Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

128 KAPITEL 6. FUNKTIONENFOLGEN UND FUNKTIONENREIHEN

1

−1

0 1 2 3 4 5

Abbildung 6.9: Die Funktion x ↦→ e −1/x , x > 0

wobei Q k ein Polynom vom Grad 2k −2 ist: Q 1 (s) = 1,

Q k+1 (s) = −2sQ k (s)−s 2 Q ′ k (s)+s2 Q k (s), k ≥ 1.

Letztere Formel beweist man mittels Induktion über k.

Für k = 1 haben wir h ′ (x) = 1

x

e −1/x für x > 0, also Q 2 1 (s) = 1, und wenn

das Ergebnis für ein k ≥ 1 bereits bewiesen wurde, so

h (k+1) (x) = d ( 1

dx x 2 Q k( 1 )

x )e−1/x

= 1 (− 2 x 2 x Q k( 1 x )− 1 x 2 Q′ k (1 x )+ 1 )

x 2 Q k(x) e −1/x , x > 0,

und daher das Ergebnis für k +1.

Insbesondere folgt h (k) (0) = 0 für alle k ∈ N 0 . Die Taylorreihe von h

ist somit identisch Null und stellt für x > 0 nicht die Funktion h dar

(s. Abbildung 6.9).

Bricht man die Entwicklung der Taylorreihe nach endlich vielen Schritten ab,

so erhält man immer ein positives Ergebnis (in dem Sinne, dass man den Rest

kontrolliert).

Theorem 6.29 (Taylorformel mit Restglied). Sei f: I → R (n+1)-mal stetig

differenzierbar, c ∈ I. Dann gilt

für x ∈ I.

f(x) =

n∑

k=0

f (k) (c)

k!

Definition 6.30. P n (x) = n ∑

k=0

(x−c) k + 1 n!

∫ x

f an der Stelle c, R n = f −P n ist das n-te Restglied.

c

(x−t) n f (n+1) (t)dt

f (k) (c)

k!

(x−c) k heißt dasn-te Taylorpolynom von

Beweis. Wir beweisen die Formel durch Induktion nach n. Für n = 0 ist dies

der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

f(x) = f(c)+

∫ x

c

f ′ (t)dt.

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