Differenzial- und Integralrechnung I

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Differenzial- und Integralrechnung I

56 KAPITEL 3. DIFFERENZIERBARKEIT

2

1

−2

−1

0 1 2

Abbildung 3.2: Die Funktion y = x 2

1

−4π

−2π

−1



Abbildung 3.3: Die Funktion y = cosx

Bemerkung. Maxima und Minima werden als Extrema bezeichnet.

Die Frage entsteht, wie sich Extrema bestimmen lassen.

Satz 3.12. Sei I ⊆ R ein Intervall, f: I → R und c ∈ I sei kein Endpunkt von

I. Falls f an c differenzierbar ist und f an c ein relatives Extremum hat, so gilt

f ′ (c) = 0.

Beweis. Angenommen, es ist f ′ (c) ≠ 0. O. B. d. A. sei f ′ (c) > 0. Dann existiert

ein δ > 0 mit f(x)−f(c)

x−c

> 0 für x ∈ I ∩ (c − δ,c + δ), x ≠ c. Es gilt für

x ∈ I ∩(c−δ,c) gilt

und für x ∈ I ∩(c,c+δ)

f(x) = f(c)+ f(x)−f(c) (x−c) < f(c)

x−c } {{ }

} {{ }

0

f(x) = f(c)+ f(x)−f(c) (x−c) > f(c).

x−c } {{ }

} {{ }

>0

>0

Damit besitzt f an der Stelle c weder ein lokales Minimum noch ein lokales

Maximum.

Bemerkung. Eine notwendige Bedingung dafür, dass die Funktion f: I → R

an einer inneren Stelle c ∈ I ein lokales Extremum besitzt, ist also, dass die

Tangente an den Graph dieser Funktion in (c,f(c)) (falls existent) parallel zur

x-Achse ist.

Diese Bedingung ist nicht hinreichend, z. B. gilt für f(x) = x 3 , dass f ′ (0) = 0,

jedoch f(x) > f(0) für x > 0 und f(x) < f(0) für x < 0.

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