Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

28 KAPITEL 2. FOLGEN, GRENZWERTE UND STETIGKEIT

(c) Die Folge { } ∞

a n heißt nichtnegativ (positiv), falls ihre Glieder nichtnegativ

(positiv) sind.

n=1

(d) Die Folge { } ∞

a n heißt alternierend, falls ihre Glieder abwechselnd nichtneagtiv

und nichtpositiv sind.

n=1

Beispiel 2.4.

1

• Die Folge 1,

2 , 1

3 , 1

4 , 1

5 ,... mit dem allgemeinem Glied 1 n

monoton fallend und beschränkt.

ist strikt

• Die Folge1, 2, 3, 4, 5,... mit dem allgemeinem Gliednist strikt monoton

wachsend und nach unten, aber nicht nach oben beschränkt.

Diese beiden Folgen sind zudem positiv.

• Die Folge 1, −1, 1, −1,... mit allgemeinem Glied (−1) n+1 ist alternierend

und beschränkt.

Definition 2.5. Die Folge a 1 , a 2 , a 3 ,... konvergiert gegen eine Zahl a ∈ R,

falls ∀ǫ > 0 ∃N = N(ǫ) ∀n ≥ N: |a−a n | ≤ ǫ. a heißt dann der Grenzwert

dieser Folge. Man schreibt a = lim n→∞ a n .

a+ǫ

a

a−ǫ

1 2 3 ... N N +1

Abbildung 2.1: Konvergenz einer Folge gegen a

In diesem Fall heißt die Folge { a n

}

konvergent, andernfalls divergent. Sie heißt

bestimmt divergent gegen ∞ (gegen −∞), falls ∀M ∈ R ∃N = N(m) ∀n ≥

N: a n ≥ M (a n ≤ M). Man schreibt dann lim n→∞ a n = ∞ (lim n→∞ a n = −∞).

Andernfalls heißt die Folge unbestimmt divergent.

Beispiel 2.6. Die Folge { n ∞

3n+2} konvergiert gegen 1 n=1 3 .

Beweis. Betrachte ∣ 1 3 − n

∣ = ∣ (3n+2)−3n

∣ = 2

3n+2

3(3n+2)

9n+6 < 1

4n

wählen wir eine ganze Zahl N ≥ 1 4ǫ und erhalten ∣ ∣∣ 1

3 − n

Satz 2.7.

3n+2

. Zu gegebenem ǫ > 0

∣ < ǫ für n ≥ N.

(a) Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.

(b) Konvergente Folgen sind beschränkt.

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