Differenzial- und Integralrechnung I

uni.math.gwdg.de

Differenzial- und Integralrechnung I

1.4. UNGLEICHUNGEN 23

Beweis. Im nichtnegativen Quadranten derx,y-Ebene betrachten wir die Kurve

x p = y q (d. h.y = x p−1 bzw.x = y q−1 ). Die Fläche unter dieser Kurve vonx = 0

bis x = a ist gleich ap

p (= ∫ a

0 xp−1 dx = xp ∣ a

p 0 )1 , analog ist die Fläche links dieser

Kurve von y = 0 bis y = b gleich bq q

(s. Abbildung 1.3).

y

x p = y q

b

a

x

Abbildung 1.3: Zum Beweis der Youngschen Ungleichung

Diese beiden Flächen zusammen sind offenbar wenigstens gleich der Fläche ab

des Rechtecks mit den Ecken (0,0), (a,0), (a,b) und (0,b), also ist ab ≤ ap

p + bq q ,

wobei Gleichheit genau für a p = b q gilt.

1.4.3 Die Höldersche Ungleichung

Sei p ∈ (1,∞) und q = p

p−1 .

Satz 1.39. Für alle nichtnegativen reellen Zahlen x 1 ,...,x n und y 1 ,...,y n gilt

x 1 y 1 +···+x n y n ≤ (x p 1 +···+xp n) 1/p (y q 1 +···+yq n) 1/q .

Gleichheit gilt genau dann, wenn es Konstanten α ≥ 0, β ≥ 0 mit

für alle i = 1,...,n gibt. 2

αx p i = βyq i

Beweis. Wir dürfen x p 1 +···+xp n = 1 und y q 1 +···+yq n = 1 annehmen, da für

x 1 = ··· = x n = 0 bzw. für y 1 = ··· = y n = 0 die Ungleichung trivialerweise

erfüllt ist und wir für x p 1 +···+xp n > 0 und yq 1 +···+yq n > 0 statt der Zahlen

x 1 ,...,x n ,y 1 ,...,y n die Zahlen ¯x 1 ,...,¯x n ,ȳ 1 ,...,ȳ n mit

¯x i =

x i

(x p 1 +···+xp n) 1/p, ȳ i =

y i

(y q 1 +···+yq n) 1/q

1 Flächeninhalte werden wir später in diesem Kurs berechnen. Es gibt auch elementare

Beweise der Youngschen Ungleichung.

2 Wir können nicht einfach y p i = αx p i für alle i und ein gewisses α ≥ 0 schreiben, da ja

x 1 = ··· = x n = 0 sein könnte, während y i ≠ 0 für wenigstens ein i ist.

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine