Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 5.2 Die Inversion am Kreis 18
Wir ziehen eine Parallele durch A ′ zu BM, die OM in Q schneidet. Sei q = |OQ| und
ϱ = |A ′ Q|. Dann ist
q
m = a′
b = ϱ (Strahlensatz),
k
das heißt
q = ma′ = mc 2 ,
b
ϱ = ka′
b = kc2 .
⎫
⎪⎬
⎪⎭
const.
Für jede Lage von A und B ist Q also immer derselbe Punkt, und |A ′ Q| ist auch immer
konstant. Also ist das Bild von K ein Kreis vom Radius ϱ um Q.
5.2.1 Der Inversor von Peaucellier
(Peaucellier: franz. Marineoffizier, 1864.)
Der Inversor von Peaucellier besteht aus starren, drehbar verbundenen Stangen:
[hier Bild]
O und R sind feste Punkte in der Ebene. Das Gerät besteht aus 7 Stangen, die beliebig drehbar
mit Gelenken verbunden sind (4 Stangen der Länge s, 2 der Länge t und die Stange, die P und
R verbindet).
Satz 5.3. Beschreibt P einen Kreisbogen mit Radius |P R|, dann beschreibt Q ein Stück einer
Geraden.
Beweis. Es ist
|OP | · |OQ| = (|OT | − |P T |)(|OT | + |P T |)
= |OT | 2 − |P T | 2
= (|OT | 2 + |ST | 2 ) − (|P T | 2 + |ST | 2 )
= t 2 − s 2
=: r 2 const.
Das heißt, P und Q sind inverse Punkte bezüglich des Kreises vom Radius r um O.
Satz 5.4 (Kempe, ca. 1870). Jede ebene algebraische Kurve kann stückweise durch einen geeigneten
Gelenkmechanismus erzeugt werden. (Kempe „How to draw a straight line“, Bleschke
„Ebene Kinematik“.)