦→ z. Mit der biholomorphen Abbildung ω ↦→ (ω 2 , ω) erhalten

wir einen Biholomorphismus zwischen C ∼ = X. Damit kann man F auch auffassen

als Abbildung von C → C mit ω ↦→ ω 2 = z. Wenn sich das Argument von w um π

ändert, verändert sich das Argument von ω 2 um 2π, wie aus der Abbildungsvorschrift

hervorgeht. Das bedeutet, bei einem kleinen Kreis um w = 0 erhält man zwei Kreise

um ω 2 = 0. Der Ramifizierungsindex an ω = 0 ist also 2, und damit ist ω = 0 ein

Ramifizierungspunkt der Funktion F . Für jeden anderen Punkt bekommen wir um

beide Bildpunkte jeweils einen ganzen Kreis. Das verdeutlicht Abb.2.

(a) ω 2 = z entlang der Kurve |ω| = 2 (b) ω 2 = z entlang |ω − (2 + 2i)| = 2

Abbildung 2: Die komplexe Wurzelfunktion ω 2 = z

Nun wollen wir nocheinmal konstruktiv beschreiben, wie die Wurzelfunktion eine

verzweigte doppelte Überlagerung der komplexen Ebene beschreibt.

Definiere die Funktion ω 2 = z, z ∈ C. Sei Σ := C\{z ∈ R, z ≤ 0}, d.h. die komplexe

Ebene ohne die negative reelle Achse. ω 2 = z hat für z ∈ Σ zwei Lösungen {−ω, ω}.

Die Äste der Funktion werden beschrieben durch

g k (z) := exp((ln(|z|) + i(ϕ/2 + 2kπi)).


4 1 Mehrdeutige Funktionen und verzweigte Überlagerungen

Abbildung 3: Die Grafik veranschaulicht wie sich die Wurzelfunktion als Überlagerung

der komplexen Ebene verhält. Die beiden Blätter schneiden sich nicht an

der angedeuteten Linie, aber da sie stetig von einem in das andere Blatt

übergehen, lässt sich das Prinzip nicht im R 3 darstellen, ohne dass die

Fläche sich selbst durchdringt. (Quelle: [Abi81], Seite 577)

Für k = 0 erhält man den positiven, für k = 1 den negativen Ast. Betrachte zwei

Kopien Σ 0 , Σ 1 von Σ, sodass g 0 auf Σ 0 liegt und g 1 entsprechend.

Betrachte das Verhalten der Funktionsäste, wenn das Argument ϕ gegen π und −π

geht.

ϕ → π : g 0 (z) → |z| · exp(iπ/2)

g 1 (z) → |z| · exp(−iπ/2)

ϕ → −π : g 0 (z) → |z| · exp(−iπ/2)

g 1 (z) → |z| · exp(iπ/2)

Wie man erkennen kann, geht der Funktionsast g 0 an π auf den Funktionsast g 1 über,

und umgekehrt. Außerdem geht der Ast g 1 an π wieder auf g 0 über, und umgekehrt.

Dadurch erhalten wir eine doppelte Überlagerung unserer Ebene (vgl. [Abi81], Seite

576).

Wie bereits gesehen ist z = 0 ein Verzweigungspunkt der Wurzelfunktion. D.h. an

diesem Punkt ist die Funktion eindeutig, und daher sind unsere Blätter der Überlagerungsfläche,

Σ 0 und Σ 1 , identisch an diesem Punkt. Wird die 0 zu unserem Definitionsbereich

von z hinzugefügt, entsteht eine verzweigte Überlagerung wie in Abb.3.

Man kann die Vorgehensweise um die Ramifizierungspunkte einer Funktion zu bestimmen

auch etwas mathematischer angehen.

Definition 1.6 (Ordnung der Verzweigung). Bei einer affinen Kurve X in C 2 gegeben

durch y = f(z), y, z ∈ C, und der Projektion auf die y-Achse π : X → C, sind

die Ramifizierungspunkte von π gegeben durch f ′ (z) = 0 (vgl. [Mir95], Seite 46). Die

zugehörigen y-Werte geben die Verzweigungspunkte an. Betrachtet man X als Überlagerungfläche

mit Ramifizierungspunkt z 0 , so entspricht die Ordnung der Verzweigung

in z 0 der Anzahl der Verzweigungen in z 0 . Geometrisch bedeutet das, in z 0 ergibt sich

die Ordnung der Verzweigung aus der Anzahl der Blätter die in z 0 zusammenlaufen

weniger 1.


1 Mehrdeutige Funktionen und verzweigte Überlagerungen 5

Beispiel 1.7 (Ramifizierungspunkte einer rationalen Funktion (vgl. [JS87], Seite 14)).

Als Beispiel betrachte eine rationale Funktion f(z) = z/(z 3 + 2), z ∈ C. Dabei seien

die Nullstellen des Nenners aus dem Definitionsbereich herausgenommen. Wir erhalten

eine Funktion dritten Grades, von der wir die Ramifizierungspunkte bestimmen

wollen. Dazu betrachten wir die Ableitung f ′ (z) = (2 − 2z 3 )/(z 3 + 2) 2 . Diese hat die

Nullstellen z ∈ {1, ξ, ξ 2 }, ξ = exp(2πi/3). Diese Punkte liegen unter der Projektion

auf die Bildachse über den Verzweigungspunkten {1/3, ξ/3, ξ 2 /3}.

Schließlich interessiert uns noch die Ordnung unserer Verzweigungen. Für y = 1/3 löst

man dazu die Gleichung 1/3 = z/(z 3 + 2) ⇔ (z − 1) 2 (z + 2) = 0, mit der doppelten

Nullstelle bei z = 1 und einer einfachen Nullstelle bei z = −2. Die Vielfachheit dieser

Nullstellen gibt uns gerade die Anzahl der Blätter, die in z zusammenlaufen. Die

Ordnung der Verzweigung in z = 1 ist daher 1, und 0 in z = −2. (siehe Abb.4 für

den reellen Fall). Für die anderen Ramifizierungspunkte ergibt sich entsprechend eine

doppelte Nullstelle bei z = ξ bzw. z = ξ 2 und eine einfache Nullstelle bei z = −2ξ

bzw. z = −2ξ 2 .

Nimmt man z = ∞ zu dem Definitionsbereich hinzu, erhält man einen weiteren Ramifizierungspunkt.

Dazu betrachten wir die Funktion f(1/z) = z 2 /(1 + 2z 3 ), die bei

z = 0 eine doppelte Nullstelle hat. Also ist der Punkt im Unendlichen ebenfalls ein

Ramifizierungspunkt. Für f(z) = 0 ergibt sich eine einfache Nullstelle bei z = 0. Dieser

Punkt wird nur einfach überlagert.

Abbildung 4: Der reelle Anteil der Kurve f(z) = z/(z 3 + 2)

Abbildung 5: Für den Ramifizierungspunkt ergibt sich nur für den Punkt z = 1 eine

Verzweigung. An diesem Punkt treffen sich zwei Äste der Funktion.

(Quelle: [JS87], Seite 14)


6 2 Hyperelliptische Flächen

2 Hyperelliptische Flächen

Die folgenden Definitionen sind entnommen aus dem Abschnitt über hyperelliptische

Flächen in [Kat07], Seite 51.

Definition 2.1 (Hyperelliptische Involution). Sei Σ eine Riemansche Fläche von Genus

g. Eine holomorphe Abbildung J : Σ → Σ mit J 2 = 1 und 2g + 2 Fixpunkten wird

hyperelliptische Involution von Σ genannt.

Definition 2.2 (Hyperelliptische Fläche). Eine Riemannsche Fläche Σ mit einer hyperelliptischen

Involution J wird hyperelliptische Fläche genannt. Wir schreiben (Σ, J).

Bemerkung 2.3. Die hyperelliptische Involution einer Fläche ist durch ihre Fixpunkte

eindeutig bestimmt.

Definition 2.4 (Weierstrass-Punkte). Die 2g + 2 Fixpunkte einer hyperelliptischen

Involution heißen Weierstrass-Punkte.

Satz 2.5. Wir betrachten eine hyperelliptische Fläche (Σ, J). Dann definiert der Quotient

von Σ/J eine verzweigte Doppelüberlagerung der Sphäre S 2 , gegeben durch Q :

Σ → S 2 .

Beweis. Wir wollen an dieser Stelle nur zeigen, dass der Quotient Σ/J tatsächlich

homöomorph zur S 2 ist. Wähle dazu eine Zerlegung von Σ in Ecken, Kanten und

Flächen. Dazu zerlegen wir zunächst Σ/J, wobei die Fixpunkte von J Eckpunkte

unserer Zerlegung sind. Die Zerlegung von Σ erhalten wir als Urbild der Zerlegung

von Σ/J unter der Quotientenabbildung. Diese Zerlegung ist invariant unter J. Durch

J werden also Ecken wieder auf Ecken, Kanten auf Kanten und Flächen auf andere

Flächen abgebildet.

Berechne zunächst die Euler-Charakteristik von Σ. Es sei E inv. die Anzahl der Ecken,

die unter J wieder auf sich selbst abgebildet werden und E n.inv. entsprechend die

Anzahl der nicht invarianten Ecken, für die Kanten und Flächen analog. Da J nur

2g + 2 diskrete Fixpunkte hat, kann es keine Kanten oder Flächen geben, die von J

festgehalten werden. Für die Euler-Charakteristik ergibt sich:

χ(Σ) = E inv. + E n.inv. − K n.inv. + F n.inv.

