Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 6.1 Zusammenfassung 22
Behauptung 10. d 2 ϱ(e k , e j ) = 0 für alle k ≠ j.
Beweis. Wir berechnen die symmetrische Trilinearform
d 3 (ϱf) : R n × R n × R n → R n
mit
d 3 (ϱf)(a i , a j , a k ) =
∂3 (ϱf)
∂x i ∂x j ∂x k
.
(6.3) =⇒ d 3 (ϱf)(e k , e j , e i ) = d 3 ϱ(e k , e j , e i )f + d 2 ϱ(e k , e j )df(e i )
} {{ }
symmetrisch in i,j,k
=⇒ d 2 ϱ(e k , e j )df(e i ) = d 2 ϱ(e k , e i )df(e j ).
Aber df(e i ) und df(e j ) sind linear unabhängig, daher folgt d 2 ϱ(e k , e j ) = 0 für alle k ≠ j.
Wir können e 1 , . . . , e n so wählen, dass sie, bei p fest, ein vorgegebenes Orthonormalsystem
bilden, und d 2 ϱ(e k , e j ) = 0 gilt dann für jedes solche.
(
0 = d 2 ej + e k
ϱ √ , e )
j − e
√ k
2 2
= 1 (
)
d 2 ϱ(e j , e j ) − d 2 ϱ(e k , e k )
2
=⇒ d 2 ϱ(e j , e j ) = d 2 ϱ(e k , e k ) ∀ k ≠ j.
6.1 Zusammenfassung
Für alle p ∈ U und für alle e 1 , . . . , e n orthonormal bei p gilt d 2 ϱ(e j , e k ) = σ(p)δ jk . Speziell:
Für i ≠ j gilt
∂ 2 ϱ
∂x i ∂x j
= σ(p)δ ij mit ϱ = 1 λ . (6.4)
∂σ
∂x i
=
und es folgt σ = const.! Damit ist
∂ 3 ϱ
∂x i ∂x j ∂x j
=
∂ 3 ϱ
∂x j ∂x i ∂x j
= 0,
∂ 2 ϱ
∂x i ∂x j
= σδ ij mit σ = const. (⋆)