Expander Graphen und Ihre Anwendungen - Mathematisches Institut

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Expander Graphen und Ihre Anwendungen - Mathematisches Institut

Expander Graphen und Ihre Anwendungen

Alireza Sarveniazi

Mathematisches Institut Universität Göttingen

21.04.2006

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Graphen

Definition

Ein Graph ist ein Paar Ω = (V , E) disjunkter Mengen mit

E ⊆ V × V .

Die Elemente von E sind also 2-elementige Teilmengen von V . Die

Elemente von V nennt man die Ecken des Graphen Ω, die Elemente von E

seine Kanten.

Ω heißt endlich wenn |V | < ∞.

Der Grad d(v) einer Ecke v ist die Anzahl der Nachbarn von v. Hat jede

Ecke von Ω den gleichen Grad k, so heißt Ω k-regulär.

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Die Adjazenz-Matrix

Definition

Die Adjazenz-Matrix A = A(Ω) = (a ij ) n×n

von G = (V , E) und

V = {v 1 , . . . , v n } ist definiert durch

{

1 falls (vi , v j ) ∈ E

a ij =

0 sonst.

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Beispiel: Ein Graph und seine Adjazenz-Matrix

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Expander Graphen

Definition

Sei Ω = (V , E) ein k-regulärer Graph mit |V | = n.

Sei A ⊂ V , 0 < c ∈ R und sei

∂A = {x ∈ V | d(x, A) = 1}

der Rand von A. Die Expanderkonstante (die Vergrößerungszahl oder

Cheeger-Konstante) von Ω = (V , E) :

h(Ω) := min ∅⊂A⊂V

|∂A|

min(|A|, |V \A|)

Man nennt Ω einen (n, k, c)-Expandergraph falls gilt:

h(Ω) ≥ c > 0.

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Komplett-Graph K 5 :

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6−Kreis C 6 :

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Expanderkonstante von C n und K 2n

Für C n wenn |A| = l, dann |∂A| = l(n − l), so dass:

h(C n ) = n − [ n 2 ] ∼ n 2 .

Ω = K 2n die 2n-Kreis, |A| = n, |∂A| = 2 und

h(C 2n ) = 2 n

−→ 0 als n −→ ∞

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Expander Graphen: Ihre Anwendungen

Theoretische Computer-Wissenschaft:

fehlerkorrigierender Code

rechenbetonte Gruppen-Theorie

Speicher mit direktem Zugriff (Random-Zugriff)

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Anwendungen in der Reinen Mathematik:

Funktional-Analysis und die Topologie: Baumes-Connes-Vermutung

Maßtheorie: Ruziewicz-Probleme

Eine klassische Frage in der Kombinatorik:

Die ganzen Zahlen g und c seien gegeben, finde einen Graph Ω mit

girth(Ω) ≥ g und χ(Ω) ≥ c.

Wobei der girth(Ω), die Länge des kürzesten geschlossenen Kreises in

Ω ist, und χ(Ω) (Chromatische Zahl) ist die kleinste Zahl von Farben,

die man den Ecken zuordnen kann, so dass benachbarte Ecken nicht

die gleiche Farbe bekommen.

Antwort: Erdos(1959), Basis für wahrscheinlichkeitstheoretische

Methoden und Random-Graphen.

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Eine Familie von Expander-Graphen

Definition

Eine Familie von Expander-Graphen besteht aus einer Familie von Ω n,k mit

k fest und n −→ ∞ so dass ein ɛ > 0 existiert wobei gilt:

h(Ω n,k ) ≥ ɛ.

Existenz Frage wurde (1973) von Pinsker mit

wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden beantwortet.

Definition

Sei Ω = (V , E) ein k-regulärer Graph und sei A Ω die zugehörige

Adjanzenzmatrix.

Sei

λ(A Ω ) := max{|λ| | ± k ≠ λ ist Eigenwert von A Ω }

(k ist immer ein Eigenwert).

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Fakt2:

Ω n,k ist ein zusammenhängender Graph ⇐⇒ λ(A Ωn,k ) < k.

Theorem

(Tanner; Alon and Milman, 1985)

k − λ(A Ωn,k )

2

≤ h(Ω n,k ) ≤


2k(k − λ(A Ωn,k ))

χ(Ω n,k ) ≥

k

λ(A Ωn,k )

Hoffman

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Ramanujan-Graphen:

Theorem

( Alon - Boppana 1986)

Sei ɛ > 0 .

Dann existiert n 0 so da für alle k-reguläre Graphen

Ω = (V , E), |V | ≥ n 0 gilt:

λ(A Ω ) > 2 √ k − 1 − ɛ.

Sei Ω = (V , E) ein k-regulärer Graph und sei A(Ω) die zugehörige

Adjanzenzmatrix.

Sei (wie vorher)

λ(A(Ω)) =: max{|λ| | ± k ≠ λ ist Eigenwert von A(Ω)}

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Definition

Ω heißt Ramanujan-Graph falls gilt:

λ(A Ω ) ≤ 2 √ k − 1.

Die Ramanujan-Graphen sind vom Spektrum her optimale

hochzusammenhängende Graphen.

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Beispiel: Ramanujan-Graph mit 80 Ecken und h = 1 4

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Explizite Konstruktion von Ramanujan-Graphen

Sei p eine Primzahl mit:

Sei

p ≡ 1 (mod 4)

S := {(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Z 4 | x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = p und

- S hat genau p + 1 Elemente.

Sei q ≠ p ein andere Primzahl mit:

q ≡ 1 (mod 4)

( )

wähle q so dass p

q

= 1 d.h.

x 0 ≥ 0, ungerade Zahl

und

x i gerade Zahl für i = 1, 2, 3}

x 2 = p in F q = Z/qZ hat eine Lösung δ.

