Differenzial- und Integralrechnung I

uni.math.gwdg.de

Differenzial- und Integralrechnung I

40 KAPITEL 2. FOLGEN, GRENZWERTE UND STETIGKEIT

2. ∀ǫ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I: |x−c| ≤ δ =⇒ |f(x)−f(c)| ≤ ǫ.

Eine unmittelbare Folgerung aus Satz 2.39 ist:

Satz 2.44. Seien f, g: I → R an der Stelle c ∈ I stetig. Dann sind auch die

Funktionen f +g, f ·g und f/g an der Stelle c stetig, Letzteres allerdings nur,

wenn g(c) ≠ 0 (f/g muss nicht auf ganz I definiert sein).

Beispiel 2.45. Polynome p(x) sind auf ganz R stetig, rationale Funktionen p(x)

q(x)

an Stellen x mit q(x) ≠ 0.

Die Komposition (Nacheinanderausführung) zweier stetiger Funktionen ist wieder

stetig.

Satz 2.46. Sei f: I → J mit einem Intervall J, g: J → R. Ist f an der Stelle

c ∈ I und g an der Stelle f(c) stetig, so ist g ◦f an der Stelle c stetig.

Beweis. Sei { x n

}

⊂ I, xn → c für n → ∞. Dann f(x n ) → f(c) für n → ∞

wegen der Stetigkeit von f an der Stelle c und g ( f(x n ) ) → g ( f(c) ) für n → ∞

wegen der Stetigkeit von g an der Stelle f(c).

Wir kommen jetzt zu unserem nächsten wichtigen Ergebnis:

Satz 2.47 (Zwischenwertsatz). Sei f: [a,b] → R stetig, L ein Wert zwischen

f(a) und f(b). Dann existiert ein c ∈ [a,b] mit f(c) = L.

Beweis. O. B. d. A. sei f(a) ≤ f(b). Wir konstruieren eine monoton wachsende

Folge { } { }

a n und eine monoton fallende Folge bn mit a1 = a, b 1 = b, b n −a n =

b−a

2

und f(a n−1 n ) ≤ L ≤ f(b n ) für alle n: Wir setzen a 1 = a und b 1 = b. Seien a n ,

b n für ein n ∈ N bereits konstruiert und sei d = an+bn

2

. Gilt f(d) ≤ L, so setzen

wir a n+1 = d, b n+1 = b n , andernfalls setzen wir a n+1 = a n , b n+1 = d.

Sei nun lim

a n = lim b n = c. Dann gilt f(c) = lim f(a n) ≤ L und f(c) =

n→∞ n→∞ n→∞

lim f(b n) ≥ L, daher f(c) = L.

n→∞

Satz 2.48. Es sei I ⊆ R ein Intervall und f: I → R sei eine stetige Funktion.

Dann ist f(I) ein Intervall.

Beweis. Ein Intervall I ist eine Teilmenge von R mit der Eigenschaft, dass mit

zwei Punkten a, b ∈ I, a < b, auch alle Punkte dazwischen in I enthalten sind,

also [a,b] ⊆ I. Benutze dann den Zwischenwertsatz.

Bemerkung. Die Intervalle sind nicht notwendig vom selben Typ:

• f(x) = 1+3x−x 3 , I = (−1,6,1,6) ⇒ f(I) = [−1,3].

• f(x) = 1/x, I = (0,1) ⇒ f(I) = (1,∞).

Satz 2.49 (Extremwertsatz). Sei f: [a,b] → R stetig. Dann existieren c und d

in [a,b] mit f(c) ≤ f(x) ≤ f(d) für alle x ∈ [a,b].

Das bedeutet, dass jede auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall

definierte stetige Funktion ein Maximum und ein Minimum besitzt beziehungsweise

dass die Bilder abgeschlossener, beschränkter Intervalle unter stetigen Abbildungen

abgeschlossen und beschränkt sind.

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine