Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 3 Reguläre Punktsysteme und kristallographische Gruppen 10
3 Reguläre Punktsysteme und kristallographische Gruppen
Definition 3.1. Ein reguläres Punktsystem in der Ebene ist eine unendliche Punktmenge, so
dass gilt:
1. Für einen Kreis K(r) vom Radius r in der Ebene soll die Anzahl A(r) der in K(r) enthaltenen
Punkte von der Ordnung O(r 2 ) sein.
2. In jedem endlichen Gebiet sollen nur endlich viele Punkte des Systems liegen.
3. Jeder Punkt des Systems soll in jeden anderen durch eine Bewegung der Ebene überführt
werden können, die das System als Ganzes invariant lässt.
(Bewegung: Eine Abbildung der Form ( x y ) ↦→ A · ( x y ) + b, A ∈ SO 2 (R), b ∈ R 2 .)
Beispiel 1. [hier Bild]
Ein Gitter führt zu einer Symmetriegruppe G eines Punktsystems (Gruppe aller ebenen Bewegungen,
die das System invariant lassen). Solche Gruppen G sind diskontinuierliche Bewegungsgruppen,
das heißt, in jedem endlichen Gebiet von R 2 gibt es nur endlich viele unter G
äquivalente Punkte (also Punkte im selben G-Orbit).
Vorbemerkung:
• Jede ebene Bewegung ist durch die Abbildungsvorschrift zweier verschiedener Punkte eindeutig
festgelegt.
• Jede ebene Bewegung ist entweder eine Translation oder eine Drehung um ein Zentrum.
Beweis. Sei b ≠ id eine Bewegung, A ∈ R 2 ein Punkt, A ′ = b(A) und B der Mittelpunkt der
Strecke AA ′ .
[hier Bild]
Es gibt zwei Fälle:
1. B bleibt unter der Bewegung b fest. =⇒ b ist eine Drehung um B um π.
2. B bleibt nicht fest.
a) B ′ = b(B) liegt auf der Geraden AA ′ .
[hier Bild]
Dann ist B ′ eindeutig bestimmt:
Aber B ≠ B ′ , =⇒ b ist eine Translation.
b) B ′ ist nicht auf der Geraden AA ′ .
[hier Bild]
|AB| = |A ′ B| =⇒ |A ′ B ′ | = |A ′ B|.
(M ist der Schnittpunkt der Lote auf AA ′ und A ′ B ′ in B ′ .)
Dann ist b eine Drehung mit Mittelpunkt M, die A auf A ′ abbildet. Denn: Es reicht
zu zeigen, dass dann auch B auf B ′ abgebildet wird. Dies folgt aus der Kongruenz
△ABM ∼ = △A ′ B ′ M.