Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

5.4. ABSOLUTE KONVERGENZ 105

k=1


Bemerkung. Eine Reihe der Form ∞ (−1) k+1 a k wie im obigen Satz heißt alternierend.

Obiger Beweis gibt auch die Fehlerabschätzung

für alle n ∈ N.

|s−s n | ≤ a n+1

Beispiel 5.21. Gemäß obigem Satz konvergiert die Reihe

die harmonische Reihe ∞ ∑

bedingt konvergent.

k=1

∞∑ (−1) k+1

,

k

k=1

1

k ist jedoch divergent. Damit ist die Reihe ∑ ∞

Eine Permutation der natürlichen Zahlen ist eine Bijektion σ: N → N.

k=1

(−1) k+1

k


Definition 5.22. Eine Umordnung der Reihe ∞ a k ist eine Reihe der Form

k=1

∞∑

a σ(k) , wobei σ eine Permutation der natürlichen Zahlen ist.

k=1

k=1

Satz 5.23. Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe konvergiert, und

zwar gegen dieselbe Reihensumme.

∞∑

∞∑

Beweis. Sei a k eine absolut konvergente Reihe und sei a σ(k) eine Umordnung.

Weiter seien

s n =

n∑

a k , t n =

k=1

n∑

k=1

a σ(k)

die n-ten Partialsummen.


Sei ǫ > 0. Da ∞ |a k | konvergiert, existiert ein M mit

k=1

wählen nun ein N ∈ N mit

{1,2,...,M} ⊆ {σ(1),σ(2),...,σ(N)}.

k=1

∞∑

k=M+1

|a k | ≤ ǫ. Wir

(Wähle beispielsweise N = max { σ −1 (k) ∣ ∣ 1 ≤ k ≤ M

}

.) Für jedes n ≥ N fallen

die Terme a 1 ,a 2 ,...,a n in der Differenz s n −t n fort. Folglich gilt

|s n −t n | ≤

∞∑

k=M+1

|a k | ≤ ǫ,

und die Folge {s n − t n } konvergiert gegen Null. Wegen t n = s n − (s n − t n )

konvergiert auch die Folge {t n }, und es gilt

lim

n→∞ s n = lim

n→∞ t n.

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