Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

50 KAPITEL 2. FOLGEN, GRENZWERTE UND STETIGKEIT

2. Wir zeigen jetzt, dass F wohldefiniert ist, d. h. dass F(x) für x ∈ I \ I

unabhängig von der Wahl der Folge {x n } ist.

Sei dazu {y n } ⊂ I eine weitere Folge, die gegen x konvergiert. Dann konvergiert

die Folge

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 , ...

gegen x, also konvergiert nach 1. auch die Folge

f(x 1 ), f(y 1 ), f(x 2 ), f(y 2 ), f(x 3 ), f(y 3 ), ...,

und die beiden Folgen {f(x n )}, {f(y n )} haben denselben Grenzwert.

3. Schließlich wäre noch zu zeigen, dass F: I → R stetig ist, doch das überlasse

ich Ihnen.

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