Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

122 KAPITEL 6. FUNKTIONENFOLGEN UND FUNKTIONENREIHEN

Abbildung 6.8: Die Funktion ∑ n

k=0( 3

4) kg(4 k x) für n = 12

Für m ∈ N wählen wir δ m = ± 1

2·4

, so dass keine ganze Zahl zwischen 4 m x und

m

4 m (x+δ m ) liegt. Dann gilt


∣ g(4 k x+4 k δ m )−g(4 k x) ∣ ⎪⎨

⎪⎩

= 0, k > m,

= 1/2, k = m,

≤ ∣ ∣ 4 k δ m

∣ ∣, k < m.

Begründung: Für k > m ist 4 k δ m ein Vielfaches von 2 und g hat Periode 2. Für

k = m ist das Ergebnis 1/2, da |4 m δ m | = 1/2 und die Funktion g linear ist mit

Anstieg 1 oder −1 auf dem Intervall von 4 m x bis 4 m (x+δ m ). Für k < m folgt

das Ergebnis aus |g(y)−g(y ′ )| ≤ |y −y ′ | für alle y, y ′ ∈ R.

Wir erhalten dann


f(x+δ m )−f(x)

δ m

∣ ∣∣∣

=

∞∑

( ) ∣ k 3 g(4 k x+4 k δ m )−g(4 k x) ∣∣∣∣

∣ 4 δ m

k=0

( ) m m−1

3 ∑

( ) k ∣ ∣ 3 ∣∣∣

≥ 4 m g(4 k x+4 k δ m )−g(4 k x) ∣∣∣


4 4

k=0

m−1


≥ 3 m − 3 k = 3 m − 3m −1

3−1 > 3m 2 .

k=0

Folglich können wir x m = x+δ m setzen.

6.5 Potenzreihen

Definition 6.18. Eine Potenzreihe mit Entwickungspunkt c ist eine Reihe der

Form

∞∑

a k (x−c) k = a 0 +a 1 (x−c)+a 2 (x−c) 2 +...,

k=0

wobei a 0 ,a 1 ,a 2 ,... und c gegebene reelle Zahlen sind.

δ m

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