Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

Kapitel 2

Folgen, Grenzwerte und

Stetigkeit

2.1 Folgen

Definition 2.1. Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N → R. Anstelle

a(n) schreibt man auch a n . Die Folge selbst wird mit a 1 , a 2 , a 3 ,... oder

mit { a n

} ∞

n=1 bezeichnet. a n heißt das n-te Glied der Folge.

Bemerkung. Manchmal beginnt der Zählindex mit einer ganzen Zahl verschieden

von 1, z. B. in der Folge b −2 , b −1 , b 0 , b 1 ,...

Beispiel 2.2.

1

1,

2 , 1

3 , 1

4 , 1

5 ,...

1, 0, 1, −1, 1, 0, 1, −1,...

Beachte, dass dieselbe reelle Zahl mehr als einmal (und sogar unendlich oft)

in einer Folge vorkommen kann. Folgen { } ∞

a n sind daher von ihren Wertebereichen

{ ∣ }

n=1

a n n ∈ N ⊂ R begrifflich zu unterscheiden. Im zweiten Beispiel

ist der Wertebereich die endliche Menge { −1, 0, 1 } .

Folgen { können durch die Angabe des allgemeinen Gliedes definiert werden, z. B.

n

} ∞

2n−1

ist die Folge 1 n=1 3 , 2

5 , 3

7 ,... mit dem allgemeinen Glied a n = n

2n−1 .

Sie können auch rekursiv definiert sein, z. B. ist die Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3,

5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... durch a 1 = 1, a 2 = 1 und a n+2 = a n +a n+1 für

alle n ∈ N gegeben.

Definition 2.3.

(a) Die Folge { } ∞

a n heißt beschränkt (nach oben beschränkt, nach unten beschränkt),

falls es ein M ∈ R mit |a n | ≤ M (a n ≤ M, M ≤ a n ) für alle

n=1

n ∈ N gibt. In diesem Fall heißt M eine Schranke (obere Schranke, untere

Schranke) von { } ∞

a n . n=1

(b) Die Folge { a n

} ∞

n=1 heißt monoton wachsend (monoton fallend), falls a n ≤

a n+1 (a n ≥ a n+1 ) für alle n ∈ N gilt. Sie heißt strikt monoton wachsend

(strikt monoton fallend), falls diese Ungleichungen strikt sind.

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