Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I


2.5. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 37

4


3

2

1

−2

−1

0 1 2

Abbildung 2.2: Graph der Funktion f(x) = x 2 mit f(2) = 4

3

2

1

0 1 2

Abbildung 2.3: Graph der Fkt. f(x) = x+1 für x ≠ 1, f(1) = 1

Ist b endlich und I derart, dass (I \{b}) ∩ (b−δ,b+δ) = (b,b+δ) für ein

δ > 0, so schreibt man lim f(x) auch als f(b+0) = lim f(x) (rechtsseitiger

x→b+0

x→b

x∈I

Grenzwert). Analog ist f(b−0) = lim

x→b−0

Es ist möglich, dass lim

x→b+0

f(x) ≠ lim

x→b−0 f(x).

Beispiel 2.38. Sei H die Heaviside-Funktion,

{

1, für x > 0

H(x) =

0, für x < 0

f(x) (linksseitiger Grenzwert) erklärt.

Dann lim H(x) = 1 ≠ 0 = lim H(x).

x→+0 x→−0

Aussagen über die Grenzwerte von Folgen übertragen sich direkt auf Aussagen

über die Grenzwerte von Funktionen.

Satz 2.39. I ⊆ R habe den (eigentlichen oder uneigentlichen) Häufungspunkt

b ∈ R, f, g: I → R. Existieren lim f(x) und lim g(x), so existieren auch die

x→b

x∈I

x→b

x∈I

folgenden Grenzwerte, vorausgesetzt der Wert auf der rechten Seite ist wohldefiniert

(die Werte ∞−∞, 0·∞, usw. sind nicht wohldefiniert):

(a) lim(f(x)+g(x)) = lim f(x)+ lim g(x).

x→b

x∈I

x→b

x∈I

x→b

x∈I

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