Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

32 KAPITEL 2. FOLGEN, GRENZWERTE UND STETIGKEIT

Folglich ist { a n

}

eine Cauchyfolge und wir können auf die Konvergenz dieser

Folgen schließen, sobald der erwähnte Satz bewiesen ist.

Bemerkung. Es ist viel schwieriger zu zeigen, dass die Folge { a n

}

gegen

π 2

6 ≈

1,6449 konvergiert (L. Euler, 1735 & 1741).

Wie im Fall konvergenter Folgen beweist man:

Satz 2.15. Jede Cauchyfolge ist beschränkt.

Definition 2.16. Es sei { } ∞

a n n=1 eine Folge reeller Zahlen und { } ∞

n k n=1 eine

strikt monotone Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt { } ∞

a nk eine Teilfolge

k=1

von { } ∞

a n n=1 .

Beispiel 2.17. Ist n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 7, n 4 = 11, ..., so erhalten wir die

Teilfolge

a 2 , a 3 , a 7 , a 11 , ...

von

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 , ,a 10 , ,a 11 , ...

Allgemein ist das k-te Glied der Teilfolge { a nk

} ∞

k=1 das n k-te Glied der Folge

{

an

} ∞

n=1 .

Offenbar gilt: Ist eine Folge konvergent, so konvergiert jede ihrer Teilfolgen (gegen

denselben Grenzwert). Umgekehrt haben wir:

Satz 2.18. Ist eine Teilfolge einer Cauchyfolge konvergent, so konvergiert bereits

die Cauchyfolge.

Beweis. { } ∞

a n n=1 sei eine Cauchyfolge und { } ∞

a nk eine konvergente Teilfolge

k=1

mit lim k→∞ a nk = a. Sei ǫ > 0. Dann gibt es ein N, so dass |a m −a n | ≤ ǫ/2 für

alle m, n ≥ N. Zudem gibt es ein K ≥ N mit |a−a nk | ≤ ǫ/2 für alle k ≥ K.

Da jedoch n k ≥ k, so gilt für alle k ≥ K:

Folglich konvergiert { } ∞

a n gegen a.

n=1

|a−a k | ≤ |a−a nk |+|a nk −a k | ≤ ǫ.

Wir kommen jetzt zum Beweis des angekündigten Satzes. Wir benötigen dazu

folgendes Lemma:

Lemma 2.19. Jede Folge reeller Zahlen besitzt eine monotone Teilfolge.

Beweis. Sei { } ∞

a n n=1 eine beliebige Folge reeller Zahlen. Es sei P = { n ∈ N ∣ a m > a n für alle m > n } . Ist P eine unendliche Menge, P = ⋃ ∞

}

k=1{

nk mit

n k < n k+1 für alle k, so ist die Folge { } ∞

a nk strikt monoton wachsend. Ist

k=1

P hingegen endlich, so sei n 1 > supP. Wegen n 1 /∈ P gibt es ein n 2 > n 1 mit

a n2 ≤ a n1 . Wegen n 2 /∈ P gibt es ein n 3 > n 2 mit a n3 ≤ a n2 . Indem man so

fortfährt, erhält man eine monoton fallende Folge { } ∞

a nk k=1 .

Als eine unmittelbare Folgerung daraus und dem Vollständigkeitsaxiom erhalten

wir den wichtigen Satz von Bolzano-Weierstrass:

Theorem 2.20 (Bolzano-Weierstrass). Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente

Teilfolge.

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