Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

4 INHALTSVERZEICHNIS

3.6 Die Bestimmung von Extremwerten II . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7 Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.1 Wendestellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7.2 Die Jensensche Ungleichung (endliche Form) . . . . . . . 64

3.8 Die l’Hôspitalschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Integration 67

4.1 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Eigenschaften des Riemann-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Klassen Riemann-integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . 70

4.4 Der Fundamentalsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Weitere Eigenschaften des R-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5.1 Integration zusammengesetzter Funktionen . . . . . . . . 75

4.5.2 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . 77

4.5.3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5.4 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6.1 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.6.2 Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.7 Integration einiger Funktionenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.7.1 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.7.2 Irrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.8 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.9 Parameter-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.10 Ungleichungen mit Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.10.1 Die Hölder-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.10.2 Die Minkowski-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.10.3 Die Jensensche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 Unendliche Reihen 99

5.1 Grundlegende Begriffe und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . 99

5.2 Zwei Beispielklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2.1 Die geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2.2 Die α-harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.3 Ein Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.4 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.5 Weitere Konvergenztests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.6 Das Cauchyprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 111

6.1 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2 Gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3 Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.4.1 Definition der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . 117

6.4.2 Der Weierstrasssche Approximationssatz . . . . . . . . . . 119

6.4.3 Eine überall stetige, nirgends differenzierbare Funktion . . 121

6.5 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.6 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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