= 2g + 2 + E n.inv. − K n.inv. + F n.inv. = 2 − 2g

Dabei ist χ(Σ) = 2 − 2g, da Σ eine Fläche von Genus g ist. E n.inv. , K n.inv. und

F n.inv. sind gerade Zahlen, da zu jeder nicht invarianten Kante k auch die Kante J(k)

existiert, analog für die Ecken und Flächen. Bestimme nun die Euler-Charakteristik

des Quotienten:

χ(Σ/J) = E inv. + E n.inv.

2

= 2g + 2 + E n.inv.

2

= (g + 1) + χ(Σ)

2

− K n.inv.

2

− K n.inv.

2

+ F n.inv.

2

+ F n.inv.

2

= (g + 1) + (1 − g) = 2


2 Hyperelliptische Flächen 7

Mit Euler-Charakteristik 2 ist Σ/J homöomorph zur S 2 .

Jeder Punkt auf S 2 wird überlagert von einem Punkt auf Σ und seinem Bildpunkt

unter J. Dabei ergeben die Fixpunkte von J die Verzweigungspunkte von Q.

Beispiel 2.6 (Drehung einer Fläche von g = 2 (vgl. [Kat07], Seite 51)). Die Gleichung

(((x − 1) 2 + y 2 ) − 1) · (((x + 1) 2 + y 2 ) − 1) = 0 in R 3 beschreibt eine Kurve in

Form einer Acht in der xy-Ebene. Der Rand einer schlauchförmigen Umgebung um

diese Kurve ist eine 2-dimensionale Fläche Σ von Genus g = 2 in R 3 (vgl. Abb. 6).

Sei J : Σ → Σ die Drehung um π um die x-Achse. Σ hat sechs Schnittpunkte mit

der x-Achse, die die Fixpunkte x 1 , .., x 6 von J angeben. J ist eine Involution und

(Σ, J) ist eine hyperelliptische Fläche. Der Quotient Σ/J liefert also eine verzweigte

Überlagerung der Späre, Q : Σ → S 2 .

Um zu sehen, an welchen Stellen diese Überlagerung verzweigt ist, betrachte zunächst

das Bild q ∈ S 2 eines beliebigen Punktes p ∈ Σ mit p ≠ x i für i = 1, .., 6. Bilde einen

kleinen Kreis mit Mittelpunkt q auf S 2 und betrachte sein Urbild unter Q. Bei einem

Umlauf um q beschreibt sein Urbild einen Kreis um p (und gleichzeitig einen Kreis

um J(p)). Demnach ist q kein Verzweigungspunkt. Betrachte nun das Bild ˜q eines

Punktes ˜p ∈ Σ mit ˜p = x i für ein i ∈ {1, .., 6}. Bilde erneut einen kleinen Kreis auf

S 2 mit Mittelpunkt ˜q und beobachte die Urbilder der Punkte bei einer Umdrehung

des Kreises. Sei z 0 ∈ S 2 der Startpunkt und w 0 ∈ Σ das zugehörige Urbild. Eine

Umdrehung um ˜q entspricht in diesem Fall nur einer halben Umdrehung um ˜p, denn

nach Durchlaufen eines Halbkreises um ˜p beginnend bei w o ist gerade der Punkt J(w 0 )

erreicht, der ebenfalls Urbild von z 0 ist. Der Ramifizierungsindex von ˜p ist demnach 2

und ˜q ist Verzweigungspunkt von Q.

Abbildung 6: Fläche von Genus g = 2. Die hyperelliptische Involution J ist gegeben

durch Drehung um π um die eingezeichnete Achse.

Wir wollen die hyperelliptischen Flächen nun noch einmal aus einer etwas anderen

Sicht betrachten.


8 2 Hyperelliptische Flächen

Wie wir bereits gesehen haben, kann eine hyperelliptische Fläche als doppelte Überlagerung

der Sphäre S 2 mit 2g + 2 Verzweigungspunkten beschrieben werden, dabei ist

g das Genus der Fläche. Identifiziere im Folgenden nun S 2 mit C ∪ {∞}.

Der affine Teil einer hyperelliptischen Fläche kann beschrieben werden durch eine Gleichung

der Form ω 2 = f(z) in C 2 , wobei f ein Polynom ist. Die hyperelliptische Involution

J ist jetzt gegeben durch J(z, ω) = (z, −ω) und die Quotientenabbildung

Q : Σ → S 2 entspricht der Projektion auf die z-Achse in C 2 .

