Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

1.3. DIE REELLEN ZAHLEN 15

Axiome der Addition

(A1) ∀x, y ∈ R: x+y = y +x,

(A2) ∀x, y, z ∈ R: (x+y)+z = x+(y +z),

(A3) ∀x ∈ R: x+0 = 0+x = x,

(A4) ∀x ∈ R: x+(−x) = (−x)+x = 0.

Das heißt, bezüglich der Addition bildet R eine kommutative Gruppe mit neutralem

Element 0.

Axiome der Multiplikation

(M1) ∀x, y ∈ R: xy = yx,

(M2) ∀x, y, z ∈ R: (xy)z = x(yz),

(M3) ∀x ∈ R: x·1 = 1·x = x,

(M4) ∀x ∈ R, x ≠ 0: x·x −1 = x −1 ·x = 1.

Insbesondere ist bezüglich der Multiplikation R\{0} eine kommutative Gruppe

mit neutralem Element 1.

(D) Die Multiplikation ist distributiv über der Addition, d. h. ∀x, y, z ∈ R:

x(y +z) = xy +xz, (x+y)z = xz +yz.

Ordnungsaxiome

Der Körper R ist total geordnet, d. h. auf R gibt es eine Totalordnung ≤ mit

den zusätzlichen Eigenschaften

(O1) ∀x, y ∈ R: x > 0, y > 0 impliziert x+y > 0.

(O2) ∀x, y ∈ R: x > 0, y > 0 impliziert xy > 0.

(O3) ∀x, y ∈ R: x > y genau dann, wenn x−y > 0.

Diese Axiome unterscheiden die reellen Zahlen noch nicht von den rationalen

Zahlen. Wir benötigen dazu das Vollständigkeitsaxiom.

Vollständigkeitsaxiom:

Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge S reeller Zahlen besitzt ein Supremum

supS.

Das Beispiel 1.31 (i), zeigt, dass dieses Axiom in den rationalen Zahlen nicht

gilt.

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