Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

110 KAPITEL 5. UNENDLICHE REIHEN

wobei c m = ∑

m=0

k+l=m

a k b l für m ∈ N 0 , und es gilt

(

∞∑ ∞

)(

∑ ∞

)


c m = a k b l .

m=0

k=0

l=0

∞∑


c m heißt das Cauchyprodukt der Reihen ∞ ∞∑

a k , b l .


Beweis. O. B. d. A. sei a = ∞ ∑

a k absolut konvergent. Sei b = ∞ b l . Wir setzen

k=0

l=0

k=0

m=0

k=0


r n = n ∑

a k , s n = n ∑

b l und t n = n c m . Dann ist

also

ab = (a−r n )b+r n b, t n =

ab−t n = (a−r n )b+

l=0

n∑

a k s n−k ,

k=0

n∑

a k (b−s n−k ).

Es gilt (a−r n )b → 0 für n → ∞ sowie mit N = [ n 2 ] ([n 2

] bezeichnet den ganzen

Teil von n 2 )

n∑

N a k (b−s n−k )

∣ ∣ ≤ ∑

n∑

|a k ||b−s n−k |+ |a k ||b−s n−k |

k=0

k=0

≤ max

N≤l≤n |b−s l|

k=0

k=N+1

N∑

|a k |+C

k=0

n∑

k=N+1

l=0

|a k | → 0

für n → ∞, wobei C > 0 mit |b−s l | ≤ C für alle l gewählt wurde. Folglich

t n → ab für n → ∞.

Beispiel 5.33. Man kann die Expoentialfunktion mittels der absolut konvergenten

Reihe

∞∑

e x x k

=

k! , x ∈ R,

k=0

einführen. Die charakteristische Eigenschaft e x e y = e x+y der Expoentialfunktion

ergibt sich dann wie folgt:

( ∞

)(


e x ·e y x k ∞

) ( )

∑ y l ∞∑ ∑ x k y l

= =

k! l! k! l!

k=0 l=0 m=0 k+l=m

(

∞∑ 1 ∑ m ( )

m

∞∑

=

m! k)x k y m−k (x+y) m

=

m!

für alle x, y ∈ R.

m=0

= e x+y

k=0

m=0

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