Das Polynom f lässt sich faktorisieren zu f(z) = ∏ 2g+k

j=1 (z − e j) mit k ∈ {1, 2} und

e i ≠ e j für i ≠ j. Die hyperelliptische Fläche entspricht dann der Riemannschen Fläche

zu der mehrdeutigen Funktion ω 2 = f(z) = ∏ 2g+k

j=1 (z − e j) (vgl. [FK92], Seite 321).

Die komplexe Wurzelfunktion ω 2 = f(z) liefert eine doppelte Überlagerung der

komplexen Ebene, die an den Nullstellen von f(z) verzweigt ist (vgl. Bsp.1.5 und

[JS87], Seite 157ff.)). Sei nun k = 2, dann hat f(z) die 2g + 2 Nullstellen e j , j =

1, .., 2g + 2, die auch gerade die Fixpunkte von J und die Verzweigungspunkte von

Q sind. Man erkennt nun, dass die Ramifizierungspunkte von ω 2 = f(z) genau den

Verzweigungspunkten auf unserer Überlagerungsfläche entsprechen.

Für k = 1 erhält man ein Polynom ungeraden Grades mit 2g + 1 Nullstellen e j . Der

fehlende Verzweigungspunkt liegt in diesem Fall bei z = ∞. Dazu betrachten wir

einen großen Kreis |z| = r, den wir als Kreis um den Punkt z = ∞ auffassen. Da

das Polynom ungeraden Grad hat, ändert sich das Argument von ω um (2g + 1)π,

wenn sich das Argument von z um 2π ändert. Das bedeutet, wir landen bei −ω und

daher ist nach unserer Definition und analog zu obigem Beispiel der Punkt z = ∞ ein

Verzweigungspunkt.

Für ein Polynom von geradem Grad ändert sich das Argument von ω um (2g + 2)π.

Das heißt über unserem Kreis |z| = r liegen zwei Kreise auf unserer Fläche. Daher

müssen wir zwei Punkte im Unendlichen ergänzen, die den Punkt z = ∞ überlagern.

Beispiel 2.7 (Bolza-Fläche). Eine bekannte hyperelliptische Fläche ist die sogenannte

Bolza-Fläche. Diese wird beschrieben durch eine affine Kurve ω 2 = z 5 − z, z, w ∈ C.

Nach obiger Definition ist p = (z, ω) ein Verzweigungspunkt, wenn df


(z) = 0. Für

unsere hyperelliptischen Flächen reicht es daher immer aus, die Nullstellen von f zu

betrachten.

Die Nullstellenmenge von z 5 −z ist V := {0, 1, −1, i, −i}. Da das Polynom von ungeradem

Grad ist, ist z = ∞ ein weiterer Verzweigungspunkt. Auf unserer Fläche sind also

die Verzweigungspunkte p = (z, 0) mit z ∈ V ∪ {∞} gegeben. Anschaulich lassen sich

die Verzweigungspunkte mit den sechs Eckpunkten eines regelmäßigen Oktaeders hineingelegt

in die S 2 vergleichen. Die reellen Verzweigungspunkte verdeutlicht Abb.7. Da

die Bolza-Fläche sechs Verzweigungspunkte aufweist, handelt es sich um eine Fläche

von Genus g = 2. Eine projektive Darstellung im R 3 zeigt Abb.8.


2 Hyperelliptische Flächen 9

Abbildung 7: Die Bolza-Fläche: Der reelle Anteil der Kurve ω 2 = z 5 − z.

Abbildung 8: Die projektive Darstellung der Bolza-Fläche im R 3

(Quelle: http://wikipedia.org)

Aufgabe 2.8. Wiederholungsfragen

1. Wie müsste eine Überlagerungsfläche der komplexen Ebene erzeugt von ω 3 = z

mit ω, z ∈ C aussehen? Welche Probleme entstehen bei dem Versuch der Einbettung

in den R 3 ?

2. Konstruiere eine hyperelliptische Fläche von Genus 1. Wieviele Verzweigungspunkte

hat die zugehörige Überlagerung der Sphäre?


10 Literatur

Literatur

[Abi81] William Abikoff, The uniformization theorem, The American Mathematical

Monthly 88 (1981), no. 8, 574–592.

[FK92] Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann surfaces, Springer, New York u.a.,

1992.

[JS87]

Gareth A. Jones and David Singerman, Complex functions, Univ.Pr., Cambridge

u.a., 1987.

[Kat07] Mikhail G. Katz, Systolic geometry and topology, Mathematical Surveys and

Monographs, vol. 137, American Mathematical Society, Providence, RI, 2007,

With an appendix by Jake P. Solomon.

[Mir95] Rick Miranda, Algebraic curves and riemann surfaces, American Mathematical

Society, Providence, RI, 1995.

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