Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

2.1. FOLGEN 29

Beweis.

(a) Die Folge { } ∞

a n habe die beiden Grenzwerte a und b. Sei ǫ > 0 gegeben.

n=1

Dann |a−a n | ≤ ǫ und |b−a n | ≤ ǫ für hinreichend großes n. Dann auch

|a−b| ≤ |a−a n |+|b−a n | ≤ 2ǫ. Da dies für beliebiges ǫ > 0 gilt, erhalten

wir |a−b| = 0 und a = b.

(b) a sei der Grenzwert der Folge { } ∞

a n undN = N(1). Dann ist eine Schranke

von { } ∞

n=1

a n gegeben durch

n=1

max { |a 1 |, |a 2 |,..., |a N−1 |, 1+|a| } ,

da

für n ≥ N.

|a n | ≤ |a n −a|+|a| ≤ 1+|a|

Satz 2.8. Die Folge { } ∞

a n n=1 und { } ∞

b n seien konvergent mit den Grenzwerten

a bzw. b. Dann

n=1

gilt:

(a) lim n→∞ ca n = ca für jedes c ∈ R.

(b) lim n→∞ (a n ±b n ) = a±b.

(c) lim n→∞ a n b n = ab.

a

(d) lim n n→∞ bn

= a b

, falls b ≠ 0.

Bemerkung. Die Aussage beispielsweise in (b) ist so zu lesen, dass aus der Konvergenz

der Folgen { a n

}

und

{

bn

}

die Konvergenz der Folge

{

an + b n

}

folgt

und dass deren Grenzwert gleich a+b ist. Analog für die Folge { a n −b n

}

.

Zu (d): Gilt b ≠ 0, so b n ≠ 0 für n ≥ N mit einem gewissen N, so dass ab

diesem Index N die Folgenglieder an

b n

wohldefiniert sind.

Beweis. Wir beweisen lediglich (c), der Rest ist analog.

Sei sup|a n | = A < ∞. Weiterhin sei für ǫ > 0 ein N = N(ǫ) mit |a−a n | ≤ ǫ

und |b−b n | ≤ ǫ für n ≥ N gewählt. Dann

|ab−a n b n | ≤ |ab−a n b|+|a n b−a n b n |

= |a−a n ||b|+|a n ||b−b n | ≤ |b|ǫ+Aǫ = (A+|b|)ǫ.

Da (A+|b|ǫ) für geeignetes ǫ > 0 beliebig klein gewählt werden kann, folgt die

Behauptung.

Diese Regeln gelten teilweise auch für bestimmt divergente Folgen, wenn man

definiert:

c+∞ = ∞ für jedes c ∈ R,

∞+∞ = ∞,

c·∞ = ∞ für jedes c > 0,

∞·∞ = ∞,

(−1)·∞ = −∞,

c

= 0 für jedes c ∈ R.

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