Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

6.4. BEISPIELE 117

Direkt von den entsprechenden Ergebnissen für Funktionenfolgen in den

Sätzen 6.7, 6.8 und 6.9 erhalten wir:


Satz 6.13. Sei {f k } eine Funktionenfolge auf I und sei die Reihe ∞ f k gleichmäßig

konvergent.

(a) Ist jede Funktion f k stetig auf I, so ist f stetig auf I.

(b) Ist jede Funktion f k R-integrierbar auf I = [a,b], so ist f R-integrierbar

auf I und

∫ b ∞∑

∫ b

f(x)dx = f k (x)dx.

a

(c) Ist jede Funktion f k stetig differenzierbar auf I und konvergiert

k=1

a

k=1

∞∑

f k


k=1

gleichmäßig auf I, so ist die Funktion f stetig differenzierbar auf I und

∞∑

f ′ (x) = f k(x)


für alle x ∈ I.

6.4 Beispiele

k=1

6.4.1 Definition der Exponentialfunktion

In der Mathematik gibt es verschiedene Möglichkeiten, den Ausdruck e x für

x ∈ R zu definieren. Man nutzt eine dieser Möglichkeiten und zeigt dann, dass

die anderen dazu äquivalent sind.

Satz 6.14. Für x ∈ R gilt

(a)

(b)

e x =

∞∑

k=0

(

e x = lim 1+ x n,

n→∞ n)

x k

k!

= 1+x+

x2

2! + x3

3! +...,

(c) e x ist die eindeutig bestimmte positive Zahl y > 0 mit

∫ y

1

dt

t = x.

Bemerkung. (a) Die linke Seite ist wohldefiniert, da der Beweis zeigen wird,

dass die Folge { (1+ x n )n} ∞

für x ≥ 0 monoton wachsend und nach oben

n=1

beschränkt ist. Die Sache ist dann für allgemeines x ∈ R in Ordnung, da

(

lim 1+ x n (

lim 1−

n→∞ n) x n

= lim

(1−

n→∞ n) x2

n→∞

= exp lim

n→∞

) n

n 2

(

n log

(1− x2

n 2 ))

= e 0 = 1,

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