Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 14 Divisionsalgebren und Topologie III 48
Die Erzeuger in den Graden 1, 2, 4 und 8 dieser Gruppen können wie folgt beschrieben werden.
Eine Abbildung f : S n−1 → GL(m, R) liefert ein m-dimensionales Bündel E f auf S n in folgender
Weise:
S n = H + ∪ H − , H + ∩ H − = S n−1 .
Dabei ist H + die obere Halbkugel, H − die untere und S n−1 der Äquator.
Man verklebt die trivialen Bündel H + ×R m und H − ×R m längs S n−1 , indem man (x, v) ∈ S n−1
mit (x, f(x) · v) identifiziert. Man erhält einen toplogischen Raum E f mit der Bündelprojektion
induziert durch
p : E f → S n ,
H + × R m → H + und H − × R m → H − .
Eine n-dimensionale Divisionsalgebra A ≃ R n liefert
durch
f : S n−1 → GL(n, R)
f(x)(v) := x · v, x ∈ S n−1 , v ∈ R n .
Das assoziierte Bündel auf S n heißt Hopfsches Bündel (in jedem Fall A = R, C, H, O). Die additiven
Erzeuger von ˜KO(S 1 ), ˜KO(S 2 ), ˜KO(S 4 ) und ˜KO(S 8 ) entsprechen den Hopfschen Bündeln
zu R, C, H und O (man zieht von diesen noch das n-dimensionale triviale Bündel ab, um ε = 0
zu bekommen).
Der Isomorphismus ˜KO(S n ) ≃ ˜KO(S n+8 ) kann folgendermaßen explizit gemacht werden: Zu
S n und S m hat man S n × S m . Seien x 0 ∈ S n und y 0 ∈ S m jeweils ein Punkt. In S n × S m hat man
dann
S n ∨ S m = {x 0 } × S m ∪ S n × {y 0 }
(„Achsenkreuz“). Identifiziert man in S n × S m S n ∨ S m mit einem Punkt, so erhält man S n+m ,
das heißt, man hat insbesondere Abbildungen S n ∨ S m ↩→ i
S n × S m −→ p S n+m . Zum Beispiel ist
mit m = n = 1:
[hier Bild]
Das liefert die Sequenz:
˜KO(S n+m p
) −−−−→ !
× S m )
↑
⏐
⏐
↓i !
0 ←−−−− ˜KO(S n ∨ S m )
Diese Sequenz ist exakt (das heißt, p ! ist injektiv, i ! ist surjektiv, ker i ! = im p ! ).
Zu a ∈ ˜KO(S n ) und b ∈ ˜KO(S n × S m ) hat man
π 1
S n × S m
π 2
S n
S m
a · b := π ! 1a · π ! 2b ∈ ˜KO(S n × S m ).
Es ist i ! (a · b) = 0, also ist a · b Bild genau eines Elements in ˜KO(S n+m ) unter p ! . Dieses
Element bezeichnen wir wieder mit ab. Der Isomorphismus KO(S n ) ≃ ˜KO(S n+8 ) wird durch