Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

108 KAPITEL 5. UNENDLICHE REIHEN

Bemerkung. In dem Fall, dass der jeweilige Limes in (a) bzw. (b) in den Sätzen

5.26 und 5.28 gleich Eins ist, ist keine Entscheidung bezüglich Konvergenz

∞∑ 1


oder Divergenz möglich, wie das Beispiel der Reihen

k = ∞ und ∑ 1

k 2 < ∞

mit

zeigt.

Satz 5.30 (Integralkriterium). Sei

k=1

1/(k +1) 1/(k +1) 2

lim = lim

k→∞ 1/k k→∞ 1/k 2 = 1

k=1

k=1

∞∑

a k eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern,

f: [1,∞) → R eine stetige Funktion mit f(k) = a k für alle k. Weiterhin

sei f monoton fallend und lim f(x) = 0. Dann konvergiert die Reihe ∑ ∞ a k

x→∞

k=1

genau dann, wenn das uneigentliche Integral ∫ ∞

f(x)dx konvergiert.

1

Darüber hinaus haben wir im Fall der Konvergenz die Fehlerabschätzung

0 ≤ s−s n ≤

wobei s die Reihensumme bezeichnet.

∫ ∞

n

f(x)dx,

Beweis. (⇐) Sei ∫ ∞

1

f(x)dx < ∞. Dann ist die Folge {s n } monoton wachsend

und nach oben beschränkt, also konvergent. Tatsächlich gilt für m > n

0 ≤ s m −s n = a n+1 +···+a m ≤

∫ m

n

f(x)dx

n n+1 n+2 n+3 ... m−1 m

Abbildung 5.1: Zur Abschätzung a n+1 +···+a m ≤ ∫ m

n f(x)dx:

Die Fläche unter der Kurve von x = n bis x = m ist mindestens gleich der

Summe der Flächen der schraffierten Boxen.

und für m → ∞ erhalten wir

0 ≤ s−s n ≤

∫ ∞

n

f(x)dx.

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