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Definition

Für jede Gruppe G und die Erzeugermenge S kann man einen Graph

zuordnen, nämlich den Cayley-Graph (G, S); mit V := G und

E := {(g, h)|g = sh für ein s ∈ S}.

Sei i ein element in F q mit i 2 = −1 und

( )

˜S := { 1 x0 + ix 1 x 2 + ix 3

δ −x 2 + ix 3 x 0 − ix 1

| (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ S}

und sei Ω p.q der Cayley-Graph (PSL 2 (F q ), ˜S).

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ipartiter Graph

Definition

Ein Graph Ω = (V , E) mit Eckenmenge V und Kantenmenge E heißt

bipartit, falls V in disjunkte Teilmengen I, O zerfällt, so dass jede Kante in

E von I nach O führt, d.h., E ⊂ I × O.

Wir schreiben dann Ω = (I ∪ O, E). Ein bipartiter Graph (I ∪ O, E) heißt

(r, l)−regulär, wenn jeder Ecken in I genau mit r Ecken in O durch eine

Kante verbunden ist, und jeder Ecken in O mit genau l Ecken in I durch

eine Kante verbunden ist. Hat I dann n Elemente, folgt dass O genau rn l

viele Elemente besitzt.

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Theorem

[Lubotzky-Philips-Sarnak 1988] :

Dann gilt für Ω p.q :

(i) p + 1-regulärer Ramanujan Graph

(ii) girth(Ω p.q ) ≥ 2 3 log p |Ω p.q |

(iii) Ω p.q ist ein hochzusammenhängende bipartite Graph

(iv) χ(Ω p.q ) ≥ p+1

2 √ p

( )

Bemerkung:für q mit p

q

= −1 d.h.

x 2 = p in F q = Z/qZ hat keiner Lösung.

können wir Ω p.q als der Cayley Graph (PGL 2 (F q ), ˜S) betrachten.

˜S wird ohne der Faktor 1 δ definiert.In diesem fall hat man für Ωp.q :

(i) p + 1-regulärer Ramanujan Graph

(ii) girth(Ω p.q ) ≥ 4 log p q − log p 4

(iii) Ω p.q ist ein hochzusammenhängender Graph

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Expander Graph-basierte Codes

Sei C ein binäre Code mit Codewortlänge l und Ω = (I ∪ O, E) ein

(r, l)−regulärer Graph mit I = {i 1 , . . . , i n } . Dann bezeichnen wir für

o ∈ O mit O(i 1 ), . . . , O(i l ) die Nachbarn von o in I.

Aus C und Ω konstruiert man nun einen Code C(Ω, C) mit Codewortlänge

n = |I|.

Ein Wort w = (w 1 , ldots, w n ) ∈ Z n 2 liegt in C(Ω, C) genau dann, wenn

für alle o ∈ O gilt(w O(i1 ), . . . , w O(il )) ∈ C.

Das heißt, für alle o ∈ O muss gelten, dass die Einschränkung von o auf

diejenigen Koordinaten, deren Indizes die Nachbarn von o sind, ein

Codewort in C ist.

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Beispiel

Sei C der Hamming-Code H (3) mit Parität-Matrix H und

weiter sei Ω der regultäre (2, 7) Graph mit Adjazenz-Matrix A:

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Der Code C(Ω, H (3) )

Der Code C(Ω, H (3) ) hat dann Parität-Matrix:

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Definition

Ein (r, l)-regulärer Graph Ω = (I ∪ O, E) heißt ein (r, l, α, β)-Expander,

falls jede Teilmenge V ⊆ I der Grösse ≤ αn, n = |I|, mindestens β|V | viele

Nachbarn in O besitzt.

Der Graph Ω aus obigen Beispiel ist ein (2, 7, 1 7 , 0.99)-Expander.

Man kann sehen dass Ω auch ein (2, 7, 3 14 , 3 5

)-Expander ist.

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Beispiel

Sei Ω ein beliebiger (r, l)-regulärer bipartiter Graph. Sei A die

Adjazenz-Matrix von G. Weiter sei C der Code mit Paritäts-Matrix

H = [1, 1, . . . , 1] ∈ Z 1×l

2

.

Die Paritäts-Matrix des Codes C(Ω, C) is dann die Matrix A.

Damit die Codes C(Ω, C) gute Parameter haben, wird man

Expander-Graphen wählen.

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Beispiel für einen bipartiten Expander-Graph Ω

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Adjazenz-Matrix von Ω

Je 6 Ecken aus I haben mindestens 5 Nachbarn. Die Ecken

{1, 2, 3, 4, 5, 7} ⊂ I haben genau 5 Nachbarn. Für alle Teilmengen V ⊂ I

mit höchstens 5 Ecken gilt, dass sie mindestens |I| Nachbarn haben. Daher

ist Ω ein (2, 3, 2 3 , 4 5

)-Expander, aber auch ein (2, 3, 5/9, 099)-Expander.

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Satz

Satz

Sei C ein linear, binärer (l, m, d)-Code mit Rate ρ := m l

und Distanz d.

Weiter sei Ω = (I ∪ O, E) ein (r, l, α, r d

)-Expander. Dann hat der Code

C(Ω, C) Rate mindestens 1 − (1 − ρ)r und Distanz > α|I|.

Krollar

Sei P l−1 der Paritäts-Code auf l − 1 Bits mit Paritäts-Matrix

H = [1, 1, . . . , 1] ∈ Z 1×l

2

. Außerdem sei Ω ein (r, l, α, r 2

)-Expander. Dann

besitzt der Code C(Ω, C) Rate 1 − r l

und Distanz > α|I|.

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