Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

24 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

betrachten können.

Sei also x p 1 + ··· + xp n = yq 1 + ··· + yq n

Ungleichung

= 1. Dann gilt mit der Youngschen

x 1 y 1 +···+x n y n ≤ xp 1

p + yq 1

q +···+ xp n

p + yq n

q = 1 p + 1 q = 1.

Letzteres wollten wir zeigen. Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn x p i = yq i

für alle i.

Folgerung 1.40. Sei 0 < p < q und seien x 1 ,...,x n nichtnegative reelle Zahlen.

Dann

( x

p ) 1/p (

1 +···+xp n x

q ) 1/q

1

≤ +···+xq n

,

n n

wobei Gleichheit genau für x 1 = ··· = x n gilt.

Bemerkung. Für p = 1 und q = 2 ist dies die Ungleichung zwischen dem

arithmetischen und geometrischen Mittel.

Beweis. Es gilt

x p 1 +···+xp n

= x p 1

n · 1

n +···+xp n · 1

n

p/q(


((x p 1 )q/p +···+(x p n )q/p) n

) ( (q−p)/q x

q ) p/q

=

1 +···+xq n

,

n q/(q−p) n

woraus die Behauptung folgt.

Wir haben die folgende allgemeinere Form der Hölderschen Ungleichung: Seien

p, q, r > 0, wobei

1

r = 1 p + 1 q .

Satz 1.41. Seien x 1 ,x 2 ,...,x n und y 1 ,y 2 ,...,y n beliebige reelle Zahlen. Dann

gilt

(

∑ n

) 1/r ( n

) 1/p (

∑ n

) 1/q


|x i y i | r ≤ |x i | p |y i | q .

i=1

Gleichheit gilt genau dann, wenn es Konstanten α ≥ 0, β ≥ 0 mit

für alle i = 1,...,n gibt.

i=1

α|x i | p = β|y i | q

Bemerkung. Im Fall p = q = 2, r = 1 heißt diese Ungleichung auch die Cauchy-

Schwartzsche Ungleichung.

Beweis. Wegen 1

p/r + 1

q/r

= 1 gilt nach der Hölderschen Ungleichung

(

n∑ n∑ n

) r/p (


n

) r/q

|x i y i | r = |x i | r |y i | r ≤ (|x i | r ) p/r ∑

(|y i | r ) q/r

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

⎛( n

) 1/p (

∑ n

) ⎞ 1/q

r


≤ ⎝ |x i | p (|y i | q ⎠ ,

und daraus folgt die Behauptung.

i=1

i=1

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